Vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác

NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Trao đổi kinh nghiệm dạy học theo định hướng tiếp cận lực người học Vẻ đẹp lời giải hình học qua tốn lượng giác Ths HỒNG MINH QN GV Trường THPT chun Nguyễn Huệ, Hà Nội Trong chương trình tốn THPT, để chứng minh số hệ thức lượng giác, ta thường sử dụng biến đổi lượng giác Câu hỏi đặt ra, ngồi cách biến đổi lượng giác ta có cách tiếp cận khác để giải vấn đề không? Để trả lời câu hỏi này, viết sau mời bạn đọc đến với hướng tiếp cận hình học cho chứng minh số hệ thức lượng giác I CÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài Chứng minh với x + y   , ta có sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y Chứng minh Gọi z góc thỏa mãn x + y + z =  Ta có x, y, z ba góc tam giác Khơng tổng quát, giả sử tam giác nội tiếp đường trịn bán kính r= Ta có sin z = c : = c , tương tự sin x = a , sin y = b 2 Từ công thức c = a cos y + b cos x , ta có sin z = sin x cos y + cos x sin y  sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y Chứng minh Vẽ tam giác ABC với H chân đường cao hạ từ đỉnh A lên cạnh BC Đặt BAH = x; CAH = y AB = a; AC = b; AH = h Ta có SABC = SABH + SACH 1 ab sin ( x + y ) = ah sin x + bh sin y 2 1  ab sin ( x + y ) = ab cos y.sin x + ba cos x.sin y 2   sin ( x + y ) = sin x cos y + cos x sin y https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Chứng minh Vẽ tam giác ABC với D chân đường cao hạ từ đỉnh A , E chân đường cao hạ từ đỉnh C ,   x,  ABC  y Khi  BAC ACD  x  y Ta có AD.BC  CE AB  AD  CE AB CE  AE  EB   BC BC AD CE  AE  EB  AE CE CE EB Mặt khác, lại có sin  x  y   sin  ACD     AC AC.BC AC BC AC BC hay sin  x  y   cos x sin y  sin x cos y   Bài Chứng minh với x; y   0;  x  y ta có  2 sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y Chứng minh Dựng tam giác ABC vuông A , gọi D điểm thuộc cạnh AC cho  ABD  y ABC  x,  Đặt BC  a; BD  b Ta có AB  b cos y  a cos x; AD  a sin x  b sin y Mặt khác ta có SBCD  SABC  SABD  1 AB AC  AB AD 2  BD.BC.sin  x  y   AB AC  AB AD  b.a.sin  x  y   b cos y.a sin x  a cos x.b sin y  sin  x  y   cos y.sin x  cos x.sin y Chứng minh https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Vẽ tam giác ABC vuông A , độ dài BC  Trên cạnh AC lấy điểm D ,   x  y Gọi E hình chiếu D lên cạnh BC Đặt ABC  x;  ABD  y  DBC đặt  BD  h; DE  d Ta có cos x  AB cos x AB AB  AB  cos x; cos y  h  BC cos y cos y AD Trong tam giác vuông EBD có d  h sin  x  y  Mặt khác, CD  CA  AD  sin x  h sin y Do tam giác vng EDC , ta có sin C  d  d  CD.sin C  CD.cos x   sin x  h sin y  cos x CD Vậy ta có d  h sin  x  y    sin x  h sin y  cos x  h sin  x  y    sin x  h sin y  cos x    cos x cos x sin  x  y    sin x  sin y  cos x cos y cos y    sin  x  y   cos y.sin x  cos x.sin y   Bài Chứng minh với x; y   0;  , ta có  2 cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y (3) Chứng minh Dựng tam giác ABC có đường cao AH , đặt AB  a; AC  b góc    y  BAC     x  y     x  y  ABC  x; HAC 2 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Ta có S ABC  S HAB  S HAC    HA.HB  HA.HC AB AC.sin BAC 2    ab sin    x  y    a cos x.b cos y  a sin x.b sin y 2   cos  x  y   cos x.cos y  sin x.sin y Chứng minh   y  DBA   x  y ABC  x; CBD Vẽ tam giác ABC vuông A , cạnh AC lấy điểm D , đặt  Gọi E hình chiếu D lên cạnh BC Đặt CD  1; BD  h; AB  d Trong tam giác BDE vng, ta có cos y  EB  BE  h cos y BD Trong tam giác CDE vng, ta có sin C  ED  DE  CD.sin C  CD.cos x  cos x CD Trong tam giác ABD vng, ta có cos  x  y   d  d  h cos  x  y  h Bài Chứng minh công thức nhân đôi sin 2  sin  cos  ; Chứng minh https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc cos 2  cos   NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM    Gọi H Trên đường tròn lượng giác với điểm A  1;0  ; B 1;0  điểm C cho BAC chân đường cao hạ từ đỉnh C đến cạnh AB Ta có CH  OC sin 2  sin 2 ; OH  OC cos 2  cos 2 Khi C  cos 2 ;sin 2  Vì ACH ∽ ABC nên ta có sin 2 2sin  CH BC     sin 2  2sin  cos  2cos  AC AB Mặt khác, từ ACH ∽ ABC nên ta có  cos 2 cos  AH AC     cos 2  cos   2cos  AC AB Bài Chứng minh công thức nhân ba a) sin x  3sin x  sin x ; b) cos x  cos x  3cos x Chứng minh1   2x Vẽ ABC cân với AB  AC  1, BC  a, BAC Lấy điểm D cạnh AC cho BD  BC  a Gọi E hình chiếu D lên AB , G hình chiếu B lên AC F trung điểm cạnh BC Ta có DE  a cos x, BE  a sin x  AE   a sin x AD  AE  DE  1  a sin 3x    a cos 3x  Trong tam giác vng ADE , có sin x  BF a   a  2sin x AB https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc   a  2a sin 3x (1) NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM GC AC  AD   a  2a sin 3x   Mặt khác, ta có sin x  BC 2a BC (2) Từ (1) (2), ta có a   a  2a sin 3x   a    a  2a sin 3x 2a  1  a    a  2a sin x  a  3a  2a sin x   a  3a  2sin x   8sin x  6sin x  2sin x   sin x  3sin x  4sin x Chứng minh2 Dựng hình chữ nhật ABCD với điều kiện hình vẽ Ta có sin x  2sin x cos x  sin x  sin x 1  2sin x   sin x  3sin x  4sin x b) cos x  cos cos x  cos x  cos x  cos x  1  cos x  cos3 x  3cos x Bài Không sử dụng lượng giác, chứng minh sin18o  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 1 NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM   36o , đặt AB  1, BC  x Dựng tam giác cân ABC , với BAC Ta có tam giác ABC đồng dạng tam giác BCD nên AB BC x 1      x2  x 1   x  BC CD x 1 x Suy CD   x   Ta có sin18o  I 1   3   DH  2 3 5 1 DH     BD 1 1   BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài Với góc  nhọn Chứng minh 1    sin  cos  sin  cos  Chứng minh ABC   , CD  với D hình chiếu C lên cạnh AB Vẽ tam giác ABC vuông C , có  Ta có BC  1 1   , suy AB  AC  BC  ; AC  2 sin  cos  sin  cos  sin  cos  Ta có AB   Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có sin 2 BC  AC  AB  AB  Vậy 1    AB  sin  cos  sin  cos  1    sin  cos  sin  cos    Bài Với góc  ,  ,    0;  thoả mãn cos   cos   cos   Chứng minh  2 tan  tan  tan   2 Chứng minh https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Dựng hình hộp chữ nhật ABCD AB C D  với AB  a; AA  b; BC  c      BD   , CBD ABD   , B Ta có tan   b2  c2 , tan   a Từ tan  tan  tan   a2  c2 b2  a , tan   b c b2  c2 a  c2 b2  a a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có b2  c2 a  c2 b2  a  a b c 2bc 2ac 2ba  2 a b c Đẳng thức xảy a  b  c        arctan Bài Cho x, y, z   , góc  ,  ,    0;   thoả mãn        2          Chứng minh x  xy cos   y  x  xz cos   z  y  yz cos   z Chứng minh   Dựng hình chóp O ABC với OA  x, OB  y , OC  z , đặt  AOB   ,  AOC   , BOC Khi ta có AB  x  xy cos   y ; AC  x  xz cos   z ; BC  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc y  yz cos   z NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có AB  AC  BC hay x  xy cos   y  x  xz cos   z  y  yz cos   z   Bài 10 Cho góc    ;  Chứng minh 4   sin   cos   sin  Chứng minh Dựng hình vng ABCD cạnh lấy điểm E cạnh BC , góc  AEB   Khi ta có AE  cos  cos  sin   cos  Suy EC    ; BE  cot   sin  sin  sin  sin  Xét tam giác AEC , theo bất đẳng thức tam giác, ta có AE  EC  AC   Suy II sin   cos    sin  sin   sin   cos    Đẳng thức xảy   sin  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Không sử dụng biến đổi lượng giác, tính giá trị S   tan10 o cos 50 o Bài Sử dụng hình học chứng minh cos 36 o  cos 72 o  3 2  cos  7 7 Bài Cho góc  ,  ,  thoả mãn cos   cos   cos   Chứng minh Bài Sử dụng hình học, chứng minh cot   cot 4   sin   Bài Cho góc    Chứng minh    cos  3 cot  cot  cos   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc ... tan10 o cos 50 o Bài Sử dụng hình học chứng minh cos 36 o  cos 72 o  3 2  cos  7 7 Bài Cho góc  ,  ,  thoả mãn cos   cos   cos   Chứng minh Bài Sử dụng hình học, chứng minh cot... bất đẳng thức tam giác, ta có AE  EC  AC   Suy II sin   cos    sin  sin   sin   cos    Đẳng thức xảy   sin  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Khơng sử dụng biến đổi lượng giác, tính giá... BD 1 1   BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài Với góc  nhọn Chứng minh 1    sin  cos  sin  cos  Chứng minh ABC   , CD  với D hình chiếu C lên cạnh AB Vẽ tam giác ABC vng C , có  Ta có