Mô phỏng ứng xử đỉnh vết nứt bằng phương pháp không lưới element free galerkin

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA NGUYỄN THÁI HIỀN MÔ PHỎNG ỨNG XỬ ĐỈNH VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI ELEMENT FREE GALERKIN Chuyên ngành: CƠ HỌC KỸ THUẬT Mã số: 60.52.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 01 năm 2012 i ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ***** CƠNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc - CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA –ĐHQG -HCM Cán hướng dẫn khoa học : PGS TS Trương Tích Thiện Cán chấm nhận xét : TS Vũ Cơng Hịa Cán chấm nhận xét : TS Nguyễn Tường Long Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 13 tháng 01 năm 2012 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: GS TS Ngơ Kiều Nhi PGS.TS Trương Tích Thiện TS Vũ Cơng Hịa TS Nguyễn Tường Long TS Phùng Mạnh Tiến Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG BỘ MƠN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH GS TS Ngô Kiều Nhi TS Vũ Cơng Hịa ii TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc -oOo Tp HCM, ngày 08 tháng 01 năm 2012 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: NGUYỄN THÁI HIỀN Phái: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 04-05-1981 Nơi sinh: Vĩnh Long Chuyên ngành: Cơ học Kỹ thuật MSHV: 09230899 1- TÊN ĐỀ TÀI: MÔ PHỎNG ỨNG XỬ ĐỈNH VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI ELEMENT FREE GALERKIN 2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: - Tìm hiểu lý thuyết học nứt đàn hồi tuyến tính đàn dẻo - Tìm hiểu phương pháp số khơng chia lưới giải toán học nứt - Thiết lập giải thuật, xây dựng chương trình mơ trường ứng suất – chuyển vị xung quanh đỉnh vết nứt tính toán hệ số cường độ ứng suất dựa phương pháp không lưới Element Free Galerkin - So sánh kết phương pháp không chia lưới với kết phương pháp giải tích 3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 16-09-2010 4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 03-01-2012 5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN Nội dung đề cương Luận văn thạc sĩ Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Họ tên chữ ký) CHỦ NHIỆM BỘ MÔN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH (Họ tên chữ ký) PGS TS Trương Tích Thiện TS Vũ Cơng Hịa iii KHOA QL CHUYÊN NGÀNH (Họ tên chữ ký) TS Huỳnh Quang Linh LỜI CẢM ƠN Luận văn tốt nghiệp thành mà đạt sau hai năm học tập, dạy dỗ tận tình thầy Bộ môn Cơ kỹ thuật, Khoa Khoa học Ứng dụng trường Đại học Bách khoa Thành phố Hồ Chí Minh Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc thầy hướng dẫn, PGS TS Trương Tích Thiện, thầy tận tình hướng dẫn kiến thức, kinh nghiệm, phương pháp nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Cũng dịp này, xin trân trọng cảm ơn thầy cô môn Cơ Kỹ thuật, khoa Khoa học Ứng Dụng, trường Đại học Bách khoa Tp HCM dạy dỗ truyền đạt cho nhiều kiến thức bổ ích suốt q trình học tập Đặc biệt, xin cảm ơn ThS Nguyễn Thanh Nhã, người đồng nghiệp chia cho nhiều kinh nghiệm quý báu trình thực luận văn Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè, tập thể lớp Cao học ngành Cơ Kỹ Thuật khóa 2009 hỗ trợ tơi q trình học tập thực luận văn Tp Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2012 Học viên thực Nguyễn Thái Hiền iv TÓM TẮT LUẬN VĂN Cơ học rạn nứt lĩnh vực mẻ kỹ thuật, phát triển khoảng 50 năm gần , từ chiến thứ II Sự phát triển toán học phương pháp số với phát triển ngành máy tính hỗ trợ việc giải toán vết nứt phức tạp thực tế vô hiệu Luận văn giới thiệu số vấn đề lý thuyết học rạn nứt đàn hồi tuyến tính phương pháp số khơng lưới giải tốn học rạn nứt Phương pháp không lưới chọn luận văn phương pháp không lưới “Element Free Galerkin” dựa hàm dạng xấp xỉ “Moving Leasquared Shape Function (MLS)” Một chương trình tính tốn tác giả xây dựng từ ngơn ngữ lập trình kỹ thuật Matlab để mô trường ứng suất, chuyển vị vùng lân cận đỉnh vết nứt tính tốn hệ số cường độ ứng suất đỉnh vết nứt Luận văn thực tính tốn ba mơ hình tốn, toán xét với trường hợp mật độ nút khác Các kết tính tốn so sánh với kết giải tích ABSTRACT Fracture mechanics is a rather new field in engineering, was developed over obout 50 years, from World War II The development of mathematical and numerical methods along with the development of the computer industry has supported the resolution of complex crack problems in practice extremely effective The main task of this thesis is using a meshless method to solve the linear elastic fracture mechanics problems The messless method that is choosen is Element Free Galerkin (EFG) This method bases on the Moving Leasquared Shape Function (MLS) A program basing on Matlab language was built to simulate displacement and stress field in the vicinity crack tip and calculate the stress intensity at the crack tip In this thesis, there are three crack problems are performed and in each problem, there are two cases of different node densities are considered The results of program are compared with the analytic solution v LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan tồn nội dung luận văn trình bày tơi thực chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu khác Các ý tưởng tham khảo, trích dẫn từ báo cơng trình nghiên cứu tác giả khác nêu rõ phần tài liệu tham khảo Các kết đạt luận văn phản ánh cách trung thực Các chương trình phần mềm thực Người cam đoan Nguyễn Thái Hiền DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1 Sự rạn nứt giòn tàu Tự Do chiến thứ II Hình 3.1 Tấm phẳng rộng vô hạn với khe nứt dài 2a Hình 3.2 Vết nứt dạng đồng xu nằm vật thể Hình 3.3 Tấm phẳng rộng vô hạn với vết nứt ellipse 11 Hình 3.4 Ba dạng độc lập chuyển vị vết nứt 13 Hình 3.5 Phân tố ứng suất hệ tọa độ Đề Các 13 Hình 3.6 Phân tố ứng suất hệ tọa độ trụ 16 Hình 3.7 Tấm phẳng chịu kéo với vết nứt nghiêng 17 Hình 3.8 Trục với vết nứt chịu tải kéo xoắn 19 Hình 3.9 Sự thay đổi giới hạn phá hủy theo độ dày mẫu vật 20 Hình 3.10 Mơ hình thí nghiệm đo KIC 20 Hình 3.11 Chu tuyến tùy ý bao quanh vết nứt 22 Hình 4.1 Sơ đồ so sánh trình tự giải thuật phương pháp FEM Meshfree 26 Hình 4.2 (a) Mơ hình phần tử phương pháp phần tử hữu hạn; (b) Mơ hình nút phương pháp khơng chia lưới 27 Hình 4.3 (a) Miền support domain hình trịn; (b) Miền support domain hình chữ nhật 31 Hình 4.4 Hàm xấp xỉ u h ( x) cho tập hợp giá trị ui phép xấp xỉ MLS 33 Hình 4.5 Sơ đồ khối bước tính hàm dạng MLS 38 Hình 4.6 (a) Hàm dạng MLS support domain kích thước (1x1); (b) Đạo hàm riêng theo x Hàm dạng MLS support domain kích thước (1x1 ) 39 Hình 4.7 Mơ hình vật rắn liên lục hai chiều 41 Hình 4.8 Khoảng cách r từ xI đến đỉnh vết nứt góc  tạo tiếp tuyến vết nứt xI với cạnh x  xTIP 49 vii Hình 4.9 (a) Biểu diễn miền Ws  x  ; (b) Biểu diễn miền Wb  x  49 Hình 4.10 Mơ hình nút cho miền toán 52 Hình 4.11 Lưới tích phân, điểm tích phân (trường hợp tích phân có điểm tích phân) 53 Hình 4.12 Mơ hình tip node split node 54 Hình 4.13 Sơ đồ giải thuật tính toán hàm dạng 55 Hình 4.14 Sơ đồ giải thuật tính tốn ma trận K 56 Hình 4.15 Sơ đồ giải thuật tính toán vector f 58 Hình 4.16 Sơ đồ giải thuật tính tốn vector q 60 Hình 4.17 Sơ đồ giải thuật tính tốn ma trận G 62 Hình 4.18 Sơ đồ tính tốn tích phân J 64 Hình 5.1 Tấm phẳng với vết nứt biên 65 Hình 5.2 Phân tố ứng suất điểm gần đỉnh vết nứt 66 Hình 5.3 Mơ hình phân toán với 400 nút 66 Hình 5.4 Kết chuyển vị ứng suất theo phương y mơ hình vết nết cạnh phân bố 400 nút 67 Hình 5.5 Lưới tích phân dùng để tính J 69 Hình 5.6 Mơ hình tốn với 800 nút 70 Hình 5.7 Kết chuyển vị ứng suất mơ hình vết nứt cạnh phâ n bố 800 nút 70 Hình 5.8 Mối quan hệ tổng số nút sai số hệ số cường độ ứng suất hai phương pháp 72 Hình 5.9 Mối quan hệ kích thước miền tích phân sai số hệ số cường độ ứng suất hai phương pháp 72 Hình 5.10 Tấm phẳng với hai vết nứt biên 73 Hình 5.11 Mơ hình đối xứng toán hai vết nứt cạnh 74 Hình 5.12 Mơ hình phân tốn EFG với 800 nút 74 viii Hình 5.13 Kết chuyển vị ứng suất theo phương y mơ hình vết nết cạnh phân bố 800 nút 75 Hình 5.14 Mơ hình tốn với 2400 nút 77 Hình 5.15 Kết chuyển vị ứng suất mơ hình vết nứt cạnh phân bố 800 nút 77 Hình 5.16 Mối quan hệ tổng số nút sai số hệ số cường độ ứng suất hai phương pháp 79 Hình 5.17 Mối quan hệ kích thước miền tích phân sai số hệ số cường độ ứng suất hai phương pháp 80 Hình 5.18 Tấm phẳng với vết nứt 80 Hình 5.19 Mơ hình đối xứng toán vết nứt 81 Hình 5.20 Mơ hình toán EFG với 1800 nút 81 Hình 5.21 (a) Kết chuyển vị theo phương y; (b) Kết ứng suất theo phương y mơ hình vết nết phân bố 1800 nút 82 Hình 5.22 Mối quan hệ tổng số nút sai số hệ số cường độ ứng suất hai phương pháp 84 ix DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 5.1 Kết so sánh ứng suất theo phương y phương pháp giải tích phương pháp EFG số nút gần đỉnh vết nứt 68 Bảng 5.2 Kết so sánh ứng suất theo phương y phương pháp giải tích phương pháp EFG số nút gần đỉnh vết nứt 71 Bảng 5.3 Kết hệ số cường độ ứng suất với mật độ nút khác 71 Bảng 5.4 Kết hệ số cường độ ứng suất với kích thước miền tích phân khác 72 Bảng 5.5 Kết so sánh ứng suất theo phương y phương pháp giải tích phương pháp EFG số nút gần đỉnh vết nứt 76 Bảng 5.6 Kết so sánh ứng suất theo phương y phương pháp giải tích phương pháp EFG số nút gần đỉnh vết nứt 78 Bảng 5.7 Kết hệ số cường độ ứng suất với mật độ nút khác 79 Bảng 5.8 Kết hệ số cường độ ứng suất với kích thước miền tích phân khác 79 Bảng 5.9 Kết so sánh ứng suất theo phương y phương pháp giải tích phương pháp EFG số nút gần đỉnh vết nứt 83 Bảng 5.10 Kết hệ số cường độ ứng suất với mật độ nút khác 84 x figure plot_field(node+fac*[ux' uy'],element,'Q4',stress_gp(1,:)); axis('equal'); title('\sigma_{xx}'); set(gcf,'color','white'); colorbar('vert'); title('Stress, \sigma_{xx}') axis off figure plot_field(node+fac*[ux' uy'],element,'Q4',stress_gp(3,:)); axis('equal'); title('\sigma_{xy}'); set(gcf,'color','white'); colorbar('vert'); title('Stress, \sigma_{xy}') axis off figure plot_field(node+fac*[ux' uy'],element,'Q4',stress_gp(2,:)); axis('equal'); title('\sigma_{yy}'); set(gcf,'color','white'); colorbar('vert'); title('Stress, \sigma_{yy}') axis off 102 fac = 10 ; figure hold on h = plot(node(:,1)+fac*ux', node(:,2)+fac*uy','b*'); set(h,'MarkerSize',7); title('Numerical deformed shape') axis equal m Tính tích phân J clear Q; clear W; clear J; c = (2*a)/3; pt1 = [-c/2 -c/2] + xTip ; pt2 = [ c/2 -c/2] + xTip ; pt3 = [ c/2 c/2] + xTip ; pt4 = [-c/2 c/2] + xTip ; elemType = 'Q4' ; [Jnode,Jelem] = meshRectangularRegion( pt1, pt2, pt3, pt4,3,3,elemType); [w,q]=quadrature(8,'GAUSS',2); W = []; Q = []; J = []; for e = : size(Jelem,1) sctr = Jelem(e,:); 103 for i = 1:size(w,1) pt=q(i,:); wt=w(i); [N,dNdxi]=lagrange_basis('Q4',pt); J0 = Jnode(sctr,:)'*dNdxi; Q = [Q; N' * Jnode(sctr,:)]; W = [W; wt]; J = [J; det(J0)]; end end clear w,q ; figure hold on cr = plot(xCr(:,1),xCr(:,2),'r-'); set(cr,'LineWidth',3) plot_mesh(Jnode,Jelem,elemType,'b-'); plot(Q(:,1),Q(:,2),'r*'); axis off J1 = 0; J2 = 0; J = [zeros(2,1)]; for q = 1:size(W,1) pt = Q(q,:); wt = W(q); detJ = J(q); 104 [index] = define_support(node,pt,di); nn = length(index); [sctrB,snode,tnode] = assembly(index,split_nodes,tip_nodes,pos); B = Bmatrix(pt,index,node,di,form, snode,tnode,xCr,xTip,alpha); leB = size(B,2); idx = ; stdU = zeros(2*nn,1); for in = : nn idx = idx + 1; nodeI = index(in) ; stdU(2*idx-1) = u(2*nodeI-1); stdU(2*idx) = u(2*nodeI ); end A = []; num_split_node = size(find(snode ~= 0),2); num_tip_node = size(find(tnode ~= 0),2); if (num_split_node == 0) && (num_tip_node == 0) U = stdU ; else for in = : nn nodeI = index(in) ; if (snode(in) ~= 0) % H(x) enriched node 105 AA = [u(2*pos(nodeI)-1);u(2*pos(nodeI))]; A = [A;AA]; elseif (tnode(in) ~= 0) % B(x) enriched node AA = [u(2*pos(nodeI)-1); u(2*pos(nodeI)); u(2*(pos(nodeI)+1)-1); u(2*(pos(nodeI)+1)); u(2*(pos(nodeI)+2)-1); u(2*(pos(nodeI)+2)); u(2*(pos(nodeI)+3)-1); u(2*(pos(nodeI)+3))]; A = [A;AA]; end end end U = [stdU;A]; H(1,1) = B(1,1:2:leB)*U(1:2:leB); % u,x H(1,2) = B(2,2:2:leB)*U(1:2:leB); % u,y H(2,1) = B(1,1:2:leB)*U(2:2:leB); % v,x H(2,2) = B(2,2:2:leB)*U(2:2:leB); gradq(1) = -(1-2*abs(pt(2)-xTip(2))/c)*(2/c)*sign(pt(1)-xTip(1)); gradq(2) = -(1-2*abs(pt(1)-xTip(1))/c)*(2/c)*sign(pt(2)-xTip(2)); epsilon = B*U ; 106 sigma = C*epsilon; voit2ind = [1 3;3 2]; gradqloc = QT*gradq'; graddisploc = QT*H*QT'; stressloc = QT*sigma(voit2ind)*QT'; ## Tinh toan truong bo tro (Aux field)## xp = QT*(pt-xTip)'; r = sqrt(xp(1)*xp(1)+xp(2)*xp(2)); theta = atan2(xp(2),xp(1)); K1 = 1.0 ; K2 = K1 ; mu = E/(2.+ nu + nu); kappa = 3-4*nu; SQR = sqrt(r); CT = cos(theta); ST = sin(theta); CT2 = cos(theta/2); ST2 = sin(theta/2); C3T2 = cos(3*theta/2); S3T2 = sin(3*theta/2); drdx = CT; 107 drdy = ST; dtdx = -ST/r; dtdy = CT/r; FACStress1 = sqrt(1/(2*pi)); FACStress2 = FACStress1; FACDisp1 = sqrt(1/(2*pi))/(2*mu); FACDisp2 = FACDisp1; AuxStress = zeros(2,2); AuxGradDisp = zeros(2,2); AuxEps = zeros(2,2); for mode = 1:2 if (mode == 1) AuxStress(1,1) = K1*FACStress1/SQR*CT2*(1-ST2*S3T2); AuxStress(2,2) = K1*FACStress1/SQR*CT2*(1+ST2*S3T2); AuxStress(1,2) = K1*FACStress1/SQR*ST2*CT2*C3T2; AuxStress(2,1) = AuxStress(1,2); u1 = K1*FACDisp1*SQR*CT2*(kappa - CT); du1dr = K1*FACDisp1*0.5/SQR*CT2*(kappa - CT); du1dt = K1*FACDisp1*SQR*(-0.5*ST2*(kappa - CT) + CT2*ST); u2 = K1*FACDisp1*SQR*ST2*(kappa - CT); 108 du2dr = K1*FACDisp1*0.5/SQR*ST2*(kappa - CT); du2dt = K1*FACDisp1*SQR*(0.5*CT2*(kappa - CT) + ST2*ST); AuxGradDisp(1,1) = du1dr*drdx + du1dt*dtdx; AuxGradDisp(1,2) = du1dr*drdy + du1dt*dtdy; AuxGradDisp(2,1) = du2dr*drdx + du2dt*dtdx; AuxGradDisp(2,2) = du2dr*drdy + du2dt*dtdy; AuxEps(1,1) = AuxGradDisp(1,1); AuxEps(2,1) = 0.5*(AuxGradDisp(2,1) + AuxGradDisp(1,2)); AuxEps(1,2) = AuxEps(2,1); AuxEps(2,2) = AuxGradDisp(2,2); elseif (mode == 2) AuxStress(1,1) = -K2*FACStress2/SQR*ST2*(2-CT2*C3T2); AuxStress(2,2) = K2*FACStress2/SQR*ST2*CT2*C3T2; AuxStress(1,2) = K2*FACStress2/SQR*CT2*(1-ST2*S3T2); AuxStress(2,1) = AuxStress(1,2); u1 = K2*FACDisp2*SQR*ST2*(kappa + + CT); du1dr = K2*FACDisp2*0.5/SQR*ST2*(kappa + + CT); du1dt = K2*FACDisp2*SQR*(0.5*CT2*(kappa + + CT) ST2*ST); u2 = -K2*FACDisp2*SQR*CT2*(kappa - + CT); du2dr = -K2*FACDisp2*0.5*(1/SQR)*CT2*(kappa - + CT); du2dt = -K2*FACDisp2*SQR*(-0.5*ST2*(kappa - + CT) CT2*ST); 109 AuxGradDisp(1,1) = du1dr*drdx + du1dt*dtdx; AuxGradDisp(1,2) = du1dr*drdy + du1dt*dtdy; AuxGradDisp(2,1) = du2dr*drdx + du2dt*dtdx; AuxGradDisp(2,2) = du2dr*drdy + du2dt*dtdy; AuxEps(1,1) = AuxGradDisp(1,1); AuxEps(2,1) = 0.5*(AuxGradDisp(2,1) + AuxGradDisp(1,2)); AuxEps(1,2) = AuxEps(2,1); AuxEps(2,2) = AuxGradDisp(2,2); end J1= (stressloc(1,1) * AuxGradDisp(1,1) + stressloc(2,1) *AuxGradDisp(2,1) ) * gradqloc(1) + (stressloc(1,2) * AuxGradDisp(1,1) + stressloc(2,2) + AuxStress(2,1) *AuxGradDisp(2,1) ) * gradqloc(2); J2= (AuxStress(1,1) * graddisploc(1,1) *graddisploc(2,1) ) * gradqloc(1) + (AuxStress(2,1) * graddisploc(1,1) + AuxStress(2,2) raddisploc(2,1) ) * gradqloc(2); StrainEnergy = 0; for i=1:2 for j=1:2 StrainEnergy= StrainEnergy + stressloc(i,j)*AuxEps(i,j); end 110 * end J(mode,1) = J(mode,1) + (J1 + J2 - StrainEnergy*gradqloc(1))*detJ*wt; end end Hàm tạo nút Function X=square_node (pt1,pt2,pt3,pt4,numnod_u,numnod_v,uratio,vratio) if ( nargin == ) uratio=1; vratio=1; elseif ( nargin == ) vratio=1; end if ( uratio == ) xi_pts=linspace(-1,1,numnod_u); elseif ( uratio > ) ru=uratio^(1/(numnod_u-2)); xi_pts(1)=0; d=1; for i=2:numnod_u xi_pts(i)=xi_pts(i-1)+d; d=d/ru; end xi_pts=2*xi_pts/xi_pts(numnod_u)-1; else disp('uratio must be greator than 0'); xi_pts=linspace(-1,1,numnod_u); 111 end if ( vratio == ) eta_pts=linspace(-1,1,numnod_v); elseif ( vratio > ) rv=vratio^(1/(numnod_v-2)); eta_pts(1)=0; d=1; for i=2:numnod_v eta_pts(i)=eta_pts(i-1)+d; d=d/rv; end eta_pts=2*eta_pts/eta_pts(numnod_v)-1; else disp('vratio must be greator than 0'); eta_pts=linspace(-1,1,numnod_v); end x_pts=[pt1(1),pt2(1),pt3(1),pt4(1)]; y_pts=[pt1(2),pt2(2),pt3(2),pt4(2)]; for r=1:numnod_v eta=eta_pts(r); for c=1:numnod_u xi=xi_pts(c); N=lagrange_basis('Q4',[xi,eta]); N=N(:,1); X((r-1)*numnod_u+c,:)=[x_pts*N,y_pts*N]; 112 end end Hàm dạng function [phi,dphidx,dphidy] = MLS_ShapeFunction(pt,index,node,di,form) A = zeros(3,3) ; dAdx = zeros(3,3) ; dAdy = zeros(3,3) ; for m = : size(index,2) xi = [node(index(m),1) node(index(m),2)] ; [wi,dwidx,dwidy] = circle_spline(pt,xi,di(index(m)),form); pTp = [1 xi(1,1) xi(1,2)]'*[1 xi(1,1) xi(1,2)] ; A = A + wi*pTp ; dAdx = dAdx + dwidx*pTp ; dAdy = dAdy + dwidy*pTp ; w(m) = wi ; dwdx(m) = dwidx ; dwdy(m) = dwidy ; end clear wi; clear dwidx; clear dwidy ; clear xi; p = [1; pt(1,1); pt(1,2)]; [L,U,PERM] = lu(A) ; for i = : if i == C = PERM*p; elseif i == C = PERM*([0 0]' - dAdx*c(1:3,1)); elseif i == C = PERM*([0 1]' - dAdy*c(1:3,1)); end D1 = C(1); D2 = C(2) - L(2,1)*D1; D3 = C(3) - L(3,1)*D1 - L(3,2)*D2 ; 113 c(3,i) = D3/U(3,3) ; c(2,i) = (D2 - U(2,3)*c(3,i))/(U(2,2)); c(1,i) = (D1 - U(1,2)*c(2,i) - U(1,3)*c(3,i))/(U(1,1)); end for m = : size(index,2) xi = [node(index(m),1) node(index(m),2)] ; piT = [1 xi(1,1) xi(1,2)]'; phi(m) = c(:,1)'* piT*w(m) ; dphidx(m) = c(:,2)'*piT*w(m) + c(:,1)'*piT*dwdx(m) ; dphidy(m) = c(:,3)'*piT*w(m) + c(:,1)'*piT*dwdy(m); end Hàm tính ma trận B function B = Bmatrix(pt,index,node,di,form,snode,tnode,xCr,xTip,alpha) [phi,dphidx,dphidy] = MLS_ShapeFunction(pt,index,node,di,form); le = length(index); StdB = zeros(3,2*le); StdB(1,1:2:2*le) = dphidx ; StdB(2,2:2:2*le) = dphidy ; StdB(3,1:2:2*le) = dphidy ; StdB(3,2:2:2*le) = dphidx ; num_split_node = size(find(snode ~= 0),2); num_tip_node = size(find(tnode ~= 0),2); QT = [cos(alpha) sin(alpha); -sin(alpha) cos(alpha)]; if (num_split_node == 0) && (num_tip_node == 0) B = StdB; Benr = []; for m = : le if (snode(m) ~= 0) dist = signed_distance(xCr,pt); 114 [H,dHdx,dHdy] = heaviside(dist); BI_enr = [dphidx(m)*H ; dphidy(m)*H; dphidy(m)*H dphidx(m)*H]; Benr = [Benr BI_enr]; clear BI_enr ; elseif (tnode(m) ~= 0) % compute branch functions xp = QT*(pt-xTip)'; [theta,r] = cart2pol(xp(1),xp(2)); [Br,dBdx,dBdy] = branch(r,theta,alpha); aa = dphidx(m)*Br(1) + phi(m)*dBdx(1) ; bb = dphidy(m)*Br(1) + phi(m)*dBdy(1); B1_enr = [aa ; bb ; bb aa]; aa = dphidx(m)*Br(2) + phi(m)*dBdx(2) ; bb = dphidy(m)*Br(2) + phi(m)*dBdy(2); B2_enr = [aa ; bb ; bb aa]; aa = dphidx(m)*Br(3) + phi(m)*dBdx(3) ; bb = dphidy(m)*Br(3) + phi(m)*dBdy(3); B3_enr = [aa ; bb ; bb aa]; aa = dphidx(m)*Br(4) + phi(m)*dBdx(4) ; bb = dphidy(m)*Br(4) + phi(m)*dBdy(4); B4_enr = [aa ; bb ; bb aa]; BI_enr = [B1_enr B2_enr B3_enr B4_enr]; clear B1_enr; clear B2_enr; clear B3_enr; clear B4_enr; Benr = [Benr BI_enr]; clear BI_enr ; end end B = [StdB Benr]; clear StdB; clear Benr; end 115 PHẦN LÝ LỊCH TRÍCH NGANG Họ tên: Nguyễn Thái Hiền Ngày tháng năm sinh: 04/05/1981 Nơi sinh: Vĩnh Long Địa liên lạc: Phịng 4.6, chung cư Phước Bình, phương Phước Bình, quận 9, Tp HCM QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO - 2004 – 2009: Học đại học trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG Tp HCM, chuyên ngành Cơ Kỹ Thuật - 2009 – 2013: Học cao học trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG Tp HCM, chuyên ngành Cơ học Kỹ thuật Q TRÌNH CƠNG TÁC - 2009 – 2013: Công tác môn Cơ kỹ thuật, khoa Khoa học Ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG Tp HCM ... tài ? ?Mô ứng xử đỉnh vết nứt phương pháp không lưới Element Free Galerkin? ?? đời nhằm đáp ứng phần yêu cầu 1.2 Ý nghĩa khoa học đề tài Đề tài ứng dụng phương pháp số - phương pháp không lưới Element. .. ĐỀ TÀI: MÔ PHỎNG ỨNG XỬ ĐỈNH VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI ELEMENT FREE GALERKIN 2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: - Tìm hiểu lý thuyết học nứt đàn hồi tuyến tính đàn dẻo - Tìm hiểu phương pháp số... theo phương y phương pháp giải tích phương pháp EFG số nút gần đỉnh vết nứt 76 Bảng 5.6 Kết so sánh ứng suất theo phương y phương pháp giải tích phương pháp EFG số nút gần đỉnh vết nứt