Phân tích hưởng ứng suất và biến dạng tại đáy vết nứt bằng phương pháp element free galerkin (EFG)

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN TẤN TẠI PHÂN TÍCH TRƯỜNG ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG TẠI ĐÁY VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP ELEMENT FREE GALERKIN Chuyên ngành : Công nghệ chế tạo máy Mã số : 60.52.04 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT Đà Nẵng - Năm 2011 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Xuân Hùng Phản biện 1: PGS.TS. Trần Xuân Tùy Phản biện 2: PGS.TS. Phạm Phú Lý Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn thạc sĩ kỹ thuật họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng 8 năm 2011. * Có t`hể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - H ọc liệu, Đại học Đà Nẵng - Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng 3 MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phân tích sự hư hại do sự phát triển và lan truyền của vết nứt là một trong những bài tốn cần thiết để đảm bảo độ tin cậy của các kết cấu dưới tác động của tải có chu kì. Vết nứt như là kết quả của những hạn chế về cơng nghệ trong q trình chế tạo. Sự phát triển của vết nứt được mơ hình bằng sự mở rộng liên tục của vết nứt. Điều kiện để vết nứt phát triển được dựa vào tiêu chuẩn hệ số cường độ ứng suất. Hệ số cường độ ứng suất có được từ sự phân tích ứng suất. Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là khơng phù hợp để phân tích bài tốn phát triển vết nứt vì chi phí tính tốn để chỉnh lý lưới sau mỗi lần mở rộng vết nứt là khá lớn. Để khắc phục khó khăn này, các nhà khoa học đã tìm ra phương pháp để giải bài tốn phát triển vết nứt một cách hiệu quả, đó là các phương pháp khơng lưới. Đây là các phương pháp rất tốt để giải các bài toán trò biên mà đặc biệt là các bài toán biến dạng lớn, bài toán nứt. Đặc điểm của phương pháp này là chỉ yêu cầu một hệ các điểm nút cùng với các miền ảnh hưởng (miền con) của nó để xây dựng lời giải xấp xỉ mà không cần có sự ràng buộc hay liên hệ giữa các nút. Vì vậy việc thêm hay bớt các nút trong vùng quan tâm được thực hiện dễ dàng. Vào năm 1994, Belytschko, Lu và Gu đã phát triển một phương pháp khơng lưới mới và được gọi là phương pháp phần tử tự do Galerkin (Element Free Galerkin (EFG) method). Phương pháp EFG tỏ ra hiệu quả khi xử lý các bài toán cơ học vật rắn nứt, bài toán biến dạng lớn. 4 Vì những lý do trên với mong muốn đóng góp vào việc xây dựng và phát triển lĩnh vực nghiên cứu các phương pháp Meshlees ở Việt Nam, Vì vậy tác giả thực hiện đề tài “ Phân tích trường ứng suất và biến dạng tại đáy vết nứt bằng phương pháp EFG (Element Free Galerkin)”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của phương pháp EFG, xây dựng dạng yếu cho bài tốn cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính bằng phương pháp EFG. Ứng dụng phương pháp này để phân tích trường ứng suất, biến dạng của tấm có vết nứt. Các bài tốn sẽ được phân tích bao gồm: • Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chòu kéo đơn trục. • Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chòu tải trọng ngang. Phân tích với các thơng số khác nhau để có được lời giải tin cậy và hiệu quả. Đánh giá kết quả của lời giải EFG với lời giải giải tích và đề xuất các biện pháp để nâng cao tính chính xác và tốc độ hội tụ của phương pháp. Xây dựng thuật tốn, viết chương trình phân tích và mơ phỏng trường ứng suất, biến dạng, tính hệ số cường độ ứng suất bằng ngơn ngữ lập trình Matlab. 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Xây dựng lời giải xấp xỉ cho bài tốn cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính bằng phương pháp EFG. Trên cơ sở lời giải xấp xỉ tiến hành xây dựng giải thuật và viết chương trình phân tích và mơ phỏng tr ường ứng suất, biến dạng, xác định hệ số cường độ ứng suất của bài tốn tấm có vết nứt bằng ngơn ngữ. 5 Để ñạt ñược mục tiêu ñặt ra cần giải quyết các nhiệm vụ cơ bản sau: - Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của cơ học phá hủy ñể xây dựng phương trình vi phân mô tả bài toán tấm có vết nứt cùng với các ñiều kiện biên. - Tìm hiểu và ứng dụng phương pháp EFG ñể phân tích trường ứng suất, biến dạng, hệ số cường ñộ ứng suất bài toán tấm có vết nứt. - Xây dựng thuật toán và viết chương trình phân tích và mô phỏng trường ứng suất, biến dạng và xác ñịnh hệ số cường ñộ ứng suất bằng ngôn ngữ lập trình Matlab. - So sánh lời giải của phương pháp EFG so với lời giải giải tích. Đánh giá hiệu quả của phương pháp EFG và ñề xuất các biện pháp ñể nâng cao tính chính xác và tốc ñộ hội tụ của phương pháp. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu ứng dụng. - Phương pháp thu thập tài liệu. 5. Ý NGHĨA KHOA HỌC CỦA LUẬN VĂN Phân tích sự hư hại do sự phát triển và lan truyền của vết nứt là một trong những bài toán cần thiết ñể ñảm bảo ñộ tin cậy của các kết cấu dưới tác ñộng của tải có chu kì. Điều kiện ñể vết nứt phát triển ñược dựa vào tiêu chuẩn hệ số cường ñộ ứng suất. Hệ số cường ñộ ứng suất có ñược từ sự phân tích ứng suất. Phân tích ứng suất, biến dạng và xác ñịnh hệ số cường ñộ ứng su ất của tấm có vết nứt là cơ sở quan trọng ñể ñánh giá khả năng làm việc của chi tiết. Làm cơ sở ñể phân tích sự lan truyền và phát triển của vết nứt. 6 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Ngồi phần mở đầu, luận văn bao gồm 4 chương: Chương 1: Trình bày cơ sở lý thuyết của cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính, tích phân J , dạng miền của tích phân J , hệ số cường độ ứng suất. Chương 2: Trình bày các khái niệm và cơ sở lý thuyết của phương pháp EFG và ứng dụng phương pháp EFG xây dựng lời giải xấp xỉ cho bài toán cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính, các phương pháp làm giàu cho phương pháp EFG. Chương 3: Trong chương này tác giả ứng dụng phương pháp EFG để phân tích trường ứng suất, biến dạng của các bài toán dưới đây bằng phương pháp EFG: - Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chòu kéo đơn trục. - Tấm vô hạn có vết nứt cạnh chòu tải trọng ngang. Các kết quả có được từ phương pháp EFG sẽ được so sánh với lời giải giải tích đã có. Tất cả các bài toán này đều được khảo sát trong miền đàn hồi. Ngôn ngữ lập trình Matlab được sử dụng để viết chương trình khảo sát các bài toán này. Trong mỗi bài toán sẽ được khảo sát với các số lượng nút phân bố, bán kính miền ảnh hưởng, hàm trọng số và số lượng điểm Gauss khác nhau. Chương 4: Kết luận cho luận văn, bao gồm phần đánh giá sai số, tốc độ hội tụ của phương pháp và đề xuất các biện pháp nhằm nâng cao tính chính xác và tốc độ hội tụ của phương pháp EFG. Cuối cùng là hướng phát triển tiếp theo của luận văn. 7 CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT CƠ HỌC PHÁ HỦY ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 1.1 . GIỚI THIỆU Trong chương này tác giả tập trung vào các vấn đề sau: • Xem xét cơ sở của cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính, các tiêu chuẩn của cơ học phá hủy và các phương pháp phân tích chúng. • Đònh nghóa bài toán giá trò biên của vật thể có vết nứt cho trường hợp ứng xử của vật liệu là đàn hồi tuyến tính. • Nghiên cứu phương pháp EFG cho bài toán đàn hồi tuyến tính của vết nứt đơn. • Đánh giá độ tin cậy, hiệu quả và độ chính xác của lời giải phương pháp EFG so với lời giải giải tích. • Mở rộng ứng dụng bài toán EFG cho các bài toán phức tạp như bài toán nhiều vết nứt. 1.2. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC TIÊU CHUẨN CỦA CƠ HỌC PHÁ HỦY ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 1.2.1. Bài toán giá trò biên y Hình 1.1. Bài toán phẳng và phân tố trên biên tự nhiên x σ y σ yx τ xy τ Y n X α β x dy dx ds O )a )b t Γ u Γ Phân tố 8 1.2.2. Tiêu chuẩn năng lượng 1.2.3. Hệ số cường độ ứng suất Irwin [3] đã phân tích mối liên hệ giữa năng lượng tới hạn và sự phân bố ứng suất gần đỉnh vết nứt và đã đưa ra khái niệm hệ số cường độ ứng suất. Hệ số cường độ ứng suất biểu thò mức độ tập trung ứng suất tại vùng gần đỉnh vết nứt. 1.2.4. Mối quan hệ giữa suất giải phóng năng lượng và hệ số cường độ ứng suất 1.2.5. Tích phân J Sự phát triển đồng thời phương pháp tích phân J vào những năm 1960 bởi Rice [5] ở Mỹ và Cherepanov [6] ở Liên xô đã đưa ra một tiêu chuẩn mới cho cơ học phá hủy. Tiêu chuẩn này có thể áp dụng cho cả bài toán đàn hồi tuyến tính và cho cả bài toán đàn dẻo. Tiêu chuẩn này chỉ ra rằng, tích phân J bằng với suất giải phóng năng lượng phi tuyến và đặc trưng cho trường ứng suất và biến dạng tại đáy vết nứt. Hiện nay, tích phân J là một trong những đặc trưng quan trọng nhất trong cơ học phá hủy. Nếu sự chảy dẻo xảy ra trong giới hạn nhỏ (độ lớn của vùng chảy dẻo tại đỉnh vết nứt nhỏ), các hệ số K và G hoàn toàn có thể mô tả trạng thái ứng suất và biến dạng gần đỉnh vết nứt. Tuy nhiên, đối với những vật liệu có độ bền cao mà vùng chảy dẻo tại đỉnh vết nứt lớn thì các hệ số K và G không còn chính xác trong việc mô tả sự ứng xử đàn dẻo của loại vật liệu này. Để xác đònh được đại lượng năng lượng sao cho mô tả chính xác ứng xử đàn dẻo của vật liệu có độ bền cao, cần phải sử dụng tích phân J . 1.2.6. Tính toán tích phân J và hệ số cường độ ứng suất 9 Các phương pháp: suất giải phóng năng lượng biến dạng, ngoại suy chuyển vò, mở rộng vết nứt ảo, tích phân J và một số phương pháp khác đã được phát triển để tính toán hệ số cường độ ứng suất và giá trò tích phân J . Thông thường có hai dạng chính, dạng trực tiếp và dạng gián tiếp. Phương pháp trực tiếp xác đònh hệ số cường độ ứng suất từ trường ứng suất và biến dạng trong khi đó phương pháp gián tiếp là năng lượng dựa vào và được thiết lập từ tích phân J và suất giải phóng năng lượng. Trong đề tài này tác giả sử dụng phương pháp tích phân J để tính toán hệ số cường độ ứng suất và giá trò tích phân J . 1.2.7. Dạng miền của tích phân J Có một số khó khăn phát sinh khi tính tích phân J bằng phương pháp số. Do sự biến động và mất liên tục của trường ứng suất và biến dạng tại đáy vết nứt làm sinh ra sai số đáng kể trong việc tính toán tích phân J tại những vùng quanh vết nứt. Vì vậy để cải thiện việc tính toán tích phân J , dạng miền của tích phân J phải được chọn hợp lý. CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP EFG CHO BÀI TOÁN CƠ HỌC PHÁ HỦY ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 2.1. GIỚI THIỆU Trong phần mở đầu chúng ta đã bàn luận về những thuận lợi và những khó khăn của phương pháp EFG khi giải các bài toán cơ học rạn nứt. Trong chương này tác giả trình bày các khái niệm và cơ sở lý thuyết của phương pháp EFG và ứng dụng phương pháp 10 EFG xây dựng lời giải xấp xó cho bài toán cơ học rạn nứt đàn hồi tuyến tính. 2.2. XẤP XĨ KHÔNG LƯỚI BỞI PHƯƠNG PHÁP EFG Phương pháp EFG là một trong những phương pháp không lưới. Trong các phương pháp không lưới, miền bài toán được mô tả bởi một bộ các nút. Sự đóng góp của mỗi nút trong phép xấp xó EFG được đònh nghóa bởi hàm trọng số của miền xác đònh của mỗi nút. Miền xác đònh này được gọi là miền ảnh hưởng của mỗi nút. Hàm trọng số được đònh nghóa sao cho miền xác đònh của các nút phủ đầy trên toàn miền khảo sát. Phương pháp EFG dựa trên phép xấp xó bình phương tối thiểu động [15]. Theo phương pháp này, xấp xó ( ) h u x của hàm ( ) u x (hình 2.2) tại bất kì điểm N ∈ℜx trong miền N Ω ⊆ ℜ , ở đây 1N = hoặc 2 hoặc 3 và có dạng như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 k h T i i i u p a p a = = = ∑ x x x x x đây: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 . T k p p p p=     x x x x là một cơ sở bậc k , ( ) i p x là hàm cơ sở và ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 . k a a a a=     x x x x là một véctơ các hệ số chưa biết phụ thuộc vào tọa độ x . I x Ω Hình 2.1. Miền ảnh hưởng của các nút phủ kín trên toàn miền bài toán .