Bài giảng Cơ học vật liệu - Chương 2: Ứng suất và biến dạng tải trọng dọc trục

Định luật Húc tổng quát • Xét phân tố của vật thể chịu nhiều tải trọng vuông góc, các thành phần biến dạng dài do ứng suất pháp gây ra có thể được xác định theo nguyên lý độc lập cộng tá[r]

2 Ứng suất và Biến dạng – Tải trọng dọc trục Nội dung Ứng suất & Biến dạng: Tải trọng dọc trục Biến dạng dọc Thí nghiệm Ứng suất-Biến dạng Đồ thị Ứng suất-Biến dạng: Vật liệu dẻo Đồ thị Ứng suất-Biến dạng: Vật liệu dòn Định luật Hooke: Mô đun đàn hồi Ứng xử đàn hồi và dẻo Mỏi Biến dạng kéo nén Ví dụ 2.01 Bài tập ví dụ 2.1 Bài toán siêu tĩnh Ví dụ 2.04 Ứng suất nhiệt Hệ số Poisson Định luật Hooke tổng quát Sự giãn nở: Mô đun đàn hồi khối Biến dạng trượt Ví dụ 2.10 Mối liên hệ E, n, và G Bài tập ví dụ 2.5 Vật liệu Composite Nguyên lý Saint-Venant Tập trung ứng suất: Lỗ Tập trung ứng suất: Góc lượn Ví dụ 2.12 Vật liệu đàn dẻo Biến dạng dẻo Ứng suất dư Ví dụ 2.14, 2.15 và 2.16 2-2 Ứng suất & Biến dạng: Tải trọng dọc trục • Việc thiết kế máy kết cấu cần phải quan tâm đến biến dạng và ứng suất sinh chúng chịu tác dụng tải trọng Vấn đề này chưa quan tâm các bài toán tĩnh học • Coi các kết cấu là các vật rắn biến dạng cho phép xác định các lực và phản lực các bài toán siêu tĩnh • Để xác định phân bố ứng suất phận kết cấu thì phải quan tâm đến các biến dạng nó • Chương này đề cập đến biến dạng phận kết cấu chịu tác dụng tải trọng dọc trục Những chương giải các bài toán xoắn và uốn túy 2-3 Biến dạng dọc Hình 2.1 Thanh chịu kéo P  Ứng suất A     Biến dạng L    2P P  2A A  L P A 2    2L L  2-4 Thí nghiệm xác định quan hệ Ứng suất-Biến dạng Hình 2.2 Máy thí nghiệm kéo Hình 2.3 Mẫu thí nghiệm kéo 2-5 Đồ thị Ứng suất-Biến dạng: Vật liệu dẻo (a) Thép các-bon thấp (b) Hợp kim nhôm Hình 2.4 Đồ thị ứng suất-biến dạng vật liệu dẻo điển hình 2-6 Đồ thị Ứng suất-Biến dạng: Vật liệu dòn Hình 2.5 Đồ thị ứng suất-biến dạng vật liệu dòn điển hình 2-7 Định luật Hooke (Húc): Mô đun đàn hồi • Giai đoạn đàn hồi (phía ứng suất chảy)   E E = Mô đun đàn hồi • Độ bền bị ảnh hưởng việc hợp kim hóa, xử lí nhiệt, quá trình sản xuất độ cứng (Mô đun đàn hồi) thì không Hình 2.6 Đồ thị ứng suất-biến dạng sắt và các loại thép khác 2-8 Ứng xử Đàn hồi và Dẻo • Nếu biến dạng biến thôi tác dụng lực, thì ta nói vật liệu làm việc miền đàn hồi • Giá trị ứng suất lớn tương ứng với giai đoạn đàn hồi gọi là giới hạn đàn hồi Hình 2.7 Quan hệ ứng suất-biến dạng vật liệu dẻo chịu tải vượt quá giới hạn chảy sau đó nhả tải • Nếu biến dạng không trở vị trí ban đầu sau thôi tác dụng lực, thì ta nói vật liệu làm việc miền dẻo 2-9 Mỏi • Đặc tính mỏi vật liệu biểu diễn trên đồ thị Ứng suất-số chu kỳ nghịch đảo • Một chi tiết có thể bị phá hỏng giá trị ứng suất khá thấp so với giới hạn bền nó chịu tải trọng theo chu kỳ Khi đó ta nói chi tiết bị phá hỏng mỏi • Khi ứng suất giảm xuống giới hạn bền mỏi, thì phá hỏng mỏi không xảy với số chu kỳ nào Hình 2.8 Các đường cong -n điển hình - 10 Biến dạng kéo nén • Theo định luật Húc có:   E   E  P AE • Theo định nghĩa biến dạng có:   L • Suy ra:  Hình 2.9 Biến dạng chịu tải trọng dọc trục PL AE • Nếu tải trọng, mặt cắt ngang các thuộc tính vật liệu thay đổi thì, PL   i i i Ai Ei - 11 Ví dụ 2.01 HƯỚNG GIẢI: • Phân đoạn tải trọng cho dựa theo vị trí đặt lực E  29 106 psi D  1.07 in d  0.618 in Xác định biến dạng cho thép chịu lực hình vẽ • Áp dụng điều kiện cân cho đoạn để xác định nội lực • Tính tổng các biến dạng đoạn - 12 LỜI GIẢI: • Chia thành đoạn: • Áp dụng các phương trình cân tĩnh học cho đoạn để xác định các nội lực, P1  60 103 lb P2  15  103 lb P3  30 103 lb • Tính chuyển vị tổng, Pi Li  P1L1 P2 L2 P3 L3       A E E A A A i i i            60 103 12  15 103 12 30 103 16      6 0.9 0.9 0.3 29 10    75.9 103 in L1  L2  12 in L3  16 in A1  A2  0.9 in A3  0.3 in   75.9 103 in - 13 Bài tập ví dụ 2.1 HƯỚNG GIẢI: • Xét cân cho BDE để tìm nội lực các AB và DC • Xác định biến dạng các AB và DC chuyển vị các Thanh tuyệt đối cứng BDE treo điểm B và D AB và CD và chịu tác dụng lực 30 kN hình vẽ • Xét tương quan hình học để tìm chuyển vị E theo các chuyển vị Thanh AB nhôm (E = 70 GPa) và có B và D diện tích mặt cắt ngang là 500 mm2 Thanh CD thép (E = 200 GPa) và có diện tích mặt cắt ngang là 600 mm2 Xác định chuyển vị các điểm B, D, và E - 14 Bài tập ví dụ 2.1 LỜI GIẢI: Vật thể tự do: Thanh BDE Chuyển vị điểm B: B  PL AE   60 103 N 0.3 m   50010-6 m2 70 109 Pa   514 10 m  B  0.514 mm  M B 0    30 kN  0.6 m   FCD  0.2 m FCD  90 kN kÐo M D 0    30 kN  0.4 m   FAB  0.2 m FAB  60 kN nÐn Chuyển vị điểm D: D  PL AE  90 103 N 0.4 m   60010-6 m2 200109 Pa   300 10 m  D  0.300 mm  - 15 Bài tập ví dụ 2.1 Chuyển vị điểm D: BB BH  DD HD 0.514 mm 200 mm   x  0.300 mm x x  73.7 mm EE  HE  DD HD E 0.300 mm  400  73.7 mm 73.7 mm  E  1.928 mm  E  1.928 mm  - 16 Bài toán siêu tĩnh • Các kết cấu chịu lực đó các nội lực và phản lực liên kết không thể xác định từ các phương trình cân tĩnh học đơn gọi là siêu tĩnh • Một kết cấu gọi là siêu tĩnh nó có số liên kết nhiều số liên kết cần thiết để giữ nó cân • Các liên kết thừa thay các phản lực liên kết chưa biết, các phản lực này cùng với các tải trọng phải gây các biến dạng phù hợp • Các biến dạng tải trọng và liên kết thừa gây xác định theo nguyên lý độc lập cộng tác dụng   TT  LK  - 17 Ví dụ 2.04 Xác định các phản lực liên kết A và B cho thép chịu tải hình vẽ, giả thiết không có khe hở các gối trước tác dụng lực HƯỚNG GIẢI: • Coi liên kết B là thừa, giải phóng liên kết đó và giải tìm chuyển vị B tải trọng gây • Tìm chuyển vị B phản lực liên kết thừa đó gây nên • Điều kiện là chuyển vị tải trọng và phản lực liên kết thừa gây phải phù hợp, tức là tổng chuyển vị chúng phải • Xác định phản lực A tải trọng và phản lực đã tìm B - 18 Ví dụ 2.04 LỜI GIẢI: • Xác định chuyển vị B riêng tải trọng gây ra, P1  P2  P3  600 103 N P4  900 103 N A1  A2  400 106 m A3  A4  250 106 m L1  L2  L3  L4  0.150 m PL 1.125  10 TT   i i  E i Ai Ei • Xác định chuyển vị B liên kết thừa gây ra, P1  P2   RB A1  400 106 m A2  250  106 m L1  L2  0.300 m δLK 1.95  10 RB   PL i i   A E E i i i - 19 Ví dụ 2.04 • Lưu ý các chuyển vị tải trọng và liên kết thừa gây phải phù hợp, tức là:   TT   LK  1.125 109 1.95 10  RB   0 E E RB  577 103 N  577 kN • Tìm phản lực A tải trọng và phản lực B gây  Fy   RA  300 kN  600 kN  577 kN RA  323kN R A  323kN RB  577 kN - 20 Ứng suất nhiệt • Nhiệt độ thay đổi gây thay đổi chiều dài biến dạng nhiệt Sẽ không có ứng suất sinh biến dạng nhiệt độ dãn dài không bị khống chế các gối • Coi liên kết gối là thừa và áp dụng nguyên lý độc lập tác dụng PL T    T  L  P  AE   hÖ sè gi·n në nhiÖt • Biến dạng nhiệt và biến dạng liên kết thừa gây phải phù hợp, tức là:   T   P   T L  PL 0 AE   T   P  P   AE  T   P   E T  A - 21 Hệ số Poát-xông (Poisson) • Đối với mảnh chịu tải trọng dọc trục thì: x  x E y z  • Độ giãn dài theo phương x đồng thời kèm theo độ co lại theo các phương khác Giả thiết vật liệu là đẳng hướng thì, y  z  • Khi đó hệ số poát-xông định nghĩa là, y  biÕn d¹ng ngang n   z biÕn d¹ng däc x x - 22 Định luật Húc tổng quát • Xét phân tố vật thể chịu nhiều tải trọng vuông góc, các thành phần biến dạng dài ứng suất pháp gây có thể xác định theo nguyên lý độc lập cộng tác dụng Để thực điều này, cần phải có các giả thuyết: 1) biến dạng tuyến tính với ứng suất 2) các biến dạng là nhỏ • Quan hệ ứng suất – biến dạng:  x n y n z x   E y   z    n x E  E   y n z E n x n y E  E E   E z E - 23 Sự giãn nở: Mô đun khối • Xét phân tố hình hộp, bị biến dạng thì thay đổi thể tích so với ban đầu là: e  1   x  1   y  1   z     1   x   y   z    x   y  z  2n x   y  z   E  giãn nở  thay đổi thể tích trê n đơn vị thể tích   • Đối với phân tố chịu áp lực thủy tĩnh đều, có 1  2n  p  E k E k  m« ®un khèi 1  2n  e  p • Khi chịu áp lực đều, giãn nở phải có giá trị âm, đó  n  12 Biến dạng trượt • Phân tố hình hộp chịu ứng suất tiếp bị biến dạng góc Biến dạng trượt là thay đổi góc các mặt bên và phụ thuộc vào ứng suất tiếp  xy  f  xy  • Biểu đồ quan hệ ứng suất tiếp - biến dạng trượt tương tự biểu đồ ứng suất pháp - biến dạng dài, giới hạn đàn hồi thì gần nửa Với các biến dạng nhỏ, ta có:  xy  G  xy  yz  G  yz  zx  G  zx Trong đó G là mô đun đàn hồi trượt - 25 Ví dụ 2.10 HƯỚNG GIẢI: • Xác định biến dạng góc trung bình biến dạng trượt khối Một khối hộp chữ nhật có mô đun đàn hồi trượt G = 90 ksi ghép với tuyệt đối cứng nằm ngang Tấm bên giữ cố định, bên trên chịu tác dụng lực ngang P Biết sau chịu lực trên di chuyển lượng 0.04 in Hãy xác định: • Áp dụng định luật Húc cho ứng suất tiếp và biến dạng trượt để tìm ứng suất tiếp tương ứng • Sử dụng định nghĩa ứng suất để tìm lực P a) Biến dạng trượt trung bình vật liệu b) Lực P tác dụng lên - 26 • Xác định biến dạng góc trung bình biến dạng trượt khối  xy  tan  xy  0.04 in in  xy  0.020 rad • Áp dụng định luật Húc cho ứng suất và biến dạng trượt để tìm ứng suất tiếp tương ứng    xy  G xy  90 103 psi 0.020 rad   1800psi • Sử dụng định nghĩa ứng suất trượt để xác định lực P P   xy A  1800psi 8 in.2.5 in.  36 103 lb P  36.0 kips - 27 Mối liên hệ E, n, và G • Một chịu kéo dọc trục bị giãn theo phương dọc trục và bị co lại theo phương vuông góc • Một phân tố hình lập phương định hướng hình trên biến dạng thành hình hộp chữ nhật Tải trọng dọc trục gây biến dạng dọc • Nếu phân tố lập phương định hướng hình thì nó biến dạng thành hình thoi Tải trọng dọc trục gây biến dạng trượt • Các thành phần biến dạng dọc và trượt liên hệ với bởi, E  1  n  2G - 28 Bài tập ví dụ 2.5 Vạch đường tròn đường kính d = in lên nhôm có bề dày t = 3/4 in Lực tác dụng lên các mặt gây ứng suất pháp x = 12 ksi và z = 20 ksi Biết E = 10x106 psi và n = 1/3, xác định các thay đổi về: a) độ dài đường kính AB, b) độ dài đường kính CD, c) bề dày tấm, và d) thể tích - 29 LỜI GIẢI: • Áp dụng định luật Húc tổng quát để tìm thành phần biến dạng dọc x    E  E  E  0.533 103 in./in n x  y n z E  E  E  1.067  103 in./in z   B A  n x n y E    z E E  1.600  103 in./in C D    x d   0.533103 in./in 9 in.  x n y n z       12 ksi   20 ksi  10  106 psi  y   • Tính các thành phần biến dạng  B A  4.8 103 in    z d   1.600103 in./in 9 in.  C D  14.4 103 in   t   yt   1.067 103 in./in 0.75in.  t  0.800103 in • Xác định thay đổi thể tích e   x   y   z  1.067 103 in 3/in3 V  eV  1.067 103 15 15  0.75in V  0.187in3 - 30 Vật liệu Composite • Vật liệu composite cốt sợi tạo thành từ lớp mỏng các sợi graphite, thủy tinh, polymer kết hợp lại với chất kết dính • Ứng suất pháp và biến dạng dọc liên hệ với định luật Húc, theo các mô đun đàn hồi các phương tương ứng, Ex   x  ; E y  y ; Ez  z x y z • Các biến dạng ngang liên hệ với các giá trị hệ số poát-xông theo các hướng tương ứng, chẳng hạn như, y  n xy   n xz   z x x • Các vật liệu có các thuộc tính học phụ thuộc hướng gọi là dị hướng - 31 Nguyên lý Saint-Venant • Tải trọng truyền qua các tuyệt đối cứng tạo phân bố ứng suất và biến dạng • Tải trọng tập trung gây ứng suất lớn vùng lân cận điểm đặt lực • Sự phân bố ứng suất và biến dạng các điểm trên mặt cắt dần khoảng cách tương đối gần tính từ vì trí đặt lực   0.973 tb  max  1.027 tb   0.668 tb   0.198 tb  max  1.387 tb  max  2.575 tb • Nguyên lý Saint-Venant: Sự phân bố ứng suất có thể coi không phụ thuộc vào dạng tải trọng tác dụng ngoại trừ vùng lân cận với điểm tác dụng lực - 32 Tập trung ứng suất: Lỗ Các dẹt có lỗ Sự gián đoạn mặt cắt ngang có thể dẫn đến các ứng suất cục lớn các ứng suất tập trung K max  tb - 33 Tập trung ứng suất: Góc lượn Các dẹt có góc lượn - 34 Ví dụ 2.12 HƯỚNG GIẢI: • Xác định các tỉ số hình học và hệ số tập trung ứng suất từ hình 2.64b Xác định tải trọng cho phép tác dụng lên thép dẹt Biết gồm có phần có bề dày 10 mm và có bề rộng là 40 và 60 mm; chỗ nối phần bo tròn với bán kính r = mm; ứng suất cho phép là 165 MPa • Tìm ứng suất trung bình cho phép cách sử dụng ứng suất cho phép vật liệu và hệ số tập trung ứng suất • Áp dụng định nghĩa ứng suất pháp để tìm tải trọng cho phép - 35 • Xác định các tỉ số hình học và tìm hệ số tập trung ứng suất từ hình 2.64b D 60 mm   1.50 d 40 mm r mm   0.20 d 40 mm K  1.82 • Sử dụng ứng suất cho phép vật liệu và hệ số tập trung ứng suất để xác định ứng suất trung bình cho phép tb  Các dẹt có góc lượn max 165 MPa   90.7 MPa K 1.82 • Áp dụng định nghĩa ứng suất pháp để tìm tải trọng cho phép P  Atb   40 mm 10 mm  90.7 MPa   36.3 103 N P  36.3 kN - 36 Vật liệu đàn dẻo (Elastoplastic) • Trong miền đàn hồi thì quan hệ ứng suấtbiến dạng là tuyến tính, tức là ứng suất nhỏ giới hạn chảy với vật liệu dẻo; còn với vật liệu dòn thì có miền đàn hồi vì nó bị phá hỏng mà không có giai đoạn chảy • Nếu ứng suất vật liệu dẻo vượt quá giới hạn chảy, thì biến dạng dẻo xảy • Phân tích các biến dạng dẻo đơn giản hóa giả thiết vật liệu đàn dẻo lí tưởng • Các biến dạng vật liệu đàn dẻo chia thành các miền đàn hồi và dẻo • Các biến dạng vĩnh cửu xảy tải trọng gây ứng suất vượt quá giới hạn chảy - 37 Biến dạng dẻo P  tb A  max A • Biến dạng đàn hồi xảy ứng suất lớn nhỏ giới hạn chảy K PY  Y A K • Ứng suất lớn ứng suất chảy ứng với tải trọng đàn hồi lớn • Với tải trọng lớn tải đàn hồi, vùng biến dạng dẻo phát triển gần lỗ • Khi tải trọng tăng, vùng đàn hồi PU   Y A mở rộng mặt cắt có ứng  K PY suất phân bố và với ứng suất chảy - 38 Ứng suất dư • Khi phần tử chịu tải trọng không đổi vượt quá giới hạn chảy nó và sau đó nhả tải, thì xuất biến dạng dư (không trở 0) mặc dù ứng suất đã trở Đây không phải là kết tổng quát • Ứng suất dư trì kết cấu sau chất tải và dỡ tải - Chỉ phần kết cấu chịu biến dạng dẻo - Các phần khác kết cấu chịu các biến dạng dẻo khác • Ứng suất dư sinh các kết cấu bị nóng lạnh thất thường - 39 Ví dụ 2.14, 2.15, 2.16 Thanh hình trụ đặt bên ống có cùng chiều dài Một đầu và ống ngàm chặt còn đầu gắn với đĩa tuyệt đối cứng Tải trọng tác dụng lên thanh-ống tăng từ đến 5.7 kips và lại giảm a) Vẽ đồ thị quan hệ lực-biến dạng cho tổ hợp thanh-ống Ar  0.075in.2 At  0.100in.2 b) Xác định độ giãn dài lớn Er  30 106 psi Et  15 106 psi σY , r  36 ksi σY ,t  45 ksi c) Xác định biến dạng dư d) Tính toán ứng suất dư ống và - 40 Ví dụ 2.14, 2.15, 2.16 a) Vẽ đồ thị lực-biến dạng cho tổ hợp thanh-ống   PY , r   Y , r Ar  36 ksi  0.075in  2.7 kips δY,r  Y , r L   Y ,r EY , r L  36 103 psi 30 106 psi 30 in  36 10-3 in  PY ,t   Y ,t At  45 ksi  0.100in  4.5 kips δY,t  Y ,t L   Y ,t EY ,t L 45 103 psi 15 106 psi 30 in  90 10-3 in P  Pr  Pt    r  t - 41 b,c) determine the maximum elongation and permanent set Ví dụ 2.14, 2.15, 2.16 • Với tải trọng P = 5.7 kips, thì đã đạt tới miền dẻo ống miền đàn hồi Pr  PY , r  2.7 kips Pt  P  Pr  5.7  2.7  kips  3.0 kips t  Pt 3.0 kips   30 ksi At 0.1in  t  t L  t Et L 30 103 psi 15 106 psi 30 in  max   t  60 103 in • Tổ hợp thanh-ống dỡ tải theo đường song song với 0Yr m 4.5 kips -3 36 10 in     125 kips in  slope Pmax 5.7 kips   45.6 103 in m 125 kips in  p   max     60  45.6 103 in  p  14.4 103 in - 42 Ví dụ 2.14, 2.15, 2.16 • Tính toán ứng suất dư và ống Xác định ứng suất ngược và ống gây việc dỡ tải và cộng chúng vào ứng suất lớn  45.6 103 in     1.52  103 in in L 30 in      t   Et   1.52 103 15 106 psi   22.8 ksi  r   Er   1.52 103 30 106 psi  45.6 ksi  residual , r   r   r  36  45.6  ksi  9.6 ksi  residual ,t   t   t  30  22.8 ksi  7.2 ksi - 43