Đang tải... (xem toàn văn)
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa. Cho hàm số xác định trên tập •Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên nếu: . Kí hiệu: . •Số gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nếu: . Kí hiệu: . 2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp •Bước 1: Tính và tìm các điểm mà tại đó hoặc hàm số không có đạo hàm. •Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn •Bước 1: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn Tìm các điểm trên khoảng , tại đó hoặc không xác định. •Bước 2: Tính •Bước 3: Khi đó: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng •Bước 1: Tính đạo hàm . •Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình và tất cả các điểm làm cho không xác định. •Bước 3. Tính , , , . •Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận , . Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất). Chú ý: • Nếu đồng biến trên thì . •Nếu nghịch biến trên thì •Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. B. VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a. trên . b. trên . c. trên . d. trên . e. trên . f. trên . Lời giải a. trên . Tập xác định: . Ta có: . . Ta có bảng biến thiên của hàm số trên : Nhìn vào bảng biến thiến ta thấy: . b. trên . Tập xác định: . Ta có: . . Ta có bảng biến thiên của hàm số trên : Nhìn vào bảng biến thiến ta thấy: . c. trên . Tập xác định: . . Ta có bảng biến thiên của hàm số trên . Nhìn vào bảng biến thiến ta thấy: . d. trên . Tập xác định: . . Ta có bảng biến thiên của hàm số trên . Nhìn vào bảng biến thiến ta thấy: . e. trên . Tập xác định: . . . Ta có bảng biến thiên của hàm số trên . Nhìn vào bảng biến thiến ta thấy: . f. trên . Tập xác định: . . . Ta có bảng biến thiên của hàm số trên . Nhìn vào bảng biến thiến ta thấy: . Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a. Lời giải Tập xác định . Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tại . b. Lời giải Tập xác định . Bảng biến thiên Như vậy tại và . c. Lời giải Tập xác định Bảng biến thiên Như vậy tại và tại . d. với Lời giải Tập xác định Bảng biến thiên trên khoảng Như vậy tại . e. Lời giải Tập xác định . Đặt ta có Hàm số trở thành với Ta có ; ; Như vậy tại và tại . f. Lời giải Ta có: Do vậy: Phương trình có nghiệm khi Như vậy và Ví dụ 3: Tìm để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn bằng 1. Lời giải Tập xác định . Đạo hàm . Nếu thì với mọi thuộc nên hàm số đồng biến trên khi đó . Theo đề ta có (thỏa mãn điều kiện ). Nếu thì với mọi thuộc nên hàm số nghịch biến trên khi đó . Theo đề ta có (không thỏa mãn điều kiện ) Kết luận là giá trị cần tìm. Ví dụ 4: Tìm để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng Lời giải Tập xác định . Đạo hàm Trường hợp 1: Nếu , (không thỏa). Trường hợp 2: Nếu , . YCBT (thỏa). Trường hợp 3: Nếu , . YCBT (không thỏa). Kết luận: là giá trị cần tìm. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 63. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên lần lượt là A. và . B. 1 và . C. 1 và . D. và . Lời giải Chọn B Hàm số xác định trên . Ta có . . So sánh ta được và . Câu 64. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Hàm số bậc hai có hệ số nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại . Câu 65. Giá trị lớn nhất của hàm số trên bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta có ; ; . So sánh ba giá trị trên ta được . Câu 66. Giá trị lớn nhất của hàm số là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Hàm số xác định trên . Ta có ; . Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là . Câu 67. Với mọi , hàm số có giá trị A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có ; . Suy ra . Câu 68. và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên có tổng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có ; . Suy ra . Câu 69: Giá trị lớn nhất của hàm số là: A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Tập xác định: . Ta có: (1) Nếu . Nếu , thì (1) là phương trình bậc hai ẩn có . Từ đó giá trị lớn nhất . Câu 70: Giá trị lớn nhất của hàm số bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Tập xác định: , . Ta có . Do đó . Câu 71: Với mọi , hàm số có giá trị giá trị là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Tập xác định Ta có Có ; ; . Suy ra . Câu 72: Cho hàm số và các mệnh đề Tìm cầu trả lời đúng: A. và đúng. B. và đúng. C. Chỉ và đúng. D. Cả bốn đều đúng. Lời giải Chọn A Tập xác định . Ta có Giải . Bảng biến thiên: Suy ra , , . và đúng. Câu 73: Hàm số nào sau đây không có giá trị lớn nhất trên A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Xét hàm số . Tập xác định . . . Bảng biến thiên Hàm số không có giá trị lớn nhất trên . Câu 74: Hàm số nào sau đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Xét hàm số . Ta có . Giải . Bảng biến thiên: Suy ra . Câu 75. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A TXĐ: . , . Bảng biến thiên: Dựa vào BBT , suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên là . Câu 76. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị . Tích là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Điều kiện: (luôn đúng). TXĐ: . . Bảng xét dấu: Từ bảng xét dấu suy ra hàm số đạt GTLN tại và . Câu 77. Hàm số trên A. Có giá trị nhỏ nhất bằng . B. Có giá trị lớn nhất bằng . C. Có giá trị lớn nhất bằng . D. Không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Lời giải Chọn C Ta có: , . Bảng biến thiên: Với . Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng . Câu 78. Kết luận nào sau đây là đúng về hàm số ? A. tại . B. tại . C. Không có giá trị nhỏ nhất trên . D. tại . Lời giải Chọn C TXĐ: Ta có: , . Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, suy ra không có giá trị nhỏ nhất trên . Câu 79. Trên khoảng thì hàm số A. Có giá trị nhỏ nhất là . B. Có giá trị lớn nhất là . C. Có giá trị lớn nhất là . D. Có giá trị nhỏ nhất là . Lời giải Chọn C Ta có: , . Bảng biến thiên: Với thì . Dựa vào bảng biến thiên, suy ra tại thì trên khoảng hàm số đạt giá trị lớn nhất . Câu 80. Cho hàm số . Chọn khẳng định đúng. A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. C. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. D. Hàm số có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. Lời giải Chọn B TXĐ: . Ta có: , . Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Câu 81. Kết luận nào sau đây là đúng về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ? A. Có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. B. Có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. C. Không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. D. Có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Lời giải Chọn D Tập xác định của hàm số Hàm số liên tục trên đoạn nên hàm số luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Câu 82. Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn lần lượt là và . Khi đó giá trị của bằng A. . B. . C. D. . Lời giải Chọn B Tập xác định . Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó nên liên tục trên . Do đó . Câu 83. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn (với ) đạt tại giá trị bằng A. . B. . C. D. . Lời giải Chọn A Tập xác định . Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó nên liên tục trên đoạn (với ) Do đó . Câu 84. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số . Khi đó giá trị của là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Tập xác định với Dấu bằng xảy ra khi . với Dấu bằng xảy ra khi . . Câu 85. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng A. B. C. D. Lời giải Chọn D Đặt . Khi đó . Hàm số liên tục trên . Suy ra . Ta có: . Suy ra . Câu 86. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng A. B. C. D. Lời giải Chọn D Đặt . Khi đó . Hàm số liên tục và đồng biến trên nên có giá trị lớn nhất Câu 87. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Vì nên Lại có với thì Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2. Câu 88. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lần lượt là A. và . B. và . C. và . D. và . Lời giải Chọn B Ta có Vì nên có Với có Với có Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là và giá trị nhỏ nhất của hàm số là . Câu 89. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . Khi đó bằng: A. 0. B. . C. . D. 2. Lời giải Chọn A Ta có Vì nên Với có nên có Lại có Với có nên có Vậy Câu 90. Hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét trên tập xác định của hàm số. Hãy chọn khẳng định đúng? A. Không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1. C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0. Lời giải Chọn B Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và không có giá trị nhỏ nhất. Câu 91. Cho hàm số có bảng biến thiên ở hình bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số có 2 cực trị. B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 3, giá trị nhỏ nhất bằng . D. Hàm số có giá trị cực tiểu tại . Lời giải Chọn C Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất Câu 92. Cho hàm số xác định, liên tục trên và có đồ thị hàm số như hình vẽ. Biết rằng . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của trên đoạn lần lượt là: A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . Lời giải Chọn C Từ đồ thị trên đoạn ta thấy và . Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau: Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất của trên đoạn là Lại có hàm số đồn biến trên nên nên: . Vậy nên giá trị lớn nhất của trên đoạn là . Câu 93. Cho hàm số có đạo hàm là hàm . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ. Biết rằng . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của trên đoạn lần lượt là: A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên. Khi đó: , mà . Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của trên đoạn lần lượt là: ; . Câu 94. Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ bên. Biết rằng . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của trên đoạn và Ta có : . Câu 95. Cho hàm số xác định và liên tục, có đồ thị của hàm số như hình bên. Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên: Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của trên đoạn lần lượt là: . Câu 96. Cho hàm số có đồ thị như hình bên. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn A. và . B. và . C. và . D. và . Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta có, hàm số có GTLN và GTNN trên đoạn là 3; –2. Vậy và . Câu 97. Cho hàm số có đồ thị ở hình vẽ bên. Xét hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta có . Vẽ parabol . Ta thấy đi qua các điểm có toạ độ , , . Trên khoảng đồ thị hàm số nằm phía dưới nên . Trên khoảng đồ thị hàm số nằm phía trên nên . Trên khoảng đồ thị hàm số nằm phía dưới nên . Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, ta có . Câu 98. Cho biểu thức , . Giá trị nhỏ nhất của bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta chia tử mẫu cho ta được: Đặt , khi đó Xét Bảng biến thiên Vậy . Câu 99. Cho . Giá trị lớn nhất của biểu thức là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Để tồn tại GTLN của thì phải tồn tại hay hệ phương trình có nghiệm. Ta có: . Đặt Khi đó: . Để tồn tại cặp số . Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức là . Câu 100. Cho hai số thực thỏa mãn . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức lần lượt bằng: A. 20 và 18. B. 20 và 15. C. 18 và 15. D. 15 và 13. Lời giải Chọn B Ta có: nên , do đó . Khi đó, . Xét hàm số: trên . Ta có: . . Do đó, . . Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức lần lượt bằng 20 và 15. Câu 101. Cho hai số thực dương ; thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Đặt với Ta có: . Mặt khác: . Áp dụng BĐT Cauchy Suy ra hay . Xét hàm số với . Ta có: . Cho . Suy ra nên hàm số đồng biến trên . Do đó, Hay khi hoặc . Câu 102. Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn nhất của biểu thức là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Đặt với . Từ giả thiết : với . tồn tại khi . Mặt khác: . Xét hàm số với . Ta có: với . Ta có BBT: Từ đó suy ra: . Vậy GTLN của biểu thức khi . Câu 103. Hàm số có giá trị lớn nhất trên bằng khi A. . B. Không tồn tại . C. . D. . Lời giải Chọn D Tập xác định: . Ta có: . Hàm số nghịch biến trên đoạn . Trên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại . Ta có: . Câu 104. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên bằng khi A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Tập xác định: . Ta có: . Hàm số đồng biến trên đoạn . Trên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại . Ta có: . Câu 105. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên bằng 5 nếu và chỉ nếu A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Tập xác định . Ta có: . Do đó hàm số đã cho đồng biến trên . Khi đó, trên đoạn hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại , đạt giá trị lớn nhất tại . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng 5 nên ta có phương trình: . Câu 106. Tìm để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên bằng 2. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Tập xác định . Ta có: . . Trường hợp 1: . (không thỏa mãn). Trường hợp 2: . (thỏa mãn). Trường hợp 3: . (không thỏa mãn ). Câu 107. Giá trị lớn nhất của hàm số trên bằng 0 khi giá trị của tham số thực bằng A. . B. . C. . D. hoặc . Lời giải Chọn A Ta có: . . Ta có bảng biến thiên: Trên đoạn giá trị lớn nhất của hàm số đạt tại . Theo yêu cầu bài toán: . Câu 108. Tìm để hàm số đạt giá trị lớn nhất tại trên đoạn . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có: . . Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy: . Để hàm số đạt giá trị lớn nhất tại trên đoạn thì . . Câu 109. Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn bằng 1 khi A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B + Ta có: . + Nếu thì hàm số đồng biến trên . Khi đó (thỏa mãn). + Nếu thì hàm số đồng biến trên . Khi đó (không thỏa mãn). Câu 110. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Để phương trình có nghiệm thì và phương trình có nghiệm. Phương trình có . Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi .
§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa y f x Cho hàm số xác định tập D �f ( x) �M , x �D � y f x x �D, f ( x0 ) M Số M gọi giá trị lớn hàm số D nếu: � Kí hiệu: M max f ( x) x�D �f ( x) �m, x �D � x0 �D, f ( x0 ) m � y f x Số m gọi giá trị nhỏ hàm số D nếu: m f ( x) x�D Kí hiệu: Phương pháp tìm GTLN,GTNN Tìm GTLN, GTNN hàm số cách khảo sát trực tiếp f� x tìm điểm x1 , x2 , , xn �D mà f � x hàm số Bước 1: Tính khơng có đạo hàm Bước 2: Lập bảng biến thiên từ suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn Bước 1: Hàm số cho Tìm điểm y f x x1 , x2 , , xn xác định liên tục đoạn khoảng a; b , a; b f� x f� x không xác định f a , f x1 , f x2 , , f xn , f b Bước 2: Tính Bước 3: Khi đó: max f x max f x1 , f x2 , , f xn , f a , f b a ,b f x f x1 , f x2 , , f xn , f a , f b a ,b Tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng ( x) Bước 1: Tính đạo hàm f � Bước 2: Tìm tất nghiệm xi �( a; b) ( x) tất điểm phương trình f � i �(a; b) làm cho f � ( x) không xác định A lim f x B lim f x f ( x ) f ( ) i , i x �a x �b Bước Tính , , M max f ( x) m f ( x ) ( a ;b ) ( a ;b ) Bước So sánh giá trị tính kết luận , Nếu giá trị lớn (nhỏ nhất) A B ta kết luận khơng có giá trị lớn (nhỏ nhất) Chú ý: �min f x f a � a ;b � max f x f b � y f x a; b � Nếu đờng biến a ;b �min f ( x) f b � a ;b � max f ( x ) f a y f x a; b � � a;b Nếu nghịch biến Hàm số liên tục khoảng khơng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng B VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: 1;5 a y x 3x 12 x 3; 2 b y x x 3x y x 0; 2 c d e y x 1 x 0; 4 y x2 x 0; 2 x2 6;8 f y 100 x Lời giải 1;5 a y x 3x 12 x Tập xác định: � x x 12 Ta có: y� x 1 � y� � x x 12 � � x 2 � Ta có bảng biến thiên hàm số 1;5 : � max y y 266 � 1;5 � y y 1 6 � Nhìn vào bảng biến thiến ta thấy: � 1;5 3; 2 b y x x Tập xác định: � x3 x Ta có: y� x0 � y� � x3 x � � x �1 � Ta có bảng biến thiên hàm số 3; 2 : � max y y 3 66 � 3;2 � y y 1 y 1 � Nhìn vào bảng biến thiến ta thấy: � 3;2 3x y x 0; 2 c �\ 3 Tập xác định: 8 y� 0, x ��\ 3 x 3 Ta có bảng biến thiên hàm số 0; 2 � max y y � 0;2 � � y y 5 Nhìn vào bảng biến thiến ta thấy: � 0;2 x 1 y x 0; 4 d �\ 1 Tập xác định: y� 0, x ��\ 1 x 1 Ta có bảng biến thiên hàm số 0; 4 � max y y � 0;4 � � y y 1 Nhìn vào bảng biến thiến ta thấy: � 0;4 x2 x 0; 2 x2 e �\ 2 Tập xác định: x 16 x y� x 2 � x � x 16 x y� 0� 0� � x 2 � x � y 1 7 Ta có bảng biến thiên hàm số 0; 2 37 � max y y � 0;2 � � � y y 0;2 � Nhìn vào bảng biến thiến ta thấy: 6;8 f y 100 x x � 10;10 Tập xác định: x y� 100 x x y� 0� 0� x0 100 x Ta có bảng biến thiên hàm số 6;8 � max y y 10 � 6;8 � y y � Nhìn vào bảng biến thiến ta thấy: � 6;8 Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a y x 3x Lời giải Tập xác định D � y� 12 x 12 x x0 � y� 0� � x 1 � Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt giá trị lớn x b y x x Tập xác định D �; 2 � 1; � Lời giải 2x y� x2 x y� 0� x Bảng biến thiên Như c y f x D x 2 x x 1 x 2x 2 Lời giải Tập xác định D � y� x x2 x 2x 2 x0 � y� 0� � x2 � Bảng biến thiên Như d 1 max f x x D x f x D y x2 x với x Lời giải Tập xác định D �\ 0 x3 x2 x2 y� 0� x y� 2x Bảng biến thiên khoảng Như f x 0;� 3 0; � x 2 e y 2sin x cos x Lời giải Tập xác định D � y 2sin x cos x 2cos x cos x t � 1;1 Đặt t cos x ta có Hàm số trở thành f t 2t t với t � 1;1 f� t 4t f� t � t � � 25 f� � Ta có ; ; � 4� y f t 1;1 Như � t � x k 2 f 1 f f 1 max y max f t � y 1;1 �1 � 25 t � x �arccos � � k 2 �4 � 2sin x sin x cos x Lời giải Ta có: sin x cos x 0, x Do vậy: 2sin x sin x cos x y � y sin x y cos x y 2sin x � y sin x y cos x y Phương trình có nghiệm y y � y 2 � y y �9 12 y y � 2 y y �0 � ۣ 4 y 4 4 4 max y � 2 Như 2x m y x đạt giá trị lớn đoạn 0;1 Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y � Lời giải Tập xác định y� Đạo hàm D �\ 1 2m x 1 với x thuộc 0;1 nên hàm số đồng biến 0;1 Nếu m � m 2 y � max f x f 1 0;1 Theo đề ta có 2m max f x 0;1 2m 1 � m (thỏa mãn điều kiện m 2 ) � với x thuộc 0;1 nên hàm số nghịch biến 0;1 Nếu m � m 2 y � max f x f m 0;1 max f x � m � m 1 (không thỏa mãn điều kiện m 2 ) Theo đề ta có 0;1 Kết luận m giá trị cần tìm 0;3 Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y x 3mx đạt giá trị nhỏ đoạn Lời giải Tập xác định D � Đạo hàm y� x 6mx x x 2m x0 � y� 0� � x 2m � Trường hợp 1: Nếu m �0 , y y 0;3 (không thỏa) 2m �3 � m � y y 2m 4m3 , 0;3 Trường hợp 2: Nếu YCBT � 4m � m (thỏa) 2m � m y y 3 33 27 m , 0;3 Trường hợp 3: Nếu 31 27 (không thỏa) YCBT Kết luận: m giá trị cần tìm � 33 27 m � m C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 63 Giá trị lớn nhỏ hàm số A 2 B 7 y 3x x 1;3 C 2 Lời giải D 7 Chọn B 1;3 Hàm số xác định 10 y� 0 x 2 Ta có y 1 7; y 3 max y y 7 So sánh ta 1;3 1;3 Câu 64 Hàm số y x x đạt giá trị nhỏ 1 x x A x B C Lời giải Chọn C D x Hàm số bậc hai y x x có hệ số a nên hàm số đạt giá trị nhỏ 2 0;1 Câu 65 Giá trị lớn hàm số y x (1 x ) A 27 B C Lời giải D 64 x Chọn A � x y� 3x x � � � x 1 � Ta có �1 � y � � y y 1 �3 � 27 ; ; max y 0;1 27 So sánh ba giá trị ta Câu 66 Giá trị lớn hàm số y x 3x A B C Lời giải Chọn B Hàm số xác định � Ta có x0 � y� 0� � y� 12 x 12 x 12 x x x 1 � ; D Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn hàm số y x 3x y x4 2x2 x � 1;3 4 có giá trị Câu 67 Với , hàm số 3 19 �y � �y � �y � �y � 2 A B C D Lời giải Chọn C Ta có y� x3 x x x ; x0 � � y� 0�� x 2 � 1;3 � x2 � 5 3 19 ; y 0 ; y 2 ; y 3 4 19 �y � Suy y 1 Câu 68 M m giá trị lớn nhỏ hàm số y x 3x 1;3 có tổng M m A B C D Lời giải Chọn C � x � 1;3 � y � � y� 3x x 3x x x2 � Ta có ; y 1 1; y 1; y M m 1 Suy x2 x y x x là: Câu 69: Giá trị lớn hàm số A 1 C Lời giải B D Chọn D Tập xác định: D � y x2 x x x 1 Ta có: Nếu y � x � y x x x x � x y 1 x y 1 y Nếu y �1 , (1) phương trình bậc hai ẩn x có Từ giá trị lớn M � y �10 �y Câu 70: Giá trị lớn hàm số y x 12 x A B C Lời giải Chọn B 3x y� 1 D 2; 2 12 3x Tập xác định: , �x �0 y� � 3x 12 3x � � � x � 2; x 12 x � Ta có y 2; y 2 2; y 1 (1) y D max y Do 2; 2 x � 3;1 Câu 71: Với , hàm số y x x có giá trị giá trị � � 0; 2 � 2; 2 � 0; 2 � � A � B C � Lời giải Chọn C Tập xác định y� D 3;1 x3 1 x 0� x x � x 1 Ta có y 1 y 3 y 1 2 Có ; ; max y 2; y 3;1 Suy 3;1 � 0; � � D � Dựa vào bảng biến thiên, suy hàm số có giá trị nhỏ giá trị lớn Câu 81 Kết luận sau giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x x ? A Có giá trị nhỏ khơng có giá trị lớn B Có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ C Khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ D Có giá trị lớn giá trị nhỏ Lời giải Chọn D D 0;1 Tập xác định hàm số 0;1 nên hàm số ln có giá trị lớn giá trị nhỏ Hàm số liên tục đoạn x3 f x x đoạn 0;1 a Câu 82 Gọi giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số b Khi giá trị a b A 1 B 2 C 3 Lời giải D Chọn B D �\ 1 Tập xác định y� 0, x �1 x 1 Hàm số đờng biến khoảng xác định nên liên tục b max f x f 1 1 0;1 Do a f x f 3 0;1 0;1 a b 3 1 2 ax b y xa Câu 83 Giá trị nhỏ hàm số đoạn [ a ; b] (với a b ) đạt giá trị x ab A a B b C b a D Lời giải Chọn A Tập xác định y� D �\ a a b2 x a 0, x � a Hàm số đồng biến khoảng xác định nên liên tục đoạn [a; b] (với a b ) f x f a Do 0;1 Câu 84 Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số trị M m A 2 B 1 C Lời giải Chọn D D 0;1 Tập xác định y y x x2 x Khi giá D x 2x2 1 x � � 1 x 1 x 1 với �x �0 Dấu xảy x 0, M max y x x2 1 x � 12 y � 1 x 1 x 1 với �x �0 Dấu xảy x 1, m y 1 M m Câu 85 Giá trị lớn hàm số y cos x cos x 1 A B C Lời giải Chọn D t cos x, t � 0;1 Đặt 0;1 Khi y t t Hàm số liên tục y� � t � 0;1 y� 2t Suy D �1 � y 0, y � � , y 1 �2 � Ta có: �1 � y y � � 0;1 �2 � Suy 2 Câu 86 Hàm số y sin x cos x có giá trị lớn A 1 B C D Lời giải Chọn D t sin x, t � 0;1 Đặt Khi y 2t Hàm số liên tục đờng biến 0;1 nên có giá trị lớn max y y 1 0;1 Câu 87 Giá trị lớn hàm số y sin x A B C D Lời giải Chọn C Vì sin x �1, x �� nên y sin x � Lại có với y sin sin 4 x Vậy giá trị lớn hàm số y sin x Câu 88 Giá trị lớn nhỏ hàm số y cos x sin x A B 3 C Lời giải D Chọn B � � y cos x sin x cos �x � � 6� Ta có � � � � 1 �2 cos �x � �2.1 � 3 �y �1 1 �cos �x ��1 � � nên có � 6� Vì �7 � 7 y cos � � 2.cos 1 3 �6 � có Với � � y 2.cos � � cos 2.1 x �6 � có Với x Vậy giá trị lớn hàm số y cos x sin x giá trị nhỏ hàm số y cos x sin x 3 Câu 89 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y sin x cos x Khi M m bằng: 25 B A 25 C Lời giải D Chọn A Ta có y 2sin x cos x cos x cos x 2 cos x cos x 2 Vì cos x �1 nên y 2 cos x cos x �2.1 Với x có y nên có m � 25 25 � y 2 cos x cos x 2 � cos x � � 4� 8 � Lại có � 1� 25 x arccos � � y 25 M � �có nên có Với Vậy M m 25 0 x có bảng biến thiên hình vẽ Xét tập xác định hàm số Hãy chọn Câu 90 Hàm số khẳng định đúng? y A Không tồn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số B Hàm số có giá trị lớn C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ D Hàm số có giá trị lớn Lời giải Chọn B Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ Câu 91 Cho hàm số có bảng biến thiên hình bên Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số có cực trị B Hàm số có giá trị cực đại C Hàm số có giá trị lớn 3, giá trị nhỏ 1 D Hàm số có giá trị cực tiểu x Lời giải Chọn C Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số khơng có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ y f x y f� x hình vẽ Câu 92 Cho hàm số xác định, liên tục � có đờ thị hàm số Biết 0;5 A f f 3 f f Giá trị nhỏ giá trị lớn f x đoạn là: f 2 ; f 0 B f 0 Chọn C Từ đồ thị hàm số y f� x y f x đoạn sau: ; f 5 0;5 C Lời giải ta thấy f 2 f� 0 ; f 5 f� 2 D f 1 ; f 3 Ta có bảng biến thiên f x 0;5 f Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ đoạn f f 3 f f � f f f f y f x 2;5 nên f 3 f nên: Lại có hàm số đờn biến f f f 3 f � f f f x 0;5 f 5 Vậy nên giá trị lớn đoạn y f x f� x Đồ thị hàm số y f � x cho Câu 93 Cho hàm số có đạo hàm � hàm f f 3 f f hình vẽ Biết y f x A f 2 đoạn ; f 0 0;5 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn là: B f 0 ; f 5 C Lời giải f 2 ; f 5 D f 1 ; f 3 Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số f� x ta có bảng biến thiên �min f x f � 0;5 � �f 3 f Khi đó: � , f f 3 f f � f f f f � f f mà y f x 0;5 là: f ; f 5 Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn đoạn f x f� x Đồ thị hàm số y f � x cho hình vẽ Câu 94 Cho hàm số có đạo hàm bên Biết f f 1 f f f 3 M hàm số y f x đoạn 0; 4 Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn A C m f 4 , M f 2 m f 0 , M f 2 B m f , M f 1 D Lời giải Chọn A Từ đờ thị ta có bảng biến thiên f x đoạn m f 1 , M f 0; 4 � M f 2 f 1 f , f 3 f f f 1 f f f 3 Ta có : � f f f 1 f f f � f f � m f Câu 95 Cho hàm số y f x xác định liên tục, có đờ thị hàm số giá trị nhỏ hàm số đoạn A f 8 Chọn D B f 0 2;1 y f� x hình bên Khi C Lời giải f 2 D f 1 Dựa vào đồ thị y f� x ta có bảng biến thiên: y f x 2;1 là: f 1 Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn đoạn y f x Câu 96 Cho hàm số có đờ thị hình bên Hãy giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn 2;3 max f x 2;3 f x max f x C 2;3 2;3 A f x 2 2;3 max f x 2;3 f x max f x D 2;3 2;3 Lời giải B f x 2 2;3 Chọn B 2;3 3; –2 Dựa vào đờ thị ta có, hàm số có GTLN GTNN đoạn f x 2 max f x Vậy 2;3 2;3 y f x y f� x hình vẽ bên Câu 97 Cho hàm số có đờ thị 3 g x f x x x x 2018 Mệnh đề đúng? A C g x g 1 3;1 g x g 3 3;1 B g x g 1 3;1 g 3 g 1 g x D 3;1 Xét hàm số Lời giải Chọn A Ta có g� x f � x x2 Vẽ parabol P : y x2 1;1 3 3� x f� x � �x x � 2 � � 3 x 2 Ta thấy P qua điểm có toạ độ 3;3 , 1; , hàm số f� x nằm phía P nên 3� f� x � x �x x �� g � 2� � 1;1 đồ thị Trên khoảng hàm số f� x nằm phía P nên 3� f� x � x �x x �� g � 2� � 1; � đồ thị Trên khoảng hàm số f� x nằm phía P nên Trên khoảng 3; 1 đồ thị 3� f� x � x �x x �� g � 2� � Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, ta có Câu 98 Cho biểu thức A Chọn A P g x g 1 3;1 x xy y x xy y , x y �0 Giá trị nhỏ P B C D Lời giải 2 P x xy y x xy y 2 Ta chia tử mẫu cho y ta được: x 1 t t2 t P y , 1 t t2 Đặt f t Xét �x � �x � � � � � �y � �y � �x � �x � � � � � �y � �y � 1 t t2 2t � f ' t 1 t t2 1 t t2 t 1 � f ' t � � t 1 � Bảng biến thiên Vậy P 2 2 Câu 99 Cho x xy y Giá trị lớn biểu thức A x xy y 1 A B C D Lời giải Chọn C Để tồn GTLN A phải tờn x; y hay hệ phương trình nghiệm �x xy y �2 �x xy y A có � �x xy y x y 3xy � �� �2 2 �x xy y A � x y xy A Ta có: Đặt S x y; P xy �2 S A 1 � � � �P A x; y ۳ S P � Khi đó: Để tờn cặp số 2 Vậy, giá trị lớn biểu thức A x xy y A Câu 100 Cho hai số thực x; y thỏa mãn x �0; y �1; x y Giá trị lớn nhỏ biểu thức P x3 y 3x xy x bằng: A 20 18 B 20 15 C 18 15 D 15 13 Lời giải Chọn B Ta có: y x �1 nên x �2 , �x �2 P x3 x x x x x x x x 18 Khi đó, f x x x x 18 0; 2 Xét hàm số: f �x 3x x Ta có: �x � 0; 2 f� x � 3x x � � � x � 0; 2 � f x f ; f 1 ; f f 1 15 Do đó, x� 0;2 max f x max f ; f 1 ; f f 20 x� 0;2 Vậy giá trị lớn nhỏ biểu thức P 20 15 a b ab a b ab Câu 101 Cho hai số thực dương a ; b thỏa mãn Giá trị nhỏ m �a b3 � �a b � P � � � � �b a � �b a �là biểu thức 84 23 m m A m 10 B C D m Lời giải Chọn C a b t b a với t �2 Đặt � � �a b3 � �a b2 � � �a b � a b �a b � �a b � a b � P � � � � � � � � � � � � � � b a b a b a b a b a � � � � �b a � b a � � � � � � � � Ta có: �a b � � 2� a b ab a b ab � � � a b � 1 � �b a � � ab � Mặt khác: �a b � �1 � � � � a b � � �b a � �a b � Áp dụng BĐT Cauchy �a a b � � 1� ��2 b� �a a b � � 1� �a b � � 2 � � b� �b a � �a b � �a b � a b a b � � �2 � �� � t � �b a � b a hay b a Suy �b a � t � f t 4t 9t 12t 18 Xét hàm số với � t 2 � f� t � 12t 18t 12 � � � t f� t 12 t 18 t 12 � 2 Ta có: Cho f� t 0, t � nên hàm số f t đồng biến Suy �5 � 23 f t f � � � � �2 � � ; �� Do đó, �2 � �a �a 23 � � P b2 �b � Hay � � ; �� � � � x y xy x y xy Giá trị Câu 102 Cho hai số thực x �0; y �0 thay đổi thỏa mãn điều kiện 1 x3 y lớn M biểu thức A M B M A C M Lời giải D M 16 Chọn D Đặt S x y; P xy với P �0 S2 P x y xy x y xy � SP S 3P � S với S �3 Từ giả thiết : �S �1 4S S 1 S �۳۳� 4P۳ S � S �3 S 3 S 3 S 3 x; y tồn � 2 2 2 2 x y xy �x y � �S � 1 x y x y x y xy A 3 � � � � 3 3 x y x y x y x y xy � � � S � Mặt khác: �t �1 t 3 � t �3 t với � Xét hàm số �t �1 f� t � t �3 t2 Ta có: với � Ta có BBT: f t Từ suy ra: A f t �16 Vậy GTLN biểu thức A 16 Câu 103 Hàm số y A m 3 Chọn D x y mx x m có giá trị lớn 1;1 2 B Không tồn m C m Lời giải D m Tập xác định: y' Ta có: D R \ m m x m m 1 x m 0, x �D � Hàm số nghịch biến đoạn 1;1 1;1 hàm số đạt giá trị lớn x 1 Trên m 1 y 1 2 � 2 � m 1 m Ta có: mx 2m 0;1 xm Câu 104 Giá trị nhỏ hàm số A m 1 B m C m y D m Lời giải Chọn A Tập xác định: y' Ta có: D R \ m m 2m x m m 1 x m 0, x �D � Hàm số đồng biến đoạn 0;1 0;1 hàm số đạt giá trị nhỏ x Trên 2m y 0 � � m 1 m Ta có: 0;1 Câu 105 Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x 3m x m m� A B m 2 �m C m �2 Lời giải D m �m Chọn B Tập xác định D � x 3m2 �0, x �� Ta có: y� Do hàm số cho đờng biến � 0;1 hàm số đạt giá trị nhỏ x , đạt giá trị lớn x Tổng Khi đó, đoạn giá trị lớn giá trị nhỏ nên ta có phương trình: y y 1 � m 3m2 m � m 2 �m 3 0;3 Câu 106 Tìm m để giá trị nhỏ hàm số y x 3mx 31 m m 27 A m B C D m Lời giải Chọn D Tập xác định D � 3x 6mx Ta có: y � x0 � y� � x 6mx � � x 2m � Trường hợp 1: 2m �0 y y 0;3 (không thỏa mãn) Trường hợp 2: 2m �3 y � 4m3 � m 0;3 Trường hợp 3: 2m �۳ m (thỏa mãn) 31 m� 27 (không thỏa mãn ) 1;1 giá trị tham số thực m Câu 107 Giá trị lớn hàm số y x x m y � 33 27 m � m 0;3 A 8 Chọn A 3x Ta có: y � y� 0� x�3 Ta có bảng biến thiên: B C Lời giải D 1;1 giá trị lớn hàm số đạt x 1 Theo yêu cầu toán: m � m 8 Trên đoạn Câu 108 Tìm m để hàm số A m 2 y mx x đạt giá trị lớn x đoạn 2; 2 B m C m D m Lời giải Chọn C y� mx m x 1 Ta có: y� � x �1 Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy: m ax m ax f 2 ; f 1 ; f 2;2 mx x đạt giá trị lớn x đoạn 2; 2 f 1 f 2 Để hàm số m 2m 9m � � 0�m0 10 y y Câu 109 Hàm số A m � � tan x m 0; � � tan x đạt giá trị lớn đoạn � �bằng B m C m 1 D m Lời giải Chọn B y� m tan x 1 tan x 1 + Ta có: + Nếu m �2 hàm số đồng biến � � � m max y � � 1� m � � 4� � 0; � � Khi � � (thỏa mãn) + Nếu m 2 hàm số đờng biến � max y Khi �� 0; � � � 4� Câu 110 Phương trình A m �1 m � m 1 (không thỏa mãn) 2x x m có nghiệm B m �0 C m �1 Lời giải Chọn D D �m �1 2 Để phương trình có nghiệm m �0 phương trình 2x x m có nghiệm 2 m �0 � 1 �m �1 Phương trình 2x x m có � Vậy phương trình cho có nghiệm �m �1 ... Xét tập xác định hàm số Hãy chọn Câu 90 Hàm số khẳng định đúng? y A Không tồn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số B Hàm số có giá trị lớn C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ D Hàm số có giá trị lớn... ta thấy hàm số có giá trị lớn khơng có giá trị nhỏ Câu 91 Cho hàm số có bảng biến thiên hình bên Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số có cực trị B Hàm số có giá trị cực đại C Hàm số có giá... Câu 64 Hàm số y x x đạt giá trị nhỏ 1 x x A x B C Lời giải Chọn C D x Hàm số bậc hai y x x có hệ số a nên hàm số đạt giá trị nhỏ 2 0;1 Câu 65 Giá trị lớn hàm số y