§2. CỰC TRỊ HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa Giả sử hàm số xác định trên tập và . Ta nói: là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoàng chứa sao cho và Khi đó được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số . là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng chứa sao cho và . Khi đó được gọi là giá trị cực đại của hàm số . Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp . Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số. Nếu là điểm cực trị của hàm số thì điểm được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số 2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu có đạo hàm tại điểm thì . Chú ý: Đạo hàm có thể bằng 0 tại điềm nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm . Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Hàm số chi có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm. 3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực đại của hàm số . Nếu trên khoàng và trên khoảng thì là một điểm cực tiểu của hàm số . 4. Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1: Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm . Bước 2: Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưmg không có đạo hàm. Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu . Nếu đổi đấu khi đi qua thì hàm số đạt cực trị tại . Định lí 3: Giả sử có đạo hàm cấp 2 trong khoảng với . Khi đó: Nếu thì hàm số đạt cực đại tại . Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại . Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số Quy tắc 2 : Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm . Bước 2: Tìm các nghiệm của phương trình . Bước 3: Tính và tính . Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm . Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm . B. KIẾN THỨC HỖ TRỢ 1. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 1.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y=ax3+bx2+cx+d, a≠0. Bài toán 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước Bài toán tổng quát: Cho hàm số . Tìm tham số đề hàm số có cực đại, cực tiểu tại thỏa mãn điều kiện cho trước? Phương pháp: Bước 1: Tập xác định: . Đạo hàm: Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biêt hay có cực đại và cực tiểu) có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua 2 nghiệm đó phương trình có hai nghiệm phân biệt Bước 3: Gọi là hai nghiệm của phương trình . Khi đó: Bước 4: Biến đổi điều kiện về dạng tổng và tích . Từ đó giải ra tìm được . Bước 5: Kết luận các giá trị thỏa mãn: . Bài Toán 2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng: Cho 2 điểm và đường thẳng Nếu thì hai điểm nằm về hai phía so với đường thẳng Nếu thì hai điểm nằm cùng phía so với đường thẳng Một số trường hợp đặc biệt: •Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy hàm số có 2 cực trị cùng dấu phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu •Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy hàm số có 2 cực trị trái dấu phương trình có hai nghiệm trái dấu •Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox phương trình có hai nghiệm phân biệt và Đặc biệt: •Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox phương trình có hai nghiệm phân biệt và •Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox phương trình có hai nghiệm phân biệt và •Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox phương trình có hai nghiệm phân biệt và (áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số) Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm) Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị hoặc hoặc Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là với 1.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương y=ax4+bx2+c, a≠0. Một số kết quả cần nhớ •Hàm số có một cực trị •Hàm số có ba cực trị •Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu . •Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại . •Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại . •Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại . Một số công thức tính nhanh Giả sử đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị: , , tạo thành tam giác thỏa mãn dữ kiện: . Đặt: Tổng quát: Dữ kiện: Công thức thỏa mãn Tam giác vuông cân tại Tam giác đều Tam giác có diện tích Tam giác có diện tích Tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp : Tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp : Tam giác có độ dài cạnh Tam giác có độ dài Tam giác có cực trị Tam giác có góc nhọn Tam giác có trọng tâm Tam giác có trực tâm Tam giác cùng điểm tạo thành hình thoi Tam giác có là tâm đường tròn nội tiếp Tam giác có là tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác có cạnh Trục hoành chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau Tam giác có điểm cực trị cách đều trục hoành Đồ thị hàm số cắt trục tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành có diện tích phần trên và phần dưới bằng nhau: Phương trình đường tròn ngoại tiếp : C. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau. Tìm cực trị của hàm số: Lời giải Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, ta thấy: Hàm số có giá trị cực đại bằng 2 tại ; Hàm số có giá trị cực tiểu bằng tại . Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị như sau. Tìm điểm cực trị của đồ thị hàm số: Lời giải Dựa vào đồ thị của hàm số, ta thấy: Đồ thị hàm số có điểm cực đại là ; Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là và . Ví dụ 3. Tìm cực trị của các hàm số sau: a. Lời giải Ta có:Tập xác định của hàm số là . . . Ta lại có bảng biến thiên của hàm số như sau: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, ta thấy: Hàm số có giá trị cực đại bằng tại ; Hàm số có giá trị cực tiểu bằng tại . b. Lời giải Ta có: Tập xác định của hàm số là . . . Ta lại có bảng biến thiên của hàm số như sau: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, ta thấy: Hàm số có giá trị cực đại bằng tại ; Hàm số có giá trị cực tiểu bằng tại và . c. Lời giải Ta có: Tập xác định của hàm số là . . Vậy, hàm số đã choluôn luôn đồng biến trên các khoảng và . Do đó, đồ thị hàm số đã cho không có cực trị. d. Lời giải Tập xác định của hàm số là . . Ta lại có bảng biến thiên của hàm số như sau: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, ta thấy: Hàm số có giá trị cực đại bằng tại ; Hàm số có giá trị cực tiểu bằng tại . e. Lời giải Ta có: Tập xác định của hàm số là . . Ta lại có bảng biến thiên của hàm số như sau: Vậy, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến trên các khoảng và . Do đó, đồ thị hàm số đã cho không có cực trị. f. Lời giải Tập xác định của hàm số là . . Ta lại có . Với . Suy ra hàm số đạt cực đại tại và giá trị cực đại bằng . Với . Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu bằng . Ví dụ 4. Tìm tham số để hàm số: a. có cực đại, cực tiểu. Lời giải Ta có: Tập xác định của hàm số là . . Trường hợp 1: Với . . Ta lại có bảng biến thiên của hàm số như sau: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại . Vậy, không thỏa yêu cầu bài toán. Trường hợp 2: Với , hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt, hay phương trình có hai nghiệm phân biệt . Vậy, thì hàm số có cực đại, cực tiểu. b. có cực đại, cực tiểu. Lời giải Ta có: Tập xác định của hàm số là . . Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt và , hay phương trình có hai nghiệm phân biệt và . Vậy, thì hàm số có cực đại, cực tiểu. c. có cực tiểu mà không có cực đại. Lời giải Tập xác định của hàm số là . . Ta có: . Trường hợp 1: Với thì phương trình có nghiệm kép hoặc vô nghiệm. Do đó có 1 nghiệm bội lẻ là . Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt cực tiểu tại và không có cực đại. Vậy thỏa yêu cầu bài toán. Trường hợp 2: Với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt là và . Do đó có 3 nghiệm bội lẻ. Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có 2 cực tiểu và một cực đại. Suy ra không thỏa yêu cầu bài toán. Ví dụ 5. Tìm để hàm số a. đạt cực đại tại ; Lời giải Tập xác định: . Vì hàm số đạt cực đại tại nên là nghiệm của hay Với suy ra Bảng biến thiên: Dựa vào BBT ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với suy ra Bảng biến thiên: Dựa vào BBT ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại nên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy là giá trị cần tìm. b. có một cực đại tại Lời giải Tập xác định: . Để hàm số có một cực đại tại khi và chỉ khi là nghiệm của phương trình () Hay c. đạt cực tiểu tại Lời giải Tập xác định: . Để hàm số đạt cực tiểu tại thì là nghiệm của phương trình Với thì suy ra , Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại . Vậy là giá trị cần tìm. d. có đồ thị đi qua gốc tọa độ và đạt cực trị bằng tại Lời giải Tập xác định: . Để hàm số đi qua gốc tọa độ suy ra . Để hàm số đạt cực trị bằng tại khi và chỉ khi Vậy hàm số cần tìm có dạng e. đạt cực trị bằng tại Lời giải Tập xác định: . Để hàm số đạt cực trị bằng tại khi và chỉ khi . Vậy hàm số cần tìm có dạng Ví dụ 6. Tìm để hàm số a. đạt cực trị tại hai điểm sao cho Lời giải Tập xác định: . Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt . Áp dụng định lí Vi – et ta có: , Ta có: So với điều kiện suy ra thỏa mãn yêu cầu bài toán. b. có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu; Lời giải Tập xác định: . Cho Có Để đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu thì luôn đúng . Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là Gọi là hai nghiệm của phương trình (1) Theo định lí Vi – et ta có: Để giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu khi và chỉ khi D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Hàm số bậc ba có tối đa bao nhiêu cực trị? A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Lời giải Chọn B Tập xác định . . Phương trình có tối đa hai nghiệm và đổi dấu khi đi qua hai nghiệm đó. Câu 2. Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 cực trị? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Hàm số có luôn có 3 cực trị. Câu 3. Hàm số có bao nhiêu cực trị? A. 3. B. 2. C. Không có cực trị. D. 1. Lời giải Chọn A Hàm số có luôn có 3 cực trị. Câu 4. Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số ? A. Không có cực trị. B. Có cực đại và cực tiểu. C. Có cực đại và không có cực tiểu. D. Đạt cực tiểu tại . Lời giải Chọn D Tập xác định . . . Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực tiểu tại . Câu 5. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là A. . B. . C. . D. Lời giải Chọn D Tập xác định . . . Câu 6. Hàm số có giá trị cực đại là A. . B. 2. C. . D. 1. Lời giải Chọn A Tập xác định . . . Vậy giá trị cực đại là 2. Câu 7. Hàm số . Hàm số có A. Một cực đại và không có cực tiểu. B. Một cực tiểu và hai cực đại. C. Một cực tiểu và một cực đại. D. Một cực đạivà hai cực tiểu. Lời giải Chọn D Tập xác định . . . Câu 8. Cho hàm số .Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là: A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có: . Vậy tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số là: Câu 9. Hàm số có mấy điểm cực tiểu? A. 0. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn A Ta có: . Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số không có điểm cực tiểu. Câu 10. Số điểm cực trị của hàm số A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn B Ta có: . . Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Câu 11. Cho đồ thị hàm số .Khi đó bằng: A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Ta có: . Vậy . Câu 12. Cho hàm số .Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số bằng: A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có: . Vậy tích các giá trị cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số bằng: Câu 13. Giá trị cực đại của hàm số là: A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta có: . . Vậy giá trị cực đại của hàm số là: . Câu 14. Cho hàm số . Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu là: A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có: . Nhận thấy là hàm số lẻ do đó: . Vậy . Câu 15. Tất cả các điểm cực đại của hàm số là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có , . Các điểm cực đại của hàm số khi . Câu 16. Giá trị cực đại của hàm số trên khoảng là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta có , . Có . Vì nên . Ta có . Hàm số đạt cực đại tại và . Ta có . Hàm số đạt cực tiểu tại và . Câu 17. Trong các mệnh đề sau, hãy tìm mệnh đề sai: A. Hàm số không có cực trị. B. Hàm số có cực trị. C. Hàm số có cực đại và cực tiểu. D. Hàm số có cực trị. Lời giải Chọn A Ta có nên hàm số không có cực trị. Có , . Do đó hàm số có hai cực trị. Có , . Do đó hàm số có cực đại và cực tiểu. Có nên hàm số không có cực trị. Câu 18. Khoảng cách giữa điểm cực trị của đồ thị hàm số là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta có . Có . Do đó, hai điểm cực trị là . Vậy . Câu 19. Cho hàm số có hai cực trị là và . Khi đó diện tích tam giác là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có . Có . Do đó, hai điểm cực trị là . Tam giác vuông tại có . Vậy . Câu 20. Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số là A. 0. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn B Ta có . Vì nghiệm và là hai nghiệm bội lẻ nên đổi dấu qua hai nghiệm đó. Do đó hàm số có hai cực trị. Nghiệm là nghiệm bội chẵn nên không đổi dấu qua nghiệm . Do đó hàm số không đạt cực trị tại . Câu 21. Hàm số có đạo hàm là . Số điểm cực trị của hàm số là: A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Ta có . Vì nghiệm là nghiệm bội lẻ nên đổi dấu qua nghiệm đó. Do đó hàm số đạt cực trị tại . Nghiệm và là nghiệm bội chẵn nên không đổi dấu qua hai nghiệm đó. Do đó hàm số không đạt cực trị tại và . Câu 22. Số điểm cực trị của hàm số là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A TXĐ: . Ta có . Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có duy nhất một điểm cực trị. Câu 23. Hàm số là A. Nhận làm điểm cực đại. B. Nhận làm điểm cực tiểu. C. Nhận làm điểm cực đại. D. Nhận làm điểm cực tiểu. Lời giải Chọn A TXĐ: . Ta có . . Kiểm tra các phương án ta thấy là điểm cực đại của hàm số. không phải là điểm cực trị của hàm số. không phải là điểm cực trị của hàm số. Câu 24. Cho hàm số . Biết hàm số có hai điểm cực trị , và . Giá trị của biểu thức là A. 5. B. –1. C. –5. D. 0. Lời giải Chọn B TXĐ: . Ta có và . Theo giả thiết ta có . Câu 25. Cho hàm số xác định và liên tục, có đồ thị của hàm số như hình sau. Khi đó hàm số có bao nhiêu cực trị A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. Lời giải Chọn B Từ đồ thị của hàm số , ta có bảng biến thiên của hàm số như sau Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có ba điểm cực trị. Câu 26. Cho hàm số xác định và liên tục, có đồ thị hàm số như hình sau. Khi đó hàm số có bao nhiêu điểm cực trị A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. Lời giải Chọn C Từ đồ thị của hàm số , ta có bảng biến thiên của hàm số như sau Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị. Câu 27. Cho hàm số xác định và liên tục, có đồ thị hàm số như hình bên. Khi đó hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. Lời giải Chọn C Từ hình vẽ đồ thị hàm số ta có . Trong đó là các nghiệm đơn và là nghiệm kép. Do vậy hàm số có đúng 2 điểm cực trị. Câu 28. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Kết luận nào sau đây là sai đối với hàm số ? A. Hàm số nghịch biến trong khoảng . B. Hàm số đạt cực đại tại . C. Hàm số có điểm cực trị. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng . Lời giải Chọn A Từ hình vẽ ta có hay . Trong đó nghiệm là nghiệm kép. Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau Qua bảng ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng . Câu 29. Hàm số đạt cực tiểu tại khi A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Tập xác định . Đạo hàm , hàm số đạt cực trị tại khi đó . Với ta có , do vậy là điểm cực tiểu. Câu 30. Giá trị để hàm số đạt cực đại tại là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Tập xác định . Đạo hàm , hàm số đạt cực trị tại khi đó: . Với ta có , do vậy là điểm cực đại. Câu 31. Giá trị để hàm số đạt cực đại tại A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Tập xác định . Đạo hàm , hàm số đạt cực trị tại khi đó . Với ta có , do vậy là điểm cực đại. Câu 32. Để hàm số đạt cực đại tại thì thuộc khoảng nào ? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Tập xác định . Đạo hàm , hàm số đạt cực trị tại khi đó: . Xét với ta có do vậy do đó: là điểm cực tiểu. Xét với ta có do vậy do đó là điểm cực đại. Vậy là kết quả của bài toán. Câu 33. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là . Khi đó tổng bằng: A. 6. B. 4. C. 7. D. 2. Lời giải Chọn D Ta có: , . Do hàm số này là hàm số bậc nên đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là . Câu 34. Biết hàm số đạt cực trị tại , khi đó tổng bằng: A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có: , . Hàm số đạt cực trị tại thì Khi thì là các điểm cực trị. Vậy . Câu 35. Tìm tất cả các giá trị của để hàm số có ba cực trị ? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Hàm số có ba cực trị . Câu 36. Tập tất cả các giá trị của để hàm số có cực trị là: A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Hàm số có cực trị . Câu 37. Giá trị của tham số thực để hàm số có duy nhất cực trị là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Tập xác định: . Ta có: . có nghiệm duy nhất . Câu 38. Cho hàm số . Nếu gọi , lần lượt là hoành độ các điểm cực trị của hàm số thì giá trị là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C TXĐ : Ta có . Hàm số có 2 điểm cực trị , với mọi giá trị và Câu 39. Giá trị để hàm số có cực đại, cực tiểu là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B . Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình có hai nghiệm phân biệt hay . Câu 40. Giá trị để hàm số có cực đại, cực tiểu là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C . Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt khác Câu 41. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Từ bảng biến thiên, suy ra và Ta có TH1: TH2: Dựa vào các đáp án, ta có hàm số nghịch biến trên khoảng . Câu 42. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Bảng biến thiên của hàm số như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta có TH1: Suy ra, nghịch biến trên . TH2: . Suy ra, chỉ nghịch biến trên khoảng chứ không nghịch biến trên toàn khoảng Vậy hàm số nghịch biến trên Câu 43. Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C . Ta có . Đáp án A. Xét trong khoảng thì nhưng ta chưa kết luận được dấu của dẫn đến chưa nhận xét được tính nghịch biến của hàm số trong khoảng này. Đáp án B. Xét trong khoảng thì nhưng ta chưa kết luận được dấu của dẫn đến chưa nhận xét được tính nghịch biến của hàm số trong khoảng này. Đáp án C. Xét trong khoảng thì và nên . Do đó hàm số nghịch biến trong . Đáp án D. Xét trong khoảng thì và nhưng ta chưa thể kết luận được dấu của trong khoảng này. Câu 44. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số như hình bên dưới. Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có . Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng (hình vẽ bên). Dựa vào đồ thị, suy ra Với , ta có đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng nên . Vậy hàm số đồng biến trên Câu 45. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có . Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng . Dựa vào đồ thị, suy ra Ta có: đồng biến (phần đồ thị của nằm phía trên đường thẳng ). Câu 46. Giá trị của để 2 điểm cực đại và cực tiểu của hàm số nằm về 2 phía của trục hoành là. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Cách 1 Ta có: Để đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục hoành có ba nghiệm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt khác . Vậy thì đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục hoành. Cách 2 Ta có: . Khi đó Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình có hai nghiệm phân biệt Gọi là nghiệm của phương trình . Theo định lý viet ta có Gọi là giá trị cực trị tương ứng của hàm số. Vì nên ; . Để đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục hoành Từ và suy ra thì đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục hoành. Câu 47. Giá trị để đồ thị hàm số có 2 cực trị và sao cho đường thẳng song song với đường thẳng là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Ta có . Để hàm số có hai điểm cực trị phương trình có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt . Mặt khác nên Do (thỏa mãn) Vậy . Câu 48. Tìm tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị , sao cho đường thẳng vuông góc với đường thẳng . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có . Để hàm số có hai điểm cực trị phương trình có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt . Mặt khác nên khi đó có hệ số góc là Mà nên có hệ số góc là . Do (thỏa mãn). Câu 49. Giá trị để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó có hoành độ dương. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có . Để hàm số có có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó có hoành độ dương phương trình có hai nghiệm dương phân biệt . Câu 50. Cho hàm số . Tìm để hàm số đã cho co 2 điểm cực trị , thỏa mãn . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có . Để hàm số có có cực đại, cực tiểu phương trình có hai nghiệm phân biệt , . Do , là hai nghiệm phân biệt của phương trình nên ta có Theo giả thiết thay vào ta được Câu 51. Hàm số đạt cực trị tại , nằm hai phía khác nhau đối với trục tung khi và chỉ khi A. . B. , , . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có . Hàm số đạt cực trị tại nằm hai phía khác nhau đối với trục tung khi và chỉ khi có hai nghiệm phân biệt và . Tức là . Câu 52. Xác định để đồ thị có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có . Cho . Do đó, để hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi . Ta có ( là trung điểm của đoạn ). YCBT tương đương với đường thẳng là trung trực của đoạn , tức là với là vec tơ chỉ phương của đường thẳng . Câu 53. Cho hàm số có đồ thị . Giá trị của để khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu nhỏ nhất là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có . Suy hàm số luôn có cực đại và cực tiểu với mọi giá trị của tham số . Gọi là nghiệm của (cũng là hoành độ các điểm cực trị). Ta có Ta có . Gọi lần lượt là tung độ ứng với . Ta có . Khi đó, YCBT tương đương đạt GTNN. Ta có Do đó, YCBT thỏa mãn khi và chỉ khi . Câu 54. Giá trị của để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu nằm trong khoảng là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta có . YCBT tương đương với hàm số đạt cực trị tại thỏa . Tức là . Câu 55. Nếu hàm số có hai cực trị và sao cho tam giác cân tại là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Ta có . Do đó, hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi . Khi đó, . Ta có . YCBT . Câu 56. Hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng . Khi đó giá trị của bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có . Ta có . Do đó, hàm số đạt cực trị khi và chỉ khi . Gọi là hoành độ các cực trị tương ứng với các tung độ . Suy ra, , . Ta có . Ta có diện tích tam giác (theo đề bài) là Do đó, . Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị sao cho (Trong đó là gốc tọa độ ) A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Ta có . Giả sử . Lại có . Câu 58. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng có phương trình . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta có . Hàm số có hai cực trị khi và chỉ có hai nghiệm phân biệt . Gọi lần lượt là hai nghiệm của phương trình ta có . Mặt khác . Suy ra đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số là . Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là . Gọi là trung điểm của . Gọi Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng có phương trình hoặc hoặc Suy ra . Kết hợp với điều kiện ta được Câu 59. Giá trị thực của tham số để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Ta có . Nếu có ba nghiệm phân biệt . Vậy hàm số có ba cực trị gồm hai cực tiểu một cực đại . Nếu có một nghiệm , đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm . Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại và không có cực đại . Câu 60. Giá trị thực của tham số để hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta có . Nếu , đổi dấu từ âm sang dương khi qua nghiệm . Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại và không có cực đại. Vậy không thỏa mãn . Nếu hàm số đã cho là một hàm trùng phương Điều kiện để hàm trùng phương chỉ có cực đại không có cực tiểu là Câu 61. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta có . Để hàm số có ba cực trị thì có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi . Với . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là . Tam giác luôn cân tại nên tam giác đều . . Câu 62. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số có cực đại , cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có . Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi . Với . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là . Tam giác luôn cân tại nên tam giác có diện tích là. Vậy diện tích tam giác lớn nhất khi .
§2 CỰC TRỊ HÀM SỐ A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa x �K Giả sử hàm số f xác định tập K Ta nói: x x - điểm cực tiểu hàm số f tồn khoàng (a; b) chứa cho (a; b) �K f ( x) f x0 , x �(a; b) \ x0 Khi f x0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f - x0 x điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a; b) chứa cho (a; b) �K f ( x) f x0 , x �(a; b) \ x0 f x Khi gọi giá trị cực đại hàm số f Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị - Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K - Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số - Nếu x0 điểm cực trị hàm số điểm x ; f x 0 gọi điểm cực trị đồ thị hàm số f Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: x x Giả sử hàm số y f ( x ) đạt cực trị điểm Khi đó, y f ( x) có đạo hàm điểm f�x 0 Chú ý: � x x - Đạo hàm f ( x) điềm hàm số f không đạt cực trị điểm - Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm - Hàm số chi đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: x x Giả sử hàm số f đạt cực trị điểm Khi đó, hàm số f có đạo hàm điểm f � x0 � � x h; x0 x ; x h x - Nếu f ( x) khoảng f ( x) khoảng 0 điểm cực đại hàm số f ( x) � � x h; x0 x ; x h x - Nếu f ( x) khoàng f ( x ) khoảng 0 điểm cực tiểu hàm số f ( x ) Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1: � - Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f ( x) x (i 1; 2;�) - Bước 2: Tìm điểm i mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục nhưmg khơng có đạo hàm � � x - Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu f ( x) Nếu f ( x ) đổi đấu qua i hàm số đạt cực trị Định lí 3: xi x h; x0 h Giả sử y f ( x ) có đạo hàm cấp khoảng với h Khi đó: f � x 0, f �� x0 x - Nếu hàm số f đạt cực đại f � x 0, f �� x0 x - Nếu hàm số f đạt cực tiểu Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc : � - Bước 1: Tìm tập xác định Tìm f ( x) � x (i 1; 2;�) - Bước 2: Tìm nghiệm i phương trình f ( x) � � f �� xi - Bước 3: Tính f ( x) tính � � f xi x * Nếu hàm số f đạt cực đại điểm i f �� xi x * Nếu hàm số f đạt cực tiểu điểm i B KIẾN THỨC HỖ TRỢ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 1.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba , Bài toán 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hồnh độ cho trước Bài tốn tổng quát: Cho hàm số y f ( x; m) ax bx cx d Tìm tham số m đề hàm số có cực đại, cực tiểu x1 , x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp: Bước 1: * Tập xác định: D � � 2 * Đạo hàm: y 3ax 2bx c Ax Bx C Bước 2: � Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biêt hay có cực đại cực tiểu) � y � � có hai nghiệm phân biệt y đổi dấu qua nghiệm � phương trình y có hai nghiệm � a �0 � �A 3a �0 �� � �2 � m �D1 2 y� B AC 4b 12ac b 3ac � � phân biệt Bước 3: B 2b � x1 x2 � � A 3a � C c � x1 � x2 � x ,x A 3a Gọi hai nghiệm phương trình y Khi đó: � m �D2 Bước 4: Biến đổi điều kiện K dạng tổng S tích P Từ giải tìm m D1 �D2 Bước 5: Kết luận giá trị m thỏa mãn: Bài Tốn Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng Vị trí tương đới giữa điểm với đường thẳng: Cho điểm đường thẳng : ax by c c ax by c hai điểm A, B nằm A xA ;yA , B xB ;yB axA byA B * Nếu hai phía so với đường thẳng * Nếu ax A B byA c axB byB c hai điểm A, B nằm cùng phía so với đường thẳng Một số trường hợp đặc biệt: Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy � hàm số có cực trị cùng dấu � phương trình y� có hai nghiệm phân biệt cùng dấu Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy � hàm số có cực trị trái dấu � phương trình y� có hai nghiệm trái dấu Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox � phương trình y� có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT Đặc biệt: Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox � yC Đ yCT � � y yCT � phương trình y� có hai nghiệm phân biệt �C Đ Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox � yC Đ yCT � � y yCT � phương trình y� có hai nghiệm phân biệt �C Đ Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox � phương trình y� có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT (áp dụng không nhẩm được nghiệm viết được phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số) Hoặc: Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox � đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt � phương trình hồnh độ giao điểm f x có nghiệm phân biệt (áp dụng nhẩm được nghiệm) Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị �2c 2b2 � bc y�� y � y�� y � g x � xd � g x y g x y 9a � � 3y� �3 9a � 18a hoặc Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc 4e 16e3 b2 3ac e a 9a với 1.2 Cực trị hàm bậc trùng phương , Một số kết cần nhớ AB Hàm số có cực trị ۳ ab Hàm số có ba cực trị � ab � a0 � �� b �0 � Hàm số có cực trị cực trị cực tiểu � a0 � �� b �0 � Hàm số có cực trị cực trị cực đại � a0 � �� b � Hàm số có hai cực tiểu cực đại � a0 � �� b � Hàm số có cực tiểu hai cực đại Một số cơng thức tính nhanh Giả sử đồ thị � b � B� ; � � 2a 4a � A(0;c) �, hàm số y ax bx c có điểm cực trị: , � � b � C � ; � � 2a 4a � � �tạo thành tam giác ABC thỏa mãn kiện: ab � Đặt: BAC = a cot Tổng quát: b3 8a Dữ kiện: Công thức thỏa mãn ab 0; c �0 Tam giác ABC vuông cân A Tam giác ABC b3 8a Tam giác ABC có diện tích SABC S0 32a ( S0 )2 b5 Tam giác ABC có diện tích max ( S0 ) b3 24a S0 r Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp rABC r0 : Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp RABC R : R b5 32a b2 � b3 � 4a� 1 1 � � 8a � � � b 8a 8ab Tam giác ABC có độ dài cạnh BC m0 Tam giác ABC có độ dài AB AC n0 16a n02 b 8ab Tam giác ABC có cực trị B, C �Ox b 4ac Tam giác ABC có góc nhọn Tam giác ABC có trọng tâm O b(8a b ) Tam giác ABC có trực tâm O Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi b 2ac b3 8a 4ac Tam giác ABC có O tâm đường trịn nội tiếp b3 8a 4abc Tam giác ABC có O tâm đường tròn ngoại tiếp b3 8a 8abc Tam giác ABC có cạnh BC kAB kAC Trục hoành chia tam giác ABC thành b3 k 8a (k 4) hai phần có diện tích Tam giác ABC có điểm cực trị cách trục hồnh am02 2b b 6ac b ac b 8ac C : y ax bx c cắt trục Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cộng 100 b2 ac C : y ax bx c trục hồnh có diện Định tham số để hình phẳng giới hạn đồ thị Đồ thị hàm số tích phần phần nhau: b2 36 ac �2 � �2 � x2 y � c �y c � � �b 4a � �b 4a � Phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC : C CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau Tìm cực trị hàm số: Lời giải Dựa vào bảng biến thiên hàm số, ta thấy: y f x Hàm số có giá trị cực đại x 1 ; y f x Hàm số có giá trị cực tiểu 1 x y f x Ví dụ Cho hàm số có đồ thị sau Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số: Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy: y f x A 1;2 Đồ thị hàm số có điểm cực đại ; y f x C 1; B 3; Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu Ví dụ Tìm cực trị hàm số sau: a y 3x x Lời giải Ta có:Tập xác định hàm số D � y 3x x � y� x 6x x0 � y� � 6x 6x2 � � x 1 � Ta lại có bảng biến thiên hàm số sau: Dựa vào bảng biến thiên hàm số, ta thấy: y f x Hàm số có giá trị cực đại x ; y f x Hàm số có giá trị cực tiểu x b y x4 x2 Lời giải Ta có: Tập xác định hàm số D � x4 y x � y� x3 x x0 � � y� � x3 x � � x � x � Ta lại có bảng biến thiên hàm số sau: Dựa vào bảng biến thiên hàm số, ta thấy: y f x Hàm số có giá trị cực đại x ; y f x Hàm số có giá trị cực tiểu x x 2x y x5 c Lời giải D �\ 5 Ta có: Tập xác định hàm số 2x 13 y � y� x5 x � y� 0, x �D Vậy, hàm số choln ln đồng biến khoảng Do đó, đồ thị hàm số cho khơng có cực trị d y �; x 3x x2 Lời giải Tập xác định hàm số y D �\ 2 x 3x x2 4x � y� x2 x 2 x0 � y� � x2 4x � � x 4 � Ta lại có bảng biến thiên hàm số sau: Dựa vào bảng biến thiên hàm số, ta thấy: y f x Hàm số có giá trị cực đại 11 x 4 ; y f x Hàm số có giá trị cực tiểu x e y x x Ta có: Tập xác định hàm số y x x � y� 2x x2 Lời giải D �; 2 � 2; � 5; � � x �D y� � x2 � � x �D � Ta lại có bảng biến thiên hàm số sau: �; Vậy, hàm số cho luôn đồng biến khoảng Do đó, đồ thị hàm số cho khơng có cực trị f y sin x x 2; � Lời giải Tập xác định hàm số D � y sin x x � y� cos x � x k � y� � cos x � � ; k �� � x k � � � 4sin x Ta lại có y� � � � � � x k � y � � k � 4sin � k 2 � 4sin 2 �6 � �3 � Với x k , k �� y k , k �� 6 giá trị cực đại Suy hàm số đạt cực đại � � � � � x k � y � k � 4sin � k 2 � 4sin � �6 � �3 � Với Suy hàm số đạt cực tiểu x k , k �� giá trị cực tiểu k , k �� m Ví dụ Tìm tham số để hàm số: y m x x mx a có cực đại, cực tiểu Lời giải Ta có: Tập xác định hàm số D � y m x3 x mx � y� 3 m 2 x2 x m y Trường hợp 1: 6x Với m 2 � y � y� � 6x � x Ta lại có bảng biến thiên hàm số sau: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại Vậy, m 2 không thỏa yêu cầu toán x Trường hợp 2: y m x3 x mx có Với m �2 , hàm số có cực đại, cực tiểu y� m 2 x2 x m hai nghiệm phân biệt, hay phương trình có hai nghiệm phân biệt � � � 3m 6m � 3 m y m x3 3x mx hàm số có cực đại, cực tiểu 2 x m 1 x m 4m y x 1 b có cực đại, cực tiểu Lời giải D �\ 1 Ta có: Tập xác định hàm số x m 1 x m2 4m x x m 3m y � y� x 1 x 1 2 x m 1 x m 4m y có hai x 1 Hàm số có cực đại, cực tiểu y� 2 nghiệm phân biệt x �1 , hay phương trình x x m 3m có hai nghiệm phân biệt Vậy, m � 3;1 \ 2 x �1 � 0 � �۹۹� � m 3m �0 � � m 3m � m � � m �2 � Vậy, m � 1; m x m 1 x m 4m x 1 có cực đại, cực tiểu y 1 m � � m � � m �2 � hàm số y x mx 2 có cực tiểu mà khơng có cực đại c Lời giải Tập xác định hàm số D � y x mx � y � x3 2mx 2 x0 � y� � x 2mx � �2 x m 1 � Ta có: Trường hợp 1: 1 có nghiệm kép x vơ nghiệm Với m �0 phương trình có nghiệm bội lẻ x Do y� Ta có bảng biến thiên hàm số sau: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt cực tiểu x khơng có cực đại Vậy m �0 thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: 1 có nghiệm phân biệt x m x m Với m phương trình có nghiệm bội lẻ Do y� Ta có bảng biến thiên hàm số sau: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có cực tiểu cực đại Suy m không thỏa yêu cầu tốn Ví dụ Tìm m để hàm số a y x3 3mx m 1 x đạt cực đại x ; Lời giải Tập xác định: D � y� 3x 6mx m Vì hàm số đạt cực đại x nên x nghiệm y ' m 1 � � m 12m 11 � � � m 11 � hay 12 12m m 3x x Với m suy y � x0 � y� � 3x x � � x2 � Bảng biến thiên: Dựa vào BBT ta thấy hàm số cho đạt cực đại x nên m không thỏa mãn yêu cầu toán 3x 66 x 120 Với m 11 suy y� Từ hình vẽ ta có x 1 x 1 � � � � f� x 1 � �x � �x � � x 2 x 1 � � hay x2 � � f� x � �x � x 1 � Trong nghiệm x nghiệm kép Ta có bảng biến thiên hàm số sau Qua bảng ta thấy hàm số đồng biến khoảng 0;1 Câu 29 Hàm số y x x mx đạt cực tiểu x A m B m C m D m �0 Lời giải Chọn C Tập xác định D R �y� 3x x m � y� � 2 � m y� 6x Đạo hàm � , hàm số đạt cực trị x �y� 2 � � � y� , x điểm cực tiểu Với m ta có � x y sin x m sin x Câu 30 Giá trị m để hàm số đạt cực đại A m 6 B m 5 C m D m Lời giải Chọn C Tập xác định D R 3cos x m cos x �y� � x � � y 3sin x m sin x đó: Đạo hàm � , hàm số đạt cực trị m � � y� � � � 3 � m �3 � � � � � � �y � � �3 � � � � �y � � � � 3 x � � � điểm cực đại Với m ta có � , Câu 31 Giá trị m để hàm số y x mx 3(m 1) x đạt cực đại x 1 A m 3 Chọn D Tập xác định D R B m 3 C m Lời giải D m �y� x 2mx 3m � y� 1 � m � � y x m Đạo hàm � , hàm số đạt cực trị x 1 �y� 1 � � 18 � 1 m �y� 5 ta có � Với , x 1 điểm cực đại x mx y xm Câu 32 Để hàm số đạt cực đại x m thuộc khoảng ? 0; 4; 2 2;0 2; A B C D Lời giải Chọn B D R= \ m Tập xác định y� x 2mx m x m , hàm số đạt cực trị x đó: m 1 � y� � m2 4m � � m 3 � Đạo hàm y� Xét với m 1 ta có x điểm cực tiểu x2 x x 1 y� Xét với m 3 ta có x điểm cực đại 1 x2 6x x 3 x 1 1 � � y� x 3 2 x 1 � � y� � y� 2 đó: x 3 � y� 2 Vậy m 3 kết toán A 2; 2 Câu 33 Đồ thị hàm số y x 3x ax b có điểm cực tiểu Khi tổng a b bằng: A B C D Lời giải Chọn D � 6x 3x x a , y� Ta có: y� �y� 2 � � � �y� 2 � A 2; 2 �y 2 Do hàm số hàm số bậc nên đồ thị hàm số có điểm cực tiểu a0 � � �� 60 a0 � �� � 4 2a b 2 b � a b � � Câu 34 Biết hàm số bằng: A y a sin x b cos x x x 2 B đạt cực trị 1 C x ,x , tổng a b D 1 Lời giải Chọn B � a cos x b sin x , y� a sin x b cos x Ta có: y� �� � �1 �y� � � a b 1 � a 1 � � �3 � � �2 � � x ,x �y� � b a � � Hàm số đạt cực trị � �a � b Khi � � � � � � � �0 �y� � �3 � �y� � x ,x � � � điểm cực trị Vậy a b f x x 2mx Câu 35 Tìm tất giá trị m để hàm số có ba cực trị ? B m A m �0 Chọn B Hàm số f x x 2mx C m �0 Lời giải D m có ba cực trị � ab � 2m � m y m 1 x m2 2m x m2 m Câu 36 Tập tất giá trị để hàm số có cực trị là: m 1 m0 1 m m 1 � � � � � � � � m2 1 m m2 1 m A � B � C � D � Lời giải Chọn B Hàm số y m 1 x m2 2m x m2 � m 1 m 2m có cực trị � ab m0 � �� 1 m � 4 Câu 37 Giá trị tham số thực m để hàm số y x 2mx 2m m có cực trị A m �0 B m C m D m Lời giải Chọn A Tập xác định: D � x0 � y� x3 4mx � y ' � �2 x m � Ta có: YCBT � y� có nghiệm � m �0 Câu 38 Cho hàm số y x 2a 1 x 6a a 1 x điểm cực trị hàm số giá trị A a B a x1 x2 Nếu gọi x1 , x2 hoành độ C a Lời giải Chọn C TXĐ : D � xa � y� � x 2a 1 x 6a a 1 � � x a 1 � Ta có D x x 1 Hàm số có điểm cực trị x1 , x2 với giá trị a x3 y m 1 x m x Câu 39 Giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu �; 5 � 3; � B 3;5 5;3 5;3 A C D Lời giải Chọn B y� x m 1 x m có hai nghiệm phân biệt � � 0 Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y� � m 2m 15 � 3 m hay m � 3;5 Câu 40 Giá trị m để hàm số m A y x 2mx x 1 có cực đại, cực tiểu m m B C D m Lời giải Chọn C x x 2m y� x 1 Hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y� có hai nghiệm phân biệt � x x 2m có hai nghiệm phân biệt khác 1 � 0 2 m � � �� �� �m 3 2m �0 3 2m �0 � � Câu 41 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên hình vẽ 3� � g x f �2 x x � 2 �nghịch biến khoảng khoảng sau? � Hàm số � 1� �1 � �5� �9 � 1; � 1; � � � ;1� � � ; �� � A � � B �4 � C � � D �4 Lời giải Chọn C x 2 � f� x � � x � 2 x x f � � Từ bảng biến thiên, suy 5� � 3� g� x �f � 2x x � x � � � 2� � 2� � Ta có � � 4x � � � � � 3� � � �f � x x � � � � � 2� � � g� x � � � � � 4x � � � � � 3� � �f � � x x � � � � 2� � � � � � 4x � �x � � �� �1 x � 3� � �f � x x � �2 x x � � � � 2� 2 TH1: � � � x � � � � � x 1 � � �2 x x � � � 4x � 2 � � � � �� �� � 3� � � �f � � �2 x x � � 5 � � 2� x � x � � � � � � � � �2 x x 2 � � 2 � TH2: g x � 5� 1; � � nghịch biến khoảng � � Dựa vào đáp án, ta có hàm số y f x f ' x Câu 42 Cho hàm số có đạo hàm liên tục � Bảng biến thiên hàm số hình vẽ � x� g x f � � x � � nghịch biến khoảng khoảng sau? Hàm số 4; 2 2; 0; 2; A B C D Lời giải Chọn A � x� g� � x f � � � 2� Ta có � x� g� � x � f � � � 2� x � x� f� � � � 4 x 2 � g x 4; 2 TH1: � � Suy ra, nghịch biến x � x� f� � � 1 a � 2a x � g x � 2� TH2: Suy ra, nghịch biến khoảng 2a; khơng nghịch biến tồn khoảng � x� g x f � � x � nghịch biến 4; 2 � Vậy hàm số f x Câu 43 Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm sau: 2; y f x x2 x Hàm số nghịch biến khoảng sau đây? �; �;1 2; 3; 2 A B C D Lời giải Chọn C x y ' 2 f ' x 1 x 1 x 0, x �� x Ta có �; x � 1; � ta chưa kết luận dấu Đáp án A Xét khoảng f ' 1 x dẫn đến chưa nhận xét tính nghịch biến hàm số khoảng �;1 x � 0; � ta chưa kết luận dấu Đáp án B Xét khoảng f ' 1 x Đáp dẫn đến chưa nhận xét tính nghịch biến hàm số khoảng 2; x � 1;3 f ' x �0 án C Xét khoảng y ' 2 f ' x x x 1 0, x � 2;0 nên 2;0 nghịch biến 3; 2 x � 3; f ' x ta chưa thể kết Đáp án D Xét khoảng luận dấu y ' khoảng Do hàm số Câu 44 Cho hàm số Hàm số y f 1 x x 1 x y f x y f ' x có đạo hàm liên tục � Đồ thị hàm số hình bên g x f x x2 đồng biến khoảng khoảng sau đây? A �; 2 B 2; 2; C Lời giải D 2; � Chọn B g� x f � x 2x Ta có g� x � f � x x g� x số giao điểm đồ thị hàm số y f � x Số nghiệm phương trình đường thẳng d : y x (hình vẽ bên) x 2 � � g� x � �x � x4 � Dựa vào đồ thị, suy x � 2; f� x nằm phía đường thẳng y x nên g � x Với , ta có đồ thị hàm số 2; đồng biến y f x y f� x hình bên Câu 45 Cho hàm số có đạo hàm liên tục � Đồ thị hàm số Vậy hàm số Hỏi hàm số 3;1 A g x g x f x x 1 B 1;3 Chọn B g� x f � x x 1 Ta có g� x � f � x x đồng biến khoảng khoảng sau? �;3 3; � C D Lời giải Số nghiệm phương trình đường thẳng d : y x Dựa vào đồ thị, suy g� x số giao điểm đồ thị hàm số y f� x x 3 � g� x 1 x � � � � x3 � x 3 � � g� x � � g x x (phần đồ thị f ' x nằm phía đường � Ta có: đồng biến thẳng y x ) Câu 46 Giá trị m để điểm cực đại cực tiểu hàm số y x 3x mx m nằm phía trục hồnh A m B m Chọn A Cách D m C 1 m Lời giải x 1 x x m y x x mx m Ta có: � x2 2x m � � y � x 1 x x m x 1 � 1 C Để đồ thị m có điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục hồnh � y có ba nghiệm phân biệt � phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1 � 0 � �m �� �� � m3 m �0 m �3 � � C Vậy m đồ thị m có điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục hồnh Cách 3x x m Ta có: y� � 3x x m Khi y� có hai nghiệm phân biệt Hàm số có cực đại, cực tiểu � phương trình � � � 3m � m 1 �x1 x2 2 � � m x1.x2 � x1 , x2 Gọi nghiệm phương trình Theo định lý viet ta có � Gọi y1 , y2 giá trị cực trị tương ứng hàm số � �2 �1 � �2 � � y y� � x � � m � y1 � m � x 1 x1 1 y2 � x2 1 � m 2� 3 3 � � � � � � � � Vì nên ; C Để đồ thị m có điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục hồnh � y1 y2 �2 � � � � m 2� x1 1 � x2 1 � m 2� �3 � �3 � �2 � � � m � x1 x2 x1.x2 1 �3 � m �3 �2 ��m � � � � m3 � � m �� 1� � 2 �3 ��3 � �m 1 suy m đồ thị Cm có điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục Từ hồnh Câu 47 Giá trị m để đồ thị hàm số y x x mx có cực trị A B cho đường thẳng AB song song với đường thẳng d : y 4 x A m 1 B m C m Lời giải D m Chọn D 3x2 x m Ta có y� có hai nghiệm phân biệt Để hàm số có hai điểm cực trị � phương trình y� 3m � m 3 � x x m có hai nghiệm phân biệt � � 1� m � m �1 �m � m y � x �y� � �x AB : y 2 � � 1�x 3� �3 �3 � �3 � Mặt khác nên � �m � 2 1� 4 � �m � � � � AB // d � � �� � m3 m � m � � �0 � �3 Do (thỏa mãn) Vậy m y x3 m 1 x 6mx Câu 48 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A , B cho đường thẳng AB vng góc với đường thẳng d : y x m 3 � � m2 A � m 2 � � m3 B � m0 � � m C � m0 � � m 3 D � Lời giải Chọn C y� x m 1 x 6m Ta có Để hàm số có hai điểm cực trị � phương trình y ' có hai nghiệm phân biệt � x m 1 x m có hai nghiệm phân biệt � m� � 1 ۹ 4m m 1 m 1 � � y � x m 1 �y� m 1 x m m 1 � � Mặt khác nên AB k AB m 1 AB : y m 1 x m m 1 có hệ số góc Mà d : y x nên d có hệ số góc kd 1 m0 � AB d � k AB kd 1 � m 1 � � m (thỏa mãn) � Do y x3 3mx m 1 x Câu 49 Giá trị m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị có hồnh độ dương A m B m 1 C m Lời giải D m Chọn C 3x 6mx m Ta có y� Để hàm số có có cực đại, cực tiểu điểm cực trị có hồnh độ dương � phương trình y ' có hai nghiệm x1 , x2 dương phân biệt � �� 9m m 1 � � �x1 x2 2m � m 1 � m 1 �x1 x2 0 � Câu 50 Cho hàm số y x mx 3x Tìm m để hàm số cho co điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1 4 x2 A m m� B m� C m� D Lời giải Chọn C 12 x 2mx Ta có y� có hai nghiệm phân biệt Để hàm số có có cực đại, cực tiểu � phương trình y� � � m 36 , m �� m � x1 x2 1 � � � �x x nên ta có �1 Do x1 , x2 hai nghiệm phân biệt phương trình y� � x2 � x1 1 � m � x22 �� 16 � x2 � x1 � m x x � 2 thay vào Theo giả thiết ta Câu 51 Hàm số y ax bx cx d đạt cực trị x1 , x2 nằm hai phía khác trục tung B a , b , c D b 12ac �0 A b 12ac C ac Lời giải Chọn C 3ax 2bx c Hàm số đạt cực trị x1 , x2 nằm hai phía khác trục Ta có y� tung y� có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 x2 Tức � b 3ac � ac � ac � C : y x3 Câu 52 Xác định m để đồ thị qua đường thẳng y x A m 3 mx m 2 có điểm cực đại cực tiểu đối xứng B m � C m � Lời giải D m Chọn B x0 � � y � � x m Do đó, để hàm số có cực đại cực tiểu x 3mx Cho � Ta có y� � � 3� x � y m3 � A � 0; m � �m m3 � � 2 �� I � ; � � � �2 � � x m � y � B m; � m � Ta có ( m �0 trung điểm đoạn AB ) YCBT tương đương với đường thẳng x y trung trực đoạn AB , tức �m m3 � m2 � m2 0 � � �� �� �m�2 �u2uu r m m 0 m2 � �ABr.ur � u 1;1 � � với vec tơ phương đường thẳng x y x mx x m Câu 53 Cho hàm số có đồ thị Giá trị m để khoảng cách hai điểm cực đại cực tiểu nhỏ A m B m C m �� D m 1 Lời giải Chọn B x 2mx Suy hàm số ln có cực đại cực tiểu với giá trị tham số m Ta có y� Gọi x1 , x2 nghiệm y�(cũng hoành độ điểm cực trị) �x m � � y� �y 2 m 1 x 2m 3 � � Ta có C : y x1 x2 Ta có y1 � m 1 a Gọi y1 , y2 tung độ ứng với x1 , x2 Ta có 1 2 m2 1 x1 2m , y2 2 m 1 x2 2m 3 Khi đó, YCBT tương đương Ta có x1 x2 x1 x2 y1 y2 đạt GTNN 2 2� � 2 �2 � �� y1 y2 x1 x2 � m 1 x1 x2 � m2 1 � � m 1 �� � �3 �3 � �� � � Do đó, YCBT thỏa mãn m y x3 m 1 x m x Câu 54 Giá trị m để hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm 2;3 khoảng m � 1;3 � 3; m � 1;3 A B C Lời giải m � 1; D m � 3; Chọn A y� x m 1 x m g x Ta có x , x � 2;3 YCBT tương đương với hàm số đạt cực trị x1 , x2 thỏa Tức � m 1 m � m 3 � � x x � 4 m 1 � 2 � � �� 2 � 2 m 1 2 m �g 2 � � �2 m 1 m � � �g 3 m �3 � � 5 m � �� � m � 1;3 � 3; m4 � � m 1 � A 2;3 Câu 55 Nếu hàm số y x 3mx có hai cực trị B C cho tam giác ABC cân 3 1 m m m m 2 A B C D Lời giải Chọn D y� x 3m x m Ta có Do đó, hàm số có hai điểm cực trị m � x m � y 2m m y� 0� � � B m ; 2m m , C x m � y 2 m m � Khi đó, �AB � � �AC Ta có � YCBT m 2m 2 � AB AC � Câu 56 Hàm số m 2 m 2m m m ; 2m m 2 m 2m m y x3 x m x 3m m 2m m �m có cực đại, cực tiểu đồng thời điểm cực đại cực tiểu cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích Khi giá trị m A m B m C m �1 Lời giải D m 1 Chọn B Ta có y� x2 x m Ta có y 1 x 1 y� 2mx m 1 3 � 1 1 m � m Do đó, hàm số đạt cực trị Gọi x1 , x2 hoành độ cực trị tương ứng với tung độ 1 2mx1 m 1 y2 2mx2 m 1 3 , � x1 x2 2m a Ta có Ta có diện tích y1 , y2 Suy ra, y1 tam giác (theo đề bài) 1 �1 � x1 y2 x2 y1 x1 � 2mx2 m 1 � x2 2mx1 m 1 m 1 x1 x2 2 �3 � S � m 1 2m � m 1 m � m Do đó, S Câu 57 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y mx 3mx 3m có hai AB OA2 OB 20 điểm cực trị A, B cho (Trong O gốc tọa độ ) A m 1 m 1 � � 17 � m 11 C � B m m 1 � � 17 � m 11 D � Lời giải Chọn D y� 3� mx2۹ 6mx Ta có Giả sử x0 � m 0 � x2 � y� A 0;3m 3 , B 2; m 3 m 1 � � AB OA OB 20 � 11m 6m 17 � 17 � m � 11 Lại có Câu 58 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x 3x mx có điểm cực đại điểm cực tiểu cách đường thẳng có phương trình y x 2 A m m0 � � � m B � C m Lời giải D m Chọn A � Ta có y 3x x m �a �0 �� � m 3 � � y � Hàm số có hai cực trị có hai nghiệm phân biệt Gọi x1 , x2 ta có x1 x2 hai nghiệm phương trình y� � � 2m � m �1 y x 3x mx y� �x � x � � 3 3 � � � � Mặt khác � 2m � m6 y� �x 3 � � Suy đường thẳng qua hai cực trị hàm số m � � 2m m6� � 2m A �x1 ; x1 x1 �, B �x2 ; � 3 � � 3 � Hai điểm cực trị đồ thị hàm số � � I 1; m Gọi I trung điểm AB d : y x 1 Gọi Đồ thị hàm số y x 3x mx có điểm cực đại điểm cực tiểu cách đường thẳng có phương trình y x � d // d � I �d 2m � � 1 � m � � � � m0 m � Suy � Kết hợp với điều kiện ta m y x mx 2 có cực tiểu mà khơng có cực đại Câu 59 Giá trị thực tham số m để hàm số A m B m C m Lời giải D m �0 Chọn D x0 � y� x3 2mx x x m � y � � �2 x m � Ta có có ba nghiệm phân biệt Vậy hàm số có ba cực trị gồm hai cực tiểu Nếu m � y� cực đại có nghiệm x , y�đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm Nếu m �0 � y� x Suy hàm số đạt cực tiểu x khơng có cực đại y mx m 3 x 2m m Câu 60 Giá trị thực tham số để hàm số có cực đại mà khơng có cực tiểu A m �3 B 3 m m �0 � �m �3 C � D m �0 Lời giải Chọn A x0 � y� 4mx3 m 3 x x 2mx m 3 � y � 0� � 2mx m � Ta có x � y� � x , y�đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm x Nếu m � y� Suy hàm số đạt cực tiểu x khơng có cực đại Vậy m không thỏa mãn Nếu m �0 hàm số cho hàm trùng phương Điều kiện để hàm trùng �m a0 � �� � a.b �0 �m m 3 �0 � phương m có cực khơng có cực tiểu Câu 61 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác A m đại y x m x m 5m C m Lời giải B m D m �� Chọn A Ta có y� x3 m x x x2 m � Để hàm số có ba cực trị y có ba nghiệm phân biệt m � m x0 � � y� 0� � x � m � Với m Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số A 0; m2 5m 5 , B m ;1 m , C m ;1 m Tam giác ABC cân A nên tam giác ABC � AB BC � m m � m ktm � � m � m � 0 m 3� m 3 tm � � � � y x m2 x m Câu 62 Cho hàm số Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số có cực đại , cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn A m B m C m Lời giải D m Chọn C Ta có y� x m x x x m 1 có ba nghiệm phân biệt Để hàm số có cực đại , cực tiểu y� m � 1 m x0 � � y� 0� � x � m2 � Với 1 m Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số A 0; m 1 , B m ; m4 2m2 m , C m ; m 2m m Tam giác ABC cân A nên tam giác ABC có diện tích 1 S ABC BC.d A, BC m m 2m m2 m 2 Vậy diện tích tam giác ABC lớn m �1, m � 1;1 ... Cực trị hàm bậc trùng phương , Một số kết cần nhớ AB ? ?Hàm số có cực trị ۳ ab ? ?Hàm số có ba cực trị � ab � a0 � �� b �0 � ? ?Hàm số có cực trị cực trị cực tiểu � a0 � �� b �0 � ? ?Hàm. .. Nếu hàm số f đạt cực đại điểm i f �� xi x * Nếu hàm số f đạt cực tiểu điểm i B KIẾN THỨC HỖ TRỢ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 1.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba , Bài toán... Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau Tìm cực trị hàm số: Lời giải Dựa vào bảng biến thiên hàm số, ta thấy: y f x Hàm số có giá trị cực đại x 1 ; y f x Hàm số có giá trị cực