Đang tải... (xem toàn văn)
CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ §1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa Kí hiệu là khoảng hay đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số xác định trên ta có: Hàm số được gọi là đồng biến (tăng) trên nếu: Hàm số được gọi là nghịch biến (giảm) trên nếu: Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên được gọi chung là đơn điệu trên . Nhận xét: Hàm số đồng biến trên , . Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. Hàm số nghịch biến trên , . Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải. 2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm Nếu , hàm số đồng biến trên khoảng . Nếu , hàm số nghịch biến trên khoảng . Nếu , hàm số không đổi trên khoảng . Nếu đồng biến trên khoảng , . Nếu nghịch biến trên khoảng , . Nếu thay đổi khoảng bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. 3. Định lí mở rộng Giả sử hàm số có đạo hàm trên . Nếu với mọi và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên . Nếu với mọi và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên . Chú ý: Hàm phân thức hữu tỉ thì dấu khi xét dấu đạo hàm không xảy ra. B. KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1. Quy tắc và công thức tính đạo hàm Quy tắc tính đạo hàm: Cho , , : là hằng số. Tổng, hiệu: . Tích: . Thương: , . Đạo hàm của hàm hợp: Nếu , . Bảng công thức tính đạo hàm Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp ( là hằng số). , , Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức . . Một số chú ý: Nếu hàm số và cùng đồng biến (nghịch biến) trên thì hàm số cũng đồng biến (nghịch biến) trên . Tính chất này có thể không đúng với . Nếu hàm số và là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên thì hàm số cũng đồng biến (nghịch biến) trên . Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số , không là các hàm số dương trên . Cho hàm số xác định với và . Hàm số cũng xác định với . Ta có nhận xét sau: Giả sử hàm số đồng biến với . Khi đó hàm số đồng biến với đồng biến với . Giả sử hàm số đồng biến với . Khi đó hàm số nghịch biến với nghịch biến với . 2. Lưu ý khi làm bài tập Giả sử . Hàm số đồng biến trên , . Hàm số nghịch biến trên , . Trường hợp 2 thì hệ số khác 0 vì khi thì ( Đường thẳng song song hoặc trùng với thì không đơn điệu). Với dạng toán tìm tham số để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng ta giải như sau: Bước 1: Tính . Bước 2: Hàm số đơn điệu trên có 2 nghiệm phân biệt . Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng . Bước 4: Giải và giao với để suy ra giá trị cần tìm. C. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau. Hãy nêu các khoảng biến thiên của hàm số Lời giải Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng và . Ví dụ 2. Cho hàm số có đồ thị hàm số như sau. Hãy nêu các khoảng biến thiên của hàm số Lời giải Từ đồ thị hàm số ta có hàm số nghịch biến trên khoảng . Hàm số đồng biến trên từng khoảng và . Ví dụ 3. Cho hàm số xác định và liên tục, có đồ thị hàm số như hình sau. Hãy nêu các khoảng biến thiên của hàm số . Lời giải Từ đồ thị hàm số ta có: + suy ra hàm số đồng biến trên khoảng . + suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng . Ví dụ 4. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: a. . b. . c. . d. . e. . f. . g. . h. . Lời giải a. . Ta có bảng xét dấu : Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên khoảng và . Hàm số nghịch biến trên khoảng . b. . Vây hàm số đồng biến trên khoảng . c. . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng . d. . Ta có bảng xét dấu : Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên khoảng và . Hàm số nghịch biến trên khoảng và . e. . Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng và . f. . Bảng xét dấu : Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên từng khoảng và . Hàm số nghịch biến trên khoảng và . g. . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng . h. . Bảng xét dấu : Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên khoảng và . Hàm số nghịch biến trên khoảng . Ví dụ 5. Tìm để hàm số: a. đồng biến trên tập xác định. b. nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định. c. đồng biến trên từng khoảng của tập xác định. d. nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. e. đồng biến trên khoảng . f. đồng biến trên khoảng . g. đồng biến trên khoảng . Lời giải a. Ta có: . Hàm số đã cho đồng biến trên . Vậy . b. Ta có: . Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định . Vậy . c. Ta có: . Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng của tập xác định . Vậy . d. Ta có: . Hàm số đã cho nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn . Vậy hoặc . e. Ta có: . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng . Vậy . f. Ta có: . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng . Xét , . Nếu thì . Vậy . Nếu thì . Vậy . Khi đó . Vậy . g. Ta có: . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng . Vậy . D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Hàm số A. Nghịch biến trên . B. Đồng biến trên . C. Nghịch biến trên . D. Đồng biến trên . Lời giải Chọn A Tập xác định: . ; . Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng và . Hàm số nghịch biến trên khoảng . Câu 2. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây: A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D ; . Bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng . Câu 3. Cho hàm số phù hợp với bảng biến thiên sau: Phát biểu nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên , đồng biến trên . B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và , đồng biến trên . C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và , đồng biến trên . D. Hàm số nghịch biến trên , đồng biến trên . Lời giải Chọn C Câu 4. Hàm số nghịch biến trên khoảng: A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Tập xác định: . ; (thỏa mãn) Hàm số nghịch biến trên . Câu 5. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số là đúng? A. Hàm số đồng biến trên . B. Hàm số đồng biến trên các khoảng và . C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng và . D. Hàm số nghịch biến trên . Lời giải Chọn C Tập xác định: . , . Hàm số nghịch biến trên các khoảng và . Câu 6. Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên dưới. Khẳng định nào sai? A. Hàm số đồng biến trên . B. Hàm số nghịch biến trên . C. Hàm số nghịch biến trên . D. Hàm số đồng biến trên . Lời giải Chọn A Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên các khoảng và . Câu 7. Cho hàm số xác định và liên tục trên có bảng biến thiên Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên . B. Hàm số đồng biến trên . C. Hàm số nghịch biến trên . D. Hàm số nghịch biến trên . Lời giải Chọn A Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng . Câu 8. Hàm số có bảng biến thiên như hình bên là A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Dựa bảng biến thiên ta có Tiệm cận đứng nên loại phương án B. Tiệm cận ngang nên loại phương án C. Xét suy ra nên loại phương án A. Xét suy ra . Vậy chọn phương án D. Câu 9. Hàm số A. Đồng biến trên . B. Nghịch biến trên và đồng biến trên . C. Nghịch biến trên . D. Đồng biến trên . Lời giải Chọn C Xét có tập xác định , Ta có suy ra . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên . Câu 10. Cho 3 hàm số: I. II. III. Hàm số nào đồng biến trên từng khoảng xác định của nó? A. Chỉ I. B. II và III. C. Chỉ II. D. I và III. Lời giải Chọn C • Xét có tập xác định , . Suy ra hàm số luôn đồng biến trên . • Xét có tập xác định , . Suy ra hàm số đồng biến trên . • Xét có tập xác định , . Suy ra hàm số luôn đồng biến trên và trên . Câu 11. Cho hàm số xác định trên và có đạo hàm . Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? A. B. C. D. Lời giải Chọn D Tập xác định . Đạo hàm . Bảng biến thiên : Vậy hàm số đồng biến trên khoảng Câu 12. Cho hàm số ( là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị của để hàm số đã cho luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Tập xác định . Đạo hàm Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi Câu 13. Cho hàm số ( là tham số thực). Tìm tất cả các giá trị của để hàm số đã cho nghịch biến trên ? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Tập xác định . Đạo hàm . Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi . Câu 14. Cho hàm số ( là tham số thực). Tìm giá trị nhỏ nhất của để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Tập xác định . Đạo hàm . Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của để hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định là . Câu 15. Với giá trị nào của thì hàm số đồng biến trên khoảng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta có: . Hàm số đồng biến trên khoảng . Đặt . Ta có: . Ta có BBT: Vậy . Câu 16. Tìm giá trị của để hàm số đồng biến trên A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có: . Hàm số đồng biến trên . Đặt . Ta có: . Trên ta có BBT: Vậy . Câu 17. Tìm để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có: . Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng . Câu 18. Hàm số đồng biến trên khoảng khi giá trị của thỏa mãn: A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có: . Hàm số đồng biến trên khoảng Đặt . Ta có: . Ta có BBT: Vậy . Câu 19. Cho hàm số có đạo hàm trên sao cho . Biết số , hỏi rằng khẳng định nào sau đây là ĐÚNG? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Hhàm số có đạo hàm trên sao cho nên đồng biến trên khoảng . Ta có: . Câu 20. Cho hàm số . Tìm tập tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Đặt . Vì Hàm số đồng biến khi Kết hợp các điều kiện, ta có: . Câu 21. Cho hàm số xác định và liên tục, có đồ thị của hàm số như hình bên. Khi đó, hàm số nghịch biến trên khoảng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Nhìn vào đồ thị, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng . Câu 22. Cho hàm số xác định và liên tục, có đồ thị của hàm số như hình bên. Khi đó hàm số đồng biến trên khoảng A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Từ đồ thị hàm số đã cho ta có Bảng biến thiên: Câu 23. Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số đồng biến trên . B. Hàm số đồng biến trên . C. Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng . D. Hàm số đồng biến trên . Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số đã cho ta có Bảng biến thiên: Câu 24. Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên dưới. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Bảng biến thiên: Câu 25. Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên dưới. Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Bảng biến thiên: Câu 26. Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên dưới. Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Bảng biến thiên: Câu 27. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B . Ta có Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên . Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng . Với Từ và suy ra trên khoảng nên mang dấu . Nhận thấy các nghiệm của là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu. Câu 28. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có . Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng . Câu 29. Cho hàm số Đồ thị hàm số cho bởi hình bên dưới. Đặt Mệnh đề nào dưới đây sai ? A. Hàm số đồng biến trên khoảng . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng . Lời giải Chọn C Ta có . Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên . Câu 30. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới Hỏi hàm số có bao nhiêu khoảng nghịch biến ? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có . Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có khoảng nghịch biến. Câu 31. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B . Ta có Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng . Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ chọn Từ và suy ra trên khoảng Nhận thấy nghiệm của là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu. Câu 32. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Ta có . Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên Câu 33. Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Ta có Bảng biến thiên: Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng . Câu 34. Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số Điểm: . Ta có hệ pt: . Ta có Đặt Bảng biến thiên: Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng . Câu 35. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Bảng biến thiên: Vậy hàm số đồng biến trên khoảng . Câu 36. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D . . Ta có . Bảng biến thiên: Vậy hàm số đồng biến trên khoảng . Câu 37. Cho hàm số , có đạo hàm với mọi . Hỏi số thực nào dưới đây luôn thuộc khoảng đồng biến của hàm số A. . B. . C. . D. 3. Lời giải Chọn D Ta có: Bảng biến thiên của hàm số Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D. Câu 38. Cho hàm số , có đạo hàm với mọi . Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Ta có: Bảng biến thiên của hàm số Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng . Câu 39. Cho hàm số , có đạo hàm với mọi và với mọi . Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có: . Bảng biến thiên của hàm số Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng . Câu 40. Cho hàm số , có đạo hàm với mọi và với mọi . Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có: Bảng biến thiên của hàm số Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng . Câu 41. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Ta có Xét Bảng biến thiên Dựa vào bảng biên thiên ta chọn đáp án C Câu 42. Cho hàm số đạo hàm liên tục trên . Bảng biến thiên của hàm số như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta có Câu 43. Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Hàm số nghịch biến trên những khoảng nào dưới đây A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C . Có , . Bảng xét dấu: . Câu 44. Cho hàm số đạo hàm liên tục trên . Đồ thị của hàm số như hình bên dưới. Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có Số nghiệm của phương trình chính là giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng ( như hình vẽ bên dưới) . Dựa vào đồ thị, suy ra Lập bảng biến thiên Vậy hàm số đồng biến trên và . Vậy chọn đáp án B. Câu 45. Cho hàm số đạo hàm liên tục trên . Đồ thị của hàm số như hình bên dưới. Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Ta có Hàm số đồng biến khi và chi khi Vẽ đồ thị của hàm số và trên cùng một hệ trục như hình vẽ bên dưới Từ đồ thị ta có . Câu 46. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số như hình bên dưới. Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Xét hàm số . Tập xác định: Ta có Đặt , phương trình trở thành Từ đồ thị ta có Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng . Câu 47. Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình bên dưới và . Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với mọi Xét hàm số . Tập xác định: Ta có Bảng xét dấu: Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng và . Câu 48. Cho hàm số .Đồ thị hàm số như hình bên dưới. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số ta có: Xét hàm số . Tập xác định: Ta có Bảng xét dấu: Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng . Câu 49. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D Từ đồ thị hàm số ta có đồng biến trên khoảng và Xét hàm số . Tập xác định: Ta có TH1: . TH2: Vậy hàm số đồng biến trên khoảng . Câu 50. Cho hàm số xác định trên tập số thực và có đồ thị như hình sau. Đặt , hàm số nghịch biến trên khoảng? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Xét hàm số . Tập xác định: Ta có Có: Bảng xét dấu: Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên khoảng . Câu 51. Cho hàm số có đạo hàm trên và có đồ thị như hình vẽ. Xét hàm số . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số nghịch biến trên . B. Hàm số nghịch biến trên . C. Hàm số nghịch biến trên . D. Hàm số đồng biến trên . Lời giải Chọn A Xét hàm số , . Bảng xét dấu : Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng là sai. Câu 52. Cho hàm số có đạo hàm trên . Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số ( liên tục trên ). Xét hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C + Đặt , . + + Hàm số nghịch biến khi và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm Giải (I): Từ đồ thị hàm số ta có: Xét (II): Từ đồ thị ta có: Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng: . Câu 53. Cho hàm số có đạo hàm trên . Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số ( liên tục trên ). Xét hàm số . Mệnh đề nào dưới đây sai ? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng . B. Hàm số đồng biến trên khoảng . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng . Lời giải Chọn C Ta có . Từ đồ thị ta có và và . Hàm số nghịch biến thì hoặc hoặc hoặc . Vậy hàm số nghịch biến trên và . Câu 54. Cho hàm số có đạo hàm , với . Có bao nhiêu số nguyên để hàm số đồng biến trên khoảng ? A. 18. B. 82. C. 83. D. 84. Lời giải Chọn C Ta có . Hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi (Dấu “ ” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm ) . Xét hàm số Suy ra (1) vô nghiệm, . Kết hợp với điều kiện nguyên và ta suy ra . Vậy có 82 giá trị của thỏa mãn. Câu 55. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Có bao nhiêu số nguyên dương để hàm số đồng biến trên khoảng ? A. 5. B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có . Hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi (Dấu “ ” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm ) (vì và ) với . Do nên , áp dụng bất đẳng thức AMGM ta có: , dấu “=” xảy ra khi . , kết hợp với điều kiện nguyên dương, suy ra . Vậy có giá trị của thỏa mãn. Câu 56. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng . A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B Ta có: . Hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi: . Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là ? A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A Tập xác định: . Ta có Ta không xét trường hợp vì Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3 . . có 2 nghiệm thỏa . Câu 58. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ngịch biến trên khoảng là , trong đó là phân số tối giản và . Hỏi tổng là? A. 5. B. 9. C. 7. D. 3. Lời giải Chọn C Tập xác định . Ta có . Hàm số nghịch biến trên . Lập bảng biến thiên của trên . Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: . Vậy . Câu 59. Bất phương trình có tập nghiệm là . Hỏi tổng có giá trị là bao nhiêu? A. . B. 4. C. 5. D. 3. Lời giải Chọn C Điều kiện: . Xét trên đoạn . Có . Do đó hàm số luôn đồng biến trên đoạn . Suy ra . Kết hợp với điều kiện ta được . Vậy . Câu 60. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng ? A. 5. B. 3. C. 0. D. 4. Lời giải Chọn D Ta có . Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi . Xét hàm số , , Bảng biến thiên: Dựa vào BBT ta có , suy ra các giá trị nguyên âm của tham số là .
CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ §1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Kí hiệu có: K y = f ( x) khoảng hay đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y = f ( x) Hàm số gọi đồng biến (tăng) K xác định K ta nếu: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) y = f ( x) Hàm số gọi nghịch biến (giảm) K nếu: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến * Nhận xét: y = f ( x) K K ⇔ Hàm số đồng biến thị hàm số lên từ trái sang phải y = f ( x) K gọi chung đơn điệu f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 >0 K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 ≠ x2 , ⇔ f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ ( a; b ) Nếu , hàm số đồng biến khoảng f ( x) f ′ ( x ) < ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ ( a; b ) Nếu , hàm số nghịch biến khoảng f ( x) f ′ ( x ) = ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ ( a; b ) Nếu , hàm số không đổi khoảng f ( x) ( a; b ) ⇒ f ′ ( x ) ≥ ∀x ∈ ( a; b ) Nếu đồng biến khoảng , f ( x) ( a; b ) ⇒ f ′ ( x ) ≤ ∀x ∈ ( a; b ) Nếu nghịch biến khoảng , ( a; b ) Nếu thay đổi khoảng đoạn nửa khoảng phải bổ sung thêm giả thiết f ( x) “hàm số liên tục đoạn nửa khoảng đó” Định lí mở rộng f K Giả sử hàm số có đạo hàm f ′( x) ≥ x∈K f ′( x) = x∈K Nếu với số hữu hạn điểm hàm số f K đồng biến f ′( x) ≤ f ′( x) = x∈K x∈K Nếu với số hữu hạn điểm hàm số f K nghịch biến Chú ý: ax + b x ≠ − d y= ÷ y′ c cx + d "=" Hàm phân thức hữu tỉ dấu xét dấu đạo hàm không xảy B KIẾN THỨC BỔ TRỢ Quy tắc cơng thức tính đạo hàm u = u ( x) v = v ( x) C Quy tắc tính đạo hàm: Cho , , : số ( u ± v ) ′ = u ′ ± v′ Tổng, hiệu: ( u.v ) ′ = u′v + uv′ ⇒ ( C.u ) ′ = C.u ′ Tích: C u ′ u ′ u′v − uv′ C ′ = ⇒ =− ÷ ÷ ( v ≠ 0) u v u v Thương: , y = f ( u ) u = u ( x ) ⇒ y x′ = yu′ u x′ Đạo hàm hàm hợp: Nếu , Bảng cơng thức tính đạo hàm Đạo hàm hàm sơ cấp Đạo hàm hàm hợp ( C)′ = C ( số) x n ′ = n.xn−1 u n ′ = n.u n −1.u ′ ( ) ( ) ′ ÷ =− x x ( x )′ = 21x ( x ≠ 0) u′ ′ ÷ =− u u ( u ≠ 0) ( x > 0) ( u ) ′ = 2u′u ( u > 0) , , ( sin x ) ′ = cos x ( sin u ) ′ = u′.cos u ( cos x ) ′ = − sin x ( cos u ) ′ = −u′.sin u ( tan x ) ′ = cos x ( tan u ) ′ = u′ cos u ( cot x ) ′ = − sin x ( cot x ) ′ = − u′ sin u Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức ad − bc ax + b ′ ÷= cx + d ( cx + d ) a b a c b c x + x + d f e f ax + bx + c ′ d e ÷= dx + ex + f ( dx2 + ex + f ) * Một số ý: f ( x) Nếu hàm số g ( x) đồng biến (nghịch biến) K f ( x) + g ( x) hàm số f ( x) − g ( x) K đồng biến (nghịch biến) Tính chất khơng với f ( x) g ( x) K Nếu hàm số hàm số dương đồng biến (nghịch biến) f ( x ) g ( x ) hàm số đồng biến (nghịch biến) f ( x) hàm số Tính chất khơng g ( x) , u = u ( x) Cho hàm số K K không hàm số dương f u ( x ) x ∈ ( a; b ) u ( x ) ∈ ( c; d ) xác định với Hàm số xác x ∈ ( a; b ) định với * Ta có nhận xét sau: u = u ( x) Giả sử hàm số x ∈ ( a; b ) đồng biến với x ∈ ( a; b ) ⇔ f ( u ) Khi hàm số f u ( x ) đồng biến với u ∈ ( c; d ) đồng biến với f u ( x ) u = u ( x) x ∈ ( a; b ) Giả sử hàm số đồng biến với Khi hàm số nghịch biến với x ∈ ( a; b ) ⇔ f ( u ) u ∈ ( c; d ) nghịch biến với Lưu ý làm tập y = f ( x ) = ax3 + bx + c + d ⇒ f ′ ( x ) = 3ax + 2bx + c Giả sử a > ∆ ≤ ⇔ a = b = c > R ⇔ f ′ ( x ) ≥ ∀x ∈ R Hàm số đồng biến , a < ∆ ≤ ⇔ a = b = c < R ⇔ f ′ ( x ) ≤ ∀x ∈ R Hàm số nghịch biến , f x = ( ) d c a=b=c=0 Trường hợp hệ số khác Ox ( Đường thẳng song song trùng với khơng đơn điệu) m * Với dạng tốn tìm tham số để hàm số bậc ba đơn điệu chiều khoảng có độ l dài ta giải sau: y′ = f ′ ( x; m ) = ax + bx + c Bước 1: Tính a ≠ ⇔ ( x1; x2 ) ⇔ y′ = ∆ > ( *) Bước 2: Hàm số đơn điệu có nghiệm phân biệt l ⇔ x1 − x2 = l Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = l ⇔ S − P = l ( **) ( *) Bước 4: Giải ( **) giao với để suy giá trị m cần tìm C CÁC VÍ DỤ y = f ( x) Ví dụ Cho hàm số có bảng biến thiên sau Hãy nêu khoảng biến thiên hàm số Lời giải ( −1;3) Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) Hàm số nghịch biến khoảng ( 3; +∞ ) y = f ( x) Ví dụ Cho hàm số có đồ thị hàm số sau Hãy nêu khoảng biến thiên hàm số Lời giải y = f ( x) Từ đồ thị hàm số ( −1;1) ta có hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −1) Hàm số đồng biến khoảng ( 1; +∞ ) y = f ( x) y = f '( x) Ví dụ Cho hàm số xác định liên tục, có đồ thị hàm số khoảng biến thiên hàm số Lời giải y = f '( x) Từ đồ thị hàm số ta có: f ' ( x ) ≥ ⇔ x ≥ −2 + y = f ( x) suy hàm số f ' ( x ) < ⇔ x < −2 y = f ( x) + suy hàm số Ví dụ Xét chiều biến thiên hàm số sau: ( −2; +∞ ) đồng biến khoảng a y= b y = x − x + 5x −1 y= e 2x −1 x+5 d y= f x + x2 + 2 x + x + 26 x+2 h y = ( x − 2) y = 2x −1 − − x g ( −∞; −2 ) x3 − x2 + x −1 y=− c nghịch biến khoảng y = x3 − x + x − hình sau Hãy nêu ( x + 1) Lời giải y = x3 − x + x − ⇒ y ' = x − x + a y' Ta có bảng xét dấu : y′ Từ bảng xét dấu biến khoảng y= b ta có hàm số đồng biến khoảng 1 ;1÷ 3 1 −∞; ÷ 3 ( 1; +∞ ) Hàm số nghịch x3 − x + x − ⇒ y ' = x − x + = ( x − ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ( −∞; +∞ ) Vây hàm số đồng biến khoảng y = x − x + x − ⇒ y ' = 3x − x + > 0, ∀x ∈ ¡ 2 c ( −∞; +∞ ) Vậy hàm số đồng biến khoảng y=− d x + x + ⇒ y ' = −2 x3 + x 2 y′ Ta có bảng xét dấu : ( −∞; −1) y' Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến khoảng ( −1;0 ) biến khoảng y= ( 0;1) Hàm số nghịch ( 1; +∞ ) 2x −1 11 ⇒ y' = > 0, ∀x ≠ −5 x+5 ( x + 5) e ( −∞; −5) Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −5; +∞ ) ( x + 1) ( x + ) − ( x + x + 26 ) x + x − 24 x + x + 26 ⇒ y′ = = 2 x+2 ( x + 2) ( x + 2) y= f y′ Bảng xét dấu : ( −∞; −6 ) y′ Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến khoảng ( −6; −2 ) nghịch biến khoảng y = 2x −1 − − x ⇒ y ' = g y = ( x − 2) ( x + 1) Hàm số ( −2; ) 2x −1 Vậy hàm số đồng biến khoảng ( 2; +∞ ) + 1 > 0, ∀x ∈ ;3 ÷ 3− x 2 1 ;3 ÷ 2 ⇒ y ' = 3( x − 2) ( x + 1) + ( x − 2) ( x + 1) = ( x − 2) ( x + 1) ( x + ) h y′ Bảng xét dấu : ( −∞; −1) y′ Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến khoảng 4 −1; − ÷ 7 − ; +∞ ÷ nghịch biến khoảng m Ví dụ Tìm để hàm số: y = x − 3mx + ( m + ) x − m a đồng biến tập xác định mx + y= x+m b nghịch biến khoảng tập xác định x − 2mx − y= x−m c đồng biến khoảng tập xác định 1 y = x3 − mx + 2mx − 3m + d nghịch biến khoảng có độ dài x+m y= ( −1; +∞ ) x−m e đồng biến khoảng 2 x − 2mx + 3m y= ( 1; +∞ ) x − 2m f đồng biến khoảng Hàm số ( 1; ) y = x − 2mx − 3m + g đồng biến khoảng Lời giải y′ = 3x − 6mx + m + a Ta có: ¡ ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 3x − 6mx + m + ≥ 0, ∀x ∈ ¡ Hàm số cho đồng biến 3 > ⇔ ⇔ 9m2 − 3m − ≤ ⇔ − ≤ m ≤ ∆′ = ( −3m ) − ( m + ) ≤ m ∈ − ;1 Vậy y′ = m2 − ( x + m) b Ta có: Hàm số cho nghịch biến khoảng tập xác định ⇔ y ′ > 0, ∀x ≠ −m ⇔ m − > m < −2 ⇔ m > m ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) Vậy y′ = x − 2mx + 2m + 2 ( x − m) c Ta có: ⇔ y ′ ≥ 0, ∀x ≠ m Hàm số cho đồng biến khoảng tập xác định 1 > ⇔ ⇔ −m2 − ≤ ⇔ m ∈ ¡ 2 2 ⇔ x − 2mx + 2m + ≥ 0, ∀x ≠ m ∆′ = m − 2m − ≤ Vậy m∈¡ y′ = x − mx + 2m d Ta có: Hàm số cho nghịch biến khoảng có độ dài x1 , x2 nghiệm phân biệt thỏa mãn 3⇔ y′ = phương trình ∆ = m − 8m > m − 8m > ⇔ ⇔ x1 − x2 = x1 − x2 = ( x1 − x2 ) = có m < m < m = m > m − 8m > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m > m = −1 m = x + x − x x = 2 ( ) m = −1 m − 8m = m = −1 −2m y′ = ( x − m) e Ta có: Vậy m=9 Hàm số cho đồng biến khoảng m < ⇔ ⇔ m ≤ −1 m ≤ −1 m ∈ ( −∞; −1) Vậy y′ = −2m > ⇔ ( −1; +∞ ) ⇔ y′ > 0, ∀x ∈ ( −1; +∞ ) m ∉ ( −1; +∞ ) x − 4mx + m ( x − 2m ) f Ta có: ( 1; +∞ ) Hàm ⇔ số x − 4mx + m ( x − 2m ) cho đồng biến ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ( 1; +∞ ) khoảng x − 4mx + m ≥ 0, ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ⇔ 2m ∉ ( 1; +∞ ) x − 4mx + m ≥ 0, ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ⇔ ( 1) m ≤ ( ( f ( x ) = x − 4mx + m Xét Nếu , ( + 3) m < ( − 3) m ⇔ m < ⇔ m ≤ 2+ Nếu x = + m f ( x) = ⇔ x = − m Vậy m ( − 3) m ⇔ m > ⇔ m ≤ 2− ) ) f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 1; +∞ ) ⇔ + m ≤ Khi m < m < ( 1) ⇔ 0 < m < − ⇔ 0 < m < − m ≤ ( m ∈ ( −∞;0 ) ∪ 0; − Vậy ) y′ = x − 4mx g Ta có: ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ( 1; ) ⇔ x − 4mx ≥ 0, ∀x ∈ ( 1; ) ( 1; ) Hàm số cho đồng biến khoảng x2 ⇔ m ≤ ⇔ m ≤ x , ∀x ∈ ( 1; ) ⇔ m ≤ [ 1;2] m ∈ ( −∞;1] Vậy D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x3 x f ( x) = − − 6x + Câu Hàm số ( −2;3) A Nghịch biến ( −∞; − ) C Nghịch biến ( −2; + ∞ ) B Đồng biến ( −2;3) D Đồng biến Lời giải Chọn A Tập xác định: D=¡ x = ⇔ y′ = x − x − y ′ = ⇔ x − x − = x = −2 ; Bảng biến thiên: 2 ( −∞; − ) Câu ( 3; + ∞ ) Hàm số đồng biến khoảng ( −2;3) Hàm số nghịch biến khoảng y = x3 + 3x − Hàm số nghịch biến khoảng sau đây: Dựa vào bảng biên thiên ta chọn đáp án C y = f ( x) Câu 42 Cho hàm số đạo hàm liên tục ¡ f ¢( x) Bảng biến thiên hàm số hình ỉ xư ữ g( x) = f ỗ +x ỗ1- ữ ữ ữ ỗ ố 2ứ v Hm s nghch bin trờn khoảng khoảng sau? ( - 4;- 2) A ( - 2;0) B ( 0;2) C Lời giải ( 2;4) D Chọn A g¢( x) = Ta cú ổ xử ữ ữ ffÂỗ + 1< ỗ ữ ữ ỗ ố 2ứ ổ xữ x Âỗ ữ > Þ < 1< Û - < x < - ỗ ữ ỗ ố 2ữ ø f ( x) Câu 43 Cho hàm số có bảng xét dấu đạo hàm sau: y = f ( − x ) + x2 + − x Hàm số ( −∞ ; − ) A nghịch biến khoảng ( −∞ ;1) ( −2;0 ) ( −3; − ) B C D Lời giải Chọn C x y ′ = −2 f ′ ( − x ) + x x +1 x2 + −1 < Có Bảng xét dấu: −1 ∀x ∈ ( −2; ) , ⇒ −2 f ′ ( − x ) < 0, ∀x ∈ ( −2;0 ) ⇒ −2 f ′ ( − x ) + x x +1 − < 0, ∀x ∈ ( −2;0 ) y = f ( x) Câu 44 Cho hàm số đạo hàm liên tục ¡ f ¢( x) Đồ thị hàm số hình bên g( x) = 2f ( x) - x2 Hàm số đồng biến khoảng khoảng sau? ( - ¥ ;- 2) A ( - 2;2) B ( 2;4) C Lời giải ( 2;+¥ ) D Chọn B gÂ( x) = 2f Â( x) - 2x ị g¢( x) = Û f ¢( x) = x Ta có g¢( x) = Số nghiệm phương trình y = f ¢( x) giao điểm đồ thị hàm số d :y = x đường thẳng ( hình vẽ bên dưới) Dựa vào đồ thị, suy Lập bảng biến thiên éx = - ê g¢( x) = Û ê êx = ê x=4 ê ë ( - 2;2) d :y = x Vậy hàm số đồng biến y = f ( x) Câu 45 Cho hàm số đạo hàm liên tục g( x) = 2f ( x) + ( x + 1) ¡ Vậy chọn đáp án B f ¢( x) Đồ thị hàm số hình bên Hàm số đồng biến khoảng khoảng sau? ( −3;1) A ( 4;+¥ ) ( 1;3) B ( −∞;3) C Lời giải ( 3; +∞ ) D Chọn A g¢( x) = é f ¢ x + x + 1ù ê ú ë ( ) û Ta có g¢( x) ³ Û f ¢( x) + x + ³ Û f ¢( x) ³ - x - Hàm số đồng biến chi y = f ¢( x) Vẽ đồ thị hàm số y =- x- hệ trục hình vẽ bên éx £ - f ¢( x) ³ - x - Û ê ê1 £ x £ ê ë Từ đồ thị ta có y = f ( x) y = f ′( x) ¡ Câu 46 Cho hàm số có đạo hàm liên tục Đồ thị hàm số hình bên g ( x) = f ( 1− x) + Hỏi hàm số ( −3;1) A ( −2;0 ) B x2 −x nghịch biến khoảng khoảng sau? 3 −1; ÷ 2 C Lời giải Chọn B g ( x) = f ( 1− x) + x2 −x ¡ Xét hàm số Tập xác định: g′ ( x ) = − f ( 1− x ) + x −1 Ta có g ′ ( x ) < ⇔ − f ( − x ) + x − < ⇔ − f ( − x ) < − x ( *) ( 1;3) D Đặt 1− x = t − f ( t ) < t ⇔ f ( t ) > −t ( *) , phương trình trở thành t < −3 1 − x < −3 x > ⇒ ⇔ f ′ ( t ) > −t ⇔ 1 < t < 1 < − x < −2 < x < Từ đồ thị ta có g ( x) ( −2;0 ) Vậy hàm số nghịch biến khoảng y = f ( x) y = f ′( x) f ( −2 ) = f ( ) = Câu 47 Cho hàm số Đồ thị hàm số hình bên Hàm số g ( x ) = f ( x ) 3 −1; ÷ 2 A nghịch biến khoảng khoảng sau? ( −2; −1) B ( −1;1) C Lời giải ( 1; ) Chọn D f ′( x) Dựa vào đồ thị hàm số f ′ ( x ) = ⇔ x = 1, x = ±2 ta thấy D Bảng biến thiên: f ( x) < Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g ( x ) = f ( x ) với x ≠ ±2 Xét hàm số Tập xác định: g′ ( x) = f ′( x ) f ( x ) Ta có ¡ f ( x) = x = ±2 g′( x) = ⇔ ⇔ x = 1; x = ±2 f ′ ( x ) = Bảng xét dấu: g ( x) Vậy hàm số Câu 48 Cho hàm số g ( x) = f ( ( −∞; −2 ) ( 1; ) nghịch biến khoảng y = f ( x) y = f ′( x) Đồ thị hàm số hình bên Hàm số x2 + x + ) nghịch biến khoảng khoảng sau? A ( −∞;1 − 2 ) Chọn C ( −∞;1) B ( 1; C Lời giải ) −1 D (2 − 1; +∞ ) Dựa vào đồ thị hàm số ta có: g ( x) = f ( x2 + 2x + Xét hàm số g′( x) = Ta có x = −1 f ′ ( x ) = ⇔ x = x = x +1 x + 2x + 2 f′ ) ¡ Tập xác định: ( x2 + x + ) x = −1( nghiem boi ba ) x = −1 x +1 = g′ ( x) = ⇔ ⇔ x + x + = ⇔ x = −1 − 2 f ′ x + 2x + = x + x + = x = 2 − ) ( Bảng xét dấu: Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số nghịch biến khoảng có đồ thị hình vẽ Hỏi hàm số ( 1; +∞ ) A ( −1;0 ) ) −1 y = f ( 2− x y = f ( x) Câu 49 Cho hàm số sau đây? ( 1; B ) đồng biến khoảng ( −2;1) C Lời giải ( 0;1) D Chọn D y = f ( x) Từ đồ thị hàm số ta có g ( x ) = f ( − x2 ) Xét hàm số g ′ ( x ) = −2 xf ′ ( − x ) Ta có ( −∞; ) đồng biến khoảng Tập xác định: ¡ g ′ ( x ) > ⇔ −2 xf ′ ( − x ) > ⇔ xf ′ ( − x ) < ( 2; +∞ ) TH1: TH2: x > x > x > ⇔ ⇔ ⇒0< x< 2 0 < − x < f ′ ( − x ) < − < x < x < f ′ ( − x ) x < ⇔ 2 − x2 > ⇔ x < >0 2 − x < g ( x ) = f ( − x2 ) Vậy hàm số đồng biến khoảng y = f ( x) Câu 50 Cho hàm số ( −∞; ) ∪ ( 0; ) f ′( x) có đồ thị hình sau Đặt g ( x) , hàm số ( 1; +∞ ) nghịch biến khoảng? ( −1; ) ¡ xác định tập số thực g ( x) = f ( x) − x A B ( 2; +∞ ) C Lời giải ( −∞; −1) D Chọn B g ( x) = f ( x) − x Xét hàm số Tập xác định: g′ ( x) = f ′( x) −1 < ⇔ f ′ ( x) < Ta có x = −1 f ′ ( x ) = ⇔ x = x = Có: Bảng xét dấu: g ( x) ¡ ( −1; ) Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến khoảng y = f ( x) y = f ′( x) ¡ Câu 51 Cho hàm số có đạo hàm có đồ thị hình vẽ g ( x ) = f ( x2 − 2) Xét hàm số Mệnh đề sau sai? ( −1;0 ) ( −∞; −2 ) A Hàm số nghịch biến B Hàm số nghịch biến ( 0; ) ( 2; +∞ ) C Hàm số nghịch biến D Hàm số đồng biến Lời giải Chọn A g ( x ) = f ( x − ) g ′ ( x ) = f ′ ( x − ) ×2 x Xét hàm số , x = x = x = g′ ( x ) = ⇔ ⇔ x − = −1 ⇔ x = ±1 ′ f x − = ) ( x2 − = x = ±2 g′( x ) Bảng xét dấu : g ( x) ( −1;0 ) Suy hàm số nghịch biến khoảng sai y = f ( x) ¡ Câu 52 Cho hàm số có đạo hàm Đường cong hình vẽ bên đồ thị y = f ′( x) y = f ′( x) ¡ hàm số ( liên tục ) g ( x ) = f ( x − 5) Xét hàm số nghịch biến khoảng sau đây? ( −1;0 ) A ( −1;1) B ( 0;1) C Lời giải ( 1; ) D Chọn C g ( x ) = f ( x − 5) = f ( u ) u = x2 − + Đặt , g ′ x = x − ′ f ′ u = x f ′ x − ( ) ( ) ( ( ) + g′( x) ≤ y = g ( x) + Hàm số ) nghịch biến dấu xảy hữu hạn điểm x ≤ (I ) ′ f x − ≥ ( ) ⇔ x f ′ ( x − ) ≤ ⇔ x ≥ ( II ) ′ f x − ≤ ( ) y = f ′( x) Giải (I): Từ đồ thị hàm số ta có: x ≤ ⇔x≤− x ≤ x ≥ x ≤ − ( I ) ⇔ x2 − ≥ ⇔ x ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ −1 x ≥ ⇔ −2 ≤ x ≤ −1 ⇔ − ≤ x − ≤ − x ≤ y = f ′( x) Xét (II): Từ đồ thị ta có: x ≥ 2 x − ≤ −4 ⇔ x ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ ( II ) ⇔ −1 ≤ x − ≤ ⇔ x ≥ ⇔ x ≤ −2 ∨ x ≥ ⇔ − ≤ x ≤ −2 ∨ ≤ x ≤ x ≤ ⇔ − ≤ x ≤ x ≥ ⇔ ≤ x ≤1 − ≤ x ≤ ⇔ x ≥ ⇔2≤ x≤ − ≤ x ≤ −2 ∨ ≤ x ≤ ( −∞; − ) ; ( −2; −1) ; ( 0;1) ; ( 2; ) Vậy hàm số đồng biến khoảng: y = f ( x) ¡ Câu 53 Cho hàm số có đạo hàm Đường cong hình vẽ bên đồ thị y = f ′( x) y = f ′( x) ¡ hàm số ( liên tục ) g ( x ) = f ( x2 − 2) Xét hàm số A Hàm số B Hàm số C Hàm số g ( x) g ( x) g ( x) g ( x) D Hàm số Mệnh đề sai ? ( −∞; −2 ) nghịch biến khoảng ( 2; +∞ ) đồng biến khoảng ( −1;0 ) nghịch biến khoảng ( 0; ) nghịch biến khoảng Lời giải Chọn C g ′ ( x ) = f ′ ( x − ) ×( x − ) ′ = x ×f ′ ( x − ) Ta có f ′( x) < ⇔ x < f ′( x) > ⇔ x > Từ đồ thị ta có g ( x) và x ≠ −1 g ′ ( x ) < ⇔ x ×f ′ ( x − ) < Hàm số nghịch biến x > x < ⇔ 2 f ′ ( x − ) < f ′ ( x − ) > x > ⇔ x2 − < x < x ≠ −1 x − > x < x > ⇔ −2 < x < x > x ≠ x < −2 0 < x < ⇔ x < −2 ( 0; ) ( −∞; −2 ) Vậy hàm số nghịch biến y = f ( x) f ′ ( x ) = ( x − 1) Câu 54 Cho hàm số nguyên A 18 (x − 2x ) có đạo hàm m < 100 , với ∀x ∈ ¡ g ( x ) = f ( x2 − 8x + m ) để hàm số B 82 Có số ( 4; +∞ ) đồng biến khoảng C 83 D 84 Lời giải ? Chọn C Ta có g ′ ( x ) = ( x − ) f ′ ( x − x + m ) = ( x − ) ( x − x + m − 1) g ( x) Hàm số (x − 8x + m ) ( x2 − x + m − ) g ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 4; + ∞ ) ( 4; + ∞ ) đồng biến khoảng = (Dấu “ ” xảy hữu hạn điểm ) ⇔ ( x − x + m ) ( x − x + m − ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 4; + ∞ ) m ≤ − x + x, ∀x ∈ ( 4; + ∞ ) (1) ⇔ m ≥ − x + x + 2, ∀x ∈ ( 4; + ∞ ) (2) h ( x ) = − x + x, x ∈ ( 4; + ∞ ) Xét hàm số h′ ( x ) = −2 x + = ( − x ) < 0, ∀x ∈ ( 4; + ∞ ) ( ) ⇔ m ≥ h ( ) = 18 Suy (1) vơ nghiệm, Kết hợp với điều kiện Vậy có 82 giá trị m m nguyên m < 100 f ′ ( x ) = x ( x − 1) (x + mx + ) có đạo hàm nhiêu số nguyên dương A ta suy thỏa mãn y = f ( x) Câu 55 Cho hàm số m ∈ { 18;19; ;99 } m để hàm số B với g ( x) = f ( − x) x∈¡ Có bao ( 3;+ ∞ ) đồng biến khoảng C D Lời giải ? Chọn B Ta có 2 g ( x ) = f ( − x ) ⇒ g ′ ( x ) = ( − x ) ′ f ′ ( − x ) = ( x − 3) ( − x ) ( − x ) + m ( − x ) + g ( x) Hàm số = ( 3; + ∞ ) đồng biến khoảng g ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 3; + ∞ ) (Dấu “ ” xảy hữu hạn điểm ) 2 ⇔ ( x − 3) ( − x ) ( − x ) + m ( − x ) + ≥ 0, ∀x ∈ ( 3; + ∞ ) ⇔ ( − x ) + m ( − x ) + ≥ 0, ∀x ∈ ( 3; + ∞ ) (vì ⇔ m ≤ h ( x ) h( x) = ( 6; +∞ ) x−3> nên ( x − 3) h ( x) = +9 x−3 ⇒ h ( x ) = ( 6; +∞ ) > 0, ∀x ∈ ( 3; + ∞ ) ) , áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: ≥2 x −3 = ( x − 3) + ⇒m≤6 +9 x−3 với x ∈ ( 3; +∞ ) Do ( x − 3) ( − x) x−3> =6 x−3 ( x − 3) × , kết hợp với điều kiện m , dấu “=” xảy x=6 m ∈ { 1; 2;3; 4;5; } nguyên dương, suy Vậy có giá trị m thỏa mãn cot x − m cot x − y= Câu 56 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số π π ; ÷ 4 2 m ∈ ( −∞; ) ∪ ( 1; + ∞ ) A m ∈ ( 1; + ∞ ) C Chọn B y′ = đồng biến khoảng m ∈ ( −∞;0 ) B m ∈ ( −∞;1) D Lời giải − ( + cot x ) ( m cot x − 1) + m ( + cot x ) ( cot x − 1) ( m cot x − 1) ( + cot x ) ( − m ) = ( m cot x − 1) Ta có: Hàm số đồng biến khoảng π π ; ÷ 4 2 khi: π π m cot x − ≠ 0, ∀x ∈ ; ÷ m ≤ ∨ m ≥ ⇔ ⇔m≤0 + cot x − m ( ) − m > ( ) π π y′ = > 0, ∀x ∈ ; ÷ 4 2 m cot x − ( ) y= Câu 57 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số biến đoạn có độ dài ? m = −1; m = m = −1 m=9 A B C x − mx + 2mx − 3m + nghịch m = 1; m = −9 D Lời giải Chọn A Tập xác định: y′ = x − mx + 2m D=¡ Ta có y′ ≤ 0, ∀x ∈ ¡ a =1> Ta khơng xét trường hợp x1 , x2 ⇔ y′ = Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài có nghiệm thỏa ∆ > ⇔ m − 8m > m > hay m < m = −1 x1 − x2 = ⇔ ⇔ ⇔ 2 m = m − 8m = ( x1 − x2 ) = ⇔ S − P = y = − x + ( 2m − ) x + m Câu 58 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số ( 1; ) khoảng A p −∞; q ngịch biến p q , B p+q q>0 phân số tối giản C Lời giải Hỏi tổng D là? Chọn C Tập xác định D=¡ y ′ = −4 x3 + 2(2m − 3) x Ta có (1;2) ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ (1;2) ⇔ m ≤ x + Hàm số nghịch biến (1; 2) g ′( x) = x = ⇔ x = g ( x) Lập bảng biến thiên Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: x3 + 3x + x + 16 − − x ≥ Câu 59 Bất phương trình có giá trị bao nhiêu? −2 B p +q = 5+ = Vậy [ a; b] có tập nghiệm C Lời giải Hỏi tổng D Chọn C Điều kiện: −2 ≤ x ≤ [ −2; 4] f ( x) = x3 + 3x + x + 16 − − x Xét m ≤ g ( x) ⇔ m ≤ A = g ( x), ∀x ∈ (1; 2) đoạn a+b f ′( x ) = Có ( x + x + 1) x3 + x + x + 16 [ −2; 4] biến đoạn x ∈ [ 1; 4] Vậy + > ∀x ∈ ( −2; ) 4− x f ( x) Do hàm số ln đồng f ( x ) ≥ f (1) = ⇒ x ≥ Suy a+b = Kết hợp với điều kiện ta y = x + mx − Câu 60 Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số x5 đồng biến ( 0; + ∞ ) khoảng A ? B C Lời giải D Chọn D y′ = 3x + m + Ta có x6 ( 0; +∞ ) y′ = x + m + ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) x6 Hàm số đồng biến 1 ⇔ −3 x − ≤ m, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) g ( x) = −3 x − ≤ m x ∈ ( 0; +∞ ) x x Xét hàm số , −6( x8 − 1) g ′( x ) = ⇔ x = g ′( x) = −6 x + = x = −1(loai) x x7 , Bảng biến thiên: Dựa vào BBT ta có m ≥ −4 , suy giá trị nguyên âm tham số m −4; −3; −2; −1 ... Nếu hàm số g ( x) đồng biến (nghịch biến) K f ( x) + g ( x) hàm số f ( x) − g ( x) K đồng biến (nghịch biến) Tính chất khơng với f ( x) g ( x) K Nếu hàm số hàm số dương đồng biến (nghịch biến) ... B Hàm số nghịch biến khoảng , đồng biến ( −∞;1) ( 3; + ∞ ) ( 1;3) C Hàm số nghịch biến khoảng , đồng biến 1 −∞; − ÷∪ ( 1; + ∞ ) − ;1÷ 3 D Hàm số nghịch biến , đồng biến. .. ) A Hàm số đồng biến C Hàm số nghịch biến ¡ B Hàm số đồng biến ¡ ( −2; ) D Hàm số nghịch biến Lời giải Chọn A Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: ( −2; + ∞ ) Câu ( −∞ ; − ) Hàm số đồng biến