Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH Bài 1 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B,cạnh . Từ A kẻ và . Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích của khối chóp S.ADE? Phân tích tìm lời giải AD,AE là các đường cao trong tam giác SAB,SAC Tính đường cao: vuông tại B nên Giả thiết cho : AD là đường cao trong tam giác SAB Mặt khác : Hay SE là đường cao của hình chóp S.ADE Độ dài SE: Áp dụng Pytago trong tam giác SAE có: = Diện tích tam giác ADE: DE = = S = = = Thể tích: V = = Xét một cách giải khác như sau: DE (SAB) BC (SAB) => DE BC Pytago trong các tam giác vuông: SD2 = AS2 AD2; SE2 = AS2 AE2 SB2 = SA2+AB2 SC2 = SA2+AC2 = SA2 + AB2 + AC2 Lập các tỷ số: => = => = . = . = (đvtt) Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a.Cạnh , góc . Tìm thể tích của khối chóp S.ABC? Trình bày lời giải: Xét hai tam giác vuông SAB và SAC có: SA chung SB = SC => SAB = SAC (c.c) => AB = AC => ABC là tam giác cân Gọi D là trung điểm của BC ta có : tan = => AD = Diện tích đáy: SD là đường cao trong tam giác đều SBC cạnh a nên : SD = Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có: SA2 = SD2 AD2 = =>SA = Thể tích cần tính: V = = (đvtt) Tổng quát hóa ta có bài toán sau: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, góc . Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a và ? Một cách hoàn toàn tương tự ta có lời giải như sau: AD = Diện tích tam giác: SD là đường cao trong tam giác đều SBC nên SD = Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAD ta có: SA2 = SD2 AD2 = =>SA = Thể tích cần tìm: = = (đvtt) Bài 3 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Điểm A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 ). Gọi M là trung điểm của SC và mặt phẳng (ABCD) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích của khối chóp S.ABMN? Lời giải Ta nhận thấy mặt phẳng (SBN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối chóp S.ABN và S.MBN Theo định nghĩa về thể tích ta có: = + => = = Tương tự ta có: => = = Do vậy: = + = Thể tích khối chóp S.ABCD V = = Thể tích cần tính: = (đvtt) Nghiên cứu lời giải Gọi V1 là thể tích khối đa diện nằm dưới (ABMN): V1 = Khi đó: = + hay V = V1 + Ta có :V1 = + = = Hai hình chóp B.SCD và B.DCMN có chung đỉnh và mặt phẳng chứa đáy nên: Thể tích của chóp S.ABCD là: V = = Thể tích cần tính: Bài 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh a, các nửa đường thẳng Ax và Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía so với mặt phẳng đáy. Lấy điểm trên Ax, lấy trên Cy. Đặt AM = m ; BN = n. Tính thể tích của khối chóp B.AMNC theo a, m, n? Trình bày lời giải Theo giả thiết ta có: , O là tâm đáy nên hay OB là đường cao Độ dài OB = = . Mặt khác MA NC nên tứ giác ACMN là hình thang Thể tích khối chóp: ( đvtt ) Nghiên cứu lời giải Nhận thấy do , , nên ta đưa vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(0;0;0), B(a;0;0), M(0;0;m), D(0;a;0) từ đó ta xác định được tọa độ đỉnh C(a;a;0) sau đó áp dụng công thức tính thể tích của khối hộp: = (đvtt) Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh , SA = 2a. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB, SC. Tính thể tích của khối chóp ABCMN? Trình bày lời giải Xét SAB và SAC có AB = AC, SA chung, A = SAB = SAC SB =SC mặt bên SBC là tam giác cân. Áp dụng định lý đường cao trong các tam giác SAB và SAC ta có: = = Áp dung định lý Pytago: SM = Ta có các tỷ số: = = = = = Thể tích : = = = (đvtt) Nghiên cứu lời giải Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp tọa độ bằng việc đưa vào hệ trục tọa độ Oxyz trong đó A(0;0;0), B(a;0;0), S(0;0;2a). Ta xác định được tọa độ của C, M, N, sau đó sử dụng công thức sau: = = (đvtt) Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF có BE = a, góc giữa đường thẳng BE với mặt phẳng (ABC) bằng . Tam giác ABC vuông tại C, góc , hình chiếu vuông góc của E lên (ABc) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích của tứ diện D.ABC? Trình bày lời giải Ta có: nên EG là đường cao của chóp Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông EGB ta có: EG = EBsinB = asin = Áp dụng pytago: = mà BG = BM BM = BG = Áp dung Pytago trong tam giác BMC: MC = MBsin = sin , AC = 2MC = sin , BC = ACtan = sin Thể tích của khối chóp: V = (đvtt) Bài 7: Cho tứ diện ABCD gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, là góc giữa hai đường thẳng đó. Tính thể tích của tứ diện ABCD? Trình bày lời giải Dụng hình bình hành ABDE, do AE (BCD) nên = = (đvtt) Nghiên cứu lời giải Ta xét một cách giải khác như sau: Dựng hình hộp chữ nhật AEBF.MDNC ngoại tiếp tứ diện ABCD , , Vì (ABEF) (CDMN) nên chiều cao của hộp bằng d Thể tích cần tính: = = Bài 8: Trong không gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đỉnh A trùng với gốc tọa độ, điểm B(a;0;0), D(0;a;0), E(0;0;b), M là trung điểm của CG.tính thể tích của khối tứ diện BDEM theo a và b? Trình bày lời giải M là trung điểm của CG nên: Tọa độ các vectơ: (0;a; ), (a;a;0), (a;0;b) Xét tích hữu hướng: Tích vô hướng: = Thể tích: V = = = (đvtt) Nghiên cứu lời giải Kẻ , kéo dài EM cắt SO tại N, mặt phẳng (BDM) chia khối chóp thành hai khối chóp E.BDM và N.BDM nên Vì M là trung điểm của SG nên: CN = CA Diện tích tam giác BDN: S = = Thể tích: = 2b = (đvtt) Bài 9: Tính thể tích của khối tứ diện ABCD có các cạnh đối bằng nhau AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c? Trình bày lời giải Dựng tứ diện APQR, đây là tứ diện vuông tại đỉnh A, thật vậy: AD = BC = BC là đường trung bình của tam giác PQR BC = QD = DP AD = QD = PD Hoàn toàn tương tự ta có: , Ta có: AP.AQ.AR Áp dụng định lý Pytago trong tam giác APQ, AQR, APR AP = , AQ = , AR = Thể tích: = (đvtt) Bài tập đề nghị Bài 1 ( khối A 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều, , gọi M, N, P là trung điểm của SB,BC,CD. Tính thể tích của khối chóp CMNP theo a? Bài 2 ( Khối A 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng , gọi I là trung điểm AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SDI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a? Bài 3 (Khối B 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a , SA = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N là trung điểm của AD, SC, I là giao điểm của AC và BM. Tính thể tích của tứ diện ANIB? Bài 4 (Khối A 2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.DEF có độ dài cạnh bên bằng 2a. Đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a . Hình chiếu vuong góc của D lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm G của cạnh BC. Tính thể tích của khối chóp G.ABC? 2. Thể tích của khối lăng trụ Trong mục này ta sử dụng định lý sau: Thể tích của hình lăng trụ bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao trong đó : B là diện tích đáy h là chiều cao Bài 1 Cho hình tứ giác đều ABCD.EFGH có khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và ED bằng 2. Độ dài đường chéo mặt bên bằng 5. Tính thể tích khối lăng trụ ? Trình bày lời giải Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên ED , AB do đó AB (EFD) nên d(A,EFD) = d(AB,ED) Mà (EFDA) nên AK AK = d(A,EFD) = d(AB,ED) = 2 Đặt EK = x ( 0 x 5 ). Trong tam giác vuông AED ta có: AK2 = KE.KD 4 = x(5x) x2 5x + 4 = 0 Với x = 4 ta có AE = V = AE. = ( đvtt) Với x = 4 ta có AE = 2 V = 10 ( đvtt) Bài 2 Đáy của khói lăng trụ đứng ABC.DEF là tam giác đều. Mặt phẳng đáy tạo với mặt phẳng (DBC) một góc . Tam giác DBC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ đó? Trình bày lời giải Đặt CK = x, DK vuong góc với BC nên = Xét tam giác ADK có: cos = AK = x , DK = 2x Diện tích tam giác BCD: S = CK.Dk = x.2x = 8, do đó x = 2 AD = AK.tan = x = 2 Thể tích khối lăng trụ: V = AD.CK.AK = (đvtt) Bài 3 Cho khối lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy là hình bình hành và = , các đường chéo EC và DF tạo với đáy các góc và . Chiều cao của lăng trụ bằng 2. Tính thể tích của lăng trụ đó? Trình bày lời giải Từ giả thiết: = , = , AC = AG = 2, BD = 2.cot = Áp dụng định lý cosin trong tam giác: cos = 2 AB.AD 4 = 2 AB.AD AB.AD = Thể tích cần tìm: V = AB.AD.EA.sin = 2 (đvtt) Bài 4 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EGH có đáy ABC là tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng . Biết mặt phẳng (AED) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AE = . Góc là góc nhọn, góc giũa mặt phẳng (AEC) với (ABC) bằng . Tính thể tích của lăng trụ? Trình bày lời giải Hạ . Vì là góc nhọn nên K thuộc đoạn AB Kẻ ( theo định lý ba đường vuông góc ) = . Giả sử EK = x , = MK = AK.sin = Mà MK = EKcot = , do đó: = x = Vậy V = EK. = AC.CB.EK = ( đvtt)
www.vnmath.com CHUN ĐỀ THỂ TÍCH Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác vng B,cạnh SA ⊥ (ABC) Từ A kẻ AD ⊥ SB AE ⊥ SC Biết AB = a, BC = b, SA = c.Tính thể tích khối chóp S.ADE? • Phân tích - tìm lời giải AD,AE đường cao tam giác SAB,SAC S D E A C B Tính đường cao: ∆ABC vng B nên AB ⊥ BC Giả thiết cho : SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (ABC) ⇒ AD ⊥ BC AD đường cao tam giác SAB ⇒ AD ⊥ SB ⇒ AD ⊥ (SBC) ⇒ AD ⊥ SC Mặt khác : AE ⊥ SC ⇒ SC ⊥ (ADE) Hay SE đường cao hình chóp S.ADE Độ dài SE: AS.AB AS.AB a.c ⇒ AD = = = SB AS2 + AB2 a + c2 AS.AC SA.AC c a + b = = SB SA + AC2 a + b2 + c2 Áp dụng Pytago tam giác SAE có: c2 c2 (a + b ) 2 = SE = AS − AE = c − a + b2 + c2 a + b + c2 AE = www.vnmath.com Diện tích tam giác ADE: DE = AE + AD = 2 c b (a + b + c ).(a + c ) c b ac S = AD.AE = (a + b + c ).(a + c ) a + c 2 a.c3 b3 = (a + b + c ).(a + c ) Thể tích: c a.c3 b3 1 V = SE .AD.DE = a + b + c 2 (a + b + c ).(a + c ) a.b c = 2 (a + c )(a + b + c ) • Xét cách giải khác sau: DE ⊥ (SAB) BC ⊥ (SAB) => DE // BC Pytago tam giác vuông: SD2 = AS2 - AD2; SE2 = AS2 - AE2 SB2 = SA2+AB2 SC2 = SA2+AC2 = SA2 + AB2 + AC2 Lập tỷ số: c SA − AD SA − AE SA + AE = = SA + AB2 SA + SB2 + SC a + b2 + c2 c2 a c (a + b ) c4 b c2 c2 − 2 c2 − 2 = a +c c +a +b = (a + c ) (c + a + b ) 2 2 2 a +c c +a +b SA SD SE b.c3 = => SA SB SC (c + a + b )(a + c ) VSADE SA SD SE b.c3 = = VSABC SA SB SC (c2 + a + b )(a + c ) b.c3 => VSADE = VSABC (c + a + b )(a + c ) 1 b.c3 a.b c = SA .AB.BC = (đvtt) (c + a + b )(a + c ) (c + a + b )(a + c ) www.vnmath.com Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh · a.Cạnh SA ⊥ (ABC) , góc BAC = 1200 Tìm thể tích khối chóp S.ABC? S A C B D • Trình bày lời giải: Xét hai tam giác vng SAB SAC có: SA chung SB = SC => ∆ SAB = ∆ SAC (c.c) => AB = AC => ∆ ABC tam giác cân Gọi D trung điểm BC ta có : CD a CD · = tan CAD = => AD = · AD tan CAD a Diện tích đáy: S∆ABC = AD.BC = a SD đường cao tam giác SBC cạnh a nên : SD = Áp dụng định lý Pytago tam giác SAD ta có: www.vnmath.com a 3.a a 2a − = SA = SD - AD = =>SA = 12 3 Thể tích cần tính: a SA.S V= (đvtt) ∆ABC = 36 • Tổng qt hóa ta có tốn sau: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, góc ·BAC = α(0 ≤ α ≤ 900 ) Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a α ? Một cách hồn tồn tương tự ta có lời giải sau: AD = 2 AD a = · 2.tan α tan CAD 1 a a2 = Diện tích tam giác: S∆ABC = AD.BC = a 2 2.tan α 4.tan α a SD đường cao tam giác SBC nên SD = Áp dụng định lý Pytago tam giác SAD ta có: 3.a a 2a a 2 2 − = SA = SD - AD = =>SA = 12 3 Thể tích cần tìm: 1 1 a3 V = SA.S∆ABC = B.h = SA .AD.BC = (đvtt) 3 12 3.tan α Bài Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi AC cắt BD gốc tọa độ O Điểm A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 ) Gọi M trung điểm SC mặt phẳng (ABCD) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN? www.vnmath.com S N M D C O A B • Lời giải Ta nhận thấy mặt phẳng (SBN) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối chóp S.ABN S.MBN Theo định nghĩa thể tích ta có: VS.ABMN = VS.ABN + VS.MBN VS.ABN SN = = => VS.ABN = VS.ABD = VS.ABCD VS.ABD SO 2 Tương tự ta có: VS.MBN SM SN 1 = = => VS.MBN = VS.BCD = VS.ABCD VS.BCD SC SD Do vậy: VS.ABMN = VS.ABCD + VS.ABCD = VS.ABCD Thể tích khối chóp S.ABCD 1 V = SO.SABCD = SO.AC.BD = Thể tích cần tính: VS.ABMN = (đvtt) • Nghiên cứu lời giải Gọi V1 thể tích khối đa diện nằm (ABMN): V1 = VS.ABMN Khi đó: www.vnmath.com VS.ABCD = VS.ABMN + VABCMN hay V = V1 + VS.ABMN Ta có :V1 = VN.ABD + VB.CDMN V VN.ABD = VS.ABD = S N M D C O A B Hai hình chóp B.SCD B.DCMN có chung đỉnh mặt phẳng chứa đáy nên: SDCMN = S∆SDC Thể tích chóp S.ABCD là: 1 V = SO.SABCD = SO.AC.BD = Thể tích cần tính: Bài www.vnmath.com Cho hình vng ABCD có cạnh a, nửa đường thẳng Ax Cy vng góc với mặt phẳng (ABCD) phía so với mặt phẳng đáy Lấy điểm M ≠ A Ax, lấy N ≠ C Cy Đặt AM = m ; BN = n Tính thể tích khối chóp B.AMNC theo a, m, n? • Trình bày lời giải Theo giả thiết ta có: CN ⊥ (ABCD) ⇒ CN ⊥ CB , O tâm đáy nên OB ⊥ AC ⇒ OB ⊥ (ACMN) hay OB đường cao MA ⊥ AC AC a ⇒ MA // NC nên tứ giác Độ dài OB = = Mặt khác 2 NC ⊥ AC ACMN hình thang ⇒ S ACMN MA + NC × AC = a(m + n) 2 = Thể tích khối chóp: a2 V = OB.SACMN = (m + n) ( đvtt ) • Nghiên cứu lời giải Nhận thấy AM ⊥ AB , AM ⊥ AD , AB ⊥ AD nên ta đưa vào hệ trục tọa độ Oxyz cho A(0;0;0), B(a;0;0), M(0;0;m), D(0;a;0) từ ta xác định tọa độ đỉnh C(a;a;0) sau áp dụng cơng thức tính thể tích r uuur uuur uuuu a khối hộp: V = AB, AC AM = (m + n) (đvtt) 6 Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a Cạnh SA ⊥ (ABC) , SA = 2a Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên cạnh SB, SC Tính thể tích khối chóp ABCMN? www.vnmath.com S M N A C B • Trình bày lời giải Xét ∆ SAB ∆ SAC có AB = AC, SA chung, A = 900 ⇒ ∆ SAB = ∆ SAC ⇒ SB =SC ⇒ mặt bên SBC tam giác cân Áp dụng định lý đường cao tam giác SAB SAC ta có: AB.AS AC.AS 2a 2a AM = AN = = = 2 2 5 AB + AS AC + AS Áp dung định lý Pytago: 4a 2 SM = SA − AM = 4a SN = SA − AN = VS.AMN SM SN 16 Ta có tỷ số: = = ⇒ = VS.ABC SB SC 25 16 ⇒ VS.AMN = VS.ABC = 8a 25 75 Thể tích : 3 VABCNM = VS.ABC - VS.AMN = a - 8a = 3a (đvtt) 75 50 • Nghiên cứu lời giải Ta giải toán phương pháp tọa độ việc đưa vào hệ trục tọa độ Oxyz A(0;0;0), B(a;0;0), S(0;0;2a) Ta xác định tọa độ C, M, N, sau sử dụng cơng thức sau: www.vnmath.com r uuur uuu r uuuu · AM,AN AS 600 = BAC u u u u r u u u r u u u r 3a 3 = AM,AN AS ⇒ VABCNM = VS.ABC - VS.AMN = (đvtt) 50 VS.AMN = VS.AMN Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.DEF có BE = a, góc đường thẳng BE với mặt phẳng (ABC) 600 Tam giác ABC vuông C, góc · , hình chiếu vng góc E lên (ABc) trùng với trọng tâm 600 = BAC tam giác ABC Tính thể tích tứ diện D.ABC? E D F G B M A C • Trình bày lời giải Ta có: EG ⊥ (ABC) nên EG đường cao chóp Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng EGB ta có: EG = EBsinB = asin 600 = Áp dụng pytago: a 2 a 3a mà BG = BM ⇒ BM = BG = 2 Áp dung Pytago tam giác BMC: BG = BE − EG = www.vnmath.com 3a 3a sin150 , AC = 2MC = sin150 , 3a BC = ACtan 600 = sin150 Thể tích khối chóp: 3 V = EG.S∆ABC = a sin 150 (đvtt) MC = MBsin150 = Bài 7: Cho tứ diện ABCD gọi d khoảng cách hai đường thẳng AB CD, α góc hai đường thẳng Tính thể tích tứ diện ABCD? A E C B D • Trình bày lời giải Dụng hình bình hành ABDE, AE // (BCD) nên VABCD = VE.BCD = VB.ECD = S∆ECD d(B,CDE) 1 · = AB.CD.d.sin α (đvtt) = ì CE.CD.sinECD ã Nghiờn cu li giải Ta xét cách giải khác sau: www.vnmath.com F G E H D M A C K B • Trình bày lời giải Hạ EM ⊥ AC(M ∈ AC) (1) tam giác EBD cân E ( EB = ED ) BD ⊥ EO Mà BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (BAO) ⇒ BD ⊥ EM (2) Từ (1) (2) ta có: EM ⊥ (ABCD) hay EM đường cao · Đặt EAO = ϕ , hạ EK ⊥ AB ⇒ MK ⊥ AK (định lý ba đường vng góc) α AM AK AK cos cos ϕ = × = = cos α AE AM AE cosα a cos 2α α cos − cos 2α a − ϕ ϕ α ⇒ EM = a.sin = cos = = α α cos cos cos 2 2 Thể tích cần tính: V = AB.AD.EM.sin α = a sin α a = a sin α cos α cos cos α − cos 2α α − cos 2α (đvtt) www.vnmath.com Bài 2: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.EFGH có đáy hình chữ nhật có AB = , AD = , hai mặt bên (ABDE) (ADEH) tạo với đáy góc 450 600 , độ dài tất cạnh bên Tính thể tích khối hộp đó? F G E H B N K A C M D • Trình bày lời giải Kẻ EK ⊥ (ABCD),(K ∈ ABCD) , KM ⊥ AD(M ∈ AD) , KN ⊥ AB(N ∈ AB) Theo định lý ba đường vng góc ta có: AD ⊥ EM,AB ⊥ NK 2x x · · Ta có: EMK = 600 , ENK = 450 ,đặt EK = x đó: EM = = sin 60 3 − 4.x = KN mà KN = x.cot 450 3 − 4.x Nên x = x = Thể tích khối hộp chữ nhật: V = AB.AD.x = = (đvtt) Bài AM = EA − EM = 2 www.vnmath.com Cho hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo d, đường chéo tạo với đáy góc α , tạo với mặt bên lớn góc β ,tính thể tích khối hộp đó? H E G F D A C B • Trình bày lời giải Đường chéo AG có hình chiếu lên (ABCD) AC,lên mặt phẳng (BCGF0 · · BG nên: GAC =β = α , AGB Áp dụng định lý Pytago tam giác: ACG, GBA, ABC có CG = d.sin α , AC = d.cos α ,AB = d.sin β , BC = AC2 − AB2 = d cos 2α − sin β V = AB.BC.CG = d3.sin α sin β cos 2α − sin β + cos2α − cos2β − = ( cos2α + cos2β ) = cos( α + β ).cos( α - β ) Mà: 2 Vậy V = d sin α sin β cos(α + β).cos(α − β) (đvtt) Bài tập đề nghị Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB = a, AD = b, góc · BAD = α , đường chéo AD tạ với đáy góc β Tính thể tích khối hộp chữ nhật đó? Bài ta có www.vnmath.com Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC, qua cạnh tứ diện kẻ mặt phẳng song song với cạnh đối diện, mặt phẳng nhận xác định hình hộp: 1) Chứng minh hình hộp nói hình hộp chữ nhật? 2) CMR Vhhcn = 3VABCD 3) Gọi IJ, EF, MN dường trung bình tứ diện CMR: VABCD = IJ.MN.EF Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH, M trung điểm AD, mặt phẳng (ABM) cắt đường chéo AG I, tính tỷ số thể tích hai khối đa diện tạo mặt phẳng (EBM) cắt hộp? Bài toán cực trị thể tích Bài Cho hình chóp S.ABC có SA = x, SB = y, cạnh lại 1,với giá trị x, y thể tích khối chóp lớn nhất, tìm giá trị lớn đó? S M A B N C • Trình bày lời giải Gọi M, N trung điểm SA, BC, ta có: VS.ABC = VS.MBC , tam giác ABS, ACS có: BA = BS, CA = CS ⇒ ∆ ABS = ∆ ACS tam giác cân Ta có: BM ⊥ SA,CM ⊥ SA ⇒ SA ⊥ (MBC) ⇒ SM ⊥ (MBC) , www.vnmath.com SM đường cao, SM = Tính diện tích đáy: x x2 BC2 x + y2 MB = MC = − , MN = BM − = 1− 4 2 S∆MBC = MN.BC = y − x + y 2 x y xy x + y2 xy x + y2 V Thể tích: VS.MBC = × × = , = 1− 1− S.ABC 2 12 2 x +y xy Ta có: ( x-y)2 ≥ ⇔ x2 + y2 ≥ 2xy ⇔ ≥ 2 xy xy − xy VS.ABC = xy − x + y ≤ ≤ 1− (xy) 6 2 xy xy ≤ (2 − xy) 2 xy xy Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số , , (2-xy) ta có: 2 xy xy 16 xy xy + + (2 − xy) ÷ (2-xy) ≤ = 27 2 3 V≤ x + y = 2xy 16 ⇒ x=y= = , dấu xảy xy = − xy 27 27 Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) 2a, gọi góc mặt bên với mặt đáy, với giá trị α thể tích khói chóp lớn nhất? www.vnmath.com S D H C N I A • Trình bày lời giải M B · M, N trung diểm BC AD nên SMN = α , AD // BC suy AD // (SBC) ⇒ d(A,SBC) = d(N,SBC) (1) Mặt khác: MN ⊥ BC,SM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SMN) ⇒ (SBC) ⊥ (SMN) Do SM = (SBC) ∩ (SMN) , kẻ NH ⊥ SM ⇒ NH ⊥ (SBC) , d(N,SBC) = NH (2) từ (1) (2) ta có NH = 2a NH 2a Hệ thức lượng tam giác vng MNH ta có: MN = = sin α sin α 4a Diện tích đáy : SABCD = AB2 = MN = sin α Gọi I tâm đáy ta có a a tan α = SI = MI.tan α = sin α cosα Thể tích: 4a thể tích V = SI SABCD = 3sin α.cosα Vmin ⇔ sin α.cosα đạt GTLN ⇔ cos α (1 - cos 2α ) đạt GTLN Đặt x = cos α , xét hàm số y = x - x3 (0,1), xét dấu hàm y ta www.vnmath.com y max = y( ) = x = ⇔ cos α = 3 3 Vậy Vmin = 2a 3 ( đvtt ) Bài Cho tam giác OAB có AB = a, đường thẳng qua O vng góc với mặt phẳng(OAB) lấy điểm M, đặt OM = x,Gọi E, F hình chiếu vng góc A lên MB OB.Đường thẳng EF cắt d N Xác định x để thể tích khối chóp ABMN nhỏ nhất? M E B A F O N • Trình bày lời giải Gọi V thể tích khối tứ diện ABMN ta có 1 V = VM.OAB + VN.OAB = OM.S∆OAB + ON.S∆OAB = (OM + ON).S∆OAB 3 Do thể tích V nhỏ ⇔ ( OM + ON ) đạt GTNN Hai tam giác ∆ OMB : ∆ OFN suy ra: OM.ON = OF.OB = số O, F, B cố định, ta có: OM + ON ≤ OM.ON dấu “ = ” xảy ⇔ OM = ON nên ( OM + ON ) đạt GTNN ⇔ OM = ON = x a a2 ⇒ a 2 ⇔ Vì OM.ON = OF.OB ( OF = , OB = a ) x = x= 2 www.vnmath.com a thể tích nhỏ , đó: a2 V = (OM + ON).S∆OAB = ( đvtt ) 12 Vậy M thuộc d cho OM = x = Bài Cho hình chóp S.ABCD có cạnh 1, cạnh bên SC = x Tinh sthể tích khối chóp, với giá trị x thể tích lớn nhất? S D H A O C B • Trình bày lời giải SH đường cao tam giác ÁC nên ta có: SA.SC x = SH.AC = SA.SC ⇒ SH = AC x2 + (3 − x ) − x Ta có: OB = AB - AD = nên OB = (0 ≤ x ≤ ) − x2 x2 + Diện tích đáy SABCD = AC.OB = x 1 (3 − x )(x + 1) Thể tích V = SABCD SH = = x 3− x x +1 x (3 − x ) x + (3 − x ) = không đổi nên Ta có: V2 = 36 2 ⇔ x = (3 − x ) ⇔ x = Max x (3 − x ) = 2 2 www.vnmath.com V2 đạt giá trị lớn ⇒ Vmax = ⇔ x = ⇔x= 4.36 2 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, hai mặt bên (SAB) · (SAD) vng góc với đáy, góc xAy = 450 chuyển động đáy quay quanh điểm A cạnh Ax, Ay cắt CB CD M, N, đặt BM = x, CN = y, tìm x, y để thể tích VAMCN đạt GTLN? S A D N B M C • Trình bày lời giải a − xy Trướ hết ta chứng minh đẳng thức: x + y = a · · · · · Ta có BAM + NAD + MAN = 90 , BAM + NAD = 450 · · Đặt BAM = α ⇒ NAD = β ⇒ α + β = 450 ⇒ tan(α + β) = tan α + tan β x y Ta có = , mà tan α = , tan β = − tan α tan β 2 x+y 2 = ⇒ x + y = a − xy , suy xy a 1− a www.vnmath.com ax ay − 2 a ax ay a VAMCN = SA.SAMCN = (a − − ) = (a + xy) 3 2 (x + y) (x + y) ta có xy ≤ suy Max (xy) = 4 Vmax ⇔ (xy) đạt GTLN (xy) = (x + y) đạt GTLN suy (x + y) a(x + y) + = a suy x + y = 2a( − 1) a2 Vmax = (2 − 2) x = y = a( − 1) Bài tập đề nghị Bài Cho hình chóp S.ABC SA ⊥ (ABC) , ABC tam giác vng cân C Giả sử SC = a Hãy tìm góc hai mặt phẳng (SCB) (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất, tìm giá giá trị lớn đó? Bài ( Đề số 21- Chuyên đề luyện thi vào ĐH - Trần Văn Hạo) Cho ba tia Ox, Oy, Oz vng góc với đôi Xét tam diện Oxyz Điểm M cố định nằm góc tam diện Một mặt phẳng qua M cắt Ox, Oy, Oz A, B, C gọi khoảng cách từ M đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) a, b, c Tính OA, OB,OC theo a, b, c để thể tích khối tứ diện nhỏ nhất? Chứng minh hệ thức hình học Để chứng minh hệ thức khối đa diện ta sử dụng kiến thức thể tích để giải sau: • Gắn tốn cần chứng minh vào hệ thức thể tích, hệ thức thường là: Thể tích khối biểu diễn thành tổng hiệu thể tích khối đa diện ( khối chóp, khối lăng trụ …) • Với hệ thức thể tich sau phép biến đổi tương đương đơn giản ta nhận điều phải chứng minh Bài Cho tứ diện ABCD, điểm O nằm tứ diện cách mặt tứ diện khoảng r Gọi h A ,h B ,h C ,h D khoảng cách từ điểm A, B, C, D đến mặt đối diện ta có SAMCN = SABCD − SABM − SADN = a − www.vnmath.com CMR 1 1 = + + + r hA hB hC hD A H B C D Khối tứ diện ABCD chia thành khối tứ diện OBCD, OCAD, OABD, OABC Ta có: VOBCD r = VABCD h A VOCAD r = VABCD h B VOABD r = VABCD h C VOABC r = VABCD h D Cộng vế với vế đẳng thức ta có: 1 VOBCD + VOCAD + VOABD + VOABC 1 = r + + + VABCD hA hB hC hD 1 VABCD 1 = r + + + VABCD hA h B hC h D 1 1 + + + ⇔ = ( đpcm ) r hA hB hC hD Bài ⇔ www.vnmath.com Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm nằm tứ diện đến mặt đối diện khơng phụ thuộc vào vị trí điểm nằm tứ diện đó? O K F G H B A C Giả sử M điểm tùy ý thuộc miền tứ diện ABCD Gọi d1 ,d ,d ,d khoảng cách từ điểm M đến mặt (BCD), (ACD), (ABD), (ABC) Gọi V1 ,V2 ,V3 ,V4 thể tích khối tứ diện chung đỉnh M, V thể tích tứ diện ABCD ta có: V V V V V = V1 + V2 + V3 + V4 ⇔ = + + + V V V V Vì ABCD tứ diện nên khoảng cách từ đỉnh xuống mặt đối diện Ta giả sử khoảng cách h, hai tứ diện ABCD MBCD có chung d V đáy nên: = h V V d Hồn tồn tương tự ta có kết quả: i = i (i= 2,3,4) V h d d d d Do đó: = + + + ⇔ h = d1 + d + d + d ( đpcm) h h h h Bài Cho góc tam diện vng Oxyz đỉnh O Ox, Oy, Ox lấy điểm A, B, C cho OA + OB + OC + AB + AC + BC = L, gọi V thể tích L3 ( − 1) tứ diện ABCD CMR: V ≤ 162 www.vnmath.com Hướng dẫn giải A B O C Đặt OA = a, OB = b, OC = c áp dụng BĐT Bunhiacôpxki: a + b ≤ 2(a + b ) , a + c ≤ 2(a + c ) , b + c ≤ 2(c2 + b ) cộng vế với vế BĐT trên: 2(a + b + c) ≤ (a + b ) + (a + c ) + (c + b ) 2 2 2 ) ≤ (a + b ) + (a + c ) + (c + b ) + (a + b + c) (a + b + c)( + ) ≤ L (1) dấu “ = “ (1) xảy a = b = c Áp dụng BĐT Cauchy cho a, b, c ta có: a + b + c ≥ abc (2) abc Ta có V = , BĐT (2) ⇔ a + b + c ≥ 3 6V (3) Dầu “=” (3) xảy a = b = c L3 ( − 1) Từ (1), (3) ta có L ≥ 3.(1 + 2).3 6V hay V ≤ (4) 162 L( − 1) Dấu “ = “ (4) xảy a = b = c = Bài Cho OABC tứ diện vuông đỉnh O, với OA = a, OB = b, OC = c, gọi r bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện (a + b + c)( + www.vnmath.com CMR: 1 1 3 = + + + r a b c a +b+c Hướng dẫn giải O B H A C Kẻ OH ⊥ (ABCD) giả sử OH = h Do OABC tứ diện vuông nên a, b, c, h đường cao tứ diện kẻ từ A, B, C, O theo kết tập ta có: 1 1 = + + + (1) r a b c h 3 Từ (1) suy BĐT cần chứng minh có dạng: = (2) h a+b+c Vì OABC tứ diện vng nên ta có kết sau: 1 1 = + + (3) h a b c Theo (3) áp dụng BĐT Cauchy ta có: 1 1 1 = + + ≥ (4) h a b2 c2 a b2 c2 Ta lại có: ( a + b + c )2 ≥ a b c (5) Từ (3), (4), (5) ta có: ≥ h2 a + b2 + c2 www.vnmath.com 3 ≥ h a+b+c Vậy (2) suy đpcm, dấu “=” xảy a = b = c h Từ tốn ta có kết quả: ≤ + r Thật vậy: 1 1 Theo (1) = + + + r a b c h 1 1 1 1 1 1 Do: + + ÷ ≤ + + ÷ = hay + + ≤ b c h a b c h a b c a 1 h ≤ + ⇒ ≤ + ( đpcm ) r h h r Bài tập đề nghị Bài Chứng minh khoảng cách từ diểm nằm hình lăng trụ đến mặt khơng phụ thược vào vị trí điểm nằm lăng trụ đó? Bài a b c = = Cho hình chóp tam giác có , a, b, c ba sin α sin β sin γ cạnh tam giác đáy Các góc α , β , γ tương ứng góc nhị diện cankj a, b, c Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm O mặt đáy đến mặt xung quanh hình chóp số ... cạnh BC Tính thể tích khối chóp G.ABC? Thể tích khối lăng trụ Trong mục ta sử dụng định lý sau: Thể tích hình lăng trụ phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao V = B.h : B diện tích đáy h chiều... α Tính thể tích lăng trụ đó? Thể tích khối hộp chữ nhật Trong mục ta sử dụng định lý sau: thể tích khối hộp tích độ dài ba kích thước V = a.b.c = B.h đó: a, b, c ba kích thước B diện tích đáy... VS.ABMN = VS.ABCD + VS.ABCD = VS.ABCD Thể tích khối chóp S.ABCD 1 V = SO.SABCD = SO.AC.BD = Thể tích cần tính: VS.ABMN = (đvtt) • Nghiên cứu lời giải Gọi V1 thể tích khối đa diện nằm (ABMN): V1 =
