Giáo án Toán 12 - Chuyên đề Thể tích các khối đa diện - khối tròn xoay

Chun đề: THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN-KHỐI TRỊN XOAY Sưu tầm biên soạn: Phan Trọng Tiệp - Trường THPT Chiêm Hóa-Tuyên Quang Một số kiến thức bổ trợ: a) Hệ thống ví dụ ơn lại lý thuyết: a.1.Một số cơng thức tính thể tích: - Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c Trong a,b,c ba kích thước Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: V  a Trong a độ dài cạnh khối lập phương V  B.h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao - Thể tích khối chóp: V  B.h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao - Thể tích khối lăng trụ: - Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên đoạn thẳng SA,SB,S lấy điểm A’,B’,C’ khác với S Ta có: VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '  VS ABC SA SB SC - Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2. R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh) - Thể tích khối trụ: V =  R h (h : độ dài đường cao) - Diện tích xung quanh hình nón: Sxq =  R.l - Thể tích khối nón: V =  R h - Diện tích mặt cầu: S = 4. R - Thể tích khối cầu: V =  R 3 a.2.Một số kiến thức bổ trợ: 3 Diện tích : S  a + Hình vng ABCD có cạnh a: Đường chéo AC= a Diện tích S  a 1 + Cơng thức tính diện tích tam giác: S  a.ha  a.b.sin C 2 + Tam giác ABC cạnh a: Chiều cao: h  a + Xác định góc đường thẳng d mp(P)   Nếu d  ( P) ( d,( P))  90 Nếu khơng vng góc với ( P) - Xác định hình chiếu vng góc d’ d (P)   Khi : (d,( P))  (d, d ')   +Xác định góc hai mặt phẳng cắt (P) (Q) ( P)  (Q)  d  a  ( P), a  d      (( P),(Q))  (a, b) b  (Q), b  d  a  b  I  d  + Khoảng cách đường thẳng chéo a b * Nếu a  b - Dựng mp(P)  b mp(P)  a A - Dựng AB vng góc với b B Khi đó: d(a, b)  AB * Nếu a b khơng vng góc Cách 1: - Dựng mp(P)  a O ( P)  b  I  - Dựng hình chiếu vng góc b’ b (P) -Trong (P) dựng OH vng góc với b’tại H -Từ H kẻ đường thẳng // với a cắt b B -Từ B kẻ đường thẳng // với OH cắt a A Khi đó: d(a, b)  AB Cách 2: - Dựng (P)  b mp(P)//a - Dựng (Q) thỏa mãn A  (Q), A  a, (Q)  (P),(Q)  (P)= c - Trong (Q) kẻ AB vng góc với c B Khi đó: d(a, b)  AB Ví dụ 1: Tính chiều cao diện tích tam giác ABC cạnh 3a 3a 3 9a2 Giải: Ta có : Chiều cao: h  3a Diện tích : S   3a   2 4 Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh 5a Tính độ dài đoạn AC diện tích hình vng ABCD  Giải: Ta có : AC  5a  10a SABCD  5a   150a2 Ví dụ 3:Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông A AC=a 7, BC  5a Giải: Ta có: AB  BC2  AC2  (5a)2  (a 7)2  18a2  3a Khi đó: Diện tích tam giác ABC 1 a2 14 (đvdt) SABCD  AC.AB  a 7.a  2 Ví dụ 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=5a,BC=2a ,  ABC  600 Giải: Diện tích tam giác ABC   5a.2a 3  15a (đvdt) SABCD  AB.BC.sin ABC 2 2 Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC a Xác định góc cạnh bên SA mặt đáy (ABC) b Xác định góc mặt bên (SBC) (ABC) Giải Giải: a Gọi M trung điểm BC O tâm tam giác ABC Vì S.ABC hình chóp tam giác nên ta có: O  AM , SO  ( ABC) Khi OA hình chiếu vng góc SA (ABC).Do    (SA ,( ABC))  (SA , AO)  SAO b.Vì SO  ( ABC) nên OM hình chiếu vng góc SM (ABC) mà BC  OM nên SM  BC Do   (( SBC),( ABC))  (SM ,OM )  SMO Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA  ( ABCD ) a.Xác định góc cạnh bên SC mặt đáy (ABCD) b.Xác định góc mặt (SBD) (ABCD) Giải: a Gọi O giao điểm AC BD Vì ABCD hình vng nên ta có: AC  BD Vì SA  ( ABCD ) Khi AC hình chiếu vng góc SC (ABCD).Do    (SC ,( ABCD))  (SC , AC)  SCA b.Vì SA  ( ABCD ) nên AO hình chiếu vng góc SO BD  AO nên SO  BD (ABCD) mà Do   (( SBD),( ABCD))  (SO ,OA)  SOA Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA  ( ABCD ) Xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo BD SC Giải: Gọi O tâm hình vng ABCD Ta thấy AC  BD SA  BD nên BD  (SAC) Do SC  BD (SAC)  SC,(SAC)  BD O Trong (SAC) kẻ OH vng góc với SC H Khi : d( BD, SC)  OH Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, hai mặt phẳng (SAB) (SAC)  ( ABC) Gọi M trung điểm AB,mp qua SM // BC cắt AC N Xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo AB SN Giải: (ĐH khối A-2011) Kẻ đt d qua N //AB,Qua A kẻ đt //MN cắt d E EN  AE    EN  (SAE)  (SEN )  (SAE) EN  SA  Gọi K hình chiếu vng góc A SE Khi AK  (SEN ) Vì MN//EN mà EN  (SEN )  AM //(SEN ) Do d  AB, SN   d( AB,(SEN )  d( A,(SEN ))  AK b) Các dạng tập tương tự cho học sinh tự làm Bài tập 1: Tính chiều cao diện tích tam giác ABC cạnh 2a Bài tập 2: Cho hình vng ABCD cạnh 4a Tính độ dài đoạn AC diện tích hình vng ABCD Bài tập 3: Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông A AC=a 5, BC  4a Bài tập 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=3a,BC=2a ,  ABC  30 Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD a.Xác định góc cạnh bên SA mặt đáy (ABCD) b.Xác định góc mặt bên (SCD) (ABCD) Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, SA=SB=SC a.Xác định góc cạnh bên SA mặt đáy (ABC) b.Xác định góc mặt (SAB) (ABC) Bài tập 7: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy tam giác đều.Hình chiếu A (A’B’C’) trung điểm B’C’ Xác định góc cạnh bên AA’ mặt đáy (A’B’C’) Bài tập 8: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vng A Xác định góc đường chéo BC’ mặt bên(BCC’B’) với mặt (ACC’A’) Tiến hành giải nội dung chuyên đề: a) Ôn lại kiến thức chủ đề: Dạng 1: Tính thể tích khối chóp tam giác tứ giác B 1: Xác định đáy đường cao khối chóp B2: Tính diện tích đáy B chiều cao h B 3: Áp dụng cơng thức V = B.h Ví dụ Cho khối tứ diện ABCD cạnh 2a, M trung điểm AD a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC) Giải: a) Gọi E trung điểm BC O tâm ABC Vì ABCD tứ diện nên và DO  ( ABC ) AE  BC O  AE , AO  2a AE  3 Trong  vuông DAO : DO  AD  AO  (2a )  ( 2a 2a )  3 Mặt khác: S ABC  2a    a2 , Vậy thể tích khối tứ diện ABCD V  S ABC DO  a2 2a  2a 3 3 b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH a MH  DO  Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Tính thể tích khối chóp a Biết cạnh bên a Gọi K trung điểm SA Tính thể tích khối tứ diện K.ABC theo a b Biết cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60 c Biết mặt bên tạo với mặt đáy góc 30 d Cạnh bên SA tạo với cạnh đáy AB góc 45 0 Giải Giải: a Gọi M trung điểm BC O tâm tam giác ABC Vì S.ABC hình chóp tam giác nên ta có: O  AM , SO  ( ABC) O  AM , AO  2 a a AM   3 Trong  vuông SAO : SO  SA2  AO  (a 3)  ( a 2a )  3 Mặtkhác: 1 a a2 S ABC  BC AM  a  2 Vậy thể tích chóp S.ABC VS ABC  S ABC SO  a a  a 3 12 Gọi H hình chiếu vng góc K (ABC).Khi H  AM , KH //  a SO  Vậy Tính thể tích khối tứ diện K.ABC VK ABC 1 a a a3  S ABC KH   (đvtt) 3 12 b.Vì SO  ( ABC) nên OA hình chiếu vng góc SA (ABC).Do    = 600 Trong tam giác vng SAO ta có: (SA ,( ABC))  (SA , AO)  SAO   a  a ; S  a (đvdt) SO=AO.tanSAO ABC 1 a2 a3 V  S SO  a  Vậy S ABC (đvtt) ABC 3 12 c.Vì SO  ( ABC) nên OM hình chiếu vng góc SM (ABC) mà BC  OM nên   = 300 SM  BC Do (( SBC),( ABC))  (SM ,OM )  SMO a a a2 (đvdt)  ; S ABC  6  Trong tam giác vuông SMO ta có: SO=OM.tanSMO 1 a2 a a3 V  S SO   Vậy S ABC (đvtt) ABC 3 72   450 ,AB=a d Vì S.ABC hình chóp tam giác nên SAB tam giác cân đỉnh S mà SAB Do SAB vng cân đỉnh S Ta có: SA  AB.sin 45  ng c : SO  SA2  AO  ( Trong SAO vu趔 Vậy VS ABC a a a )  ( )2  1 a2 a a3  S ABC SO   (đvtt) 3 24 a 2 Ví dụ 3:Tính thể tích khối chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB=a,BC=3a, SA  ( ABCD) Góc SD ABCD 450 Giải: a) Vì SA  ( ABCD ) nên AD hình chiếu vng góc SD (ABCD).Do     450 (SD ,( ABCD))  (SD , AD)  SDA   450 Xét tam giác SAD có SDA   900 nên SA=AD=3a SAD Ta có S ABCD  AB.BC  a.3a  3a , Vậy thể tích khối tứ diện ABCD 1 VS ABCD  S ABCD SA  3a a  3a 3 Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ: B1: Xác định đáy đường cao khối hộp,khối lăng trụ B2: Tính diện tích đáy B chiều cao h B3: Áp dụng công thức V  B.h Ví dụ 4: Tính thể tích khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao 2a 15 Giải: Giả sử khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao 2a 15 ABCA’B’C’ Khi Thể tích khối lăng trụ a2 3a3 VABCA ' B'C'  AA '.SABC  2a 15  a (đvtt)  12 Ví dụ 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A’ cách điểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ Giải: a Gọi H hình chiếu  A’trên (ABC) Do A’A=A’B=A’C nên H tâm tam giác ABC Ta có AH= a  A'AH=60 Trong  vuông AA’H ta có A’H = AH tan600 = SABC a 3a a2 = Vậy Thể tích khối lăng trụ VABCA ' B 'C '  S ABC A ' H  a2 a3  a  4 Ví dụ 6: Tính thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo AC'=2a Giải: Gọi b độ dài cạnh khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ Ta có A'C'=a 2; AA'  b; AC '  b Mặt khác Theo giả thiết ta có AC'=2a nên b =2a  b  2a  Khi SABCD  2a   8a2 Vậy Thể tích khối lăng trụ VABCD A ' B 'C ' D '  S ABCD AA '   2a 2.8a  16a Dạng 3: Tính thể tích khối trịn xoay B 1: Xác định đáy,đường sinh,đường cao khối tròn xoay B2: Tính bán kính đáy R, độ dài đường sinh l, chiều cao h khối tròn xoay B 3: Áp dụng cơng thức : - Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2. R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh) - Thể tích khối trụ: V =  R h ( h : độ dài đường cao ) - Diện tích xung quanh hình nón: Sxq =  R.l - Thể tích khối nón: V =  R h - Diện tích mặt cầu: S = 4. R  R 3 Ví dụ 7: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích tồn phần khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy 3a cạnh bên 4b - Thể tích khối cầu: V = Giải: Khối trụ có bán kính Mặt khác Theo giả thiết ta có bán kính R=AO= 2 3a AH= a 3 - Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2. a 3.4b  8ab 3. (đvdt) - Diện tích tồn phần hình trụ Stp = Sxq +2.Sđ = 2. a 3.4b  2 (a 3)   8ab 3.  6a2   2a (4b  3a) Thể tích khối trụ có bán kính R chiều cao h=4b V=    R2 h   a 4b  12a2 b Ví dụ 8: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích tồn phần khối nón có chiều cao a góc đỉnh 120 Giải: Giả sử hình nón có đỉnh S đáy có tâm O.Thiết diện qua trục  SAB cân có 0   ASB=120 nên ASO=60 Trong  vng ASO Ta có: R  AO  SO tan 600  a 3; l  SA  AO a   2a sin 60 - Diện tích xung quanh hình nón Sxq =  Rl   a 3.2a  2a 3. (đvdt) - Diện tích tồn phần hình nón Stp = Sxq +Sđ =  Rl   R    a 3.2a   a   2a2 3.  3 a2   a2 (2  3) (đvdt) Thể tích khối nón có bán kính R chiều cao h=a V= 1  R2 h   a a   a3 3   b) Các dạng tập tương tự lớp: Bài tập 1: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đường cao SA vng góc với đáy ABC tam giác ABC vuông B.Biết SA=3a,AB=4a,AC=5a Giải: Do SA  ( ABC) nên SA đường cao khối chóp S.ABC Trong tam giác vng ABC Ta có: BC  AC2  AB2   (5a)2  (4a)2  3a 1 SABC  AB.BC  3a.4a  6a2 2 Vậy V = SABC SA = 6a (đvtt) Bài tập 2: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác cạnh a đường cao SA vng góc với đáy ABC,mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy góc 30 Giải: Gọi M trung điểm BC Vì ABC tam giác nên AM  BC mà SA  ( ABC) Nên AM hình chiếu vng góc SM (ABC) Do SM  BC BC  ( SBC )  ( ABC ) nên  (( SBC),( ABC))  (SM , AM )    300  SMA Trong  V SAM ta có SA = AM tan300 = Vậy V = a 3 a  SABC SA = a2 a a3 = (đvtt)  24 Bài tập 3: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác vng A,BC=a, SA=SB=SC= a mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy góc 60 10 Lời giải: a)Tính VABCD Ta có: 1 VABCD  S ABC AD  a 3 b) Ta có: AB  AC , AB  CD  AB  EC Ta có: DB  EC  EC  ( ABD) c) Tính VDCEF : Yêu cầu: +Học sinh chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng DE DF +Nắm nhu cầu tính tỉ số , DA DB +Biết dụng hệ thức tam giác vuông để suy DE DA V DE DF Ta có: DCEF  (*) VDABC DA DB Mà DE.DA  DC , chia cho DA2 DE DC a2     2 DA DA 2a Tương tự: DF DC a2    2 DB DB DC  CB Từ (*)  Vậy VDCEF  VDABC VDCEF a3  VABCD  36 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SA  a Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC  ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ d) Lời giải: a) Ta có: VS ABCD a3  S ABCD SA  3 b) Ta có BC  ( SAB )  BC  AB ' Ta có SB  AB ' Suy ra: AB '  ( SBC ) c) Tính +Tính VS A B 'C ' D ' VS AB 'C ' : VSA ' B 'C ' SB ' SC '  (*) VSABC SB SC SC '  SAC vuông cân nên SC Ta có: Ta có: Yêu cầu: +Học sinh biết chứng minh AB '  ( SBC ) + Biết phân thành hai khối chóp nhau: S AB ' C ', S AC ' D ' 19 + Sử dụng tỉ số để giải SB ' SA2 2a 2a 2     SB SB SA2  AB 3a V Từ (*)  SA ' B 'C '  VSABC  VSA ' B 'C ' + B A O M D c A' D' B' C' a3 a3   3 VS A B 'C ' D '  2VS A B 'C ' 2a  Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ: Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a , AD = a, AA’=a, O giao điểm AC BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V Ta có : V  AB AD.AA '  a 3.a2  a3 ABD có : DB  AB  AD  2a * Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy đường cao giống khối hộp nên: a3 VOA' B'C ' D'  V  3 b) M trung điểm BC  OM  ( BB ' C ') Yêu cầu: +Học sinh xác định cơng thức thể tích khối 1 a a a VOBB'C '  SBB'C ' OM   hộp khối chóp 3 2 12 +Biết khai thác tính chất hình hộp đứng để c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện làm bài: Chọn đáy khối OBB’C’ 3V (BB’C’) (thuộc mặt bên hình hộp) OBB’C’ Ta có : C ' H  OBB 'C ' SOBB ' +Giải câu b) tương tự 1b ABD có : DB  AB  AD  2a  SOBB '  a  C ' H  2a Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ 20 Lời giải: Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ + Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích chiều cao nên có thể tích 1 Khối CB’D’C’ có V1  a a  a 3 + Khối lập phương tích: V2  a Yêu cầu: 3 +Học sinh biết chọn đáy chiều cao đối  VACB ' D '  a  a  a với khối nhỏ tính Bài Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E trung điểm cạnh AC,mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE Lời giải: a) Khối A’B’ BC: Gọi I trung điểm AB, Ta có: VA ' B ' BC  S A ' B ' B CI a a a3   2 12 b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’ +Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao A’A nên VA 'CEF  SCEF A ' A a2 a3 SCEF  S ABC   VA 'CEF  16 48 +Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy CFB’, đường cao JA’ nên VA ' B 'CF  SCFB' A ' J  V A ' B ' CF + Vậy : ; SCFB'  a2 SCBB '  a a a3   24 VCA'B'FE a3  16 Yêu cầu: + Học sinh biết cách tính khối A’B’ BC +Biết phân khối chóp CA’B’FE thành hai khối chóp tam giác + Biết đường thẳng vng góc với mp(CEF), ghi cơng thức thể tích cho khối CEFA’ + Tương tự cho khối CFA’B’ Bài Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ 21 C' A' B' A C 30 I B Lời giải Giả sử BI = x  AI  2x x  AI  BC Ta có   A' IA  30  A' I  BC AI x A' AI : A' I  AI : cos 30    2x 3 x A’A = AI.tan 300 = x 3 Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x =  x  Do VABC.A’B’C’ = D' C' A' B' D C N A H M B Bài : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = , AD = Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Tính thể tích khối lăng trụ biết cạnh bên Lời giải Kẻ A’H  ( ABCD) , HM  AB, HN  AD  A' M  AB, A' N  AD (định lý đường vng góc)   A' MH  45 , A' NH  60 2x Đặt A’H = x Khi A’N = x : sin 600 = AN = AA'  A' N   4x  HM Mà HM = x.cot 450 = x Nghĩa x =  4x x 3 3 Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vuông A, AC = a, BC = 2a AA’ = 3a Tính thể tích lăng trụ B' HD: * Đường cao lăng trụ AA’ = 3a ’ * Tính: VABC.ABC = Bh = SABC AA Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = AB.AC (biết AC = a) * Tính AB: Trong  V ABC A, ta có: * Tính: SABC = A' 3a 2a AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2 ĐS: VABC.ABC C' B 3a3 = C a  A Bài 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, góc A = 600 Chân đường vng góc hạ từ B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo đáy Cho BB’ = a a) Tính góc cạnh bên đáy b) Tính thể tích hình hộp 22 HD: a) Gọi O giao điểm đướng chéo AC BD * B’O  (ABCD) (gt) * Góc cạnh bên BB’ đáy (ABCD)  =  BO B  BO : Trong  V BB’O O, ta có: * Tính  = B cos  = D' C' B' A' OB OB = BB a a  D +  ABD cạnh a (vì A = 600 AB = a)  DB = a C 60 O A  OB =  a a DB = Suy ra: cos  =   = 600 2 B a2 a2 b) * Đáy ABCD tổng  ABD BDC  SABCD = = 2 a ’ * VABCD.ABCD = Bh = SABCD B’O = B O a 3a3 ’ ’ ’ * Tính B O: B O = (vì  B BO nửa tam giác đều) ĐS: Dạng 3: Tính thể tích khối trịn xoay Bài 12: Trong không gian cho tam giác vuông OAB O có OA = 4, OB = Khi quay tam giác vng OAB quanh cạnh góc vng OA đường gấp khúc OAB tạo thành hình nón trịn xoay a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón HD: A a) * Sxq =  Rl =  OB.AB = 15  Tính: AB = (   AOB O) * Stp = Sxq + Sđáy = 15  +  = 24  b) V = =12  1 R h = .OB2 OA = .32.4 = 3 O B Bài 13: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón HD: a) * Sxq =  Rl =  OB.SB =  a2 * Stp = Sxq + Sđáy =  a2 +  a2 = 23  a2 b) V = S R h = .OB2 SO = 3 2a 23 A O B a3 .a a  3 2a  a (vì SO đường cao Tính: SO =  SAB cạnh 2a) Bài 14: Một hình nón có chiều cao a thiết diện qua trục tam giác vng a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón HD: a) * Thiết diện qua trục tam giác vuông cân   S nên A = B = 450 * Sxq =  Rl =  OA.SA =  a2 S Tính: SA = a ; OA = a (   SOA O) * Stp = Sxq + Sđáy =  a2 +  a2 = (1 + )  a2 R h = .OA SO = 3 a .a a  3 b) V = A 45 B O Bài 15: Một hình trụ có bán kính đáy R thiết diện qua trục hình vng.Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ.Tính thể tích khối trụ HD: * Sxq =  Rl =  OA.AA’ =  R.2R =  R2 B * OA =R; AA’ = 2R O * Stp = Sxq + 2Sđáy =  R2 +  R2 =  R2 A 2 * V = R h = .OA OO = .R 2R  2R l h Bài 16: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm khoảng cách hai đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ B' b) Tính thể tích khối trụ O' A' c) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trụ 3cm Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên HD: a) * Sxq =  Rl =  OA.AA’ =  5.7 = 70  (cm2) B * OA = 5cm; AA’ = 7cm O * Stp = Sxq + 2Sđáy = 70  + 50  = I r =120  (cm2) A 2 b) * V = R h = .OA OO =  52.7 = l = 175  (cm3) h c) Gọi I trung điểm AB  OI = 3cm * SABBA = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ O' B' nhật) * AA’ = * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 24 A' * Tính: AI = 4(cm) (   OAI I) Bài 17: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a vng góc với mp(ABC),  ABC vuông B AB = 3a, BC = 4a a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu D HD: a) * Gọi O trung điểm CD * Chứng minh: OA = OB = OC = OD; * Chứng minh:  DAC vuông A O  OA = OC = OD = CD (T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh ấy) * Chứng minh:  DBC vuông B  OB = C A 1 CD * OA = OB = OC = OD = CD B  A, B, C, D 2 CD ) CD 1 AD  AC2 = AD  AB2  BC2 = b) * Bán kính R = = 2 5a = 25a2  9a2  16a2  2  5a    4 a 125 2a3 * S = 4    50a ; * V =  R =     3     thuộc mặt cầu S(O; Bài 18: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu HD: a) Gọi O tâm hình vng (đáy) Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS a a3  2 b) R = OA = ; S = 2a  ; V = Bài 19: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hính vng cạnh a SA = 2a vng góc với mp(ABCD) a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu HD: * Gọi I trung điểm AB Kẻ  vng góc với mp(SAB) I * Dựng mp trung trực SC cắt  O  OC = OS (1) C * I tâm đường tròn ngoại tiếp  SAB (vì  SAB vng S)  OA = OB = OS (2) * Từ (1) (2)  OA = OB = OC = OS Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA) c 25 O S B b a I  SC   AB  OI  AI      =     * R = OA = 2 a  b  c2 =  a  b  c2 * S = 4     2   (a  b  c )   a  b  c2 * V =    2 2 2   (a  b  c ) a  b  c  Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có đỉnh nằm mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c ba cạnh SA, SB, SC đơi vng góc Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu HD: a) Gọi O trung điểm SC * Chứng minh: Các  SAC,  SCD,  SBC vuông A, D, B * OA = OB = OC = OD = OS = SC )  S(O; SC S SC a = SA  AB2  BC2 = 2 2 a 6 a 6   a  * S= 4  ;V=    a     b) * R = 2a O A D B a C Bài tập tư giải Dạng 1: Tính thể tích khối chóp: Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 5a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC giác cạnh a, SA vng góc đáy, SA= a Gọi H trực tâm tam giác ABC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính độ dài đường cao đỉnh A SABC Bài 3: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC ABC cạnh a Góc mp(SBC) mp(ABC) 60 Tính thể tích khối chóp SABC Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân A, BC = SA=2a E trung điểm SB, F hình chiếu A lên SC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính thể tích khối SAEF c) Tính khoảng cách từ H đến mp(SAE) 26 a 2, Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B, đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết AB = a, BC  a SA  3a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Gọi I trung điểm cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a Bài Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng góc  với mặt đáy Biết BAC  120 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ: Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AB=a, BC= a , góc AC’ mp(A’A’C’D’) 30 M trung điểm AD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật b) Tính thể tích khối MACB’ Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh 2a a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khối tứ diện A.A’B’C’ b) Tính thể tích khối CBA’B’ Bài 3: Một hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng cân (AB = AC = a) Đường chéo BC’ mặt bên BCC’B’ tạo với mặt bên ACC’A’ góc   a) Chứng minh AC' B  b) Tính diện tích tồn phần hình lăng trụ Bài 4: Một khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I cạnh AC a) Tính góc cạnh bên mặt đáy.(ĐS: 300) b) Tính thể tích khối lăng trụ.(ĐS: a3 ) c) Chứng minh mặt bên AA’C’C hình chữ nhật Bài 5: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy tam giác ABC vng B Biết BB’=AB=h góc B’C làm với mặt đáy    B'CB  a) Chứng minh BCA b) Tính thể tích khối lăng trụ.(ĐS: h3 cot  ) c) Tính diện tích thiết diện tạo nên mặt phẳng ACB’ cắt khối lăng trụ Dạng 3: Tính thể tích khối trịn xoay Bài 1: Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền a a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón c) Cho dây cung BC đường trịn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Tính SSBC Bài 2: Cho hình trụ có hai đáy hai đường trịn tâm O O’, bán kính R, chiều cao hình trụ R a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hính vng cạnh a SA = 2a vng góc với mp(ABCD) a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S 27 b) Tính bán kính mặt cầu nói Tính diện tích thể tích mặt cầu e) Một số đề thi ĐH năm gần đây: ĐH Khối A-2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B,AB=BC=2a hai mặt phẳng (SAB) (SAC)  ( ABC) Gọi M trung điểm AB,mp qua SM // BC cắt AC N.Biết góc (SBC) (ABC) 600 a Tính thể tích khối chóp SBCMN b Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB SN ĐS: a VS.BCMN  a b d( AB, SN )  AK  2a 39 13 ĐH Khối A-2012 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a,Hình chiếu vng góc S ( ABC) điểm H thuộc AB cho HA=2HB, góc SC (ABC) 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo SA BC ĐS: a3 a VS ABC  12 a 42 b d(SA, BC)  HK  ĐH Khối B-2012 Cho hình chóp tam giác S.ABC SA=2a,AB=a.Gọi H hình chiếu  A SC a CM SC  (ABH) b Tính thể tích khối chóp S.ABH ĐS: a SC  AH    SC  ( ABH ) SC  AB  b VS ABH  7a3 11 96 28 ĐH Khối D-2012 Cho lăng trụ tứ giác đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy hình vng,Tam giác A’AC cân, A’C=a a Tính thể tích khối chóp ABB’C’ b Tính khoảng cách từ A đến (BCD’) theo a ĐS: a3 a VC ' ABB '  48 a 6 b d( A,( BCD ')  AH  ĐH Khối A-2013 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A,  ABC  30 SBC tam giác cạnh a mặt bên (SBC) 600 a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Tính khoảng từ C đến (SAB) ĐS: a VS ABC  a3 16 V a 39 b d(C,(SAB)  S ABC  SSAB 13 ĐH Khối B-2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB tam giác  ( ABCD) a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Tính khoảng cách từ A đến (SCD) ĐS: a VS ABCD a3  b d( A,(SCD )  HM  a 21 ĐH Khối D-2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a,SA  ( ABCD ),   1200 Gọi M trung điểm BC BAD   450 SMA a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Tính khoảng cách từ D đến (SBC) ĐS: a VS ABCD a3  29 b d( D,(SBC)  AH  a ĐH Khối A-A1-2014 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình 3a Hình chiếu vng góc S ( ABCD ) trung điểm vng cạnh a, SD  AB a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Tính khoảng cách từ A đến (SBD) ĐS: a VS ABCD a3  b Gọi E hình chiếu vng góc H BD F hình chiếu vng góc H SE d( A,(SBD))  HF  2a ĐH Khối B-2014 Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm AB Góc A’C mặt đáy 60 Hình chiếu vng góc S ( ABCD ) trung điểm AB a Tính thể tích khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ b Tính khoảng cách từ B đến (ACC’A’) 3a3 a VABC.A'B'C'  b Gọi E hình chiếu vng góc H AC F hình chiếu vng góc H A’E d( B,( ACC ' A'))  HF  3a 13 13 ĐH Khối D-2014 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A,mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC)  ( ABC) a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SA ĐS: a VS ABC a3  24 b d(SA, BC)  HK  a 30 f) Một số đề kiểm tra: ĐỀ SỐ : Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC= a Đáy tam giác ABC cân   1200 BAC , cạnh BC=2a Tính thể tích khối chóp S.ABC.Gọi M trung điểm SA.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) Đáp án: Áp dụng định lí cosin 2a  ABC có AB = AC = = AB.AC.sin1200 =  S ABC a2 Gọi H hình chiếu S lên (ABC), theo gt: SA = SB = SC  HA = HB = HC  H tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC * Theo định lí sin  ABC ta có: BC 2a = 2R  R = = HA sin A  SHA vuông H  SH =  VS ABC = 3,0 đ SA2  HA2 = a a3 S SH = ABC 2,0 đ * Gọi hA, hM khoảng cách từ A, M tới mp(SBC) h SM 1  M    hM = hA hA SA 2 = a2  SBC vng S  S SBC * Lại có: VS ABC = Vậy hM = d(M;(SBC)) = 2,0 đ 3VS ABC a hA  hA = = S  SBC S SBC a 3,0 đ ĐỀ SỐ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh A, AB  a Gọi I trung điểm BC, hình chiếu vng góc H S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: 31 IA  2 IH , góc SC mặt đáy (ABC) 60 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ trung điểm K SB tới (SAH) •Ta có IA  2 IH  H thuộc tia đối tia IA IA = 2IH 2,0 đ BC = AB  2a ; AI= a ; IH= IA a = 2 3a AH = AI + IH = •Ta có HC  AC  AH  AC AH cos 45  HC   a 2,0 đ  Vì SH  ( ABC )  ( SC ; ( ABC ))  SCH  60 SH  HC tan 60  • VS ABC  • a 15 1 a 15 a 15 S ABC SH  (a )  3 2 1,0 đ BI  AH    BI  (SAH ) BI  SH  d ( K ; ( SAH )) SK 1 a    d ( K ; ( SAH ))  d ( B; ( SAH )  BI  Ta có d ( B; ( SAH )) SB 2 2 ĐỀ SỐ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi ; hai đường chéo AC = 3a , BD = 2a cắt O; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết a khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 32 5,0 đ Đáp án: Từ giả thiết AC = 2a ; BD = 2a ;AC BD vng góc với trung điểm O đường chéo Ta có tam giác ABO vuông O AO = a ; BO = a  Do A BD  600 hay tam giác ABD S D 2,0 đ I 3a A Từ giả thiết (SAC) (SBD) vuông góc O với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến H chúng SO  (ABCD) a C K trung điểm HBBtaK Do tam giác ABD nên với H trung điểm AB, có a  OK  AB DH  AB DH = a ; OK // DH OK  DH  2  AB  (SOK) Gọi I hình chiếu O lên SK ta có OI  SK; AB  OI  OI  (SAB) , hay OI khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) 1 a Tam giác SOK vuông O, OI đường cao     SO  2 OI OK SO a Diện tích đáy S ABC D  4S ABO  2.OA.OB  3a ; đường cao hình chóp SO  3a Thể tích khối chóp S.ABCD: VS ABC D  S ABC D SO  3 33 4,0 đ 4,0 đ ... Diện tích xung quanh hình nón: Sxq =  R.l - Thể tích khối nón: V =  R h - Diện tích mặt cầu: S = 4. R  R 3 Ví dụ 7: Tính thể tích, diện tích xung quanh ,diện tích tồn phần khối trụ ngoại tiếp khối. .. h khối tròn xoay B 3: Áp dụng cơng thức : - Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2. R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh) - Thể tích khối trụ: V =  R h ( h : độ dài đường cao ) - Diện. .. 4b - Thể tích khối cầu: V = Giải: Khối trụ có bán kính Mặt khác Theo giả thiết ta có bán kính R=AO= 2 3a AH= a 3 - Diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2. a 3.4b  8ab 3. (đvdt) - Diện tích