CHUYÊN đề THỂ TÍCH các KHỐI đa DIỆN

CHUYÊN đề THỂ TÍCH các KHỐI đa DIỆN

Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com CHUYÊN ĐỀ : THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN A- TÓM TẮT LÝ THUYẾT: CÔNG THỨC THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN THƯỜNG GẶP Thể tích khối lăng trụ: V= B.h B: diện tích đáy, h: chiều cao h Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c a,b,c là ba kích thước c b a Thể tích khối lập phương: V = a 3 a là độ dài cạnh a a a Thể tích khối chóp: V= 1 3 Bh B: diện tích đáy, h: chiều cao h Tỉ số thể tích tứ diện: Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có: SABC SA 'B'C ' V SA SB SC V SA ' SB' SC'  C' B' A' C B A S Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com CÁC CÔNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG CÓ LIÊN QUAN: I- Tỷ số lượng giác của góc nhọn: B A C Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có: sin ;cos ;tan ;cot AC AB AC AB B B B BC BC AB AC     II- Hệ thức lượng trong tam giác vuông: H B A C Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, ta có: BC 2 = AB 2 + BC 2 (Pi-ta-go) AB 2 = BH.BC, AC 2 = CH.BC AH.BC = AB.AC AH 2 = BH.BC ; 2 2 2 1 1 1 AH AB AC   1 1 . . 2 2 ABC S AH BC AB AC    III- Hệ thức lượng trong tam giác thường: c a b A B C Đ.lý cos: a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosA b 2 = c 2 + a 2 - 2ca cosB c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC Đ.lý sin: 2 sin sin sin a b c R A B C    ( R: bk đ.tròn ngoại tiếp) Độ dài trung tuyến tam giác: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 2( ) 4 2( ) 4 a b c b c a m a c b m a b c m          Diện tích tam giác:    1 1 1 . . . 2 2 2 a b c S a h b h c h    1 1 1 sin sin sin 2 2 2 S bc A ca B ab C           4 abc S R S pr S p p a p b p c (p là nửa chu vi) IV- Diện tích các đa giác thường gặp: Diện tích tam giác đều cạnh a: 2 3 4 a Đường cao tam giác đều cạnh a: 3 2 a Diện tích hình chữ nhật: a.b ( a,b là 2 kích thước) Diện tích hình vuông cạnh a: a 2 Diện tích hình thang: ( ) 2 a b h  b a h Diện tích hình bình hành: a.h a h Diện tích tứ giác có 2 đường chéo vuông góc: 1 2 1 . 2 d d (d 1 ;d 2 là độ dài 2 đường chéo) d1 d2 Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com QUAN HỆ VUÔNG GÓC, KHOẢNG CÁCH, CÁC LOẠI GÓC C/m đt vuông góc với mp: a b, a c , b  c = {O} , b,c  (P) Suy ra : a  (P) c b P a O Định lý 3 đường vuông góc: Cho b’ là hình chiếu vuông góc của b trên mp    , c     , ta có: ' c b c b    b'  c A' A b B' B 2mp cùng vuông góc với mp thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mp đó. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1mp: Để xác định khoảng cách từ A đến mp(P), ta tìm 1 mp qua A vuông góc với (P) và cắt (P) theo giao tuyến d. Hạ AH  d  AH  (P)  AH là khoảng cách từ A đến mp(P). *Chú ý: các loại khoảng cách khác thường quy về loại khoảng cách này. +Khoảng cách giữa 2mp // là k/cách từ 1 điểm trên mp này đến mp kia. +K/cách giữa 2đt chéo nhau:  bằng độ dài đoạn vuông góc chung.  bằng k/cách từ 1 điểm trên đt thứ nhất đến mp chứa đt thứ hai và // với đt thứ nhất.  bằng k/cách giữa 2mp // lần lượt chứa 2đt đó. ( P ) d H A Góc giữa 2 đường thẳng: Cho a,b là 2 đt bất kỳ trong không gian. O là điểm tùy ý, qua O vẽ a’//a, b’//b Ta có: góc(a,b) = góc(a’,b’) a b b' a' O Góc giữa đt và mp: là góc giữa đt đó và hình chiếu của nó trên mp Góc giữa 2 mp cắt nhau: Để xác định góc giữa 2mp cắt nhau ta tìm giao tuyến c của 2mp đó, tìm trong mp thứ nhất 1 đt a  c, tìm trong mp thứ hai 1 đt b  c, góc giữa 2mp đã cho là góc giữa 2đt a và b. d d' O A H b c a Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com B- CÁC VÍ DỤ CƠ BẢN: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy: Ví dụ 1 : Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60 o . 1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông . 2)Tính thể tích khối chóp SABC. a o 60 S C B A Lời giải : 1) SA (ABC) SA AB &SA AC     mà BC AB BC SB    ( đl 3 đường  ). Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông. 2) Ta có SA (ABC) AB   là hình chiếu của SB trên (ABC). Vậy góc[SB,(ABC)] =  o SAB 60  . ABC  vuông cân nên BA = BC = a 2 S ABC = 2 1 a BA.BC 2 4  o a 6 SAB SA AB.tan60 2    Vậy 2 3 ABC 1 1 a a 6 a 6 V S .SA 3 3 4 2 24    Ví dụ 2 : Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60 o . Tính thể tích khối chóp SABC . Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com a o 60 M C B A S Lời giải: Mlà trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên AM  BC  SM  BC (đl 3 đường  ) . Vậy góc[(SBC) ;(ABC)] =  o SMA 60  .   o 3a SA AMtan60 2 Vậy V =  3 ABC 1 a 3 S .SA 3 8 Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60 o . 1) Tính thể tích hình chóp SABCD. 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). H a D C B A S o 60 Lời giải : 1)Ta có  SA (ABCD) và CD AD CD SD    ( đl 3  ).(1) Vậy góc[(SCD),(ABCD)] =  SDA = 60 o . SAD  vuông nên SA = AD.tan60 o = a 3 Vậy 2 3 ABCD a 1 1 a 3 V S .SA a 3 3 3 3    2) Ta dựng AH SD  ,vì CD  (SAD) (do (1) ) nên CD  AH  AH (SCD)  Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD). 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 SAD AH SA AD 3a a 3a       Vậy AH = a 3 2 Dạng 2: Khối chóp đều Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC . Lời giải : Dựng SO  (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC Vậy O là tâm của tam giác đều ABC. Ta có tam giác ABC đều nên Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com a 2a H O C B A S AO = 2 2 a 3 a 3 AH 3 3 2 3   2 2 2 2 11a SAO SO SA OA 3     a 11 SO 3   .Vậy 3 ABC 1 a 11 V S .SO 3 12   Ví dụ 2:Tính thể tích khối chóp tứ giác đều SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . a O D C B A S Lời giải: Gọi O là tâm h.vuông ABCD Ta có SA 2 + SC 2 = AC 2 nên ASC  vuông tại S 2 2 a OS   3 2 1 1 2 2 . 3 3 2 6 ABCD a a V S SO a   Vậy 3 a 2 V 6  Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD. b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Tính thể tích khối chóp MABC. a I H O M C B A D Lời giải : a.Gọi O là tâm của ABC  ( ) DO ABC   1 . 3 ABC V S DO  , 2 3 4 ABC a S  , 2 3 3 3 a OC CI  2 2 ô ó : DOC vu ng c DO DC OC    6 3 a  2 3 1 3 6 2 . 3 4 3 12 a a a V   b.Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là 1 6 2 6 a MH DO  2 3 1 1 3 6 2 . . 3 3 4 6 24 MABC ABC a a a V S MH    Vậy 3 a 2 V 24  Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com Dạng 3: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB. 2) Tính thể tích khối chóp SABCD. a H D C B A S Lời giải: 1) Gọi H là trung điểm của AB. SAB  đều SH AB   mà (SAB) (ABCD) SH (ABCD)    Vậy H là chân đường cao của khối chóp. 2) Ta có tam giác SAB đều nên SA = a 3 2 suy ra 3 ABCD 1 a 3 V S .SH 3 6   Ví dụ 2 : Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)  (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60 o . Tính thể tích tứ diện ABCD. o 60 a H D C B A Lời giải : Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH  (BCD) , mà (ABC)  (BCD)  AH (BCD)  . Ta có AH  HD  AH = AD.tan60 o = a 3 & HD = AD.cot60 o = a 3 3 BCD   BC = 2HD = 2a 3 3 suy ra V = 3 BCD 1 1 1 a 3 S .AH . BC.HD.AH 3 3 2 9   Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45 0 . a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC. b) Tính thể tích khối chóp SABC. Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com 45 I J H A C B S Lời giải: C) Kẽ SH  BC vì mp(SAC)  mp(ABC) nên SH  mp(ABC). Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC  SI  AB, SJ  BC, theo giả thiết   o SIH SJH 45   Ta có: HJHISHJSHI      nên BH là đường phân giác của ABC  ừ đó suy ra H là trung điểm của AC. b) HI = HJ = SH = 2 a  V SABC = 12 . 3 1 3 a SHS ABC  Dạng 4: Phương pháp tỷ số thể tích tứ diện: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, 2 AC a , SA vuông góc với đáy ABC , SA a  1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC. 2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (  ) qua AG và song song với BC cắt SB,SC lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN G M N I C B A S Lời giải : a)Ta có : . 1 . 3 S ABC ABC V S SA  và SA a  + â ó : 2 ABC c n c AC a AB a     2 1 2 ABC S a   Vậy: 3 2 1 1 . . 3 2 6 SABC a V a a  b) Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm,ta có : 2 3 SG SI   // BC  MN// BC 2 3 SM SN SG SB SC SI     4 . 9 SAMN SABC V SM SN V SB SC    Vậy: 3 4 2 9 27 SAMN SABC a V V  Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB a  . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD a  . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. b) Chứng minh ( ) CE ABD  c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF. a a F E B A C D Lời giải: a)Tính ABCD V : 3 ABCD ABC 1 a V S .CD 3 6   b)Tacó: , AB AC AB CD   ( ) AB ACD   AB EC   Ta có : DB EC  ( ) EC ABD   C) Tính EF DC V :Ta có : . (*) DCEF DABC V DE DF V DA DB  Để ý 2 . DE DA DC  2 2 2 2 1 2 2 DE DC a DA DA a     Tương tự: 2 2 2 2 2 1 3 DF DC a DB DB DC CB     Từ(*) 1 6 DCEF DABC V V   .Vậy 3 1 6 36 DCEF ABCD a V V  Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng )(  qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó. N S O M B D C A Lời giải: Kẻ MN // CD (N )SD  thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM). + SABCDSADBSANB SADB SAND VVV SD SN V V 4 1 2 1 2 1  SABCDSBCDSBMN SBCD SBMN VVV SD SN SC SM V V 8 1 4 1 4 1 2 1 . 2 1 .  Mà V SABMN = V SANB + V SBMN = SABCD V 8 3 . Suy ra V ABMN.ABCD = SABCD V 8 5 . Vậy 5 3 .  ABCDABMN SABMN V V Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com I O A B C D S E F M Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60  . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Lời giải: a) Gọi I SO AM   . Ta có (AEMF) //BD  EF // BD b) . D D 1 . 3 S ABC ABC V S SO  với 2 DABC S a  + SOA  có : 6 .tan60 2 a SO AO    Vậy : 3 . D 6 6 S ABC a V  C) Phân chia chóp tứ giác ta có . EMF S A V = V SAMF + V SAME =2V SAMF . S ABCD V = 2V SACD = 2 V SABC Xét khối chóp S.AMF và S.ACD Ta có : 1 2 SM SC   SAC  có trọng tâm I, EF // BD nên: 2 3 SI SF SO SD    D 1 . 3 SAMF SAC V SM SF V SC SD    3 D D 1 1 6 3 6 36 SAMF SAC SAC a V V V    3 3 . EMF 6 6 2 36 18 S A a a V   Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, 2 SA a  . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Chứng minh ( ' ') SC AB D  c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ [...]... và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA a, SB  a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm... (ABCD) là 600 Gọi I là trung điểm AD, biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mp(ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng  (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a 3 và SBC  300 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông... AA'B  AA'2  A 'B2  AB2  8a2  AA '  2a 2 Vậy V = B.h = SABC AA’ = a3 2 B Ví dụ2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Gọi I là trung điểm BC Ta có  ABC đều nên C' A' B' AI  A C I B AB 3  2 3 & AI  BC 2  A 'I  BC(dl3 ) 2S 1 SA'BC  BC.A'I  A'I  A'BC  4 2 BC AA '  (ABC)  AA '  AI... D '  2VS A B 'C ' có : 2a 3 2  9 có : Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Dạng 1: Lăng trụ đứng Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a 2 và biết A’B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ C' A' B' 3a C A a Lời giải: Ta có ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a ABC A’B’C’ là lăng trụ đứng... Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trongmặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diệnCMNP ... hình chữ nhật 2 2a 3 a 3 2) ABC đều nên AO  AH   3 3 2 3 AOA '  A 'O  AO t an60o  a a3 3 Vậy V = SABC.A’O = 4 Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com C- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập tự luyện được chia thành 3 đợt, mỗi đợt 5 bài, các em giải xong thì đưa lên trang web của trường để các bạn cùng tham khảo, sau đó thầy sẽ đưa bài giải để các em đối chiếu BÀI TẬP TỰ LUYỆN... AI A 'AI  AA '  A 'I2  AI 2  2 Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA’= 8 3 Dạng 2: Lăng trụ xiên Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o Tính thể tích lăng trụ Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com A' Lời giải : Ta có C'H  (ABC)  CH là hình chiếu của CC’ trên (ABC) Vậy góc[CC',(ABC)]... Vậy V = SABC.C’H = 4 8 C' B' o 60 C A H B a Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A’ xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA’ hợp với đáy ABC một góc 60 1) Chứng minh rằng BB’C’C là hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ A' C' B' A 60 o C a O H B Lời giải : C) Ta có A 'O  (ABC)  OA là hình chiếu của AA’ trên (ABC) . CHUYÊN ĐỀ : THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN A- TÓM TẮT LÝ THUYẾT: CÔNG THỨC THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN THƯỜNG GẶP Thể tích khối lăng trụ: V= B.h B: diện. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD. b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Tính thể tích khối