chuyên đề thể tích của khối đa diện

Phần 1: Thể tích khối đa diện A/ Lý thuyết 1.Khái niệm thể tích khối đa diện (SGK Hình học 12 trang 23) 2.Các công thức tính thể tích khối đa diện a) thể tích khối hộp chữ nhật V = abc với a, b, c kích thước khối lượng chữ nhật b) Thể tích khối chóp V= Sđáy h , h: Chiều cao khối chóp c) Thể tích khối lăng trụ V= Sđáy h , h: Chiều cao khối lăng trụ B/ Các dạng tập Dạng 1: Tính thể tích khối đa diện *Phương pháp: Để tính thể tích khối đa diện ta có thể: +áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích +Chia khối đa diện thành khối nhỏ mà thể tích khối tính +Bổ sung thêm bên khối đa diện để khối đa diện tính thể tích công thức phần bù vào tính thể tích *Các tập 1)Về thể tích khối chóp +Nếu khối chóp có chiều cao đáy ta tính toán chiều cao, diện tích đáy áp dụng công thức: Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trường hợp sau: a) Cạnh đáy a, góc ABC = 60o b) AB = a, SA = l c) SA = l, góc mặt bên mặt đáy ỏ giải: a) Gọi O tâm ∆ABC ⇒ SO ⇒(ABC) S a a2 = SABC = a ∆ABC có SA = SB; ABC = 60o ⇒ SA = AB = SB = a C A O a B SO ⇒ OA ( SO ⇒ (ABC) ) Tam giác vuông SOA có: a2 2 ) =a − = a 3 SO = SA - OA = a - ( a ⇒ SO = a 2 2 a2 Vậy VSABC = S∆ABC SO = b) Tương tự câu a đáp số: V SABC = a2 l − a l − a3 a2 c) Gọi O tâm ∆ABC Gọi A’ trung điểm BC Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SA’O = ỏ Tam giác vuông SOA có: SO2 = l2 - OA2 = l2 - AA’2 Tam giác vuông SOA’ có: sin α = SO AA ' ⇒ SO = A AA ' sin α (2) a AA' sin α + AA'.sin α = l ↔ AA’2(sin2 ỏ + 4) =9l2 ↔ AA ' = S∆ABC = A' B Từ (1) (2) ta có: O 3l sin α +4 AA'.BC = 12 SO = 13 3l sin α + 3l sin α + sin α = 3l sin α + = l sin α sin α + 3l 2 (sin α + ) ⇒VSABC = S∆ABC SO = l sin α (sin α + 4) sin α + Bài Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông A, AB = a, AC = a Hình chiếu vuông góc A’ (ABC) trung điểm BC tính VA’ABC theo a? Giải -Gọi H trung điểm BC C' ⇒A’H ⇒ (ABC) (gt) A' -Ta có S∆ABC = 12 AB AC = 12 a 2a -Vì A’H ⇒ (ABC) ⇒ A’H ⇒ AH Tam giác vuông A’HA có: B C H A’H2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 - (a2 + 3a2) a3 a hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a ⇒VA’ABC = S∆ABC A’H = a 3.a = a2 1 Bài Hình chóp SABCD có SA ⇒ (ABC), SA = a ∆ABC vuông cân có AB = BC =a B’ trung điểm SB C’ chân đường cao hạ từ A ∆SAC a) tính VSABC b) Chứng minh SC⇒ (AB’C’) Tính VSAB’C’ Giải a) S∆ABC = 12 BA.BC = 12 a ; SA =a ⇒ VSABC = S∆ABC SA = a3 C' a B' A C a a B b) ∆SAB có AB = SA = a ⇒∆SAB cân A ⇒ AB’ ⇒ SB B’S = B’B BC⇒ AB ⇒ BC ⇒ (SAB) ⇒ BC ⇒ AB’ BC⇒ SA ⇒ AB’ ⇒ (SAC) ⇒ AB’ ⇒ SA AC’ ⇒ SC ⇒SC ⇒ (AB’C’) Cách AB ' = 12 SB = 2a = a Vì AB’ ⇒ (SBC) ⇒AB’ ⇒ B’C’ SC = SA + AC = 3a SC ' = SA SC a = a2 B’C’2 = SB’2 - SC’2 = ⇒S∆AB’C’ = ⇒V∆AB’C’ = Cách SB ' SB = V SAB 'C ' V SABC AB'.B' C' = 12 a2 a2 24 a3 = SC ' SC = ⇒ B' C ' = a = a SA ' SB ' SC ' SA SB SC a = 4a a3 36 = a = a = a ⇒ V SA ' B ' C ' = 1 6 a3 = a3 36 Bài Hình chóp SABC có SA⇒ (ABC), ∆ABC cân A, D trung điểm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = ỏ; (SB, (SAD)) = õ Tính VSABC Giải Dễ thấy S (SB, (ABC)) = ỏ = SBA (SB, (SAD)) = õ = BSD ∆ABC cân ⇒ AD ⇒ BC DB = DC ∆SAB có cos ỏ = AB SB (1) BC ⇒ AD BC ⇒ SA (vì SA⇒ (ABC) ⇒ BC ⇒ (SAD) ⇒ BC ⇒ SD A C a D B Tam giác vuông SB có sinõ = Từ (1) (2) ⇒ ⇒ AB cos α AB cos α = = BD sin β BD SB = AB − a sin β (2) AB − a sin β ⇒ AB2(sin2 õ – cos2 ỏ) = -a2cos2 ỏ ⇒ AB = cos α − sin β S∆SAB =BD.AD = SA = AB tan ỏ = ⇒ VSABC = sinβ AD.AB= cos α a2 cosα cos2 α−sin2 β = a2 sinβ cos2 α −sin2 β a sinα cos2 α−sin2 β a2 sinβ a sinα SA.S∆ABC = Sinβ cosα a cos α cos2 α−sin2 β = cos2 α−sin2 β a3 sinα cosβ cos2 α −sin2 β Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a nửa đường thẳng Ax, Cy ⇒ (ABCD) phía với mặt phẳng Điểm M không trùng với với A Ax, điểm N không trùng với C Cy Đặt AM = m, CN = n Tính thể tích hình chóp BAMNC Giải Gọi I giao điểm AC BD x N Ta có BD ⇒ AC (vì ABCD hình vuông) M n (Ax, Cy) ⇒ (ABCD) D ⇒ BD ⇒ (AMNC) C m ⇒ BI ⇒ (AMNC) BI = BD = a A Diện tích hình thang AMNC S = VAMNC = 13 S AMNC BI = (m+n)a ( AM + CN ) a 22 = a2 AC = B (m+n)a 2 ( m + n) *Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa bíết chiều cao ta phải xác định đựơc vị trí chân đường cao đáy Ta có số nhận xét sau: -Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đáy cạnh bên chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy -Nếu hình chóp có mặt bên nghiêng dáy có đường cao mặt bên xuất phát từ đỉnh chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy -Hình chóp có mặt bên mặt mặt chéo vuông góc với đáy đường cao hình chóp đường cao mặt bên mặt chéo -Nếu có đường thẳng vuông góc với mặt đáy khối chóp đường cao khối chóp song song với đường thẳng -Nếu đường thẳng nằm đáy khối chóp vuông góc vuông góc với mặt phẳng chứa đỉnh khối chóp đường cao khối chóp đường thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến mặt đáy mặt phẳng chứa đỉnh nói *Nếu khối chóp khối tứ diện ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp Bài 6: SABCD có đáy tâm giác cân A, BC =a, ABC = ỏ, cạnh bên nghiêng đáy góc ỏ Tính VSABC Giải S C a B H A -Gọi H hình chiếu S lên (ABC) -Vì cạnh bên nghiêng đáy ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC -Ta có: ∆ABC = 12 AB AC sin α mà BC2 = 2AB2 - 2AB2cos ỏ = 2AB2(1-cos ỏ) = a2 ⇒ AB = a ⇒ S∆ABC = 12 AB sin α = HA = R = BC sin α = a sin α 2 1− cos α a2 cos α2 ⇒ SH = a sin α = − cos α a sin α Tan giác vuông có tan ỏ = SH AH ⇒VSABC = 13 S ∆ABC SH = 13 a4 cot α2 cosa α = tan α = a cos α a cot α2 24 cos α Bài 7: SABC có đáy ABCD hình bình hành SABCD = góc đường chéo = 60o cạnh bên nghiêng đáy góc 45o Tính VSABCD Giải D C O A B -Hạ SO ⇒ (ABCD) -Vì khối chóp có bên nghiêng đáy ⇒ O tâm đường tròn qua đỉnh A, B, C, D ⇒ tứ giác ABCD hình chữ nhật O = AC ∩ BD -Đặt AC = BD =x 3 Ta có ShcnABCD = AC.BD.sin60o = x = x = ⇒ x=3 - (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o = SCO = (SC, (ABCD)) ⇒ ∆ASC vuông cân S ⇒ SO = 12 AC = ⇒ VSABCD = 13 3.1 = 33 Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o a) Chứng minh ∆ABC vuông b) Tính VSABC Giải a) S a A H C B SA = SB ⇒ AB = a  o  ASB = 60 -Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2 -∆SAC có AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(- ) =3a2 -∆ABC có AC2 = AB2 + BC2 ⇒∆ABC vuông B b) Hạ SH ⇒ (ABC) Vì SA = SB = SL HA = HB = HC ⇒ H trung điểm AC ∆ABC vuông B ⇒ SH2 = SB2 - BH2 = Tam giác vuông SHB có SB = a BH = AC = ⇒ SH = a a (Hoặc ∆SAC nửa tam giác ⇒ SH = ⇒VSABC = a2 SA = a2 ) S ∆ABC SH = 13 12 AB.BC.SH = 16 a.a a = a3 12 Bài 9: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o ∆SAC ∆SBD tam giác có cạnh = Tính thể tích khối chóp SABCD Đáp số: VSABCD = Bài 10: SABCD có đáy hình thang vuông A D, ∆SAD cạnh = 2a, BC = 3a Các mặt bên lập với đáy góc Tính VSABCD Giải D C K 2a 3a H -Hạ SH ⇒ (ABCD), H ⇒ (ABCD) -Vì mặt bên lập với đáy góc nên dễ dàng chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp đáy -Gọi K hình chiếu H lên AD =a -Ta có HK = AD -Tam giác vuông SHK có HK = a SK = 2a ⇒SH = = a (vì ∆SAD đều) 3a − a = a Vì ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a ( AB + CD ) AD = a2.2 a = 5a ⇒SABCD = ⇒VSABCD = S ABCD SH = 13 5a a = 5a3 Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a , (SAB) b (ABCD) M, N - Trung điểm AB, BC Tính VSBMDN Giải S D A H M B N C ∆SAB hạ SH b AB (SAB) b (ABCD) ⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN) 1 S∆CDN = S∆MDA = S ABCD ⇒ S BMDN = S ABCD = 2a.2a = 2a2 ∆SAB có AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 ⇒ SAB vuông S ⇒ SH = SA2 + SB = ⇒VSBMDN = S BMDN a2 + 31a = SH = 3a a ⇒ SH = 2a a = a3 ABCD hình thang với AB = BC = CD = AD ∆SBD Bài 12: SABCD có vuông S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy SB = 8a, SD = 15a Tính VSABCD Giải S 15a 8a A D H B -Trong ∆SBD kẻ SH b BD Vì (SBD) b (ABCD) ⇒SH b (ABCD) C = 1 SH SH 1 64 a 225 a -Tam giác vuông SBD có hay SH hay SH = = + SD1 + 14400 289 a = 120 17 a -Vì hình thang có AB = BC = CD = AD ⇒ Aˆ = Dˆ = 60o, B = C = 120o -∆SBD có BD2 = SB2 +SD2 =289a2 ⇒ BD = 17a ∆CBD có BD2 =2BC2(1+ ) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = S∆BCD = S ABCD 2 BC sin 120o = 12 289 a = 3S∆BCD = = a 289 3a 12 289 3a 12 ⇒VSABCD = S 17 ABCD SH = 289 3a 120a 12 17 = 170 a3 Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD hình chữ nhật, ∆SCD cân S nằm mặt phẳng b (ABCD) ∆SAB có SA = a, ASB = ỏ nằm mặt phẳng lập với (SCD) góc ỏ Tính thể tích khối chóp SABCD Giải S A D K B H C Trong ∆SCD hạ SH b CD Vì ∆SCD cân S ⇒ H trung điểm CD SH b CD (SCD) b (ABCD ⇒ SH b (ABCD) Gọi K trung điểm AB Ta có HK b AB AB b SH (vì SH b (ABD)) ⇒AB b (SKH) ⇒ AB b SK ⇒ ∆SAB cân S Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH = ỏ ∆SAB có SK = acos ỏ , AB = 2AK = 2asin ỏ ∆SHK vuông H có SH =SK.cosỏ = acos2 ỏ E A' C' A' B' N A C M I B Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện ngũ giác MNEFI Gọi V1, V2 tương ứng thể tích phần phần thiết diện, ta có V1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF V2 = VNFA’E + VNAA’FI + VNACMI So sánh phần tương ứng ta có V1 = V2 ⇒ V1 V2 =1 Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a O= AC BD, õ (ABCD) Lấy S ox, gọi (mặt bên, mặt đáy) mặt phẳng qua AC vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Dạng Phương pháp thể tích : Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thứC,khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng dựa vào thể tích Bài 1: SABC có SA = 3a, SA b (ABC), ∆ABC có AB = BC = 2a, ABC =120o Tính D(A,(SBC)) Giải S 3a A C 2a B M a a S∆ABC = AB.BC.sin120o = = a3 a 3a SSABC = S∆ABC SA= = a3 3 Kẻ SM b BC BC b SA (vì SA b (ABC)) ⇒BC b AM ⇒ AM = a ∆SAM vuông A có SM = a S∆SBC = SM.BC = a2 d(A, (SBC)) = 3VSABC S ∆SBC 3a3 3a = = 32 a Bài 2: SABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA b (ABC), SA =2a Tính d(A, (SBC)) Giải S 2a A C a M B S∆ABC = o a 3.a sin 60 = 3a 2 = 3a 3a3 VSABC = SA.S∆ABC = Gọi M trung điểm BC AM b BC BC b SA ⇒BC b SM AM = a 3 = 3a ∆SAM vuông A có SM2 = SA2 + AM2 = 4a2 + S∆SBC = SM.BC = a2 a2 = 25 a2 ⇒ SM = a d(A, (SBC)) = 3VSABC S ∆SBC = 3 a a = 53 a Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AD b (ABC); AC = AD = 4; AB = 3, BC = Tính d(A, (BCD)) Giải D M A C B Dễ thấy ∆ABC vuông A S∆ABC = AB.AC = VDABC = S∆ABC.DA = ∆DAC có DC = ∆DAB có DB = ∆DBC có BC = BD = ⇒ ∆DBC cân B gọi M trung điểm DC ⇒ BM b DC BM = 25 − = 17 S∆DBC = BM.DC = 3VDABC 17 = 34 d(A, (DBC)) = S∆DBC = 34 a Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB = a; CD = b, cạnh lại c Tính d(A, (BCD)) Giải 12 A N a D B M C ∆ACD = ∆BCD Gọi M trung điểm CD ⇒AM = BM, DC b (ABM) Gọi N trung điểm AB ⇒ MN b AB MN2 = BM2 - BN2 = c2 + S∆AMN = a2 4c +b2 −a 2 = b2 2 − a4 = 4c +b4 −a 4c + b − a a VABCD = VBCMA = 13 CM.S∆ABM = 23 b2 a4 4c + b − a = 12ab 4c + b − a V∆BCD = BM.CD = d(A, (BCD)) = 3VABCB S ∆BCD c + b4 b = = b 4 c +b − a ab b 4 c +b 4c + b =a c +b − a c +b Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = x cạnh lại a)tính thể tích tứ diện ABCD theo x b)Tính d(A, (BCD)) Tương tự Đáp số: VABCD = x2 d(A, (BCD)) = x 4+ x = 2x 4+ x Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a BAC = 120o Gọi m trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB MA1 tinhd khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM) Giải z B C A M x y B1 2a C1 A1 Đưa hệ trục toạ độ A1xyz vuông góc hình vẽ: gốc toạ độ A1 trục A1Z hướng theo A1 A Trục A1y hướng theo A1C1 Trục A1x tạo với trục Oy góc 90o nằm MP (A1B1C1) Toạ độ điểm: A1(0 ; 0; 0), B1( a A(0 ; 0; 2a ), B( M(0; 2a; a ) a BM ( − ;− a2 ;0) , C1(0; 2a; 0) a ; 52a ; -a ;− a2 ;2a ) , C(0; 2a; 2a 5) 5) a A1 M (0; 2a; a ), AB ( 2 ;− a2 ; 0) BM A1 M = 0+5a - 5a = BM b MA1 Thể tích khối chóp AA1BM V = | AB [ BM , A1 M ]| BM A1 M = 5a/2 -a -a /2 -a -a /2 2a a ; a ; = ⇒VAA BM = S∆BMA = h= 3V S = ( 9a2 ;a a 2 15 2 ;− a 5a/2 2a ) a − a2 a 15 +0 = a 15 BM A1 M  = 3a2 ⇒ Khoảng cách từ A tới (BMA1) a Bài 7: Cho tứ diện OABC Lấy M nằm tam giác ABC, đường thẳng qua M // với OA, OB OC cắt mặt OBC, OCA, OAB A1, B1, C1 MA1 OA Chứng minh rằng: MC1 + MB OB + OC = Giải O H A1 K A C M B Nối M với đỉnh O,A,B,C Khi VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA 1= VMOAB VOABC VMOCA + VVMOBC + VOABC OABC VMOAB Xét VOABC Kẻ AH b (OBC), MK b (OBC) AH //MK ∆OAH VMOBC VOABC = A1MK ⇒ MK AH = MB = AH MK MA1 OA Tương tự ta có MA OA MA1 VMOAB VOABC = MC1 OC VMOCA VOABC = MB1 OB MC Vậy OA1 + OB1 + OC1 = Bài 8: Giả sử M điểm nằm tứ diện ABCD Các đường thẳng MA, MB, MC, MD cắt mặt đối diện A1, B1, C1, D1 Chứng minh MA1 AA1 + MB1 BB1 MD1 + MC CC1 + DD1 = Giải A M D B H A1 K C Nối M với bốn đỉnh tứ diện ABCD ta có: V = VMBCD + VMACD + VMABD+ VMABC 1= Xét VMBCD V + VMACD + VMABD + VMABC V V V VMBCD V Gọi H, K hình chiếu A, M lên (BCD) ⇒ MK//AH ⇒ VMBCD V V = MK AH = MK AH = MA1 AA1 MA1 AA1 MB V điểm A1, B1, C1 cho SA1 SA MC V SB1 SB = 12 ; MD MACD = BB11 ; MABD = CC11 ; MABC = DD11 Tương tự: V V V Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc SABCD cạnh SA, SB, SC ta lấy = 23 ; SC1 SC = Mặt phẳng qua A1, B1, C1 cắt SD D1 Chứng minh Giải S C1 D1 B1 A1 C D A B V Ta có VSABC = VSBCD + VSCDA = VSDAB = SD1 SD = VSA1B1C1 VSABC VSA1D1C1 VSADC = = SA1 SA SA1 SA SC1 SB SB SC = (1) SC1 SD1 SD SD SC = SD (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta VSA1B1C1D1 1V = 19 + 92 SD SD Tương tự: VSA1B1D1 VSABD = SA1 SB1 SD1 SA SB SD = 13 SD SD VSB1C1D1 VSBCD = SB1 SC1 SD1 SB SC SD = 16 SD SD (5) (4) Cộng vế với vế (4) (5) ta VSA1B1C1D1 1V = 12 SD SD Từ (3) (6) ta có SD1 SD = 19 + 92 SD SD ⇒ SD1 SD = Phần 2: Thể tích khối cầu, khối trụ, khối nón A/ Lý thuyết 1/Định nghĩa: -Thể tích khối cầu (SGK HH12 – Trang 44) -Thể tích khối trụ (SGK HH12 – Trang 50) -Thể tích khối nón (SGK HH12 – Trang 56) 2/Các công thức: a)Thể tích khối cầu V = 43 πR , R: bán kính mặt cầu b)Thể tích khối trụ V = Sđáy.h , h: chiều cao c)Thể tích khối nón V = 13 Sđáy.h , h: chiều cao B/.Bài tập chủ yếu tập tính thể tích khối cầu, trụn nón dựa vào công thức Bài 1: Cho lăng trụ tam giác có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên b Tính thể tích mặt cầu qua đỉnh lăng trụ Giải C O A1 B I A' C' a O' A1' B' -Gọi O O’ tâm ∆ABC ∆A’B’C’ OO’ trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và∆A’B’C’ -Gọi I trung điểm OO’ IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ -Bán kính mặt cầu R = IA Tam giác vuông AOI có: AO = OI = OO' = 12 AA' = AI2 = a + 3b 12 a3 73 ⇒ AI = a 3 = a 3 b 2 7a2 12 ⇒AI2=OA2+OI2= a3 + b4 = V= 43 πR = 43 π AA1 = = ⇒ AI = a 3π 28 72 a + 3b 2 = a 7πa 18 = 21.a 54 =R 3 2 2 V= 43 πR = 43 π 8.31 (4 a + 3b ) = 181 ( a + 3b ) Bài 2: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 30o Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Giải S M I D C O A a B Gọi O tâm hình vuông ABCD Ta có SO b (ABCD), SO trục ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o Gọi M trung điểm SA Trung trực SA cắt SO I ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp OIMA từ giác nội tiếp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ SI = Với AO = ⇒SI = a a 23 a =a a 2 , AS = AO cos 30 o ⇒ VMcầu = = a πa 3 SM SA SO = a , SO = SA sin30o = = a3 a Các tập xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối chóp, khối lăng trụ, hỏi thêm thể tích mặt cầu Bài 3: Cho hình trụ có đáy tâm đường tròn tâm O O’ tứ giác ABCD hình vuông nội tiếp đường tròn tâm O AA’, BB’ đường sinh khối trụ Biết góc mặt phẳng (A’B”CD) đáy hình trụ 60o Tính thể tích khối trụ Giải B' A' B A C D  AD ⊥ DC ⇒ADA’ góc (A’B’CD) đáy   A' D ⊥ DC Do đó: ADA’ = 60o ∆OAD vuông cân nên AD = OA = R ∆ADA’ có h = AA’ = ADtan60o = R V = R2h = R3 Bài 4: Bên hình trụ có hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đường tròn đáy thứ C, D thuộc đường tròn đáy thứ hai hình trụ mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ góc 45o Tính thể tích khối trụ Giải D O' C' M' A J O B Gọi I, J trung điểm AB CD Ta có: OI AB;IJ cắt OO’ ttrung điểm M OO’ MIO = 45o góc mặt (ABCD) với đáy, đó: a O’I = 2 ; R = a h = 2OM = a2 + a2 = 3a Vậy V =R h =  3a a = 3πa 16 Bài 5: Một hình trụ có diện tích toàn phần S=6 Xác định kích thước khối trụ để thể tích khối trụ lớn Giải STP = 2Rh +2R2 =2R(R+h) = 6 ⇒R(h+R) = ⇒ Rh + R2 = V = R2h = R(3-R2) = -R3 +3R V’ = -3R2 + 3; V’ =0 ⇒ R = Dựa vào bảng biến thiên ta có VMax ⇒R = h = Bài 6: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đường tròn đáy cung ỏ (P) tạo với đáy góc õ Cho khoảng cách từ tâm O đáy đến (P) a Tính thể tích khối nón Giải S M O B E A Gọi E trung điểm AB ta có OES= õ ; AOB= ỏ Vẽ OM (SAB) SOM= ta có: SO= a cos β OE= a sin β Bán kính đáy R=OA= OE cos α a = sin β cos Thể tích khối nón là:V= πR h = α πa 3 sin β cos α cos β Bài 7: Cho hình nốn đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy = R M ⇒ SO đường tròn (C) 1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S đáy (C) 2.Tìm x để thể tích lớn nhát Giải S (C) M O SM R ' h − x R' R = ⇔ = ⇔ R ' = (h − x) SO R h R h 1 R2 R2 Thể tích khối nón V= πR '2 SM = π (h − x) x = π ( x − 2hx + h x) 3 h h R V’= π 3x − 4hx + h , h Ta có [ ]  x = h3 V’ = ⇒  x= h (loại) x = h h Dựa vào bảng biến thiên ta có: V Max ⇒x = Bài 8: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần π Với x hình trụ tồn tại?tính thể tích V khối trụ theo x tìm giá trị lớn V Giải Ta có Stp=Sxq+2Sđ= 2πxy + 2πx = 2π ( xy + x ) Theo giả thiết ta có 2 (xy+x2)=2 ⇒xy+x2=1 ⇒ y= 1− x2 x Hình trụ tồn y>0 ⇒1-x2>0 ⇒0[...]... Dạng 2: tỉ số thể tích A/ Phương pháp: Giả sử mặt phẳng ỏ chia khối đa diện thành hai khối có thể V1 V2 tích là V1 và V2 Để tính k = ta có thể: -Tính trực tiếp V1, V2 bằng công thức ⇒ k -Tính V2 (hoặc V2) bằng công thức tính thể tích của cả khối ⇒ Thể tích V2 (hoặc V1) ⇒ k Ta có các kết quả sau: +Hai khối chóp có cùng diện tích đáy là tỉ số thể tích bằng tỉ số hai đường cao tương ứng +Hai khối chóp có... giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC và SA=a.Điểm M thuộc cạnh AB.Đặt góc ACM bằng α Hạ SH vuông góc với CM a)Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện SAHC b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI Đáp số a)Vmax= a3 12 b)VSAKI= a 3 sin 2α 24(1 + sin 2 α ) Có thể tính thể tích khối đa diện nhờ việc chia thành các khối nhỏ hoặc bổ sung thêm Bài 25: Cho tứ diện. .. V1 V2 = 4 5 Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra Giải E A' C' A' B' N A C M I B Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNEFI Gọi V1, V2 tương ứng là thể tích phần trên và phần dưới của thiết diện, ta có V1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF V2... +Hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai diện tích đáy VSABC + VSA ' B 'C ' = SA SB SC SA '.SB '.SC ' C' A' C A B' B (chỉ đúng cho khối chóp tam giác (tứ diện) ) B/ Các bài tập Bài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm SC mặt phẳng (P) chứa AM và //BD chia hình chóp thành hai phân Tính tỉ số thể tích của hai phần đó Giải S M D' D I C B' O A B -Gọi... (−a;0; c) bc ac ; ;− ab) 2 2 1 13 1 |[ BD , BM ] BA' | = abc = abc 6 62 4 2) Về thể tích khối lăng tru Ta thường áp dụng công thức tính thể tích đã biết hoặc chia nhỏ khối cần tính hoặc bổ sung thêm Bài 1 Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và A’A = A’B = A’C Cạnh AA’ tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’ Giải B' C' A' B C O a A Gọi O là tâm ABC⇒ OA=OB=OC... là hình chóp tứ giác đều cạnh a, đường cao h Mặt phẳng qua AB b (SDC) chia chóp làm hai phàn Tính tỉ số thể tích hai phần đó Bài 4: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh là a M là trung điểm CD, N là trung điểm A’D’ tính tỉ số thể tích hai phần đó (MNB’) chia hình lập phương Giải D M C Q P A B C' D' E B' A' Gợi ý: Gọi V1, V2 tương ứng là thể tích các phần trên và phần dưới thiết diện ta có: V1 = VB’ECF... 2 3 2 VSAMN = 6 [ SA , SM ].SN = 3 VSABMN = VSABM + VSAMN = 2 Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, AD = b , AA ’= c a)Tính thể tích A’C’BD b)Gọi M là trung điểm CC’Tính thể tích MA’BD giải A' B' D' C' c a M A B b x C D y a) Cách 1: Thể tích của khối hộp ABCDA’B’C’D’ là V = abc 1 3 1 1 3 2 1 6 1 6 VC’CDB = CC '.S ∆BCD = c ab = abc = V Tương tự ta có VAA’BD= VBA’B’ C’=VD’A’DC’ = ⇒VA’C’DB... tích lớn nhất là 1 8 Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ SH vuông góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối này là lớn nhất GIảI S A B H D M C Ta có BM b SH (gt) BM b SA (Vì SA b( ABCD) ⇒BM b AH 1 2 1 2 SABM= SABCD= a2 1 2 Mà SABM= AH.BM ⇒ AH= a2 = BM a2 a2 + x2 ∆SAH vuông ở A có... tích lăng trụ MA1BC1 Hướng dẫn: a3 2 12 +Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = +Có thể dùng cả phương pháp toạ độ Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1 a.Tính thể tích tứ diện theo x b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất Giải a C H D B C Cách 1: Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC... AC BD, õ (ABCD) Lấy S ox, gọi bằng (mặt bên, mặt đáy) mặt phẳng qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó Dạng 3 Phương pháp thể tích : Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thứC,khoảng cách từ 1 điểm tới một mặt phẳng dựa vào thể tích Bài 1: SABC có SA = 3a, SA b (ABC), ∆ABC có AB = BC = 2a, ABC =120o Tính D(A,(SBC)) Giải S 3a A C 2a B M 1 2 a 2 a 3 4 S∆ABC ... lớn thể tích khối tứ diện SAHC b)Hạ AI vuông góc với SC,AK vuông góc với SH Tính thể tích khối tứ diện SAKI Đáp số a)Vmax= a3 12 b)VSAKI= a sin 2α 24(1 + sin α ) Có thể tính thể tích khối đa diện. .. SD1 SD = Phần 2: Thể tích khối cầu, khối trụ, khối nón A/ Lý thuyết 1/Định nghĩa: -Thể tích khối cầu (SGK HH12 – Trang 44) -Thể tích khối trụ (SGK HH12 – Trang 50) -Thể tích khối nón (SGK HH12... tích khối ⇒ Thể tích V2 (hoặc V1) ⇒ k Ta có kết sau: +Hai khối chóp có diện tích đáy tỉ số thể tích tỉ số hai đường cao tương ứng +Hai khối chóp có độ dài đường cao tỉ số thể tích tỉ số hai diện