Chuyên đề quĩ tích Điểm, đường

Chuyên đề bồi dỡng HSG Đ ờng Qua Điểm Cố Định Trong thời đại hiện nay, trớc sự phát triển không ngừng của mọi mặt xã hội con ngời cần có những nhìn nhận đúng đắn về sự phát triển của thế giới, có cái nhìn theo nhiều chiều trớc một vấn đề. Chính vì vậy học sinh cần phải đợc trang bị những kiến thức phù hợp, Một trong những quan điểm dạy học hiện nay là phát huy tối đa khả năng t duy độc lập sáng tạo của học sinh, dạy cho học sinh cách học, cách t duy. Bài toán Đ- ờng qua điểm cố định phần nào đáp ứng đợc yêu cầu trên. Trong các đề thi học sinh giỏi, thi vào trờng chuyên, lớp chọn thờng có những bài toán liên quan đến tìm điểm cố định, chứng minh đờng đi qua điểm cố định. Thực tế cho thấy đây là bài toán khó, học sinh thờng khó khăn khi gặp phải bài toán dạng này. Bài toán Đờng đi qua điểm cố định đòi hỏi HS phải có kĩ năng nhất định cộng với sự đầu t suy nghĩ, tìm tòi nhng đặc biệt phải có phơng pháp làm bài. Tìm hiểu nội dung bài toán Dự đoán điểm cố định Tìm tòi hớng giải Trình bày lời giải Tìm hiểu bài toán: Yếu tố cố định.( điểm, đờng ) Yếu tố chuyển động.( điểm, đờng ) Yếu tố không đổi.( độ dài đoạn, độ lớn góc ) Quan hệ không đổi ( Song song, vuông góc, thẳng hàng ) Khâu tìm hiểu nội dung bài toán là rất quan trọng. Nó định hớng cho các thao tác tiếp theo. Trong khâu này đòi hỏi học sinh phải có trình độ phân tích bài toán, khả năng phán đoán tốt. Tuỳ thuộc vào khả năng của từng đối tợng học sinh mà giáo viên có thể đa ra hệ thống câu hỏi dẫn dắt thích hợp nhằm giúp học sinh tìm hiểu Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô. - V. Phúc 1 Chuyên đề bồi dỡng HSG Đ ờng Qua Điểm Cố Định tốt nội dung bài toán. Cần xác định rõ yếu tố cố định, không đổi, các quan hệ không đổi và các yếu tố thay đổi, tìm mối quan hệ giữa các yếu tố đó. Dự đoán điểm cố định: Dựa vào những vị trí đặc biệt của yếu tố chuyển động để dự đoán điểm cố định. Thông thờng ta tìm một hoặc hai vị trí đặc biệt cộng thêm với các đặc điểm bất biến khác nh tính chất đối xứng, song song, thẳng hàng để dự đoán điểm cố định Tìm tòi h ớng giải Từ việc dự đoán điểm cố định tìm mối quan hệ giữa điểm đó với các yếu tố chuyển động, yếu tố cố định và yếu tố không đổi. Thông thờng để chứng tỏ một điểm là cố định ta chỉ ra điểm đó thuộc hai đờng cố định, thuộc một đờng cố định và thoả mãn một điều kiện (thuộc một tia và cách gốc một đoạn không đổi, thuộc một đ- ờng tròn và là mút của một cung không đổi .) thông thờng lời giải của một bài toán thờng đợc cắt bỏ những suy nghĩ bên trong nó chính vì vậy ta thờng có cảm giác lời giải có cái gì đó thiếu tự nhiên, không có tính thuyết phục chính vì vậy khi trình bày ta cố gắng làm cho lời giải mang tính tự nhiên hơn, có giá trị về việc rèn luyện t duy cho học sinh. một vài ví dụ: Bài 1: Cho ba điểm A, C, B thẳng hành theo thứ tự đó. Vẽ tia Cx vuông góc với AB.Trên tia Cx lấy hai điểm D, E sao cho 3 == CD CA CB CE . Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADC cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác BEC tại H khác C. Chứng minh rằng: Đờng thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên đoạn thẳng AB. Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô. - V. Phúc 2 Chuyên đề bồi dỡng HSG Đ ờng Qua Điểm Cố Định Tìm hiểu đề bài: * Yếu tố cố định: Đoạn AB * Yếu tố không đổi: + Góc BEC = 30 0 , Góc ADB = 60 0 do đó sđ cung BC, cung CA không đổi + B, D, H thẳng hàng; E, H, A thẳng hàng Dự đoán điểm cố định: khi C trùng B thì (d) tạo với BA một góc 60 0 => điểm cố định thuộc tia By tạo với tia BA một góc 60 0 khi C trùng A thì (d) tạo với AB một góc 30 0 => điểm cố định thuộc tia Az tạo với tia AB một góc 30 0 By và Az cắt nhau tại M thì M là điểm cố định? Nhận thấy M nhìn AB cố định dới 90 0 => M thuộc đờng tròn đờng kính AB. Tìm h ớng chứng minh: M thuộc đờng tròn đờng kính AB cố định do đó cần chứng minh sđ cung AM không đổi thật vậy: sđ cung AM = 2sđGóc MCA=2sđGóc CHA =2sđGóc CDA = 120 0 Lời giải: Ta có 3 == CD CA tgD => Góc D=60 0 có Góc CHA = Góc CDA = 60 0 G/s đờng tròn đờng kính AB cắt CH tại M ta có Góc MHA= 60 0 => sđ cung MA không đổi lại có đờng tròn đờng kính AB cố định vậy: M cố định do đó CH luôn qua M cố định. Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô. - V. Phúc 3 m h D E b a C Chuyên đề bồi dỡng HSG Đ ờng Qua Điểm Cố Định Bài 2: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng (d) nằm ngoài đờng tròn. I là điểm di động trên (d). Đờng tròn đờng kính OI cắt (O) tại M, N. Chứng minh đờng tròn đ- ờng kính OI luôn đi qua một điểm cố định khác O và đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. H ớng dẫn: do tính chất đối xứng nên điểm cố định nằm trên trục đối xứng hay đờng thẳng qua O và vuông góc với (d) Giải: Kẻ OH vuông góc với (d) cắt MN tại E. ta có H cố định và H thuộc đ- ờng tròn đờng kính OI vậy đờng tròn đờng kính OI luôn đi qua K cố định. Xét tam giác OEF và tam giác OIH có góc O chung, góc OFE = góc OHI = 90 0 Nên tam giác OEF đồng dạng với tam giác OIH do đó: OF/ OE = OH/ OI => OE. OH = OF. OI Lại có góc IMO = 90 0 ( nội tiếp chắn nửa đờng tròn đờng kính OI ) Xét tam giác vuông OMI có đờng cao ứng với cạnh huyền MF nên: OF. OI = OM 2 Do đó: 2 OM OE OH = = hằng số vây E cố định do đó MN đi qua E cố định. Bài 3: Cho đờng tròn (O; R) và dây AB cố định. C là một điểm chuyển động trên đờng tròn và M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng đờng thẳng kẻ từ M vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định. Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô. - V. Phúc 4 d E F H N M O I Chuyên đề bồi dỡng HSG Đ ờng Qua Điểm Cố Định Giải: Vẽ đờng kính BD => D cố định. Giả sử đờng thẳng qua M và vuông góc với BC cắt AD tại I. Dễ thấy góc BCD = 90 0 hay MI // CD. Xét tam giác ACD có MC = MA; MI // CD => I là trung điểm của DA cố định hay đờng thẳng qua M vuông góc với BC đi qua I cố định. Bài 4: Cho tam giác ABC và hai điểm M, N thứ tự chuyển động trên hai tia BA, CA sao cho BM= CN. Chứng minh rằng đ- ờng trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định. H ớng dẫn : Khi M B thì N C khi đó đờng trung trực của MN là trung trực của BC. Vậy điểm cố định nằm trên đờng trung trực của BC Giải: Giả sử trung trực của BC cắt trung trực của MN tại I Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô. - V. Phúc 5 I d M O A B C N I C B A M I M C D A O B P Chuyên đề bồi dỡng HSG Đ ờng Qua Điểm Cố Định Dễ thấy tam giác IMB = tam giác INC (c-c-c) vậy góc MBI = góc NCI Xét tứ giác ABCI có góc MBI = góc NCI vậy tứ giác ABCI nội tiếp hay I thuộc đ- ờng tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố định, mà Trung trực của BC cố định Vậy I cố định hay trung trực của MN đi qua I cố định. Bài 5: Cho đờng tròn (O; R) và dây cung AB = R 3 . Điểm P khác A và B. Gọi (C; R 1 ) là đờng tròn đi qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại A.Gọi (D; R 2 ) là đ- ờng tròn đi qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại B. Các đờng tròn (C; R 1 ) và (D; R 2 ) cắt nhau tại M khác P. Chứng minh rằng khi P di động trên AB thì đờng thẳng PM luôn đi qua một điểm cố định. Tìm hiểu đề bài: * Yếu tố cố định: (O; R), dây AB * Yếu tố không đổi: DPCO là hình bình hành. Sđ cung BP của (D), sđ cung AP của (C), Góc BMA không đổi Dự đoán Khi P A thì PM là tiếp tuyến của (O; R) => điểm cố định nằm trên tiếp tuyến của (O; R) tại A Khi P B thì PM là tiếp tuyến của (O; R)=> điểm cố định nằm trên tiếp tuyến của (O; R) tại B Do tính chất đối xứng của hình => Điểm cố định nằm trên đờng thẳng qua O và vuông góc với AB => Điểm cố định nằm trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB Lời giải: Vẽ đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB cắt PM tại I . Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô. - V. Phúc 6 Chuyên đề bồi dỡng HSG Đ ờng Qua Điểm Cố Định vì AB = R 3 => sđ cung AB của (O) bằng 120 0 tam giác BDP cân do đó góc OBA = góc DPB tam giác OAB cân do đó góc OBA = góc OAB => góc BDP = góc BOA => sđcung BP của (D) = sđ cung BA của (O) = 120 0 . tơng tự sđ cung PA của (C) = 120 0 . ta có góc BMP = 2 1 sđ cung BP của (D) = 60 0 ta có góc AMP = 2 1 sđ cung AP của (C) = 60 0 Vậy góc BMA = góc BMP + góc AMP = 120 0 = góc BOA xét tứ giác BMOA có góc BMA = góc BOA do đó tứ giác BMOA nội tiếp hay M thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác BOA. Vậy 2 1 sđ cung IA = góc IMA = góc PMA = 2 1 sđ cung PA của (C) = 120 0 .Vậy I thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác AOB và sđ cung IA = 120 0 => I cố định hay MP đi qua I cố định. Bài 6: Cho đoạn AB cố định, M di động trên AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vuông MADE và MBHG. Hai đờng tròn ngoại tiếp hai hình vuông cắt nhau tại N. Chứng minh đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên AB. H ớng dẫn: Tơng tự bài 1 Giải: Giả sử MN cắt đờng tròn đờng kính AB tại I Ta có Góc ANM = Góc ADM = 45 0 ( góc nội tiếp cùng chắn cung AM của đờng tròn ngoại tiếp hình vuông AMDE) Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô. - V. Phúc 7 I N HG M D E A B Chuyên đề bồi dỡng HSG Đ ờng Qua Điểm Cố Định Ta có Góc BNM = Góc BGM = 45 0 ( góc nội tiếp cùng chắn cung BM của đờng tròn ngoại tiếp hình vuông MBGH) => gócANB = Góc ANM + Góc BNM = 90 0 => N thuộc đờng tròn đờng đờng kính AB vậy sđ cung AI = 2sđGóc ANI =2sđGóc ANM = 90 0 Vậy I thuộc đờng tròn đờng kính AB và số đo cung AI bằng 90 0 => I cố định hay MN đi qua I cố định. Bài 7: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Vẽ đờng thẳng (d) quay quanh O cắt AD, BC thứ tự tại E, F. Từ E, F lần lợt vẽ các đờng thẳng song song với BD, CA chúng cắt nhau tại I. Qua I vẽ đờng thẳng (m) vuông góc với EF. Chứng minh rằng (m) luôn đi qua một điểm cố định khi (d) quay quanh O. H ớng dẫn: Khi E A thì HI qua A và vuông góc với AC khi E D thì HI qua B và vuông góc với BD. do tính chất đối xứng của hình vẽ nên điểm cố định nằm trên đờng trung trức của AB dự đoán: điểm cố định K nằm trên đờng tròn đờng kính AB Giải: Dễ thấy I thuộc AB Có góc IHE + góc IAE = 180 0 nên tứ giác IHEA nội tiếp => góc IHA = góc IEA = 45 0 Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô. - V. Phúc 8 k H I F O D C B A E Chuyên đề bồi dỡng HSG Đ ờng Qua Điểm Cố Định Có góc IHF + góc IBF = 180 0 nên tứ giác IHFB nọi tiếp => góc BHI = góc BFI = 45 0 Vẽ đờng tròn đờng kính AB. Ta có góc BHA = góc IHA + góc BHI = 90 0 nên H thuộc đờng tròn đờng kính AB. Giả sử HI cắt đờng tròn đờng kính AB tại K ta có: Sđ cung KA = 2 sđ góc KHA = 2 sđ góc IHA = 90 0 Do K thuộc đờng tròn đờng kính AB và sđ cung KH = 90 0 nên K cố định hay HI đi qua K cố định. Bài 8: Cho góc vuông xOy. Trên Ox, Oy thứ tự có hai điểm A, B chuyển động sao cho OA+ OB = a ( a là độ dài cho trớc). Gọi G là trọng tâm tam giác OAB và (d) là đờng thẳng qua G vuông góc với AB. Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Gợi ý: Khi B D thì (d) là đờng thẳng vung góc với OD và O cách (d) một khoảng 3 1 a khi OB = OA = 2 1 a thì (d) là phân giác của góc xOy. do tính chất đối xứng dự đoán điểm cố định thuộc tia phân giác của góc xOy Giải: Trên Ox, Oy thứ tự lấy 2 điểm C, D sao cho OC = OD = a. Phân giác của góc xOy cắt CD tại N, cắt (d) tại I rễ thấy tam giác NAO = tam giác NBD do đó NF vuông góc với AB Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô. - V. Phúc 9 n C I G f A O D B Chuyên đề bồi dỡng HSG Đ ờng Qua Điểm Cố Định Xét tam giác ONF có GI // NF => a 3 1 ON 3 2 OI 3 2 ON OI OF OG ==== = hằng số Vậy I cố định hay (d) đi qua điểm cố định I. Bài 9: Cho góc vuông xOy. Trên Ox lấy điểm A cố định. Trên Oy lấy điểm B di động. Đờng tròn nội tiếp tam giác ABO tiếp xúc với AB, OB thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. g ợi ý: Tam giác BNM cân do đó khi B O thì góc B 90 0 nên góc MNB 45 0 do đó điểm cố định nằm trên phân giác của góc xOy khi B vô cùng xa thì bán kính của (I) 2 1 OA khi đó MN là đờng thẳng song song với Ox và cách Ox một khoảng 2 1 OA Giải: Giả sử tia phân giác Om của góc xOy cắt MN tại F. ta có tam giác BMN cân do đó: B 2 1 90ONM += lại có B 2 1 90AIO += Vậy: ONM = AIO Dễ thấy tam giác AIO và tam giác FNO đồng dạng Vậy: 2 OA OF 2 1 IONcos OI ON OA OF ==>=== = hằng số Vậy F cố định hay MN đi qua F cố định. Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô. - V. Phúc 10 y x m F M N I O A B [...].. .Chuyên đề bồi dỡng HSG Qua Điểm Cố Định Đ ờng Bài 10: Cho đoạn thẳng AB và một điểm M bất kì trên đoạn thẳng ấy Từ M vẽ tia Mx vuông góc với AB Trên Mx lấy hai điểm C; D sao cho MC= MA; MD = MB Đờng tròn... a d h b c CI.CP = CH.CD lại có CI.CP = CB.CA Vậy CH.CD = CB.CA => CH = CB.CA = CD q hằng số => H cố định hay đờng thẳngQI luôn đi qua H cố định Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô - V Phúc 11 Chuyên đề bồi dỡng HSG Qua Điểm Cố Định Đ ờng B Bài 12: Cho đờng tròn (O; R) có dây cung CD Trên tia đối của o i tia DC lấy M bất kì Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O; h c D R) Chứng minh rằng khi M thay... F d Giả sử đờng thẳng qua M và vuong E góc với EF cắt đờng tròn O tại I Ta có: Tứ giác MEHF nội tiếp do đó góc AMH = góc EMH = góc o A h B EFH I Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô - V Phúc 12 Chuyên đề bồi dỡng HSG Qua Điểm Cố Định Đ ờng lại có góc EFH = góc IMB (cạnh tơng ứng vuông góc) ta có 1 2 1 2 sđ cung IB = sđ góc IMB sđ cung MB = sđ góc MAB lại có góc IMB + góc MAB = góc AMH + góc MAH... Cho đờng tròn (O) có hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau I bất kì trên đoạn CD trên AD, AC lấy hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của MN Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô - V Phúc 13 Chuyên đề bồi dỡng HSG Qua Điểm Cố Định Đ ờng Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua 1 điểm cố định khác A b n C i d Giải: Tam m giác AMN vuông a tại A => IA là trung tuyến ứng với cạnh... giác OHK luôn đi qua hai điểm cố định n giải: Qua O Kẻ đờng thẳng o h vuông góc với BC tại I ta có I là trung điểm của BC nên I cố định C k I B A m Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô - V Phúc 14 Chuyên đề bồi dỡng HSG Qua Điểm Cố Định Đ ờng lại có tứ giác OHKI nội tiếp ( góc OHK = góc OIK = 900) => góc IOH = góc HKA hay tam giác AOI đồng dạng với tam giác AKH => AK AO = AK.AI = AO.AH AH AI có tam... BEF = 2sđ C B D o2 o1 E gócBED =2sđ góc ABC = hsố mà đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC cố định nên F cố định hay đờng thẳng DE đi qua F cố định Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô - V Phúc 15 Chuyên đề bồi dỡng HSG Qua Điểm Cố Định Đ ờng Bài 18: Cho đờng tròn (O; R) cố định và đờng thẳng (d) cắt (O; R) tại hai điểm cố định A, B, Một điểm M đi động trên (d) và ở phía ngoài đoạn AB Qua M vẽ hai... xúc với (O) tại C và tiếp xúc với đờng kính AB tại D Chứng minh rằng đờng thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên nửa đờng tròn Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô - V Phúc 16 Chuyên đề bồi dỡng HSG Qua Điểm Cố Định Đ ờng Gợi ý: do tính chất đối xứng nên điểm cố C định nằm trên đờng thẳng qua O và vuông góc với AB Kẻ đờng thẳng I qua O và vuông góc với AB cắt CD tại K Ta phải chứng... thẳng OA G/s đờng tròn ngoại tiếp tam giác OMN cắt đờng thẳng OA tại D ta O phải chứng minh D cố định bằng cách chỉ ra OD không đổi N A M Giải: D Lộc Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô - V Phúc 17 Chuyên đề bồi dỡng HSG Qua Điểm Cố Định Đ ờng Dễ thấy tam giác OMA đồng dạng với tam giác ODM do đó OD = OM 2 R2 = OA OA OM OD = OA OM => = hsố Vậy D cố định hay đờng tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi . Trung Hiếu Trờng THSC Nh Thụy S.Lô. - V. Phúc 2 Chuyên đề bồi dỡng HSG Đ ờng Qua Điểm Cố Định Tìm hiểu đề bài: * Yếu tố cố định: Đoạn AB * Yếu tố không. điểm cố định phần nào đáp ứng đợc yêu cầu trên. Trong các đề thi học sinh giỏi, thi vào trờng chuyên, lớp chọn thờng có những bài toán liên quan đến tìm