QUI HO CH Đ NG TRÊN Đ TH CÓ H ẠCH ĐỘNG TRÊN ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG, KHÔNG CHU TRÌNH ỘNG TRÊN ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG, KHÔNG CHU TRÌNH Ồ THỊ CÓ HƯỚNG, KHÔNG CHU TRÌNH Ị CÓ HƯỚNG, KHÔNG CHU TRÌNH ƯỚNG, K
Trang 1QUI HO CH Đ NG TRÊN Đ TH CÓ H ẠCH ĐỘNG TRÊN ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG, KHÔNG CHU TRÌNH ỘNG TRÊN ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG, KHÔNG CHU TRÌNH Ồ THỊ CÓ HƯỚNG, KHÔNG CHU TRÌNH Ị CÓ HƯỚNG, KHÔNG CHU TRÌNH ƯỚNG, KHÔNG CHU TRÌNH NG, KHÔNG CHU TRÌNH
Gi i các bài toán có n i dung đ th là m t ph n quan tr ng trong chội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ần quan trọng trong chương trình tin ọng trong chương trình tin ương trình tinng trình tin
h c khuôn kh chuyên đ này, tôi ch xin trao đ i v i các b n đ ng nghi p m t n iọng trong chương trình tin ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ới các bạn đồng nghiệp một nội ạn đồng nghiệp một nội ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin dung nh c a lý thuy t đ th là "ỏ của lý thuyết đồ thị là " ủa lý thuyết đồ thị là " ết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin Các bài toán qui ho ch đ ng trên đ th có h ạch động trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ồ thị có hướng, ị có hướng, ướng, ng, không có chu trình"
Chuyên đ trình bày m t s kinh nghi m khi d y v đ th có hề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ệp một nội ạn đồng nghiệp một nội ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ưới các bạn đồng nghiệp một nộing không chu trình M t trong nh ng đi u khá lý thú là đây hai n i dung chính c a chội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ở đây hai nội dung chính của chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ủa lý thuyết đồ thị là " ương trình tinng trình tin
h c là Qui ho ch đ ng và lý thuy t đ th đọng trong chương trình tin ạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc k t h p Chính đi u này cho phép xâyết đồ thị là " ợc kết hợp Chính điều này cho phép xây ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội
d ng cho h c sinh m t cách nhìn t ng quan khi ti p c n c hai d ng toán này.ọng trong chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là " ận cả hai dạng toán này ạn đồng nghiệp một nội
Ph n l n các ví d minh h a trong chuyên đ đần quan trọng trong chương trình tin ới các bạn đồng nghiệp một nội ụ minh họa trong chuyên đề được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ọng trong chương trình tin ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ược kết hợp Chính điều này cho phép xây ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ừ các kỳ thi học sinh giỏic l y t các kỳ thi h c sinh gi iọng trong chương trình tin ỏ của lý thuyết đồ thị là " khác nhau M c đích làm nh v y là tôi mu n trao đ i v i các b n đ ng nghi p v cáchụ minh họa trong chuyên đề được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ư ận cả hai dạng toán này ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ới các bạn đồng nghiệp một nội ạn đồng nghiệp một nội ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ệp một nội ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội xây d ng m t đ toán đ th sao cho v a có th ôn t p ki n th c h c sinh, v a có thội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ừ các kỳ thi học sinh giỏi ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ận cả hai dạng toán này ết đồ thị là " ức học sinh, vừa có thể ọng trong chương trình tin ừ các kỳ thi học sinh giỏi ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể bám sát được kết hợp Chính điều này cho phép xâyc chương trình tinng trình thi trong các kỳ thi h c sinh gi i tin h c.ọng trong chương trình tin ỏ của lý thuyết đồ thị là " ọng trong chương trình tin
I-M T S KHÁI NIÊM VÀ BÀI TOÁN C B N ỘNG TRÊN ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG, KHÔNG CHU TRÌNH Ố KHÁI NIÊM VÀ BÀI TOÁN CƠ BẢN Ơ BẢN ẢN
Nh chúng ta đã bi t, đ th có th đư ết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc hình dung nh là m t c p (V, E) trong đóư ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ặp (V, E) trong đó
V là t p h p các đ nh (trong các bài toán tin h c thì V là t p h p h u h n các đ nh cóận cả hai dạng toán này ợc kết hợp Chính điều này cho phép xây ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ọng trong chương trình tin ận cả hai dạng toán này ợc kết hợp Chính điều này cho phép xây ạn đồng nghiệp một nội ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội
th đánh s 1, 2, , N) còn E là t p h p các cung c a đ th ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ận cả hai dạng toán này ợc kết hợp Chính điều này cho phép xây ủa lý thuyết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin
M t đ th có hội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ưới các bạn đồng nghiệp một nộing không có chu trình là đ th không t n t i đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ạn đồng nghiệp một nội ường đi khép kín.ng đi khép kín Cũng có th hình dung đây là đ th mà s lể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyng đ nh trong t t c các thành ph n liênỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ần quan trọng trong chương trình tin thông m nh đ u b ng 1.ạn đồng nghiệp một nội ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ằng 1
M t đ th có hội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ưới các bạn đồng nghiệp một nộing không có chu trình luôn t n t i m t ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin s p x p topo ắp xếp topo ếp topo Chính xác
h n, m t s p x p topo là m t cách s p x p các đ nh c a đ th thành m t dãyơng trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là " ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là " ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ủa lý thuyết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin
Sao cho m i cung ọng trong chương trình tin ( , )x x i j E đ u kéo theo ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội i < j.
Vi c ch ra ệp một nội ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội m t s p x p topo ộng trên đồ thị có hướng, ắp xếp topo ếp topo trên đ th có hồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ưới các bạn đồng nghiệp một nộing không có chu trình là đi u ki n ều kiện ện tiên quy t ếp topo đ làm các bài toán qui ho ch đ ng trên lo i đ th này Lý do đ n gi n làể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ạn đồng nghiệp một nội ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ơng trình tin
n u nh coi m i đ nh c a đ th là m t ết đồ thị là " ư ỗi đỉnh của đồ thị là một ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ủa lý thuyết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin tr ng thái ạch động trên đồ thị có hướng, thì v i vi c s p x p topo chúng ta cóới các bạn đồng nghiệp một nội ệp một nội ết đồ thị là "
m t ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin th t ứ tự ự trên các tr ng thái này và đây chính là cách ti p c n v n đ theo quan đi mạn đồng nghiệp một nội ết đồ thị là " ận cả hai dạng toán này ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể qui ho ch đ ng.ạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin
Có hai cách chính đ xây d ng m t s p x p topo trên đ th có hề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ưới các bạn đồng nghiệp một nộing không có chu trình:
chính này thì đương trình tinng nhiên ta có m t s p x p topo.ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là "
Ví d 1 (VOI 2008): Cho n hình tròn bán kính ụ 1 (VOI 2008): Cho n hình tròn bán kính r r1, ,2, r Ta nói t đ ng tròn bán kính a có n ừ đường tròn bán kính a có ường tròn bán kính a có
th nh y t i hình tròn bán kính b n u t n t i m t hình tròn bán kính c sao cho a+c=b (*) ớng, ếp topo ồ thị có hướng, ạch động trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, Hãy tìm đ ường tròn bán kính a có ng đi qua nhi u hình tròn nh t ều kiện ất.
Trang 2D nh n th y r ng đi u ki n (*) ch ng t t m t hình tròn ch có th nh y đ n" ận cả hai dạng toán này ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ằng 1 ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ệp một nội ức học sinh, vừa có thể ỏ của lý thuyết đồ thị là " ừ các kỳ thi học sinh giỏi ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ết đồ thị là "
m t hình tròn có bán kính l n h n nên hi n nhiên r ng n u ta s p x p l i các hình trònội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ới các bạn đồng nghiệp một nội ơng trình tin ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ằng 1 ết đồ thị là " ết đồ thị là " ạn đồng nghiệp một nội sao cho bán kính c a chúng tăng d n ta sẽ có m t s p x p topo.ủa lý thuyết đồ thị là " ần quan trọng trong chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là "
Thông thường đi khép kín.ng các tiêu chí t nhiên này thường đi khép kín.ng d th y và vi c s p x p topo qui" ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ệp một nội ết đồ thị là "
v vi c s p x p tăng/gi m trên tiêu chí này Do đó, hi n nhiên tiêu chí s p x p ph iề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ệp một nội ết đồ thị là " ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ết đồ thị là "
d a trên d li u có m i quan h s p x p hoàn toàn (thông thệp một nội ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ệp một nội ết đồ thị là " ường đi khép kín.ng là các s ).ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu
khi đ th là không có chu trình thì các thành ph n liên thông m nh đ u có s lồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ần quan trọng trong chương trình tin ạn đồng nghiệp một nội ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyng
đ nh b ng 1 Do v y trong trỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ằng 1 ận cả hai dạng toán này ường đi khép kín.ng h p này ta ch c n li t kê các đ nh theo th t sauợc kết hợp Chính điều này cho phép xây ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ần quan trọng trong chương trình tin ệp một nội ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ức học sinh, vừa có thể
c a phép duy t đ th u tiên chi u sâu Mã gi c a nó đủa lý thuyết đồ thị là " ệp một nội ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ư ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ủa lý thuyết đồ thị là " ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc vi t nh dết đồ thị là " ư ưới các bạn đồng nghiệp một nộii đây
PROCEDURE visit(u)
Đánh dấu u được thăm
For v Ke(u) do if (v chưa được thăm) then
visit(v) Đưa u vào danh sách săp topo
(Có th tham kh o mã Pascal trong sách giáo khoa chuyên tin T p 1)ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ận cả hai dạng toán này
Cách th hai đức học sinh, vừa có thể ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc dùng khi không th tìm để ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc tiêu chí t nhiên trong vi c s pệp một nội
x p topo Tuy r ng đây là cách t ng quát áp d ng cho m i trết đồ thị là " ằng 1 ụ minh họa trong chuyên đề được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ọng trong chương trình tin ường đi khép kín.ng h p nh ng theo kinhợc kết hợp Chính điều này cho phép xây ư nghi m c a tôi thì thông thệp một nội ủa lý thuyết đồ thị là " ường đi khép kín.ng khi s p x p topo ta hay s d ng cách th nh t h n.ết đồ thị là " ử dụng cách thứ nhất hơn ụ minh họa trong chuyên đề được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ức học sinh, vừa có thể ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ơng trình tin
Gi s trên đ th có hử dụng cách thứ nhất hơn ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ưới các bạn đồng nghiệp một nộing không có chu trình G=(V,E) ta đã có m t s p x p topoội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là "
1, , ,2 n
x x x Khi đó ta có hai bài toán c b n sau:ơng trình tin
Bài toán 1: Cho m i cung c a đ th m t tr ng s Hãy tìm đ ủa đồ thị một trọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ồ thị có hướng, ị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ường tròn bán kính a có ng đi dài nh t t đ nh ất ừ đường tròn bán kính a có ỉnh s
đ n đ nh ếp topo ỉnh t
Đ t ặp (V, E) trong đó f x l n là đ dài đ ng đi dài nh t t [ ]i ần quan trọng trong chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ường đi khép kín ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ừ các kỳ thi học sinh giỏi s đ n ết đồ thị là " x i Khi đó
M t đi u lý thú là thay vì tính toán trên các cung ngội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc (các cung t i ới các bạn đồng nghiệp một nội x ) c a đ i ủa lý thuyết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin
th theo nh cách t duy truy n th ng c a qui ho ch đ ng, chúng ta sẽ s a (update)ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ư ư ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ủa lý thuyết đồ thị là " ạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ử dụng cách thứ nhất hơn theo các cung xuôi (đây là đ c đi m chính khi th c hi n qui ho ch đ ng trên DAG vì nóiặp (V, E) trong đó ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ệp một nội ạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin chung xây d ng các cung ngược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc là m t v n đ khá ph c t p):ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ức học sinh, vừa có thể ạn đồng nghiệp một nội
PROCEDURE DuongDiMax
For i {1, ,n} f[i]=-
For i {1, ,n}
u=x[i]
if (u=s) f[u]=0
if (f[u]<>-)
For v Ke(u) if f[v]<f[u]+d(u,v) then f[v]=f[u] +d(u,v)
Trang 3Hoàn toàn tương trình tinng t ta có th tìm để ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ường đi khép kín.ng đi ng n nh tấy từ các kỳ thi học sinh giỏi
Bài toán 2: Đ m s đ ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ường tròn bán kính a có ng đi t đ nh ừ đường tròn bán kính a có ỉnh s t i đ nh ớng, ỉnh t?
G i ọng trong chương trình tin f x là s đ ng đi t [ ]i ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ường đi khép kín ừ các kỳ thi học sinh giỏi s đ n ết đồ thị là " x ta có công th c i ức học sinh, vừa có thể
Và m t l n n a ta có chội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ần quan trọng trong chương trình tin ương trình tinng trình qui ho ch đ ng tạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ương trình tinng t nh trên:ư
PROCEDURE SoDuongDi
For i {1, ,n} f[i]=0
For i {1, ,n}
u=x[i]
if (u=s) f[u]=1
if (f[u]<>-)
For v Ke(u) f[v]=f[v]+f[u]
Hai bài toán trên là hai bài toán c b n trong các bài toán qui ho ch đ ng trên đơng trình tin ạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin
th có hị là một phần quan trọng trong chương trình tin ưới các bạn đồng nghiệp một nộing M t l n n a nh c l i đi u đ c bi t c a qui ho ch đ ng trên đ th cóội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ần quan trọng trong chương trình tin ạn đồng nghiệp một nội ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ặp (V, E) trong đó ệp một nội ủa lý thuyết đồ thị là " ạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin
hưới các bạn đồng nghiệp một nộing là ta tính toán theo cung c a đ th , do v y ta th c hi n vi c s a (update) nhãnủa lý thuyết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ận cả hai dạng toán này ệp một nội ệp một nội ử dụng cách thứ nhất hơn thay vì tính max, tính min ho c đ m nh trong qui ho ch đ ng thông thặp (V, E) trong đó ết đồ thị là " ư ạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ường đi khép kín.ng (lý do đ nơng trình tin
gi n là xây d ng đ th ngồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc nói chung là khá ph c t p và t n kém)ức học sinh, vừa có thể ạn đồng nghiệp một nội ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu
II-M T S BÀI T P MINH H A ỘNG TRÊN ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG, KHÔNG CHU TRÌNH Ố KHÁI NIÊM VÀ BÀI TOÁN CƠ BẢN ẬP MINH HỌA ỌA
Nh y lò cò là trò ch i dân gian c a Vi t Nam Ng ủa đồ thị một trọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ện ường tròn bán kính a có i trên hành tinh X cũng r t thích trò ất.
ch i này và h đã c i biên trò ch i này nh sau: Trên m t ph ng vẽ n vòng tròn đ ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ư ặt phẳng vẽ n vòng tròn được ẳng vẽ n vòng tròn được ược c đánh s t 1 đ n n T i vòng tròn i ng ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ừ đường tròn bán kính a có ếp topo ạch động trên đồ thị có hướng, ường tròn bán kính a có i ta đi n s nguyên d ều kiện ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ư ng ai Hai s trên hai ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh vòng tròn tùy ý không nh t thi t ph i khác nhau Ti p đ n ng ất ếp topo ếp topo ếp topo ường tròn bán kính a có i ta vẽ các mũi tên, m i mũi tên h ướng, ng t m t vòng tròn đ n m t vòng tròn khác Quy t c vẽ mũi tên là: N u có ừ đường tròn bán kính a có ộng trên đồ thị có hướng, ếp topo ộng trên đồ thị có hướng, ắp xếp topo ếp topo
ba s ai, aj, ak th a mãn ak = ai + aj thì vẽ mũi tên h ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ướng, ng t vòng tròn i đ n vòng tròn k ừ đường tròn bán kính a có ếp topo
và mũi tên h ướng, ng t vòng tròn j đ n vòng tròn k Ng ừ đường tròn bán kính a có ếp topo ường tròn bán kính a có i ch i ch đ ỉnh ược c di chuy n t m t ừ đường tròn bán kính a có ộng trên đồ thị có hướng, vòng tròn đ n m t vòng tròn khác n u có mũi tên xu t phát t m t trong s các vòng ếp topo ộng trên đồ thị có hướng, ếp topo ất ừ đường tròn bán kính a có ộng trên đồ thị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh tròn, di chy n theo cách mũi tên đã vẽ đ đi đ n các vòng tròn khác Ng ếp topo ường tròn bán kính a có i th ng cu c sẽ ắp xếp topo ộng trên đồ thị có hướng,
là ng ường tròn bán kính a có i tìm đ ược c cách di chuy n qua nhi u vòng tròn nh t ều kiện ất.
Yêu c u:Hãy xác đ nh xem trong trò ch i mô t trên, nhi u nh t có th di chuy n đ ị có hướng, ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ều kiện ất ược c qua bao nhiêu vòng tròn.
Nh ph n trư ần quan trọng trong chương trình tin ưới các bạn đồng nghiệp một nộic đã nh n xét, n u coi m i vòng tròn là m t đ nh c a đ th Haiận cả hai dạng toán này ết đồ thị là " ỗi đỉnh của đồ thị là một ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ủa lý thuyết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin vòng tròn k nhau n u có th nh y tr c ti p đ n nhau thì ta có m t DAG và bài toán quiề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ết đồ thị là " ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ết đồ thị là " ết đồ thị là " ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin
v tìm đề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ường đi khép kín.ng đi dài nh t trên đ th này.ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin
M t đi m c n l u ý là đ chội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ần quan trọng trong chương trình tin ư ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ương trình tinng trình ch y đ t yêu c u thì đi u ki n j ạn đồng nghiệp một nội ạn đồng nghiệp một nội ần quan trọng trong chương trình tin ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ệp một nội Ke(i)
c n th c hi n vi c tìm ki m nh phân đ ki m traần quan trọng trong chương trình tin ệp một nội ệp một nội ết đồ thị là " ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể
Bài t p 2: ập 1 (VOI 2008):
Trang 4Một ông chủ có 2 cái máy cày cho thuê, có N người nông dân đăng ký thuê máy cày Người thứ i muốn thuê máy bắt đầu từ thời điểm s[i] đến hết thời điểm t[i] Giá thuê một máy cày trong một đơn vị thời gian mất một đồng, như vậy nếu cho người thứ i thuê ông chủ có thể thu
về được t[i]-s[i]+1 đồng Tại một thời điểm một máy có nhiều nhất một người sử dụng Yêu cầu: Tính số tiền nhiều nhất có thể thu được.
Input:
- Dòng đầu là số nguyên N (N<=100)
- N dòng sau, mỗi dòng 2 số nguyên thể hiện số s[i], t[i] (0<=s[i]<=t[i]<=10 9 )
Output:
- Gồm 1 dòng duy nhất chứa 1 số là số tiền lớn nhất có thể thu được.
Ta xây d ng đ th nh sau: ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ư
T p đ nh V={(i,j): v i ý nghĩa là máy th nh t làm công vi c cu i cùng là i và máyận cả hai dạng toán này ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ới các bạn đồng nghiệp một nội ức học sinh, vừa có thể ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ệp một nội ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu
th hai làm công vi c cu i cùng là j}ức học sinh, vừa có thể ệp một nội ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu
T p cung E={(i,j)-(i,k): n u sau khi làm j máy th 2 làm đận cả hai dạng toán này ết đồ thị là " ức học sinh, vừa có thể ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc công vi c k và (i,j)-ệp một nội (k,j) n u sau khi làm i máy th nh t làm đết đồ thị là " ức học sinh, vừa có thể ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc k}
D th y bài toán qui v tìm đ" ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ường đi khép kín.ng đi dài nh t t đ nh (0,0).ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ừ các kỳ thi học sinh giỏi ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội
Đây là DAG và m t s p x p topo t nhiên là s p x p theo th i gian k t thúc thuêội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là " ết đồ thị là " ờng đi khép kín ết đồ thị là " máy tăng d n Do v y ta hoàn toàn có th s d ng mô hình bài toán 1 đ gi i quy t:ần quan trọng trong chương trình tin ận cả hai dạng toán này ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ử dụng cách thứ nhất hơn ụ minh họa trong chuyên đề được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ết đồ thị là "
Bài t p 3: ập 1 (VOI 2008):
Cho đ th có h ồ thị có hướng, ị có hướng, ướng, ng N đ nh (N≤16) trong đó các c nh có tr ng s Hãy tìm đ ỉnh ạch động trên đồ thị có hướng, ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ường tròn bán kính a có ng đi Haminton (đ ường tròn bán kính a có ng đi qua t t c các đ nh) ng n nh t? ất ỉnh ắp xếp topo ất.
Ta xây d ng m t đ th m i trong đó m i đ nh là m t c p g m dãy bit (ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ới các bạn đồng nghiệp một nội ỗi đỉnh của đồ thị là một ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ặp (V, E) trong đó ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin b b1, , ,2 b ) n
v i ới các bạn đồng nghiệp một nội b n u nh đ nh i 1 ết đồ thị là " ư ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội i đã đi qua còn b n u nh đ nh i 0 ết đồ thị là " ư ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội i ch a đi qua và đ nh ư ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội u thể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể
hi n đ nh cu i cùng trên hành trình là ệp một nội ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu u Nh v y m i đ nh là m t c p (ư ận cả hai dạng toán này ỗi đỉnh của đồ thị là một ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ặp (V, E) trong đó x, u) v i ới các bạn đồng nghiệp một nội x là số kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu
nguyên th hi n dãy bit trên Đ nh (ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ệp một nội ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội x, u) đi đ n đết đồ thị là " ược kết hợp Chính điều này cho phép xây y,v) n u nh bit c ( ết đồ thị là " ư v c a ủa lý thuyết đồ thị là " x b ng 0 vàằng 1
bít v c a ủa lý thuyết đồ thị là " y b ng 1 (các bit khác trùng nhau) và ằng 1 u đi đ n đết đồ thị là " ược kết hợp Chính điều này cho phép xây v.c
D th y r ng đ th xây d ng nh trên là DAG v i s p x p topo t nhiên là s p" ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ằng 1 ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ư ới các bạn đồng nghiệp một nội ết đồ thị là "
x p các đ nh (ết đồ thị là " ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội x, u) theo s lố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyng bit 1 c a ủa lý thuyết đồ thị là " x tăng d n Khi đó trên s p x p topo này cácần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là "
đ nh đỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc chia thành t ng l p (x có 0 bit 1, x có 1 bit 1, , x có n bit 1) và ta có th sừ các kỳ thi học sinh giỏi ới các bạn đồng nghiệp một nội ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ử dụng cách thứ nhất hơn
d ng mô hình bài toán 1 (tìm đụ minh họa trong chuyên đề được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ường đi khép kín.ng đi dài nh t t t p đinh có 1 bit 1 đ n t p đ nh có nấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ừ các kỳ thi học sinh giỏi ận cả hai dạng toán này ết đồ thị là " ận cả hai dạng toán này ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội bít 1) v i m t chút c i ti n là k t h p v i m t hàng đ i.ới các bạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là " ết đồ thị là " ợc kết hợp Chính điều này cho phép xây ới các bạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ợc kết hợp Chính điều này cho phép xây
Khi d y h c sinh các thu t toán c b n nh duy t đ th u tiên chi u r ng,ạn đồng nghiệp một nội ọng trong chương trình tin ận cả hai dạng toán này ơng trình tin ư ệp một nội ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ư ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin duy t đ th u tiên chi u sâu, tìm đệp một nội ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ư ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ường đi khép kín.ng đi ng n nh t trên đ th không có chu trìnhấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin
âm, c n ph i nh n m nh đ n các ần quan trọng trong chương trình tin ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ạn đồng nghiệp một nội ết đồ thị là " s n ph m ản phẩm ẩm c a các thu t toán này M t đi u r t thúủa lý thuyết đồ thị là " ận cả hai dạng toán này ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi
v là có r t nhi u s n ph m là đ th b ph n có hị là một phần quan trọng trong chương trình tin ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ẩm là đồ thị bộ phận có hướng không có chu trình mà tôi tạm ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ận cả hai dạng toán này ưới các bạn đồng nghiệp một nộing không có chu trình mà tôi t mạn đồng nghiệp một nội
g i là các ọng trong chương trình tin đ th có h ồ thị có hướng không có chu trình cảm sinh ị có hướng không có chu trình cảm sinh ướng không có chu trình cảm sinh ng không có chu trình c m sinh ản phẩm Có r t nhi u bài t p v đấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ận cả hai dạng toán này ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin
th trong các kỳ thi g n đây s d ng các đ th b ph n này.ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ần quan trọng trong chương trình tin ử dụng cách thứ nhất hơn ụ minh họa trong chuyên đề được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ận cả hai dạng toán này
Trang 51 DAG đ ường đi ít cạnh nhất ng đi ít c nh nh t ạnh nhất ất:
Khi th c hi n duy t đ th u tiên chi u r ng (BFS) t đ nh ệp một nội ệp một nội ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ư ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ừ các kỳ thi học sinh giỏi ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội s ta g i d[i] là đ dàiọng trong chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin
đường đi khép kín.ng đi ít c nh nh t t ạn đồng nghiệp một nội ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ừ các kỳ thi học sinh giỏi s đ n i (d[i]=ết đồ thị là " n u không có đết đồ thị là " ường đi khép kín.ng đi t s đ n i) Xây d ngừ các kỳ thi học sinh giỏi ết đồ thị là "
đ th b ph n G'=(V',E') nh sau:ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ận cả hai dạng toán này ư
Đ th này còn đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc g i là đ th đọng trong chương trình tin ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ường đi khép kín.ng đi ít c nh nh t vì t t c các đạn đồng nghiệp một nội ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ường đi khép kín.ng đi
ng n nh t (theo nghĩa ít c nh nh t) đ u đi qua các cung c a đ th này.ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ạn đồng nghiệp một nội ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ủa lý thuyết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin
D dàng nh n th y G' là m t DAG và đ c bi t, s p x p topo t nhiên c a nó là s p" ận cả hai dạng toán này ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ặp (V, E) trong đó ệp một nội ết đồ thị là " ủa lý thuyết đồ thị là "
x p theo giá tr d[i] tăng d n Nó cũng chính là th t c a các đ nh khi đ a vào/l y raết đồ thị là " ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ần quan trọng trong chương trình tin ức học sinh, vừa có thể ủa lý thuyết đồ thị là " ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ư ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi
kh i hàng đ i trong phép duy t BFS (đi u này khi n cho ta không ph i th c hi n m tỏ của lý thuyết đồ thị là " ợc kết hợp Chính điều này cho phép xây ệp một nội ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ết đồ thị là " ệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin phép sort đ y đ n a) Chính xác h n, n u g i ần quan trọng trong chương trình tin ủa lý thuyết đồ thị là " ơng trình tin ết đồ thị là " ọng trong chương trình tin x x1, 2, ,x là các đ nh theo th t đ a p ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ức học sinh, vừa có thể ư vào hàng đ i thì ta có m t s p x p topo trên G'.ợc kết hợp Chính điều này cho phép xây ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là "
V i đ th G' ta có th xây d ng m t s bài toán m r ng cho BFS nh :ới các bạn đồng nghiệp một nội ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ở đây hai nội dung chính của chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ư
Bài toán 3: Hãy tìm đ ường tròn bán kính a có ng đi ng n nh t (ít c nh nh t) t đ nh s đ n đ nh t N u nh có ắp xếp topo ất ạch động trên đồ thị có hướng, ất ừ đường tròn bán kính a có ỉnh ếp topo ỉnh ếp topo ư nhi u đ ều kiện ường tròn bán kính a có ng đi nh v y thì tìm đ ư ậy thì tìm đường đi có: ường tròn bán kính a có ng đi có:
Giá thành nh nh t/l n nh t ất ớng, ất.
S đ nh đi qua nhi u nh t/ít nh t ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ỉnh ều kiện ất ất.
Đ gi i bài toán 3, trể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ưới các bạn đồng nghiệp một nộic tiên chúng ta th c hi n BFS đ xây d ng đ th G' sau đóệp một nội ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin trên G' ta gi i bài toán tìm đường đi khép kín.ng đi ng n nh t/dài nh t d a trên s p x p topo c a nóấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ết đồ thị là " ủa lý thuyết đồ thị là " (bài toán 1)
Bài toán 4: Hãy đ m s đ ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ường tròn bán kính a có ng đi ng n nh t t s đ n t? ắp xếp topo ất ừ đường tròn bán kính a có ếp topo
Đây chính là bài toán 2 (đ m s đết đồ thị là " ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ường đi khép kín.ng đi) trên đ th G' v i m t s p x p topoồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ới các bạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là "
Trong m ng xã h i, m i trang web đ ạch động trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ược ổ chức trên một máy tính thành viên và cung c t ch c trên m t máy tính thành viên và cung ứ tự ộng trên đồ thị có hướng,
c p d ch v truy nh p t i m t s trang web khác Đ truy nh p t i m t trang web nào đó ất ị có hướng, ụ 1 (VOI 2008): Cho n hình tròn bán kính ậy thì tìm đường đi có: ớng, ộng trên đồ thị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ậy thì tìm đường đi có: ớng, ộng trên đồ thị có hướng, không có trong danh m c k t n i tr c ti p c a mình, ng ụ 1 (VOI 2008): Cho n hình tròn bán kính ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ự ếp topo ủa đồ thị một trọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ường tròn bán kính a có i dùng ph i truy nh p t i ậy thì tìm đường đi có: ớng, trang web khác có k t n i v i mình, d a vào danh m c d ch v c a trang web này đ ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ớng, ự ụ 1 (VOI 2008): Cho n hình tròn bán kính ị có hướng, ụ 1 (VOI 2008): Cho n hình tròn bán kính ủa đồ thị một trọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh chuy n t i trang web khác theo tùy ch n, c nh th cho đ n khi t i đ ớng, ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ứ tự ư ếp topo ếp topo ớng, ược c trang web mình c n Th i gian đ truy nh p t i m t trang web ph thu c ch y u và s l n m ờng tròn bán kính a có ậy thì tìm đường đi có: ớng, ộng trên đồ thị có hướng, ụ 1 (VOI 2008): Cho n hình tròn bán kính ộng trên đồ thị có hướng, ủa đồ thị một trọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được trang web trong quá trình truy nh p Nh v y, ng ậy thì tìm đường đi có: ư ậy thì tìm đường đi có: ường tròn bán kính a có i dùng c n ch đ ng ch n l trình ủa đồ thị một trọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ộng trên đồ thị có hướng, ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ộng trên đồ thị có hướng, truy nh p h p lí ậy thì tìm đường đi có: ợc
Sau m t th i gian làm vi c trên m ng, Sáng - m t thành viên nhi t thành đã tích lũy kinh ộng trên đồ thị có hướng, ờng tròn bán kính a có ện ạch động trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ện nghi m, t o m t c s d li u, cho bi t t m t trang web có th đi t i nh ng trang web ện ạch động trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web ện ếp topo ừ đường tròn bán kính a có ộng trên đồ thị có hướng, ớng, ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web nào trong m ng Trong c s d li u, các trang web đ ạch động trên đồ thị có hướng, ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web ện ược c đánh s t 1 đ n n và có m b n ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ừ đường tròn bán kính a có ếp topo ghi, m i b n ghi có d ng c p có th t (u, v) cho bi t trang web u có k t n i t i trang ạch động trên đồ thị có hướng, ặt phẳng vẽ n vòng tròn được ứ tự ự ếp topo ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ớng, web v ( 1 ≤ u, v ≤ n, u ≠ v) C s d li u ch a đ ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web ện ư ược c chu n hóa, vì v y có th ch a các c p ẩn hóa, vì vậy có thể chứa các cặp ậy thì tìm đường đi có: ứ tự ặt phẳng vẽ n vòng tròn được (u, v) gi ng nhau ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh
Trang 6Trang web c a Sáng có s hi u là s D a vào c s d li u, Sáng có th xác đ nh l trình ủa đồ thị một trọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ện ự ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web ện ị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, truy nh p nhanh nh t (t c là s l n ph i m trang web là ít nh t) t trang web s t i ậy thì tìm đường đi có: ất ứ tự ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ất ừ đường tròn bán kính a có ớng, trang web u b t kì Tuy v y, m ng xã h i, m i chuy n đ u có th x y ra: m t khu v c ất ậy thì tìm đường đi có: ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ạch động trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ện ều kiện ộng trên đồ thị có hướng, ự nào đó b m t đi n, máy c a m t thành viên b h ng, trang web đó đang b đóng đ nâng ị có hướng, ất ện ủa đồ thị một trọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ộng trên đồ thị có hướng, ị có hướng, ị có hướng,
c p, K t qu là m t vài trang web nào đó có th t m th i không ho t đ ng Nh v y, ất ếp topo ộng trên đồ thị có hướng, ạch động trên đồ thị có hướng, ờng tròn bán kính a có ạch động trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ư ậy thì tìm đường đi có:
n u t s có ít nh t hai l trình nhanh nh t khác nhau t i u thì kh năng th c hi n truy ếp topo ừ đường tròn bán kính a có ất ộng trên đồ thị có hướng, ất ớng, ự ện
nh p đ ậy thì tìm đường đi có: ược c m t cách nhanh nh t t i u là l n h n so v i nh ng trang web ch có duy nh t ộng trên đồ thị có hướng, ất ớng, ớng, ớng, ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web ỉnh ất.
m t l trình nhanh nh t Hai l trình g i là khác nhau n u có ít nh t m t trang web có ộng trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ất ộng trên đồ thị có hướng, ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ếp topo ất ộng trên đồ thị có hướng, ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được
l trình này mà không có l trình kia ho c c hai l trình cùng đi qua nh ng trang web ộng trên đồ thị có hướng, ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ộng trên đồ thị có hướng, ặt phẳng vẽ n vòng tròn được ộng trên đồ thị có hướng, ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web
nh nhau nh ng theo các trình t khác nhau Nh ng trang web mà t s t i đó có ít ra là ư ư ự ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web ừ đường tròn bán kính a có ớng, hai l trình nhanh nh t khác nhau đ ộng trên đồ thị có hướng, ất ược c g i là n đ nh đ i v i s Trang web mà t s ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ổ chức trên một máy tính thành viên và cung ị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ớng, ừ đường tròn bán kính a có không có l trình t i nó là không n đ nh đ i v i s ộng trên đồ thị có hướng, ớng, ổ chức trên một máy tính thành viên và cung ị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ớng,
Yêu c u: Cho các s nguyên d ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ư ng n, m, s và m c p s (u, v) xác đ nh t u có th k t n i ặt phẳng vẽ n vòng tròn được ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ị có hướng, ừ đường tròn bán kính a có ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh
tr c ti p t i đ ự ếp topo ớng, ược c v Hãy xác đ nh s l ị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ược ng trang web n đ nh đ i v i s ổ chức trên một máy tính thành viên và cung ị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ớng,
D li u: ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web ện
Dòng đ u tiên ch a 3 s nguyên n, m và s (2 ≤ 10000, 1 ≤ m ≤ 50000, 1 ≤ s ≤ n) ứ tự ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh
M i dòng trong m dòng ti p theo ch a 2 s nguyên u và v (1 ≤ u, v ≤ n, u ≠ v) ếp topo ứ tự ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh Các s trên m t dòng đ ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ộng trên đồ thị có hướng, ược c ghi cách nhau ít nh t m t d u cách ất ộng trên đồ thị có hướng, ất.
K t qu : M t s nguyên - s trang web n đ nh đ i v i s ếp topo ộng trên đồ thị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ổ chức trên một máy tính thành viên và cung ị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ớng,
Bài toán trên là bài toán đ m các đ nh có ít nh t hai đết đồ thị là " ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ường đi khép kín.ng đi ng n nh t t s.ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ừ các kỳ thi học sinh giỏi
Phương trình tinng pháp gi i nó là bài toán 4 (v i m t l u ý là ta không th c s đ m mà ch c nới các bạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ư ết đồ thị là " ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ần quan trọng trong chương trình tin phân bi t các đ nh có 0, 1, h n 1 đệp một nội ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ơng trình tin ường đi khép kín.ng đi ng n nh t t s)ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ừ các kỳ thi học sinh giỏi
Các thu t toán Dijkstra, Ford_bellman tìm đận cả hai dạng toán này ường đi khép kín.ng đi ng n nh t t m t đ nh s đ uấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ừ các kỳ thi học sinh giỏi ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội cho m t m ng ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin dist[i] là kho ng cách ng n nh t t đ nh s đ n đ nh i (dist[i]=ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ừ các kỳ thi học sinh giỏi ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ết đồ thị là " ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội n uết đồ thị là " không có đường đi khép kín.ng đi t s đ n i) Từ các kỳ thi học sinh giỏi ết đồ thị là " ương trình tinng t nh trên, sau khi có m ng ư dist[i] ta có đ thồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin
b ph n G'=(V',E') nh sau:ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ận cả hai dạng toán này ư
G' cũng là DAG, DAG này là DAG đường đi khép kín.ng đi ng n nh t N u s d ng thu t toánấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ết đồ thị là " ử dụng cách thứ nhất hơn ụ minh họa trong chuyên đề được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ận cả hai dạng toán này Dijkstra thì m t s p x p topo trên DAG này là ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là " th t l y ra các đ nh kh i hàng đ i ứ nhất: ự lấy ra các đỉnh khỏi hàng đợi ất: ỉnh khỏi hàng đợi ỏi hàng đợi ợi
u tiên
ư , còn n u s d ng Ford_Bellman thì ta ph i th c hi n m t phép sort trên m ngết đồ thị là " ử dụng cách thứ nhất hơn ụ minh họa trong chuyên đề được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin
dist.
Cũng nh DAG đư ường đi khép kín.ng đi ít c nh nh t, chúng ta cũng có m t s bài toán d a trên DAGạn đồng nghiệp một nội ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu này gi ng nh bài toán 3, bài toán 4 Dố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ư ưới các bạn đồng nghiệp một nộii đây là m t s ví d đi n hình:ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ụ minh họa trong chuyên đề được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể
Trên m t m ng l ộng trên đồ thị có hướng, ạch động trên đồ thị có hướng, ướng, i giao thông có n nút, các nút đ ược c đánh s t 1 đ n n và gi a hai nút ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ừ đường tròn bán kính a có ếp topo ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web
b t kỳ có không quá m t đ ất ộng trên đồ thị có hướng, ường tròn bán kính a có ng n i tr c ti p (đ ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ự ếp topo ường tròn bán kính a có ng n i tr c ti p là m t đ ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ự ếp topo ộng trên đồ thị có hướng, ường tròn bán kính a có ng hai chi u) Ta g i đ ều kiện ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ường tròn bán kính a có ng đi t nút s đ n nút t là m t dãy các nút và các đ ừ đường tròn bán kính a có ếp topo ộng trên đồ thị có hướng, ường tròn bán kính a có ng n i tr c ti p ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ự ếp topo
có d ng: ạch động trên đồ thị có hướng,
s = u1, e1, u2, , ui, ei, ui+1, , uk-1, ek-1, uk = t,
Trang 7trong đó u1, u2, …, uk là các nút trong m ng l ạch động trên đồ thị có hướng, ướng, i giao thông, ei là đ ường tròn bán kính a có ng n i tr c ti p ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ự ếp topo
gi a nút ui và ui+1 (không có nút uj nào xu t hi n nhi u h n m t l n trong dãy trên, j = ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web ất ện ều kiện ộng trên đồ thị có hướng,
1, 2, …, k)
Bi t r ng m ng l ếp topo # ạch động trên đồ thị có hướng, ướng, i giao thông đ ược c xét luôn có ít nh t m t đ ất ộng trên đồ thị có hướng, ường tròn bán kính a có ng đi t nút 1 đ n nút ừ đường tròn bán kính a có ếp topo
n
M t robot ch a đ y bình v i w đ n v năng l ộng trên đồ thị có hướng, ứ tự ớng, ị có hướng, ược ng, c n đi t tr m c u ho đ t t i nút 1 ừ đường tròn bán kính a có ạch động trên đồ thị có hướng, ứ tự ặt phẳng vẽ n vòng tròn được ạch động trên đồ thị có hướng,
đ n n i x y ra ho ho n nút n, trong th i gian ít nh t có th Th i gian và chi phí năng ếp topo ạch động trên đồ thị có hướng, ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ờng tròn bán kính a có ất ờng tròn bán kính a có
l ược ng đ robot đi trên đ ường tròn bán kính a có ng n i tr c ti p t nút i đ n nút j t ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ự ếp topo ừ đường tròn bán kính a có ếp topo ư ng ng là tij và cij (1 ≤ i, ứ tự
j ≤ n) Robot ch có th đi đ ỉnh ược c trên đ ường tròn bán kính a có ng n i tr c ti p t nút i đ n nút j n u năng ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ự ếp topo ừ đường tròn bán kính a có ếp topo ếp topo
l ược ng còn l i trong bình ch a không ít h n cij (1 ≤ i, j ≤ n) N u robot đi đ n m t nút có ạch động trên đồ thị có hướng, ứ tự ếp topo ếp topo ộng trên đồ thị có hướng,
tr m ti p năng l ạch động trên đồ thị có hướng, ếp topo ược ng (m t nút có th có ho c không có tr m ti p năng l ộng trên đồ thị có hướng, ặt phẳng vẽ n vòng tròn được ạch động trên đồ thị có hướng, ếp topo ược ng) thì nó t ự
đ ng đ ộng trên đồ thị có hướng, ược c n p đ y năng l ạch động trên đồ thị có hướng, ược ng vào bình ch a v i th i gian n p coi nh không đáng k ứ tự ớng, ờng tròn bán kính a có ạch động trên đồ thị có hướng, ư Yêu c u: Hãy xác đ nh giá tr w nh nh t đ robot đi đ ị có hướng, ị có hướng, ất ược c trên m t đ ộng trên đồ thị có hướng, ường tròn bán kính a có ng đi t nút 1 ừ đường tròn bán kính a có
đ n nút n trong th i gian ít nh t ếp topo ờng tròn bán kính a có ất.
Input
Dòng đ u tiên ch a m t s nguyên d ứ tự ộng trên đồ thị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ư ng n (2 ≤ n ≤ 500);
Dòng th hai ch a n s , trong đó s th j b ng 1 ho c 0 t ứ tự ứ tự ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ứ tự # ặt phẳng vẽ n vòng tròn được ư ng ng nút j có ho c ứ tự ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ặt phẳng vẽ n vòng tròn được không có tr m ti p năng l ạch động trên đồ thị có hướng, ếp topo ược ng (j = 1, 2, …, n);
Dòng th ba ch a s nguyên d ứ tự ứ tự ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ư ng m (m ≤ 30000) là s đ ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ường tròn bán kính a có ng n i tr c ti p có ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ự ếp topo trong m ng l ạch động trên đồ thị có hướng, ướng, i giao thông;
Dòng th k trong s m dòng ti p theo ch a 4 s nguyên d ứ tự ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ếp topo ứ tự ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ư ng i, j, tij, cij (tij, cij ≤ 10000) mô t đ ường tròn bán kính a có ng n i tr c ti p t nút i đ n nút j, th i gian và chi phí năng ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ự ếp topo ừ đường tròn bán kính a có ếp topo ờng tròn bán kính a có
l ược ng t ư ng ng ứ tự
Hai s liên ti p trên m t dòng trong file d li u cách nhau ít nh t m t d u cách ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ếp topo ộng trên đồ thị có hướng, ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web ện ất ộng trên đồ thị có hướng, ất.
Output: Ghi ra s nguyên d ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ư ng w tìm đ ược c.
Trưới các bạn đồng nghiệp một nộic tiên s d ng thu t toán Dijkstra chúng ta tìm đử dụng cách thứ nhất hơn ụ minh họa trong chuyên đề được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ận cả hai dạng toán này ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc DAG đường đi khép kín.ng đi ng n
nh t M t l n n a chú ý r ng s p x p topo trên DAG này chính là th t l y ra các đ nhấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ần quan trọng trong chương trình tin ằng 1 ết đồ thị là " ức học sinh, vừa có thể ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội
kh i hàng đ i u tiên Trên DAG đỏ của lý thuyết đồ thị là " ợc kết hợp Chính điều này cho phép xây ư ường đi khép kín.ng đi ng n nh t này ta gi i bài toán tìm năng lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyng
t i thi u Kỹ thu t dùng đây có th là tìm ki m nh phân và ta đi đ n bài toán c b nố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ận cả hai dạng toán này ở đây hai nội dung chính của chương trình tin ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ết đồ thị là " ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là " ơng trình tin
"Cho năng lược kết hợp Chính điều này cho phép xâyng x, h i r ng v i năng lỏ của lý thuyết đồ thị là " ằng 1 ới các bạn đồng nghiệp một nội ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyng này có th đi đ n để ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ết đồ thị là " ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc n hay không?" bài toán này hoàn toàn gi i b ng qui ho ch đ ng.ằng 1 ạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin
Ngày 27/11 t i là ngày t ch c thi h c kỳ I tr ớng, ổ chức trên một máy tính thành viên và cung ứ tự ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ường tròn bán kính a có ng ĐH BK Là sinh viên năm th nh t, ứ tự ất.
Hi u không mu n vì đi mu n mà g p tr c tr c phòng thi nên đã chu n b khá kỹ càng ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ộng trên đồ thị có hướng, ặt phẳng vẽ n vòng tròn được ụ 1 (VOI 2008): Cho n hình tròn bán kính ặt phẳng vẽ n vòng tròn được ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ẩn hóa, vì vậy có thể chứa các cặp ị có hướng,
Ch còn l i m t công vi c khá gay go là Hi u không bi t đi đ ỉnh ạch động trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ện ếp topo ếp topo ường tròn bán kính a có ng nào t i tr ớng, ường tròn bán kính a có ng là nhanh nh t ất.
Th ường tròn bán kính a có ng ngày Hi u không quan tâm t i v n đ này l m cho nên bây gi Hi u không bi t ếp topo ớng, ất ều kiện ắp xếp topo ờng tròn bán kính a có ếp topo ếp topo
ph i làm sao c B n đ thành ph là g m có N nút giao thông và M con đ ồ thị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ồ thị có hướng, ường tròn bán kính a có ng n i các ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh nút giao thông này Có 2 lo i con đ ạch động trên đồ thị có hướng, ường tròn bán kính a có ng là đ ường tròn bán kính a có ng 1 chi u và đ ều kiện ường tròn bán kính a có ng 2 chi u Đ dài c a ều kiện ộng trên đồ thị có hướng, ủa đồ thị một trọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh
m i con đ ường tròn bán kính a có ng là m t s nguyên d ộng trên đồ thị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ư ng
Nhà Hi u nút giao thông 1 còn tr ếp topo ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ường tròn bán kính a có ng ĐH BK nút giao thông N Vì m t l trình ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ộng trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng,
đ ường tròn bán kính a có ng đi t nhà Hi u t i tr ừ đường tròn bán kính a có ếp topo ớng, ường tròn bán kính a có ng có th g p nhi u y u t khác nh là g p nhi u đèn đ , ặt phẳng vẽ n vòng tròn được ều kiện ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ư ặt phẳng vẽ n vòng tròn được ều kiện
đi qua công tr ường tròn bán kính a có ng xây d ng, ph i gi m t c đ cho nên Hi u mu n bi t là có t t c ự ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ộng trên đồ thị có hướng, ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ếp topo ất.
Trang 8bao nhiêu l trình ng n nh t đi t nhà t i tr ộng trên đồ thị có hướng, ắp xếp topo ất ừ đường tròn bán kính a có ớng, ường tròn bán kính a có ng B n hãy l p trình giúp Hi u gi i quy t ạch động trên đồ thị có hướng, ậy thì tìm đường đi có: ếp topo ếp topo bài toán khó này
Input
Dòng th nh t ghi hai s nguyên N và M ứ tự ất ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh
M dòng ti p theo, m i dòng ghi 4 s nguyên d ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ư ng K, U, V, L Trong đó:
o K = 1 có nghĩa là có đ ường tròn bán kính a có ng đi m t chi u t U đ n V v i đ dài L ộng trên đồ thị có hướng, ều kiện ừ đường tròn bán kính a có ếp topo ớng, ộng trên đồ thị có hướng,
o K = 2 có nghìa là có đ ường tròn bán kính a có ng đi hai chi u gi a U và V v i đ dài L ều kiện ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web ớng, ộng trên đồ thị có hướng,
Output: Ghi hai s là đ dài đ ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ộng trên đồ thị có hướng, ường tròn bán kính a có ng đi ng n nh n và s l ắp xếp topo ất ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ược ng đ ường tròn bán kính a có ng đi ng n nh t Bi t ắp xếp topo ất ếp topo
r ng s l # ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ược ng đ ường tròn bán kính a có ng đi ng n nh t không v ắp xếp topo ất ược t quá ph m vì int64 trong pascal hay long ạch động trên đồ thị có hướng, long trong C++.
Đ u tiên chúng ta xây d ng DAG đần quan trọng trong chương trình tin ường đi khép kín.ng đi ng n nh t (b ng thu t toán Dijkstra).ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ằng 1 ận cả hai dạng toán này Bài toán qui v bài đ m s đề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ết đồ thị là " ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ường đi khép kín.ng đi trên DAG này Đây chính là bài toán 3
Theo th ng kê cho bi t m c đ tăng tr ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ếp topo ứ tự ộng trên đồ thị có hướng, ưở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ng kinh t c a n ếp topo ủa đồ thị một trọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ướng, c Peace trong năm 2006 r t ất đáng kh quan C n ướng, c có t ng c ng N thành ph l n nh đ ổ chức trên một máy tính thành viên và cung ộng trên đồ thị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ớng, ược c đánh s tu n t t 1 ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ự ừ đường tròn bán kính a có
đ n N phát tri n khá đ ng đ u Gi a N thành ph này là m t m ng l ếp topo ồ thị có hướng, ều kiện ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ộng trên đồ thị có hướng, ạch động trên đồ thị có hướng, ướng, ồ thị có hướng, i g m M đ ường tròn bán kính a có ng
đi hai chi u, m i tuy n đ ều kiện ếp topo ường tròn bán kính a có ng n i 2 trong N thành ph sao cho không có 2 thành ph nào ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh
đ ược c n i b i quá 1 tuy n đ ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ếp topo ường tròn bán kính a có ng Trong N thành ph này thì thành ph 1 và thành ph N ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh
là 2 trung tâm kinh t l n nh t n ếp topo ớng, ất ướng, c và h th ng đ ện ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ường tròn bán kính a có ng đ m b o luôn có ít nh t m t ất ộng trên đồ thị có hướng, cách đi t thành ph 1 đ n thành ph N ừ đường tròn bán kính a có ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh
Tuy nhiên,c 2 trung tâm này đ u có d u hi u quá t i v m t đ dân s Vì v y, đ c vua ều kiện ất ện ều kiện ậy thì tìm đường đi có: ộng trên đồ thị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ậy thì tìm đường đi có: ứ tự Peaceful quy t đ nh ch n ra thêm m t thành ph n a đ đ u t thành m t trung tâm ếp topo ị có hướng, ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ộng trên đồ thị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web ư ộng trên đồ thị có hướng, kinh t th ba Thành ph này sẽ t m ng ng m i ho t đ ng th ếp topo ứ tự ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ạch động trên đồ thị có hướng, ư ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ạch động trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ường tròn bán kính a có ng nh t, cũng nh m i ậy thì tìm đường đi có: ư ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh
lu ng l u thông ra vào đ ti n hành nâng c p c s h t ng Nh ng trong th i gian s a ồ thị có hướng, ư ếp topo ất ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ạch động trên đồ thị có hướng, ư ờng tròn bán kính a có ửa
ch a y, ph i b o đ m đ ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web ất ường tròn bán kính a có ng đi ng n nh t t thành ph 1 đ n thành ph N không b ắp xếp topo ất ừ đường tròn bán kính a có ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ị có hướng, thay đ i, n u không n n kinh t qu c gia sẽ b trì tr ổ chức trên một máy tính thành viên và cung ếp topo ều kiện ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ị có hướng, ện
V trí và đ ị có hướng, ường tròn bán kính a có ng n i gi a N thành ph đ ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ược c mô t nh m t đ th N đ nh M c nh Hãy ư ộng trên đồ thị có hướng, ồ thị có hướng, ị có hướng, ỉnh ạch động trên đồ thị có hướng, giúp nhà vua đ m s l ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ược ng thành ph có th ch n làm trung tâm kinh t th ba sao cho ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ếp topo ứ tự thành ph đ ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ược c ch n th a mãn các đi u ki n trên ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ều kiện ện ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được
Input
Dòng đ u tiên ghi 2 s nguyên d ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ư ng N và M là s thành ph và s tuy n đ ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ếp topo ường tròn bán kính a có ng
Dòng th i trong s M dòng ti p theo ghi 3 s nguyên d ứ tự ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ư ng xi, yi và di v i ý nghĩa ớng, tuy n đ ếp topo ường tròn bán kính a có ng th i có đ dài di và n i gi a 2 thành ph xi, yi ứ tự ộng trên đồ thị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ữ liệu, cho biết từ một trang web có thể đi tới những trang web ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh
Output:
Dòng đ u tiên ghi s t nhiên S là s l ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ự ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ược ng các thành ph có th ch n làm trung ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh tâm kinh t th ba ếp topo ứ tự
S dòng ti p theo, m i dòng ghi 1 s nguyên d ếp topo ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ư ng là s th t c a thành ph ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ứ tự ự ủa đồ thị một trọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh
đ ược c ch n ( In ra theo th t tăng d n ) ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ứ tự ự
M t thành ph đội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc ch n là thành ph mà khi rút nó ra kh i đ th không nhọng trong chương trình tin ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ỏ của lý thuyết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin
hưở đây hai nội dung chính của chương trình tinng đ n s lết đồ thị là " ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyng đường đi khép kín.ng đi ng n nh t t 1 đ n n ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ừ các kỳ thi học sinh giỏi ết đồ thị là "
Đ t f[u] là s lặp (V, E) trong đó ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyng đường đi khép kín.ng đi ng n nh t t 1 đ n u và g[u] là s lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ừ các kỳ thi học sinh giỏi ết đồ thị là " ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyng đường đi khép kín.ng đi
ng n nh t t u đ n n (hai m ng này có th tính trên các DAG đấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ừ các kỳ thi học sinh giỏi ết đồ thị là " ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ường đi khép kín.ng đi ng n nh t c aấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ủa lý thuyết đồ thị là "
đ th xuôi và đ th ngồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc) u là thành ph đố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc ch n khi f[u]*g[u]<f[n]ọng trong chương trình tin
Trang 93 DAG Liên thông m nh ạnh nhất
Khi tìm thành ph n liên thông m nh m t s n ph m h t s c quan tr ng là ần quan trọng trong chương trình tin ạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ẩm là đồ thị bộ phận có hướng không có chu trình mà tôi tạm ết đồ thị là " ức học sinh, vừa có thể ọng trong chương trình tin đ th ồ thị có hướng không có chu trình cảm sinh ị có hướng không có chu trình cảm sinh các thành ph n liên thông m nh ần liên thông mạnh ạnh nhất trong đó m i đ nh c a đ th này là m t thành ph nỗi đỉnh của đồ thị là một ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ủa lý thuyết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ần quan trọng trong chương trình tin liên thông m nh c a đ th ban đ u và thành ph n liên thông A k v i thành ph n liênạn đồng nghiệp một nội ủa lý thuyết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ần quan trọng trong chương trình tin ần quan trọng trong chương trình tin ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ới các bạn đồng nghiệp một nội ần quan trọng trong chương trình tin thông B n u nh có cung c a đ th ban đ u đi t m t đ nh c a A đ n m t đ nh c a B.ết đồ thị là " ư ủa lý thuyết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ần quan trọng trong chương trình tin ừ các kỳ thi học sinh giỏi ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ủa lý thuyết đồ thị là " ết đồ thị là " ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ủa lý thuyết đồ thị là "
D nh n th y đ th các thành ph n liên thông m nh là m t DAG (vì n u không ta" ận cả hai dạng toán này ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ần quan trọng trong chương trình tin ạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là "
có th m r ng m t thành ph n liên thông m nh nào đó) đây là ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ở đây hai nội dung chính của chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ần quan trọng trong chương trình tin ạn đồng nghiệp một nội DAG liên thông m nh ạnh nhất
DAG liên thông m nh có m t s p x p topo t nhiên là th t tìm th y các thànhạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ết đồ thị là " ức học sinh, vừa có thể ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi
ph n liên thông m nh trong thu t toán Tarjan (thành ph n liên thông m nh nào tìmần quan trọng trong chương trình tin ạn đồng nghiệp một nội ận cả hai dạng toán này ần quan trọng trong chương trình tin ạn đồng nghiệp một nội
th y trấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ưới các bạn đồng nghiệp một nộic thì x p trết đồ thị là " ưới các bạn đồng nghiệp một nộic, thành ph n liên thông m nh nào tìm th y sau thì x p sau).ần quan trọng trong chương trình tin ạn đồng nghiệp một nội ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ết đồ thị là " DAG liên thông m nh ph i đạn đồng nghiệp một nội ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc xây d ng riêng (b ng m t vòng l p duy t qua cácằng 1 ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ặp (V, E) trong đó ệp một nội cung c a đ th cũ) H n n a, ta c n l u thêm các thông tin v m i đ nh c a đ th này.ủa lý thuyết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin ơng trình tin ần quan trọng trong chương trình tin ư ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ỗi đỉnh của đồ thị là một ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ủa lý thuyết đồ thị là " ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin
Bài t p 8: ập 1 (VOI 2008):
T t c các đ ất ường tròn bán kính a có ng trong thành ph c a Siruseri đ u là m t chi u Theo lu t c a qu c gia ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ủa đồ thị một trọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ều kiện ộng trên đồ thị có hướng, ều kiện ậy thì tìm đường đi có: ủa đồ thị một trọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh này, t i m i giao l ph i có m t máy ATM Đi u đáng ng c nhiên là các c a hàng ch i ạch động trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ều kiện ạch động trên đồ thị có hướng, ửa
đi n t cũng n m các giao l , tuy nhiên, không ph i t i giao l nào cũng có c a hàng ện ửa # ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ộng trên đồ thị có hướng, ạch động trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ửa
ch i đi n t ện ửa
Banditji là m t tên tr m n i ti ng H n quy t đ nh làm m t v đ ng tr i: kho ng s ch ộng trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ổ chức trên một máy tính thành viên và cung ếp topo ắp xếp topo ếp topo ị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ụ 1 (VOI 2008): Cho n hình tròn bán kính ộng trên đồ thị có hướng, ờng tròn bán kính a có ắp xếp topo ạch động trên đồ thị có hướng,
ti n trong các máy ATM trên đ ều kiện ường tròn bán kính a có ng đi, sau đó ghé vào m t c a hàng ch i đi n t đ th ộng trên đồ thị có hướng, ửa ện ửa ư
gi n Nh có m ng l ờng tròn bán kính a có ạch động trên đồ thị có hướng, ướng, i thông tin r ng rãi, Banditji bi t đ ộng trên đồ thị có hướng, ếp topo ược ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ều kiện c s ti n có m i máy ATM ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ngày hôm đó Xu t phát t trung tâm, tên tr m lái xe đi d c theo các ph , vét s ch ti n ất ừ đường tròn bán kính a có ộng trên đồ thị có hướng, ọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ạch động trên đồ thị có hướng, ều kiện ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được các ATM g p trên đ ặt phẳng vẽ n vòng tròn được ường tròn bán kính a có ng đi Banditji có th đi l i nhi u l n trên m t s đo n ph , nh ng ạch động trên đồ thị có hướng, ều kiện ộng trên đồ thị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ạch động trên đồ thị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ư
sẽ không thu gì đ ược c thêm t các ATM đã b kho ng tr ừ đường tròn bán kính a có ị có hướng, ắp xếp topo ướng, c đó L trình c a Banditji ph i ộng trên đồ thị có hướng, ủa đồ thị một trọng số Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh
k t thúc giao l có c a hàng ch i đi n t Banditji bi t cách v ch l trình đ t ng s ếp topo ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ộng trên đồ thị có hướng, ửa ện ửa ếp topo ạch động trên đồ thị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ổ chức trên một máy tính thành viên và cung ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh
ti n tr m đ ều kiện ộng trên đồ thị có hướng, ược c là l n nh t ớng, ất.
Yêu c u ầu : Cho bi t ếp topo n – s giao l , ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ộng trên đồ thị có hướng, m – s đo n đ ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ạch động trên đồ thị có hướng, ường tròn bán kính a có ng n i 2 giao l , ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ộng trên đồ thị có hướng, p – s giao l có c a ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ộng trên đồ thị có hướng, ửa hàng ch i đi n t và các n i có c a hàng, ện ửa ửa a i – s ti n trong ATM đ t giao l ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ều kiện ặt phẳng vẽ n vòng tròn được ở trên, nhiều nhất có thể di chuyển được ộng trên đồ thị có hướng, i, s – giao
l trung tâm Hãy xác đ nh t ng s l ộng trên đồ thị có hướng, ị có hướng, ổ chức trên một máy tính thành viên và cung ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ược ng ti n b tr m ( ều kiện ị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, n, m ≤ 500 000, 0 ≤ a i ≤ 4 000).
D li u ữ liệu ệu : Vào t file văn b n ATM.INP: ừ đường tròn bán kính a có
Dòng đ u tiên ch a 2 s nguyên ứ tự ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh n và m,
M i dòng trong m dòng ti p theo ch a 2 s nguyên ếp topo ứ tự ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh u và v xác đ nh đ ị có hướng, ường tròn bán kính a có ng đi t giao ừ đường tròn bán kính a có
l ộng trên đồ thị có hướng, u t i giao l ớng, ộng trên đồ thị có hướng, v,
Dòng th ứ tự i trong n dòng ti p theo ch a s nguyên ếp topo ứ tự ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh a i ,
Dòng th ứ tự n+m+2 ch a 2 s nguyên ứ tự ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh s và p,
Dòng cu i cùng ch a ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ứ tự p s nguyên xác đ nh các giao l có c a hàng ch i đi n t ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng, ửa ện ửa
K t qu ết quả ả: Đ a ra file văn b n ATM.OUT m t s nguyên – s ti n b tr m. ư ộng trên đồ thị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh ều kiện ị có hướng, ộng trên đồ thị có hướng,
S d ng Tarjan chúng ta tìm đử dụng cách thứ nhất hơn ụ minh họa trong chuyên đề được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc DAG các thành ph n liên thông m nh V i m iần quan trọng trong chương trình tin ạn đồng nghiệp một nội ới các bạn đồng nghiệp một nội ỗi đỉnh của đồ thị là một
đ nh (t c là m i thành ph n liên thông m nh) chúng ta l u hai thông tin: t ng s ti nỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ức học sinh, vừa có thể ỗi đỉnh của đồ thị là một ần quan trọng trong chương trình tin ạn đồng nghiệp một nội ư ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội trong các tr m ATM và s c a hàng đi n t ạn đồng nghiệp một nội ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ử dụng cách thứ nhất hơn ệp một nội ử dụng cách thứ nhất hơn
Bài toán tr thành tìm đở đây hai nội dung chính của chương trình tin ường đi khép kín.ng đi có t ng ti n l n nh t đ n các đ nh có s c a hàngề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ới các bạn đồng nghiệp một nội ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ết đồ thị là " ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ử dụng cách thứ nhất hơn
đi n t l n h n không Do là DAG và có s p x p topo nên đi u này có th làm đệp một nội ử dụng cách thứ nhất hơn ới các bạn đồng nghiệp một nội ơng trình tin ết đồ thị là " ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ược kết hợp Chính điều này cho phép xâyc
b ng qui ho ch đ ng tằng 1 ạn đồng nghiệp một nội ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ương trình tinng t nh trên.ư
*
Trang 10* *
Có th th y DAG cho m t l p bài toán khá phong phú và đa d ng trên đ th Cácể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ới các bạn đồng nghiệp một nội ạn đồng nghiệp một nội ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ị là một phần quan trọng trong chương trình tin
DAG thú v nh t Đi u làm cho vi c gi i quy t các bài toán trên các DAG này là d dàngị là một phần quan trọng trong chương trình tin ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ệp một nội ết đồ thị là " " chính là do các s p x p topo t nhiên mà các thu t toán c b n mang l i.ết đồ thị là " ận cả hai dạng toán này ơng trình tin ạn đồng nghiệp một nội
Dưới các bạn đồng nghiệp một nộii quan đi m d y h c thì khai thác h t các k t qu c a các thu t toán là m tể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ạn đồng nghiệp một nội ọng trong chương trình tin ết đồ thị là " ết đồ thị là " ủa lý thuyết đồ thị là " ận cả hai dạng toán này ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin thói quen t t c n xây d ng cho h c sinh nh là m t kỹ năng rèn luy n N u các em cóố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ần quan trọng trong chương trình tin ọng trong chương trình tin ư ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ệp một nội ết đồ thị là "
kỹ năng này thì vi c áp d ng các thu t toán m t cách uy n chuy n là m t h qu hi nệp một nội ụ minh họa trong chuyên đề được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi ận cả hai dạng toán này ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ệp một nội ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể nhiên
Trên đây là m t vài kinh nghi m mu n trao đ i v i các b n đ ng nghi p R tội dung đồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ệp một nội ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ới các bạn đồng nghiệp một nội ạn đồng nghiệp một nội ồ thị là một phần quan trọng trong chương trình tin ệp một nội ấy từ các kỳ thi học sinh giỏi mong được kết hợp Chính điều này cho phép xâyc m i ngọng trong chương trình tin ường đi khép kín.i ch giáo Đ k t thúc, xin trích hai câu cu i trong "Truy n Ki u"ỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội ể ôn tập kiến thức học sinh, vừa có thể ết đồ thị là " ố kinh nghiệm khi dạy về đồ thị có hướng không chu ệp một nội ề này, tôi chỉ xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp một nội
c a c Nguy n Du:ủa lý thuyết đồ thị là " ụ minh họa trong chuyên đề được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi "
"L i quê ch p nh t dông dài ờng tròn bán kính a có ắp xếp topo ặt phẳng vẽ n vòng tròn được Mua vui cũng đ ược c m t vài tr ng canh!" ộng trên đồ thị có hướng, ố Hãy tìm đường đi dài nhất từ đỉnh