Đồng điều nguyên của c đại số nhóm

Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Đậu Thị Diên Đồng điều nguyên C đại số nhóm Luận văn thạc sĩ toán học Nghệ An - 2016 Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Đậu Thị Diên Đồng điều nguyên C đại số nhóm Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số M· sè: 60 46 01 04 Ng­êi h­íng dÉn khoa häc TS Ngun Qc Th¬ NghƯ An - 2016 Mơc lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại số Lie - Nhóm Lie 1.2 Liên hệ nhóm Lie đại số Lie 11 1.3 Toán tử không gian Hilbert 13 1.4 Cấu trúc đại số nhóm Lie compact 19 1.5 Đối đồng điều không gian đối xứng compact 22 Đồng điều nguyên C đại số nhóm 31 2.1 C ®¹i sè nhãm 31 2.2 Đồng điều nguyên đại số Banach đối hỵp 34 C đại số mặt cầu 39 2.3 Đồng điều nguyên 2.4 Đồng điều nguyên C đại số mặt cầu lượng tử 41 Kết luận luận văn 46 Tài liệu tham khảo 47  Lời nói đầu Lý chọn đề tài Bài toán nghiên cứu cấu trúc ®ång ®iỊu cđa ®ång ®iỊu nguyªn C ∗− C ∗ đại số nhóm, đặc biệt cấu trúc đại số nhóm Lie compact toán quan trọng Hình học không giao hoán nói riêng Toán học nói chung, đà nhiều nhà Toán học trong, nước quan tâm nghiên cứu Năm 1998, Đỗ Ngọc Diệp Nguyễn Văn Thư đà xây dựng cách tiếp cận lý thuyết đồng điều nguyên dòng de Rham không giao hoán đại số Banach đối hợp {I } minh A, cách xây dựng đồng điều nguyên HE (A) qua họ iđêan A với ánh xạ vết : I C adA bất biến đà chứng HE∗ (A) tháa m·n mét sè tÝnh chÊt cđa ®ång điều suy rộng tính bất biến đồng luân, tính bất biến Morita Năm 2007, Đỗ Ngọc Diệp đà xây dựng kỹ thuật tính toán đồng điều nguyên đại số Banach đối hợp A, với thương không giao hoán, cách lấy giới hạn thuận theo hệ thuận iđêan A Với mục đích muốn tìm hiểu, nghiên cứu cấu trúc đồng điều nguyên C đại số cở sở tham khảo tài liệu [3], [6], chọn đề tài: Đồng điều nguyên C đại số nhóm làm đề tài luận văn tốt nghiệp cao học thạc sỹ, chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Nội dung nghiên cứu luận văn Sử dụng cách xây dựng đồng điều dòng de Rham không giao hoán đại số Banach đối hợp A Đỗ Ngọc Diệp Nguyễn Văn Thư; lý thuyết dạng vi phân không giao hoán đại số để nghiên cứu vấn đề sau: ! Lời nói đầu 2.1 Trình bày số khái niệm liên quan đến lý thuyết C đại số c¸c nhãm Lie compact, lý thut biĨu diƠn cđa chóng Lý thuyết đồng điều nguyên đại số Banach đối hợp đồng điều nguyên 2.2 Trình bày cách tính đồng điều nguyên C đại số nhóm C đại số số nhóm Lie compact cụ thể cách tính đồng điều nguyên không gian nhất, từ tính đồng điều nguyên C đại số mặt cầu S n Tổng quan cấu trúc luận văn Ngoài phần Lời nói đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo nội dung luận văn dự kiến trình bày hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương này, trình bày khái niệm C đại số, C đại số đại số Banach đối hợp, đồng điều nguyên đại số Banach đối hợp, lý thuyết dạng vi phân không giao hoán, 1.1 Đại số Lie - Nhóm Lie 1.2 Liên hệ nhóm Lie đại số Lie nhóm Lie compact 1.3 Toán tử không gian Hilbert 1.4 Cấu trúc đại số nhóm Lie compact 1.5 Đối đồng điều không gian đối xứng compact Chương 2: Đồng điều nguyên C đại số nhóm Nội dung chương sử dụng cách tính đồng điều nguyên đại số Banach đối hợp để trình bày cách tính đồng điều nguyên hợp C đại số nhóm cho hai trường C đại số mặt cầu đồng điều nguyên C đại số mặt cầu lượng tử tương ứng 2.1 C đại số nhóm 2.2 Đồng điều nguyên đại số Banach đối hợp 2.3 Đồng điều nguyên C đại số mặt cầu S n 2.2 Đồng điều nguyên C đại số mặt cầu lượng tử Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn Thầy giáo TS Nguyễn Quốc Thơ Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn Thầy, đà tận tình giúp đỡ suốt trình hoàn thành luận văn " Lời nói đầu Tác giả xin cảm ơn Thầy (Cô) giáo Chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Thầy (Cô) giáo Khoa Sư phạm Toán học, Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu Phòng ban chức Trường ĐH Vinh đà tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học viên cao học Tác giả xin cảm ơn Thầy (Cô) giáo, đồng nghiệp Tổ Toán, Ban Giám hiệu Trường THPT Quỳnh Lưu 3, nơi tác giả giảng dạy công tác đà tạo điều kiện thuận lợi, cổ vũ, động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập làm luận văn tốt nghiệp Mặc dù đà có nhiều cố gắng lực nhiều hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý nhà khoa học đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện tốt Nghệ An, ngày 10 tháng năm 2016 Tác giả Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày lại cách có hệ thống khái niệm tính chất đại số Lie, nhóm Lie, mối liên hệ nhóm Lie đại số Lie, cấu trúc đại số nhóm Lie compact cuối khái niệm đồng điều không gian đối xứng compact Các kết phát biểu dạng Định nghĩa, Định lý, Hệ quả, 1.1 Đại số Lie - Nhóm Lie 1.1.1 Định nghĩa gian véctơ g Cho K trường gọi đại số Lie g không gian véctơ K hay K đại số Lie cho phép nhân gọi tích Lie: [., ] :g ì g −→ g (x, y) −→ [x, y] cho tiên đề sau thỏa mÃn: (L1 ) Tích Lie toán tử song tuyến tính, tức là: [x + µy, z] = λ[x, z] + µ[y, z], [x, λy + µz] = λ[x, y] + µ[x, z]; ∀x, y, z ∈ g, ∀λ, µ ∈ K (L2) TÝch Lie phản xứng, tức là: [x, x] = 0, x g # K Không g đà Kiến thức chuẩn bị Chương $ (L3) Tích Lie thỏa mÃn đẳng thức Jacôbi, tức là: [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0, x, y, z ∈ g NÕu Chó ý: K lµ tr­êng có đặc số khác (L2) tương đương với ′ (L2 ) : [x, y] = −[y, x], ∀x, y ∈ g NÕu [x, y] = 0, ∀x, y g người ta nói tích Lie tầm thường đại số Lie giao hoán Số chiều đại số Lie số chiều không gian véctơ không gian hữu hạn chiều trường Lie g K Giả sử số chiều g n Cấu trúc đại số cho tích Lie cặp véctơ thuộc sở đà chọn trước g Cho g lµ mét {e1 , e2 , · · · , en } g nh­ sau: [ei , ej ] := n ∑ ckij ek , ≤ i < j ≤ n, cij ∈ K k=1 c¸c hệ số cij gọi số cấu trúc ®¹i sè Lie g 1.1.2 VÝ dơ VÝ dơ Cho định nghĩa số A đại số (kết hợp) trường [x, y] = xy yx, A K Víi mäi cỈp (x, y) ∈ A2 , ta trở thành đại số Lie Nói riêng ta có đại M at(n, K) ma trận vuông cấp n, phần tử K đại số Lie với tích Lie [A, B] = AB − BA, ∀A, B ∈ M at(n, K) Ví dụ Khi Xét đại số toán tử tuyến tính End(V ) K không gian véctơ V End(V ) trở thành đại số Lie, với tích Lie xác định sau: [f, g] = gf − f g, ∀f, g ∈ End(V ) Ví dụ Cho A đại số trường K Toán tử tuyến tính : A A gọi toán tử vi phân A nÕu: φ(x.y) = φ(x)y − xφ(y) KiÕn thøc chuẩn bị Chương % Ký hiệu Der(A) tập hợp tất toán tử vi phân thành đại số K A Khi Der(A) trở với phép nhân phép hợp thành ánh xạ trở thành đại số Lie K Der(A) với tích Lie định nghĩa là: [1 , ] = φ1 φ2 − φ2 φ1 1.1.3 §ång cấu đẳng cấu đại số Lie Cho xạ f g1 g2 hai K đại số Lie f : g1 g2 ánh xạ Khi ánh đồng cấu đại số Lie nếu: (i) (ii) f Nếu trường ánh xạ f bảo tồn móc Lie, tức là: song ánh f K Ktuyến tính gọi đẳng cấu đại số Lie Các đại số Lie lập thành phạm trù với cấu xạ đồng cấu đại số Lie Mỗi đồng cấu đại số Lie cña f f ([x, y]) = [f (x), f (y)], ∀x, y ∈ g1 f : g1 −→ End(V ) gọi biểu diễn tuyến tính g1 không gian véctơ V, ký hiệu (f, V ) NÕu dim(V ) = n < ∞, ta cè định sở V ta có f : g1 −→ End(V ) ≡ M at(n, K) Để đơn giản người ta dùng thuật ng÷ "biĨu diƠn" thay cho tht ng÷ "biĨu diƠn tun tính" Khi f đơn ánh f gäi lµ biĨu diƠn khíp 1.1.4 BiĨu diƠn chÝnh quy đại số Lie Cho g đại số Lie Der(g) = {f : g g|f toán tử vi phân } đại số Lie Đồng cấu ®¹i sè Lie ad :g −→ Der(g) ⊂ End(g) x adx adx :g g y adx (y) = [x, y] lµ biĨu diƠn tun tÝnh gian vÐct¬ g) ad cđa g chÝnh g (adx toán tử tuyến tính không Biểu diễn gọi biểu diễn biểu diễn quy cña g Ker(ad) = {x ∈ g|adx ≡ 0} tâm g Hạt nhân Kiến thức chuẩn bị Chương Ví dụ Xét đại số Lie & g = R3 , víi mãc Lie lµ tích có hướng thông thường Khi đó, v = (a, b, c) ∈ g = R3 ta cã biĨu diƠn quy g cho ma trận sau: [ c −b adv = −c a b a Dễ dàng thấy rằng, tâm Nói cách khác, đại số Lie ] g tầm thường, biểu diễn ad khớp g = R3 với móc Lie tích vô hướng thông thường đẳng cấu với đại số Lie ma trận phần tử thực, phản xứng cấp 1.1.5 Đại số Lie giải đại số Lie lũy linh Cho gọi là đại số Lie g đại số g M không gian [M, M ] M M g Không gian iđêan g M [g, M ] ⊂ M Trong ®ã ta ký hiƯu [M, M ] = {[x, y]|x, y ∈ M }, [g, M ] = {[x, y]|x ∈ g, y ∈ M } Khi M iđêan g không gian thương g/M trở thành đại số Lie với tích Lie định nghĩa sau: g/M ì g/M g/M (g1 + M, g2 + M ) −→ [g1 + M, g2 + M ] := [g1 , g2 ] + M Cho g K đại số Lie §Ỉt g1 := [g, g], g2 := [g1 , g1 ], , gn := [gn−1 , gn−1 ] (n ≥ 2) g1 := [g, g] = g1 , g2 := [g1 , g], , gn := [gn−1 , g] (n 2) Mệnh đề (i) g với gk Với ký hiệu trên, ta có: gk iđêan g Riêng gk gọi iđêan dẫn xuÊt thø k = 1, 2, 3, (ii) NÕu dim(g) < tồn nN cho: gn = gn+1 = = g∞ gn = gn+1 = = g k Đồng điều nguyên C đại số nhóm Chương !! Ký hiệu { ∞ ∏ } M atni (C) = f | ∥f (πn ) − cf Id∥ −→ n −→ ∞ i=1 Khi ®ã ′ ∞ ∏ M atni (C) gọi tích Đề thu hẹp i=1 trận vuông cấp M atni (C) đại số ma ni Với ký hiệu trên, theo [2] ta có đẳng cấu C (G) = ∞ ∏ M atni (C) i=1 Gi¶ sư G lµ nhãm Lie compact, C ∗ (G) lµ C ∗ đại số G Đặt IN Khi đó, theo [2] ta có IN iđêan đóng := N ∏ M atni (C) i=1 C ∗ (G) vµ C đại số G giới hạn thuận họ iđêan IN , nghĩa C (G) = lim IN Định nghĩa 2.1.3 ®ã Mét biĨu diƠn Fredholm cđa π1 , π2 : A Ê(HB ) C đại số A ba (1 , , F ), biĨu diƠn vµ F ∈ F(HB ) lµ toán tử Fredholm (có nghĩa F toán tử liên hợp biên C môđun Hilbert HB = lB2 C đại số B, thỏa m·n π1 (a)F − F π2 (a) ∈ K(B), K(B) iđêan tự đồng cấu compact HB ) Khi đó, lớp bất biến đồng luân tương đương unita biểu diễn Fredholm lập thành nhóm Aben gọi K Trong trường hợp với nhóm toán tử G (ký hiệu KK ∗ (A, B)) lµ nhãm Lie compact, A = C (G) B = C đẳng cấu K (C ∗ (G)) ∼ = KK ∗ (C ∗ (G), C) Cơ thĨ h¬n: KK (C ∗ (G), C) ∼ = K0 (C ∗ (G)) vµ KK (C ∗ (G), C) ∼ = K1 (C ∗ (G)), K (C (G)) K nhóm đại số C (G) ta có Chương 2.2 Đồng điều nguyên C đại số nhóm !" Đồng điều nguyên đại số Banach đối hợp Giả sử A đại số Banach đối hợp, A Connes đà định nghĩa đối đồng điều cyclic nguyên HE (A) xây dựng song ánh K (A) ì HE (A) C Sau Đỗ Ngọc Diệp Nguyễn Văn Thư đà chứng minh tính chất bÊt biÕn Morita cđa HE ∗ (A) Tr­íc hÕt, chóng xây dựng đồng điều nguyên HE (A) đại số Banach đối hợp A qua họ iđêan {I } xạ vết A với ánh : I C adA bất biến Giả sử A đại số Banach ánh xạ vết hợp, {I } họ iđêan ∥ = 1, τα (aa∗ ) ≥ ∀a ∈ Iα , τα (aa∗ ) = nÕu vµ chØ nÕu a = víi α ∈ Γ, τα lµ A cïng : Iα −→ C, tháa mÃn điều kiện sau: ánh xạ tuyến tính liên tục, Với bất biến đồng luân adA − bÊt biÕn, nghÜa lµ τα (xa) = τα (ax) ∀x ∈ A, a ∈ Iα α ∈ Γ, ánh xạ vết xác định tích vô hướng iđêan I cho công thức ⟨a, b⟩τα := τα (ab∗ ) ∀a, b ∈ Iα Ký hiệu I không gian bổ sung đầy đủ không gian I tích vô hướng Định nghĩa quan hệ thứ tự tự nhiên trªn α XÐt hä cho jαβ γ ⇐⇒ Iα ⊆ Iβ ⊆ Iγ , ∀α, β, γ ∈ Γ β {Iβ , jαβ } víi quan hƯ thø tù tù nhiªn ë trªn Γ : ∀α, β, γ ∈ Γ, α : Iα −→ I β ⊗(n+1) lµ tÝch tenxơ gian Hilbert nên I Ký hiệu I n { đồng cấu đại số liên tục tháa m·n ®iỊu kiƯn jβγ jαβ = jαγ : I α −→ Iγ Ký hiÖu Iα Γ nh­ sau: ⊗(n+1) j = id (n + 1) không gian Hilbert I Vì I không gian Hilbert = I C, đại số có đơn vị hình thức I (n+1) C (I ) = : (I ) không gian ánh xạ không C | ánh xạ (n + 1) tuyến tính liên tục (n + 1) tuyến tính liên tục } Chương Đồng điều nguyên C đại số nhóm Vì I không gian Hilbert, nên , , Γ vµ α β !# C n (Iα ) cịng không gian Hilbert Giả sử , xác định ®ång cÊu liªn tơc Dαβ : C n (Iα ) C n (I ), D mở rộng đồng cấu j C n (Iα ) tháa m·n ®iỊu kiƯn Dβγ Dαβ = Dαγ , Dαα = id Tõ ®ã, ta cã hƯ thn ®­ỵc ký hiƯu bëi {C n (Iα ), Dαβ }α∈Γ giới hạn thuận n Q = lim C (I ) Trong [3] Đỗ Ngọc Diệp Nguyễn Văn Thư đà chứng minh n Q = lim C (I ) không gian Hilbert Theo [3], với có đồng cấu liên tôc: ′ b : C n (Iα ) −→ C n+1 (I ) xác định (b )(a0 , a1 , , an+1 ) = n ∑ (−1)j φ(a0 , , aj aj+1 , , an+1 ), j=0 b : C n (Iα ) −→ C n+1 (Iα ) xác định (b)(a0 , a1 , , an+1 ) = n ∑ (−1)j φ(a0 , , aj aj+1 , , an+1 ) j=0 +(−1)n+1 φ(an+1 a0 , , an−1 , an+1 ), víi mäi j j+1 (a , , a a , , a n+1 ) ∈ Iα ⊗(n+1) ; λ : C n (Iα ) −→ C n (I ) xác định ()(a0 , a1 , , an ) = (−1)n φ(an , a0 , , an−1 ), S : C n+1 (Iα ) −→ C n (I ), xác định I (S)(a0 , a1α , , anα ) = φ(1, a0 , , an ), = I C đại số thu từ I Với cách xác định đồng cấu b2 = (b )2 = C¸c to¸n tư b, b ′ b»ng c¸ch bỉ sung đơn vị hình thức b, b toán tử vi phân, nghĩa gọi toán tử biên Hochschild Chương Đồng điều nguyên C đại số nhóm Mệnh đề 2.2.1 ([3]) !$ Các đồng cấu liên tục b, b , S mở rộng thành đồng cấu ′ n n+1 b, b : − lim → C (Iα ) −→ lim −→ C (Iα ), n n λ:− lim C ( I α ) −→ lim C (Iα ), → −→ n+1 n S : lim C ( I α ) −→ lim C (Iα ) −→ Đặt N = + + + + n , Khi N nghĩa N biểu diễn qua toán tử k mở rộng thành đồng cấu n n N : lim C (I ) lim C (I ) Định nghĩa 2.2.2 ([3]) Giả sử A đại số Banach đối hợp, {I } họ iđêan A, với ánh xạ vết : A C adA bất biến Khi không gian n Cn (A) := Hom(lim −→ C (I α ), C) gåm phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian n lim C (I ) gọi không gian dòng de Rham không giao hoán Từ đồng cấu liên tục liên hợp b , (b )∗ , λ∗ , S ∗ ′ b, b , λ, S V× b, b , λ, S b, b , , S xác định đồng cấu dòng de Rham không giao hoán tương ứng với đồng cấu liên tục, b , (b ) , , S đồng cấu liên tục Vì: b2 = b = N (1 − λ) = (1 − λ)N = nªn ′ (b∗ )2 = (b ∗ )2 = vµ N ∗ (1 − λ∗ ) = (1 − λ∗ )N = Từ vi phân b , (b )∗ , λ∗ , N ∗ chóng t«i xây dựng phức sau: Chương Đồng điều nguyên C đại số nhóm Định nghĩa 2.2.3 (ký hiệu Giả sử !% đại số Banach đối hợp Sơ đồ giao hoán sau A C(A)) gọi (b ) song phøc d©y chun cyclic   b ∗   ′ ∗ (−b )   ←−− C1 (A) ←−∗− C1 (A) ←−− C1 (A) ←−∗− · · · ∗ ∗ 1−λ ′ C(A) N   ∗ b (−b ) 1−λ   ∗ ′ N   ∗ (−b ) C0 (A) ←−∗− · · · C0 (A) ←−∗− C0 (A) ←−− ←−− ∗ ∗ N 1−λ N vi phân cột chẵn b , vi phân cột thứ lẻ (b ) dấu ký hiệu toán tử liên hợp toán tử tương ứng Từ cách xây dựng C(A) trên, phức toàn phần cña nh­ sau: T ot(C(A))even = T ot(C(A))odd := ⊕ C(A) định nghĩa Cn (A) n0 song phức C(A) tuần hoàn chu kỳ : Cn (A) n≥0 ®ã ∂ = dv + dh Cn (A), n0 vi phân toàn phần hai toán tử dv dh vi phân theo cột dọc hàng ngang tương ứng Định nghĩa 2.2.4 song phức cyclic ([3]) Giả sử A đại số Banach đối hợp Đồng điều toàn phần C(A) gọi đồng điều cyclic tuần hoàn toàn phần dòng de Rham không giao hoán Định nghĩa 2.2.5 Một dây chuyền A, ký hiệu HP (A) (fn )n0 C(A) gọi , bán nguyên kính hội tụ chuỗi lũy thừa n! [ ] fn z n n0 vô hạn, với n ! z C Mệnh đề 2.2.6 ([3]) Toán tử vi phân toàn phần song phức cyclic dây chuyền nguyên thành dây chuyền nguyên C(A) chuyển Chương Đồng điều nguyên C đại số nhóm !& Như qua Định nghĩa 2.2.5 Mệnh đề 2.2.6 xây dựng song phức dây chuyền nguyên, ký hiệu phức song phức Định lý 2.2.7 ([3]) Ce (A) Song phức Ce (A) song C(A) Giả sử Ce (A) song phức song phức C(A) gồm dây chuyền nguyên T ot(Ce (A))even = T ot(Ce (A))odd := ⊕ Cne (A), n≥0 ®ã Cne (A) n dây chuyền nguyên Khi ta có song phức dây chuyền nguyên, với vi phân toàn phần : tuần hoàn chu kỳ Cne (A) n≥0 ®ã ∂ = dv + dh 2, Cne (A), n0 vi phân toàn phần dv , dh xác định tương tự Định nghĩa 1.2.3 Định nghĩa 2.2.8 (xem [3]) Giả sử phần song phức A Ce (A) gọi là đại số Banach đối hợp Đồng điều toàn đồng điều nguyên không giao hoán đại số Banach đối hợp dòng de Rham A, ký hiệu HE (A) Trong [3] Đỗ Ngọc Diệp Nguyễn Văn Thư dùng lý thuyết dạng vi phân không giao hoán đà chứng minh tính chất đồng điều nguyên Tính bất biến đồng luân: {B } Giả sử A, B đại số Banach đối hợp, {A } , họ iđêan tương ứng A, B vµ φt = (φλt )λ ∈ Γ, víi φλt : Aλ −→ Bλ , t ∈ [0, 1] lµ họ đồng cấu đại số trơn, t = (t ) , t : A B đạo hàm liên tục kết hợp HE (A) : t Khi ®ã φ1∗ = φ0∗ : HE∗ (A) −→ HE∗ (B) Chương 2 Đồng điều nguyên C đại số nhóm Tính bất biến Morita: Giả sử !' A đại số Banach đối hợp, {A } họ iđêan A Đồng cấu i = (i ) , i xác định sau: iλ :Aλ −→ M atq (Aλ )   aλ  0 0  aλ −→    0 víi q 1, Khi đó, i 2.3 cảm sinh đẳng cấu Đồng điều nguyên Vì HE (A) C đại số mặt cầu O(n) nhóm đóng O(n + 1) nên mặt cầu S n = O(n + 1)/O(n) không gian Do đó, C đại số mặt cầu S n C đại số nhóm biến đổi Vậy theo [2] C ∗ (S n ) ∼ = C ∗ (O(n)) ⊗ K(L2 (S n )) Định lý tính ổn định nguyên HE cho phép ta chuyển toán tÝnh ®ång ®iỊu C ∗ (S n ) vỊ tÝnh đồng điều nguyên C đại số nhóm đóng O(n) O(n + 1) Định lý 2.3.1 O(n) Giả sử Tn xuyến cực đại Khi đó, đồng điều nguyên O(n) C (S n ) vµ N Tn lµ chn hãa cđa Tn mô tả sau W HE (C (S n )) ∼ (Tn ) = HDR ®ã, Weyl W HDR (Tn ) đối đồng điều de Rham bất biến tác động nhóm Tn Chøng minh V× S n = O(n + 1)/O(n) không gian nhất, C (S n ) C đại số nhóm biÕn ®ỉi, ®ã ∗ n ∗ ( ) C (S ) = C O(n + 1)/O(n) ( ) ∼ = C ∗ (O(n)) ⊗ K L2 (O(n + 1)/O(n)) Chương Đồng điều nguyên C đại sè nhãm ( ®ã ) K L (O(n + 1)/O(n) gian Hilbert C " đại số toán tử compact không L2 (O(n + 1)/O(n))) VËy, ta cã ( ) HE∗ (C ∗ (S n )) = HE∗ C ∗ (O(n + 1)/O(n)) ( ) ∼ = HE∗ C ∗ (O(n)) ⊗ K(L2 (O(n + 1)/O(n)) ( ) ∼ = HE∗ C ∗ (O(n)) ∼ = HE∗ (C(NTn )) Do ®ã HE∗ (C ∗ (S n )) = HE (C(NTn )) Mặt khác, NTn chuẩn hóa Tn O(n), nên C(NTn ) C đại số giao hoán Vậy HP (C(NTn )) (NTn ) = HDR Theo Đỗ Ngọc Diệp Nguyễn Văn Thư [3], ta có HP (C(NTn )) ∼ = HE∗ (C(NTn )) Suy HE(C ∗ (S n )) ∼ = HE∗ (C(NTn )) ∗ ∼ (NTn ) = HP∗ (C(NTn )) ∼ = HDR W ∼ (Tn ) ∼ = HDR = H ∗ (SO(n)) VËy W HE∗ (C ∗ (S n )) ∼ (Tn ) ∼ = HDR = H ∗ (SO(n)) Dïng nh÷ng biĨu diƠn cã träng tréi cđa nhãm Lie compact Watanabe ®· tÝnh ®­ỵc ®ång ®iỊu SO(n), [7] T H ∗ (SO(n)) nh­ sau ′ ′ ′ H ∗ (SO(n)) ∼ = ΛC (x3 , x7 , ., x2n+3 ), đại số sinh phần tử x2i+3 ∈ σ ∗ (pi ) ∈ H 2n+3 (SO(n)), Chương Đồng điều nguyên C đại số nhóm : H (BSO(n), R) −→ H ∗ (BSO(n), R), vµ ′ ′ víi R " vành giao hoán có đơn vị pi = σi (t1 , t2 , , tn ) H (BTn ; Z) lớp Pontryagin VËy ′ ′ ′ HE∗ (C ∗ (S n )) ∼ = ΛC (x3 , x7 , , x2n+3 ) 2.4 Đồng điều nguyên C đại số mặt cầu lượng tử Trong mục này, áp dụng kết thu để tính Đồng điều nguyên cho trường hợp không gian không giao hoán mặt cầu lượng tử, ký hiệu Giả sử G C (S 2n+1 ) nhóm Lie phức, tham số hóa cặp đại số hàm lượng tử G, ký hiệu S 2n+1 , T G để mô tả đại số hàm lượng tử nó, thực cách xét quỹ đạo nhóm tác động véctơ trọng trội v0 tập hợp biểu diễn tiêu chuẩn SU (n + 1) NÕu trs , víi Fϵ (G) (ω, t), ®ã t phần tử xuyến cực đại G phần tử nhóm Weyl Đối với mặt cầu C đại số r, s n SU (n + 1) cđa (n + 1)− chiỊu V phần tử ma trận đại số hàm quỹ đạo nhóm tác động V, SU (n + 1) sinh phần tử ma trận trs , ®ã F(S 2n+1 ) = C[t00 , , tn0 , t00 , , tn0 ]/ ∼, ®ã quan hƯ tương đương xác định từ hệ thức n ts0 ts0 = 1, s=0 với ts0 liên hợp phức ts0 Mệnh đề 2.4.1 cấu trúc đại số Hopf F(SLn+1 (C)) cho ts = ()rs qdet(Trs ) đó, s Trs ma trận thu từ ma trận qdet(Trs ) T cách bỏ hàng thứ định thức lượng tư cđa ma trËn Trs r vµ cét thø Đồng điều nguyên C đại số nhóm Chương Định nghĩa 2.4.2 s = 1, n " đại số F (SLn+1 (C)) sinh phần tử ts0 ts0 , với gọi đại số hàm lượng tử mặt cầu S 2n+1 ký hiệu F (S 2n+1 ) = tso từ Mệnh đề 2.4.1 Định nghĩa 2.4.2, Fϵ (S 2n+1 ) NÕu ký hiƯu zs chóng ta cã  zr zs = ε−1 zs zr nÕu r < s    ∗ −1 ∗   zr zs = ε zs zr nÕu r ̸= s∑ zr zr∗ − zr∗ zr + (ε−2 + 1)    n ∑    zs zs∗ = s>r zs zs = s=0 Định lý 2.4.3 Mỗi biểu diễn bất khả quy F (S 2n+1 ) tương đương với trường hỵp sau 1− i) BiĨu diƠn chiỊu ρ0,t t ∈ S 1, với cho công thức { 0,t (z0∗ ) = t−1 ρ0,t (zr∗ ) = ii) BiĨu diƠn ℓ2 (N)⊗r , ρr,t víi r n, r>0 t S1 không gian Hilbert tích tenxơ cho r,t (zs )(ek1 ⊗ ekr ) =  ( ) s ∑  ( )−2  k +s i  −2(k +1) s+1  i=1 1−ε ek1 ⊗ ⊗ eks+1 + ⊗ eks+2 ⊗ ⊗ eks  ε ( )    t−1 ε    r ∑ kj +r j=1 ek1 ⊗ ⊗ ekr nÕu sr biểu diễn với r>0 0,t biểu diễn tương đương với hạn chế biểu diễn r,t tương đương với hạn chế cđa Theo kÕt qu¶ ë [6], ta cã biĨu diễn Mặt khác, hạn chế biểu diễn biểu diễn n ∫ ∑ ⊕ r=1 S1 ⊕ ∫⊕ ω∈W T ⊕ ∫⊕ ω∈W T (r,t)∈[0,n]×S cđa Fε (SLn+1 (C)) πs1 ⊗ πs2 ⊗ ⊗ πs1 ⊗ Tt ,t dt biểu diễn xác ,t dt đại số SU (n + 1) r,t dt, Tt Ker(r,t ) = {e}, Chương Đồng điều nguyên C đại số nhãm nghÜa lµ biĨu diƠn n ∫ ∑ ⊕ S1 r=1 "! r,t dt xác { dim(r,t ) = Định nghĩa 2.4.4 C r = e r = e đại số mặt cầu lượng tử S 2n+1 (ký hiệu Cε∗ (S 2n+1 )) C ∗ − bỉ sung cđa đại số F (S 2n+1 ) với C − chuÈn ∥f ∥C ∗ = sup ∥ρ(f )∥, víi ρ ®ã f ∈ Fϵ (S 2n+1 ), ρ tương ứng biểu diễn F (S 2n+1 ) cho Định lý 2.4.3 chuẩn bên phải công thức chuẩn toán tử Định nghÜa nµy cho ta mét chuÈn chÝnh quy, nghÜa lµ Định lý 2.4.5 Giả sử C (S 2n+1 ) C (S 2n+1 C đại số mặt cầu lượng tử ) = C(S ) n ∫ ∑ r=1 ®ã ∥f ◦ f ∗ ∥ = ∥f ∥2 ⊕ S1 S 2n+1 Khi K(Hr,t )dt, C(S ) đại số hàm nhận giá trị phức, liên tục S K(H) iđêan toán tử compact không gian Hilbert Chứng minh Theo Định lý 2.4.3, víi chÕ cđa mét biĨu diƠn cđa ®ång cÊu không gian r>0 biểu diễn si1 si2 sik Tt , H r,t tương đương với hạn sik hợp thành F (S 2n+1 ) → Fε (SL2 (C)) víi biĨu diƠn π−1 cđa Fε (SL2 (C)) ℓ(N)⊗r Víi t ∈ S th× hä biĨu diƠn 1− chiỊu Tt cđa F (SL2 (C)) cho Tt (a) = t, Tt (b) = Tt (c) = Tt (d) = t1 [ ] a b đại số F (SL2 (C)) sinh ma trận A = c d VËy ρr,t = πsi1 ⊗ πsi2 ⊗ ⊗ πsik ⊗ Tt Khi ®ã π−1 πsi : Cϵ∗ (S 2n+1 ) −→ Cϵ∗ (SL2 (C)) −−→ L(ℓ(N)⊗r ) Chương Đồng điều nguyên C đại số nhóm Mặt khác, biễu diễn "" CCR, ®ã ta cã πsi πsi (C ∗ (S 2n+1 )) ∼ = K(Hr,t ) Ngoµi Tt (Cϵ∗ (S 2n+1 )) ∼ = C Suy ρr,t (Cϵ∗ (S 2n+1 )) = (πsi1 ⊗ πsi2 ⊗ ⊗ πsik ⊗ Tt )(Cϵ∗ (S 2n+1 )) = πsi1 (Cϵ∗ (S 2n+1 )) ⊗ ⊗ πsik (Cϵ∗ (S 2n+1 )) ⊗ Tt (Cϵ∗ (S 2n+1 )) ∼ = K(Hsi1 ) ⊗ ⊗ K(Hsik ) ⊗ C ∼ = K(Hr,t ), ®ã Hr,t = Hsi1 ⊗ Hsik ⊗ C Do vËy =⇒ n ∫ ∑ ρr,t ⊕ ∗ ϵ ρr,t (C (S S1 r=1 V× biĨu diƠn ρr,t (Cϵ∗ (S 2n+1 )) ∼ = K(Hr,t ) 2n+1 n ∫ ∑ ))dt = r=1 hạn chế CCR- biểu diễn ,t Khi đó, dùng phương pháp biểu diễn cảm sinh cña ∗ ϵ C (S 2n+1 )∼ = C(S ) ⊕ n ∫ ∑ r=1 B©y giê, ta tính S1 K(Hr,t )dt đó, CCR C đại số, ta có ⊕ S1 K(Hr,t )dt K∗ (Cϵ∗ (S 2n+1 )) vµ HE (C (S 2n+1 )) C đại số mặt cầu lượng tử Định lý 2.4.6 Giả sử C (S 2n+1 ) C đại số mặt Khi HE (C (S 2n+1 )) (Zn+1 ì S ) = HDR cầu lượng tử S 2n+1 Chương Đồng điều nguyên C đại số nhóm Chứng minh "# Theo §Þnh lý 2.4.5, ta cã ∗ ϵ HE∗ (C (S 2n+1 ( )) = HE∗ C(S ) ⊕ n ∫ ∑ r=1 S1 ∼ = HE∗ (C(S )) ⊕ HE∗ ⊕ ) K(Hr,t )dt n ∫ (∑ r=1 ⊕ S1 ) K(Hr,t )dt ∼ = HE∗ (C(Zn+1 × S ) ⊗ K) ∼ = HE∗ (C(Zn+1 × S )) Mặt khác C(Zn+1 ì S ) C đại số giao hoán, theo MƯnh ®Ị 2.3.1, ∗ HE∗ (Cϵ∗ (S 2n+1 )) ∼ (Zn+1 × S ) = HE∗ (C(Zn+1 × S )) = HDR Kết luận luận văn Luận văn đà hoàn thành nội dung sau đây: Trình bày số khái niệm liên quan đến lý thuyết C đại số nhóm Lie compact, lý thut biĨu diƠn cđa chóng Lý thut đồng điều nguyên đại số Banach đối hợp đồng điều nguyên C đại số nhóm Sử dụng cách xây dựng đồng điều nguyên C đại số đại số Banach đối hợp Đỗ Ngọc Diệp Nguyễn Văn Thư để trình bày lại cách tính đồng điều nguyên C đại số mặt cầu S n mặt cầu lượng tử tương ứng "$ Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Ngọc Diệp (2012), Lý thuyết nhóm Lie , Bài giảng Sau đại học, Viện toán học Việt Nam [2] Nguyễn Quốc Thơ (2012), Đặc trưng Chern không giao hoán C số nhóm Lie compact nhóm lượng tử tương ứng đại , Luận án Tiến sỹ Toán học, Trường §¹i häc Vinh TiÕng Anh [3] Do Ngoc Diep, Nguyen Van Thu (1997), rent periodic cyclic homology [4] Homotopy invariance of entire cur- , Vietnam J Math 25 (1997), 211 - 228 Do Ngoc Diep (2010), Category of Noncommutative CW-Complexes I , II , Vietnam J Math 38, 363- 371 [5] Do Ngoc Diep (2014), Category of Noncommutative CW-Complexes Vietnam J Math 42, 73–82 [6] Tho N Q., (2009) C ∗− algebras of the Non-commutative Chern characters of compact Lie group sphers and quantum spheres , Journal of science, Vietnam National University, Hanoi, Volume 25,No.4,(2009), 249 - 259 [7] T Watanabe, (2004) On the Chern characters of symmetric spaces related to SU (n), J Math Kyoto Univ (JMKYAZ), "% 34 -1, 149 - 169 ... hợp đồng điều nguyên 2.2 Trình bày c? ?ch tính đồng điều nguyên C đại số nhóm C đại số số nhóm Lie compact c? ?? thể c? ?ch tính đồng điều nguyên không gian nhất, từ tính đồng điều nguyên C đại số. .. dụng c? ?ch tính đồng điều nguyên đại số Banach đối hợp để trình bày c? ?ch tính đồng điều nguyên hợp C đại số nhóm cho hai trường C đại số mặt c? ??u đồng điều nguyên C đại số mặt c? ??u lượng tử... e4n3 ) Chương Đồng điều nguyên C đại số nhóm Nội dung chương sử dụng c? ?ch xây dựng đồng điều nguyên C số mặt c? ??u 2.1 đại số nhóm Lie compact, để tính đồng điều nguyên Sn mặt c? ??u lượng tử đại S