đề cương 12 đơn điệu 1

Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 A KIẾN THỨC CƠ BẢN Từ đồ thị hình và hình bên dưới, hãy chỉ các khoảng tăng, giảm của hàm số y đoạn 2 ; và của hàm số y x khoảng ( ; cos x )? (Hình 2) (Hình 1) O O Định nghĩa Cho hàm số y f (x ) xác định K với K là khoảng đoạn nửa khoảng — Hàm số y f (x ) đồng biến (tăng) K nếu x1, x K, x1 — Hàm số y f (x ) nghịch biến (giảm) K nếu x1, x x2 K, x1 f (x ) x2 f (x ) f (x ) f (x ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung là đơn điệu K x1, x Nhận xét: Từ định nghĩa, nếu — f (x ) đồng biến K f (x ) x2 f (x ) x1 y x1 f (x ) x thì hàm số: y f (x ) x2 f (x ) nghịch biến K K x x O a O b x a b — Nếu hàm sớ đồng biến K đồ thị lên từ trái sang phải và nghịch biến K đồ thị xuống từ trái sang phải Tính đơn điệu dấu đạo hàm Định lí (thừa nhận): Giả sử hàm số y f (x ) có đạo hàm khoảng K — Nếu f (x ) 0, x K hàm sớ đờng biến khoảng K — Nếu f (x ) 0, x K hàm sớ nghịch biến khoảng K Nếu f (x ) 0, x K hàm sớ khơng đổi khoảng K Định lí mở rộng: Nếu f (x ) 0, x K (hoặc f (x ) 0, x K ) f (x ) sớ điểm hữu hạn của K hàm sớ đờng biến (nghịch biến) khoảng K 2x Ví dụ: Hàm sớ y Do y x 6x 6x y 0, xác định x y 6x 12x chỉ tại 6(x 1)2 Theo định lí mở rộng, hàm số đồng biến Lưu ý: Nếu K đoạn nửa khoảng phải bổ sung giả thiết “hàm số y f (x ) liên tục đoạn nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm sớ y f (x ) liên tục [a ; b ] và có đạo hàm f (x ) 0, x K khoảng (a;b) hàm sớ đờng biến đoạn [a;b ] -1- Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng toán 1: Tìm khoảng đơn điệu (khảo sát chiều biến thiên)   Bài toán Tìm các khoảng đơn điệu (khảo sát chiều biến thiên) của hàm số y f (x )  Phương pháp: Bước Tìm tập xác định D của hàm số Tính đạo hàm y f (x ) Bước Tìm các điểm tại f (x ) f (x ) không xác định Bước Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên (xét dấu y ) Bước Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng biến thiên Tìm khoảng đơn điệu (đờng biến Tìm khoảng đơn điệu (đờng biến nghịch biến) của hàm số nghịch biến) của hàm số y x 3x y x 2x x Lời giải Tập xác định D Ta có: y Cho y 3x 6x 3x 6x x x Bảng biến thiên (xét dấu y ) : x y 0 Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến ; 0), (2; ) và nghịch các khoảng: ( biến khoảng (0;2) Tìm khoảng đờng biến nghịch biến Tìm khoảng đờng biến nghịch biến x 2x của hàm số y của hàm số y x 2x Lời giải Tập xác định D Ta có: y Cho y 4x 4x 4x 4x x x x Bảng biến thiên (xét dấu y ) : x y 0 -2- Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến khoảng ( ; 1), (0;1) nghịch biến khoảng ( 1; 0), (1; ) Tìm khoảng đờng biến nghịch biến Tìm khoảng đờng biến nghịch biến của hàm số y x4 2x của hàm số y 2x x2 Tìm khoảng đờng biến nghịch biến Tìm khoảng đờng biến nghịch biến 2x x của hàm số y của hàm số y x x Lời giải Điều kiện: x (x 1)2 Ta có: y x x 0, 1 y Hàm số nghịch biến khoảng: ( Bảng biến thiên (xét dấu y ) : x ;1) (1; ) Nhận xét: Hàm số biến ln đơn điệu chiều từng khoảng xác định Tìm khoảng đờng biến nghịch biến 10 Tìm khoảng đờng biến nghịch biến x 2x của hàm số y x của hàm số y x x Lời giải Điều kiện x Ta có: y Cho y x2 x x y 0 x x 2 -3- Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến khoảng ( ; 2), (2; ) nghịch biến khoảng ( 2; 0), (0;2) 11 Tìm khoảng đờng biến nghịch biến 12 Tìm khoảng đờng biến nghịch biến của hàm số y x2 x2 Lời giải Điều kiện: x 3 x Cho y 2x x , y 2x Bảng biến thiên (xét dấu y ) : x ( 3; 3) x 2x [ 3; 3] TXĐ: D 2x Ta có: y của hàm sớ y Hàm số đồng biến khoảng ( 3; 0) nghịch biến khoảng (0; 3) 13 Tìm khoảng đơn điệu của hàm f (x ), biết f (x ) x(x 1) (x Lời giải Xét f (x ) 1)2 (x x (x 1) , x biết f (x ) 1)3 x x x x x x f (x ) x 3(x 1)2(x 2)5, x x (x 1)2 (x 1) Bảng biến thiên (xét dấu y ) : x 14 Tìm khoảng đơn điệu của hàm f (x ), 0 Kết luận: Hàm số y f (x ) đồng biến ; 0), (1; ) nghịch các khoảng ( biến khoảng (0;1) Cần nhớ: Xét dấu “Mỗi ô thử điểm” -4- Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 15 Tìm khoảng đơn điệu của hàm sớ 16 Tìm khoảng đơn điệu của hàm sớ g(x ) f (2x 1) 12x , biết hàm số f (x ) g(x ) f (1 2x ) 12x , biết hàm sớ f (x ) x2 có f (x ) x, x f (u ) Lời giải Áp dụng g (x ) 2.f (2x 1) (2x 4x Cho g (x ) 4x 1)] 2x 1) 4x 12 12 g Kết luận: Hàm số nghịch biến khoảng ;1 và đồng biến 17 Cho hàm số y , (1; ; ) f (x ) có bảng biến thiên: x f (x ) Cho g (x ) 2x f (x x 2) 0 x x x x x f (x ) x g (x ) 0 Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số g(x ) f (x 1) (Đ) x2 (K) 2 (Đ) 0 x f (x ) có bảng biến thiên: 2) (Đ) (K) (Đ) Bảng xét dấu: 18 Cho hàm số y 2) x x 2x.f (x 2x.f (x Tìm khoảng đờng biến nghịch biến của hàm số g(x ) f (x 2) Lời giải Ta có g (x ) x x Bảng biến thiên (xét dấu g (x )) : x x 12 12 8x x 2, 12 1)2 8x x u f (u ) 2.[(2x 2.(4x có f (x ) 0 -5- Thầy : Nguyễn Xuân Anh (Nháp: thử điểm g (3) SĐT : 0933070938 6.f (7) 0) Kết luận: Hàm số g (x ) đồng biến khoảng ( 2; 0), (2; ) nghịch biến khoảng ( ; 2), (0;1) 19 Cho hàm số y x f (x ) f (x ) có bảng biến thiên: 21 Cho hàm số y x 0 f (x ) f (x ) có bảng biến thiên: 1 0 Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số g(x ) f (3 2x ) Tìm khoảng đờng biến nghịch biến của hàm số g(x ) f (1 2x ) 20 22 23 Cho hàm số y f (x ) có đờ thị hình 24 Cho hàm sớ y f (x ) có đờ thị hình Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến f (x ) f (x ) của hàm y của hàm y Lời giải Quan sát trục Ox và đờ thị có: ; 0), (2; ) đồ Trên khoảng ( thị từ trái sang phải xuông nên hàm số y f (x ) nghịch biến các khoảng này Trên khoảng (0;2) đồ thị từ trái sang phải lên nên y f (x ) đồng biến khoảng (0;2) -6- Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 25 Cho hàm sớ y f (x ) có đờ thị hàm sớ 26 Cho hàm sớ y f (x ) có đờ thị hàm số y f (x ) hình Tìm các khoảng y f (x ) hình Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của y đồng biến và nghịch biến của y f (x ) f (x ) Lời giải Quan sát đồ thị y f (x ) x (Đ) x (K) f (x ), có: Bảng biến thiên: x f (x ) Hàm số y f (x ) đồng biến khoảng ( 2; ) và nghịch biến ( ; 2) Lưu ý: Ta xác định dấu của f (x ) từ đồ thị 27 Cho hàm sớ y f (x ) có đờ thị hàm số 28 Cho hàm số y f (x ) có đờ thị hàm sớ y f (x ) hình Tìm các khoảng y f (x ) hình Tìm các khoảng f (x ) f (x ) đồng biến và nghịch biến của y đồng biến và nghịch biến của y -7- Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 29 Cho hàm số y f (x ) với y f (x ) có đờ 31 Cho hàm số y f (x ) với y f (x ) có thị hình vẽ Tìm khoảng đơn điệu đờ thị hình vẽ Tìm khoảng đơn của hàm số g(x ) f (2 x ) điệu của hàm số g(x ) f (x 5) y y f (x ) O x Lời giải Ta có: g (x ) Xét g (x ) x x x f (2 f (2 x) x x x x g (x ) (Nháp: g (4) f ( 2) x ) 0 0) 30 Hàm số g (x ) đồng biến các khoảng ( 2;1), (3; ) và nghịch biến các ; 2), (1; 3) khoảng ( -8- Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 32 Cho hàm số y f (x ) với y f (x ) có đồ 33 Cho hàm số y f (x ) với y f (x ) có thị hình vẽ Tìm khoảng đơn điệu đờ thị hình vẽ Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x ) f (2x 4) của hàm số g(x ) f (3 x ) y −6 −1 x O 34 Cho hàm số y f (x ) liên tục Biết 35 Cho hàm số y f (x ) liên tục hàm số y f (x ) có đờ thị hình Biết hàm sớ y f (x ) có đờ thị vẽ Tìm khoảng đơn điệu của hàm sớ hình vẽ Tìm khoảng đơn điệu của g(x ) f (x ) x hàm số g(x ) f (x ) x y −1 x O −1 Lời giải Ta có: g (x ) Xét g (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x ) x x x Bảng xét dấu g (x ) : x g (x ) 1 0 -9- Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Hàm số y khoảng ( g(x ) nghịch biến ;2) Hàm số y khoảng ( g(x ) đồng biến các ; 1), (2; ) Nhận xét Để xét dấu của g (x ), ta có: Trong các khoảng ( thì đường cong y đường y ; 1), (2; ) f (x ) nằm g (x ) f (x ) Trong khoảng ( 1;1), (1;2) thì đường đường cong y f (x ) nằm dưới đường y g (x ) f (x ) y y −1 O −1 x - 10 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 36 Cho hàm số y f (x ) với y f (x ) có đờ 37 Cho hàm sớ y f (x ) với y f (x ) có thị hình vẽ Tìm khoảng đơn điệu đờ thị hình vẽ Tìm khoảng đơn điệu của hàm của hàm số g(x ) 2f (x ) (x 1) g(x ) f (x ) x3 x2 x - 11 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Dạng toán Tìm tham số m để hàm số đơn điệu miền xác định  ax  Tìm tham số m để hàm số bậc ba y bx cx d đơn điệu tập xác định ? Phương pháp: 3ax — Bước Tập xác định: D Tính đạo hàm y — Bước Ghi điều kiện để hàm đơn điệu, chẳng hạn: y Để f (x ) đồng biến ay x 0, 2bx y 0, ay x y ax  Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai f (x ) f (x ) a x 0, bx 0 m ? c f (x ) m ? y Đề f (x ) nghịch biến c a x 0, 0 Nếu hàm sớ y ax bx cx d có a chứa tham số thì giải toán, ta cần chia hai trường hợp Đó là trường hợp a để xét tính sai (nhận loại m ) và trường hợp a (sử dụng dấu tam thức bậc hai) ax cx  Tìm tham số m để hàm số y b đơn điệu khoảng xác định ? d Phương pháp: — Bước Tập xác định: D \ d c Tính đạo hàm y a.d (cx b.c d )2 — Bước Ghi điều kiện để hàm đơn điệu Chẳng hạn: Để f (x ) đờng biến khoảng xác định của y x 0, a.d D b.c m ? Để f (x ) nghịch biến khoảng xác định của y x 0, ad D bc mx 4m x m nghịch biến từng khoảng xác định ? Tìm tham sớ m để hàm sớ y Lời giải Điều kiện: x m định m2 y 4m 0 0, m m ? Tìm tham sớ m để hàm số y mx x 3m m đồng biến từng khoảng xác định ? Hàm số nghịch biến từng khoảng xác m 4m (x m )2 x m - 12 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Tìm giá trị của tham sớ m để hàm sớ Tìm giá trị của tham số m để hàm số x3 y mx (4m 9)x biến khoảng ( ; 152 nghịch ) 3x a 2mx ( 2m) 4m ) 108 m đồng biến ) 9) Cần nhớ: ; 9)x 0, x 12(4m 48m ; (lđ) 2 4m (2m Hàm số y nghịch biến ( y mx khoảng ( Lời giải Tập xác định D x3 y Hàm y ( ; f (x ; m ) đồng biến khoảng ) f (x; m) 0, x Hàm y ( ; f (x ; m ) nghịch biến khoảng ) f (x; m) 0, x Thành thạo dấu tam thức bậc hai (xem lại phần lý thuyết) Tìm giá trị của tham số m để hàm số y (m 1)x (m 1)x x nghịch biến khoảng ( ; Lời giải Tập xác định D Hàm số y nghịch biến ( 3(m2 1)x với x y TH1 : a m 2(m ) m2 Ta có: y 0, x m 0 m 4(m 1)2 12(m 2 m 1)x 3(m ; 1)x ) (m 1) m 1)x : nên 3(m (m nghịch biến khoảng ( y 4x với : sai nên loại m TH2 : a a 1)x Tìm giá trị của tham số m để hàm số y ) ; Với m y nhận giá trị m Với m x 1) m - 13 - Thầy : Nguyễn Xn Anh SĐT : 0933070938 ax cx Dạng toán Tìm tham số m để hàm số y b đồng biến ( ; ) d  Phương pháp: — Bước Tìm tập xác định: D d c \ tính y y x ; — Bước Hàm số tăng x ad (cx cb d )2 cb ad ad d c ( ; ) d c ( ; )  Lưu ý: Lý luận tương tự cho trường hợp nghịch biến ( mx x m Tìm tham sớ m để hàm số y đồng biến khoảng (2; Lời giải Điều kiện x ) m2 (x m)2 m m2 m (2; m Kết luận: m 0, m ) x (2; x m m ) ) Tìm m để hàm sớ y mx ), 3m x m ( 3;2] Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y tan x nghịch biến 0; tan x m cos x 0; ; ), [ ; Lời giải Vì x m cos x đồng biến 0; cos x m Đặt u d c d c Tìm các giá trị của m cho hàm số y nghịch biến ( 2; 0) Hàm số y đồng biến khoảng (2; y cb ux u sin x (0;1) 0, x 0; - 14 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh Yêu cầu toán SĐT : 0933070938 tìm m để hàm sớ 2u đờng biến (0;1) u m hợp y 2m ux (u m)2 y 2m m m 1 m 0, m u (0;1) u m m m m Nhận xét: Sai lầm thường gặp quên nhân thêm u x đạo hàm của hàm hợp Ta giải tốn theo cách bình thường, tức đạo hàm của lượng giác, không tối ưu số hàm khác Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y 4x 4x m nghịch biến 0; - 15 - Thầy : Nguyễn Xn Anh SĐT : 0933070938 Dạng toán Tìm tham số m để hàm số y đơn điệu ( ; ) f (x ; m )  Phương pháp Dùng phương pháp xét dấu của y và biện luận để suy các giá trị m Phương pháp Dùng phương pháp miền giá trị (sau học bài 3: GTLN, GTNN) — Bước Ghi điều kiện để y f (x ; m ) đơn điệu D Chẳng hạn: Đề yêu cầu y f (x ; m ) đồng biến D Đề yêu cầu y f (x ; m ) nghịch biến D y f (x; m) y f (x; m) — Bước Độc lập m khỏi biến sớ và đặt vế cịn lại là g (x ) được: m g(x ) m g(x ) — Bước Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g (x ) D (hoặc sử dụng Cauchy) — Bước Dựa vào bảng biến thiên kết luận: Khi m g(x ), x D m max g(x ) Khi m g(x ), x D m g(x ) D D Hai bài toán thường gặp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất: Bài toán Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của hàm sớ y — Bước Tính f (x ) cho f (x ) tìm nghiệm x i , (i f (x ) đoạn [a ;b ] 1, n ) đoạn [a ;b ] — Bước Tính f (a ), f(b), f (x i ) và kết luận: max f (x ) max{f (a ); f (b); f (x i )} f (x ) [a ;b ] min{f (a ); f (b); f (x i )} [a ;b ] Bài toán Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y — Bước Tính f (x ) Cho f (x ) — Bước Xét dấu biểu thức y f (x ) khoảng (a;b) tìm nghiệm f (x ) và lập bảng biến thiên, rồi kết luận Lưu ý Hàm số chỉ tồn tại giá trị lớn và nhỏ chúng liên tục K Nếu y f (x ) đồng biến [a;b ] thì f (x ) f (a ) max f (x ) Nếu y f (x ) nghịch biến [a;b ] thì f (x ) [a ;b ] [a ;b ] [a ;b ] f (b) max f (x ) [a ;b ] f (b ) f (a ) Lưu ý Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM): a1, a2, , an a1 a2 n " xảy a1 Dấu " Với a, b 0: a Với a c b b an a2 a3 ab Dấu " 3 abc Dấu " n a1a 2a an an " xảy a " xảy a b b c 0 - 16 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 x3 Tìm m để hàm sớ y mx đờng biến khoảng (0; 5x ) Lời giải 3x m x6 m 3x m x6 0, x 3x x6 3x (0; g(x ), x x6 x x x6 g(x ) Suy max g(x ) ) ) (0; ) ( ) ) x (0; đồng biến khoảng (0; 11x 11 max g(x ) (0; ) Áp dụng BĐT Cauchy (AM – GM): mx Hàm số đồng biến khoảng (0; y x4 Tìm m để hàm sớ y ) 44 x x x x 2 3x ( ) x6 m Cho hàm số y x x mx m Tìm tham sớ m để hàm số đồng biến khoảng xác định của ? x3 x mx m Tìm m 12 để hàm sớ đờng biến tập xác định Cho y x (m 2)x (2m 3)x Tìm tham số m để hàm số nghịch biến Cho y khoảng (0; 3) Lời giải Tập xác định D Hàm số nghịch biến khoảng (0; 3) y x2 2(m 2)x 2m 0, x (0;3) Cho y x3 2x (3m 1)x m2 Tìm tham số m để hàm số nghịch biến ; 1) khoảng ( - 17 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh x2 2m 2m SĐT : 0933070938 4x x g(x ), x (0; 3) g(x ) (mở rộng đoạn) [0;3] x 2x (x 1)2 Ta có: g (x ) x 2 x Tính: g(2 g(3) 1) 2, g (0) 2 (L) Suy g(x ) Do 2m m [0;3] 3 Cần nhớ: “Lớn số lớn – Bé số bé” Tức: m g(x ), m x g(x ), m D x g(x ) D m D max g(x ) D Cho y x 3mx 3(m2 1)x Tìm m để hàm số nghịch biến (1; 3x Lời giải y 6mx m ) 3(m2 1)x Cho y x (m 1)x (m 2m )x Tìm m để hàm sớ nghịch biến (0;1) Nhận xét: Vì sau đạo hàm tồn tại m lệch bậc nên chắc chắn khơng lập m Từ suy nghĩ đến việc so sánh ) nghiệm của y với khoảng (1; Dùng máy tính kiểm tra với m 100, ta thấy y có hai nghiệm là 101; 99 Nên dự đoán nghiệm là m 1, m Từ có lời giải tiếp tục sau: 3x y x1 m x2 m x y 3(m2 6mx 1)x (x m x2 ) m y Để hàm số nghịch biến (1; ) - 18 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh m m 1 x Cho y SĐT : 0933070938 mx 2m )x Tìm m (3 10 Có giá trị nguyên dương của m để để hàm số nghịch biến khoảng có hàm y x 3mx 3(m 1)x nghịch biến đoạn có độ dài lớn độ dài Lời giải Để hàm số nghịch biến khoảng có độ dài y x2 2mx 2m nghiệm phân biệt thỏa x 4m 8m (x x )2 20 m m S2 4P 20 m (2m)2 12 2m) 20 m 4m 8m 32 m m m m m m m 0 có hai m 4(3 x2 - 19 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 - 20 -