đề cương 12 cực trị 1

Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938  A KIẾN THỨC CƠ BẢN Khái niệm cực đại, cực tiểu Tiếp tuyến Điểm cực tiểu Điểm Điểm cực tiểu cực đại f (x ) xác định, liên tục (a;b), (có thể a là Cho hàm số y ⎯ Nếu tồn tại số h cho f (x ) f (x ) với mọi x , b là ) và x (a;b) : (x h; x h ) và x x thì ta (x h; x h ) và x x thì ta nói hàm số f (x ) đạt cực đại tại điểm x ⎯ Nếu tồn tại số h cho f (x ) f (x ) với mọi x nói hàm số f (x ) đạt cực tiểu tại điểm x Các định lí Định lí (điều kiện cần) f (x ) có đạo hàm khoảng (a;b) và đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x Nếu hàm số y f (x ) Định lí (điều kiện đủ) f (x ) liên tục khoảng K Giả sử y K \ {x }, với h ⎯ Nếu f (x ) (x h; x h ) và có đạo hàm K Khi đó: khoảng (x h; x ) và f (x ) khoảng (x ; x h ) thì x là khoảng (x ; x h ) thì x là một điểm cực đại của hàm số f (x ) ⎯ Nếu f (x ) khoảng (x h; x ) và f (x ) một điểm cực tiểu của hàm số f (x ) x x h f (x ) f (x ) x y CĐ x h x x h x f (x ) f (x ) y CT x h Nói cách khác: - 49 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 ⎯ Nếu f (x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số y f (x ) đạt cực tiểu tại điểm x ⎯ Nếu f (x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số y f (x ) đạt cực đại tại điểm x Định lí Giả sử y f (x ) có đạo hàm cấp khoảng (x ⎯ Nếu y (x ) 0, y (x ) thì x là điểm cực tiểu ⎯ Nếu y (xo ) 0, y (xo ) thì x là điểm cực đại h; x h ), với h Khi đó: Chú ý Mợt hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số 0, tại đó hàm số không có đạo hàm, chẳng hạn hàm số y x B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng toán 1: Tìm điểm cực đại, cực tiểu, giá trị cực đại, giá trị cực tiểu   Bài tốn: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu (nếu có) của hàm số y f (x )  Phương pháp: Bước Tìm tập xác định D của hàm số Bước Tính đạo hàm y f (x ) Tìm các điểm x i , (i 1,2, 3, , n ) mà tại đó đạo hàm không xác định Bước Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên Bước Từ bảng biến thiên, suy các điểm cực trị (dựa vào nợi dung định lý 2) Tìm giá trị cực đại, giá trị cực tiểu (nếu có) Tìm giá trị cực đại, giá trị cực tiểu (nếu của hàm số y x 3x có) của hàm số y x 3x Lời giải Tập xác định D Có y 3x Giới hạn: lim y y y x lim y x x x x 1 y y Kết luận: Giá trị cực đại yCĐ cực tiểu yCT giá trị Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Gọi A, B lần lượt là hai điểm cực tiểu của Gọi A, B lần lượt là hai điểm cực đại của đồ thị hàm số y x 2x C điểm cực đại Tính độ dài AB và diện tích tam giác OAB với O là gốc tọa độ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC Lời giải Tập xác định D 4x Có y 4x x x y y x x 8x 2 C đồ thị hàm số y điểm cực tiểu Tính đợ dài AB và diện tích tam giác OAB với O là gốc tọa độ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC y 0 y 2 Hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là A( 1;2), B (1;2) và điểm cực đại là C (0; 3) AB x A )2 (x B Tính diện tích OA ( 1;2) OB (1;2) S yA )2 (yB 1.2 1.2 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC : xG yG xA xB yA yB xC yC G 0; 3 Gọi A, B lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x 3x Tìm tọa đợ trọng tâm G và diện tích của OAB Tính AB Cần nhớ: AB OAB với O(0; 0) : OAB (x B AB x A ; yB (x B yA ) x A )2 (yB xI I là trung điểm AB yI G là trọng tâm ABC xG yG Diện tích tam giác ABC : yA )2 xA yA xB yB xA xB xC yA yB yC - 51 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh Tính AB (a;b) AC (c;d ) SĐT : 0933070938 S ad ABC bc Biết M (0;2) N (2; 2) là các điểm cực trị Đồ thị hàm số y 2x bx cx có M (1; 6) một điểm cực trị Tìm tọa độ của đồ thị hàm số y ax bx cx d Tính giá trị của hàm số tại x điểm cực trị cịn lại của đờ thị hàm số đó 3ax 2bx y (0) c y(0) d Lời giải Ta có: y M (0;2) là cực trị y (2) N (2; 2) là cực trị 12a 8a 4b 4b 2c d a Từ (1), (2) Do đó: y x3 0; d y( 2) (2) 3; c 3x (1) 2 1;b y(2) c c 18 Cần nhớ: M (x ; y ) là cực trị của đồ thị hàm số y f (x ) y (x ) y(x ) y Biết đồ thị hàm số y x ax bx c Biết A 1; , B(2; 3) là các điểm cực trị qua điểm M (1; 0) và có điểm cực trị N ( 2; 0) Tính P a2 b2 c2 của đờ thị y ax bx cx d Tìm y(3) Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Dạng toán Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị điểm x = xo cho trước  f (x ) đạt cực trị tại điểm x  Bài toán Tìm tham số để hàm số y x ?  Phương pháp: Bước Tìm tập xác định D Tính đạo hàm y Bước Dựa vào nội dung định lí 1: Nếu hàm số y f (x ) có đạo hàm khoảng (a;b) và đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x f (x ) Bước Với m vừa tìm, thế vào hàm số và thử lại (dựa vào định lí và 3)  Lưu ý: ⎯ Đối với hàm số bậc ba nên thử lại nội dung định lý (phù hợp trắc nghiệm) f (x ) có đạo hàm cấp khoảng (a;b) Giả sử y Nếu y (x ) 0, y (x ) thì x là điểm cực tiểu Nếu y (xo ) 0, y (xo ) thì x là điểm cực đại ⎯ Đối với hàm khác chẳng hạn bậc bốn trùng phương (thiếu b), hàm phân thức,… nên thử lại định lí (tính y xét dấu, lập bảng biến thiên) x mx (m 4)x 3 Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x Cho hàm y Lời giải Tập xác định D Ta có: Vì x m2 y x 2mx y 2x 2m x là cực đại y (3) y (3) m m m Cần nhớ: Hàm y x 2m là cực đại 6m m x (m 1)x (m 2m )x Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x 2 Cho y ax m bx cx y (x ) y (x ) d - 53 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh x SĐT : 0933070938 x là cực tiểu y (x ) y (x ) Cho hàm số y x 3x 9x Viết Tìm m để đường thẳng nối điểm cực đại với điểm cực tiểu của đồ thị hàm số phương trình đường thẳng nối hai điểm y x 3x mx qua M (0;1) cực trị của đồ thị hàm số cho Lời giải Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là x đường thẳng y với x phần dư bậc nhất phép chia y cho y Chia đa thức: x3 3x 9x 3x x3 2x 3x x2 6x 1 x x2 2x 8x 6x Phương trình đường thẳng nối hai điểm 8x cực trị là y Cách Sử dụng casio và công thức MODE y y 3y y CALC x i m 100 i y x Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng Tìm m để đường thẳng d : y x d : y (2m 1)x m vng góc với vng góc với đường thẳng qua hai đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ điểm cực trị của đồ thị hàm số thị hàm số y x 3x y 2x 3(m 1)x 6mx Lời giải Sử dụng casio, tìm phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị là d :y Vì d (2m m 2x d a1.a2 1).( 2) Cần nhớ: Cho hai đường thẳng d1 d2 có dạng d1 : y a1x b1 d2 : y a2x b2 Thầy : Nguyễn Xuân Anh d1 d2 d1 d2 a1 a2 b1 b2 a1a2 SĐT : 0933070938 - 55 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Dạng toán Biện luận hoành độ cực trò  Cần nhớ: Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Cho hàm số y x 3mx 3mx m2 Cho hàm y (1 m)x 3x 3x Tìm m để hàm số có điểm cực trị ? Tìm m để hàm số có điểm cực trị ? Lời giải Tập xác định D Hàm số cho có điểm cực trị y 3x 6mx phân biệt a 3m có hai nghiệm (LĐ) ( 6m) 36m 36m 36m 0 m m x mx 4x Tìm m để hàm số không có cực trị ? Cho hàm số y Hàm số không có cực trị y x 2mx có nghiệm kép a vô nghiệm 16 (LĐ) (2m)2 4m Lời giải Tập xác định D x mx (3m 2)x Tìm m để hàm số không có cực trị ? m Cho y 16 m 3mx 3x Cho y (m 1)x (m 1)x x Tìm Cho hàm số y mx Tìm m để hàm số có điểm cực trị và m để hàm số có điểm cực trị, đồng thời điểm cực đại nằm bên trái điểm cực tiểu điểm cực đại nằm bên trái điểm cực tiểu Lời giải Tập xác định D Hàm số có điểm cực trị, đồng thời điểm cực đại nằm bên trái điểm cực tiểu y 3(m 1)x 2(m 1)x có nghiệm phân biệt thỏa mãn a a m [2(m m 4(m 1)] 12(m 1) 2m 1) 12m 12 - 57 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh m SĐT : 0933070938 4m 20m m m m 16 m Cho hàm số y  x (m 1)x Tìm Cho hàm số y mx (m 2)x Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị ? m để hàm số có ba điểm cực trị ? Cho hàm số y mx 2(m 1)x 2 10 Cho hàm số y mx (m2 9)x Tìm m để hàm số có điểm cực tiểu và Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực đại ? điểm cực tiểu ? 11 Cho hàm số y mx (2m 1)x m 12 Cho hàm số y mx (m 3)x 2m Tìm m để hàm số có mợt điểm cực đại Tìm m để hàm số có mợt điểm cực và không có điểm cực tiểu tiểu và không có điểm cực đại Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 13 Cho hàm số y x 4x (1 m2 )x 14 Cho y x x (m2 3m)x Tìm Tìm m để đờ thị hàm số cho có điểm m để để đồ thị hàm số cho có điểm cực trị nằm hai bên so với trục tung Oy cực trị nằm hai bên so với trục tung Oy Lời giải Để đờ thị hàm số có điểm cực trị nằm về hai bên so với trục tung Oy y 3x 8x phân biệt trái dấu a.c m m2 m2 ) 3.(1 m có nghiệm Cần nhớ: Hàm số y ax bx cx d có hai điểm cực trị nằm hai bên trục Oy a.c 15 Cho hàm số y x 3x m2 2m Tìm 16 Cho hàm y x 3x m2 4m Tìm m để hàm số có giá trị cực đại m để hàm số có giá trị đại Lời giải Tập xác định D Ta có: y x x 3x 6x y m2 2m y 2m m x y 0 m2 2m y m2 yCĐ m2 m2 2m 2m 2m m m 17 Tìm m để hàm số y x 3x 2m có 18 Tìm m để hàm số y x 3x m có giá trị cực tiểu giá trị cực đại trái dấu ? giá trị cực tiểu giá trị cực đại trái dấu ? Lời giải Ta có: y 3x 6x - 59 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 x yCĐ 2m x yCT 2m Vì giá trị cực tiểu giá trị cực đại trái dấu nên yCĐ yCT 2m.(2m 4m2 4) 8m 0 Cần nhớ: Giá trị cực đai, giá trị cực tiểu của hàm số yCĐ yCT trái dấu 19 Tìm m để đờ thị hàm số y x 3x m có cực trị nằm hai bên trục hoành Ox 3x Cách giải Ta có: y yCĐ m x yCT m 6x 0 4) m Để hàm số có hai cực trị nằm hai bên trục Ox đồ thị hàm số y x 3x m cắt Ox tại điểm phân biệt phương trình hoành độ giao điểm với trục Ox : 3x m x 3x g(x ) có nghiệm phân biệt đường thẳng nằm ngang y m cắt g(x ) 3x x tại m gCT điểm m 3x Ta có: g (x ) 20 Cho hàm y 2x (1 2m)x 3mx m Tìm tham số m để đờ thị hàm số cho có hai điểm cực trị nằm hai bên trục Ox y 2x (1 2m)x 3mx m cắt trục Ox (y 0) tại điểm phân biệt PT 2x (1 2m)x có ba nghiệm phân biệt 3mx m (Sử dụng casio, giải phương trình bậc 3, 0, 5) cho m 100, nghiệm đẹp x Cách giải x3 Lời giải Để hàm số có hai điểm cực trị nằm hai bên Ox đồ thị Để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm hai bên yCĐ yCT trục Ox m(m m x gCT x gCĐ x g(x ) m2 g m mx m) x2 mx hai nghiệm phân biệt khác gCĐ 6x x PT (2x 1)(x nghiệm phân biệt m m m m : có 4 m 4m có ba Nhận xét Để tìm tham số m để đồ thị hàm số bậc ba y ax bx cx d có hai điểm cực trị nằm hai bên so với trục hoành Ox (giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu), có phương pháp: Phương pháp Nếu y tìm nghiệm x x1 x x2 YCBT yCĐ yCT m Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Phương pháp Đồ thị cắt trục Ox tại điểm phân biệt y có nghiệm phân biệt (sử dụng sử dụng casio tìm nghiệm đẹp) Phương pháp Sử dụng y y không tìm nghiệm đẹp Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (y có nghiệm phân biệt) Gọi x 1, x nghiệm của phương trình y Viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị y giá trị cực đại giá trị cực tiểu yCĐ yCT Yêu cầu toán y(x1 ).y(x ) ( x1 dụng định lí Viét với x 1, x nghiệm của y x ).( x y(x1 ) x1 y(x ) x2 ) 0, sau đó sử m 21 Cho hàm số y x 6x m Tìm 22 Cho hàm số y x 3mx m Tìm m để đờ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai bên trục hoành Ox hai bên trục hoành Ox 3 x mx x m 24 Cho hàm số y x mx x Tìm 3 Tìm tham số m để hàm số có điểm cực tham số m để hàm số có điểm cực trị x 2 trị x x thỏa mãn x x x thỏa mãn x 12 x 22 x 1x 23 Cho hàm số y Lời giải Ta có y x2 2mx Hàm số có điểm cực trị x x thỏa x 12 x 22 y thỏa x 12 x 22 a x 12 có nghiệm x 1, x x 22 - 61 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh 4m (x : (LĐ) x )2 2x 1x S x1 P x 1x với 4m SĐT : 0933070938 2 c a 2P b a x2 S2 2m m 25 Cho hàm số y x 3x m Tìm m để 26 Cho hàm số y x 3mx Tìm m đờ thị hàm số có điểm cực trị A, B để đồ thị hàm số có điểm cực trị A, B cho OAB vuông tại O với O (0; 0) cho OAB vuông tại O với O (0; 0) Lời giải Ta có: y 3x 6x A(0; m) x y m x y m B(2; m 4) Suy Vì OA (0; m ) OB (2; m 4) OAB vuông tại O nên OA OAOB m (L) m (N) 0.2 m(m OB 4) m A(0; 0) O Vậy m giá trị cần tìm 27 Cho hàm số y x 3mx 4m Tìm m để đờ thị hàm số có điểm cực trị A, B thỏa mãn AB 20 28 Cho hàm số y x 2mx Tìm m để đờ thị hàm số có điểm cực trị A(0;1), B, C thỏa mãn BC Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 29 Cho hàm số y x 2m2x 2 Tìm m 30 Cho hàm số y x 3mx 3m2 Tìm để đờ thị hàm số có điểm cực trị A(0;2), m để đờ thị hàm số có hai điểm cực trị A B để điện tích OAB 48 B, C thỏa mãn BC 31 Cho hàm số y x 3x m Tìm m để 32 Cho hàm số y x 2mx m Tìm đờ thị hàm số có hai điểm cực trị A m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo B cho điện tích tam giác OAB thành tam giác có diện tích 243 - 63 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 33 Cho hàm số y x 2mx Tìm m để đờ 34 Cho hàm số y x 4mx 3m thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam Tìm m để đờ thị hàm số có điểm cực trị giác có diện tích nhỏ tạo thành tam giác có trọng tâm G 0; 36 Cho hàm số y x (6m 4)x m x (3m 1)x 2m Tìm m để đờ thị hàm số có ba điểm cực trị Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân tạo thành một tam giác có trọng tâm là O 35 Cho hàm y Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 x 2mx Tìm m để 37 Cho hàm số y x 2mx Tìm m để 38 Cho hàm số y đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân tam giác đều Cần nhớ: Đồ thị hàm số y ax bx c có ba cực trị A Oy, B, C ln tạo thành tam giác cân tại A Khi đó ta có b3 b3 8a 8a cos A ab m Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân A 90 (2m )3 (2m )3 m3 Hàm số có ba cực trị 8m Áp dụng: 1.2m 8.1 8.1 cos 90 0 m (thỏa m 0) 39 Cho hàm số y x 2mx 2m Tìm m 40 Cho hàm số y x 2mx Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều thành tam giác có mợt góc 120 - 65 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 41 Cho hàm y x 2(m 1)x 2m 42 Cho hàm số y x 2mx Tìm m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nằm tạo thành tam giác có mợt góc 120 trục tọa độ Thầy : Nguyễn Xuân Anh SĐT : 0933070938 Dạng toán 4: Cực trị hàm số trị tuyệt đối hàm hợp  Cần nhớ: - 67 - Thầy : Nguyễn Xuân Anh Cho hàm số f (x ) SĐT : 0933070938 x3 1)x (2m Tìm m để đồ thị hàm số y m)x (2 f x có điểm cực trị A B m m 3x f (x ) C D Lời giải Để hàm số y m m 4(2m S 2m P m 2(2m 2 m 1)x 1)2 m m f x có điểm cực trị B 12(2 m có nghiệm dương phân biệt m) 4m 2 Tìm số nguyên bé nhất của m để hàm số y A m x m m 2 Chọn đáp án A 2mx 5x có điểm cực trị C D Có mấy giá trị nguyên của m để hàm số y A B 3x 4x 12x m có điểm cực trị ? C D Có mấy giá trị nguyên m [ 10; 10] để hàm số y mx 3mx (3m 2)x m có điểm cực trị ? A B Thầy : Nguyễn Xuân Anh C 10 D 11 SĐT : 0933070938 Hàm số y f (x ) có ba điểm cực trị là điểm cực trị ? A B 2, 1, Hỏi hàm số y f (x 2x ) có C D Đồ thị của hàm số y A B x4 8x 22x 24x có điểm cực trị ? C D Cho hàm số f (x ) có đạo hàm f (x ) f x A B (x 1)4 (x 2)5(x 3)3 Số điểm cực trị của hàm số ? C D - 69 -