SÁCH hàm số Luyện Thi Đại Học Môn Toán

– –     – –  Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng K  Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng y  f  x  hàm số xác định K, ta nói: Hàm số y  f  x  gọi đồng biến (tăng) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số y  f  x  gọi nghịch biến (giảm) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K  Nhận xét  Nhận xét  Nếu hàm số f  x  g  x  đồng biến (nghịch biến) D hàm số f  x   g  x  đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hiệu f  x   g  x    Nhận xét Nếu hàm số f  x  g  x  hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm số f  x  g  x  đồng biến (nghịch biến) D Tính chất không hàm số f  x  , g  x  không hàm số dương D  Nhận xét  Cho hàm số u  u  x  , xác định với x   a; b  u  x    c; d  Hàm số f u  x   xác định với x   a; b  Ta có nhận xét sau:  Giả sử hàm số u  u  x  đồng biến với x   a; b  Khi đó, hàm số f u  x   đồng biến với x   a; b   f  u  đồng biến với u   c; d  Giả sử hàm số u  u  x  nghịch biến với x   a; b  Khi đó, hàm số f u  x   nghịch biến với x   a; b   f  u  nghịch biến với u   c; d   Định lí  Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó:  Nếu hàm số đồng biến khoảng K f '  x   0, x  K Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f '  x   0, x  K  Định lí  Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: Nếu f '  x   0, x  K hàm số f đồng biến K Nếu f '  x   0, x  K hàm số f nghịch biến K Nếu f '  x   0, x  K hàm số f không đổi K  Định lý điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:  Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: Nếu f   x   , x  K f   x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K Nếu f   x   , x  K f   x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f nghịch biến K Bài tốn Tìm tham số m để hàm số y  f  x ; m  đơn điệu khoảng  ;    Bước 1: Ghi điều kiện để y  f  x ; m  đơn điệu  ;   Chẳng hạn:  Đề yêu cầu y  f  x ; m  đồng biến  ;    y  f   x ; m    Đề yêu cầu y  f  x ; m  nghịch biến  ;    y  f   x ; m    Bước 2: Độc lập m khỏi biến số đặt vế lại g  x  , có hai trường hợp thường gặp :  m  g  x  , x   ;    m  max g  x   m  g  x  , x   ;    m  g  x   Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu hàm số g  x  D (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị  ;    ;   lớn giá trị nhỏ Từ suy m Bài tốn Tìm tham số m để hàm số y  ax  b đơn điệu khoảng  ;   cx  d d Tính đạo hàm y  c  Tìm tập xác định, chẳng hạn x    Hàm số đồng biến  y   (hàm số nghịch biến  y   ) Giải tìm m 1  Vì x    Lấy giao 1   giá trị m cần tìm d d có x   ;   nên    ;   Giải tìm m c c  2  Cần nhớ: “Nếu hàm số f  t  đơn điệu chiều miền D (luôn đồng biến ln nghịch biến) phương trình f  t   có tối đa nghiệm u , v  D f  u   f  v   u  v VÍ DỤ MINH HỌA   VÍ DỤ Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x   x   Khi hàm số y  f x 2 nghịch biến khoảng đây? A  ;   B  3;  C   ; 3  D  2 ;  Lời giải Chọn C  Ta có y   f x   x  x x  x           x  x   x   x    x   2 Cho y   x  3 x  2 x  x  x  Ta có bảng xét dấu y   Dựa vào bảng xét dấu, hàm số y  f x nghịch biến   ; 3   ;  VÍ DỤ Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục  có đồ thị hàm f   x  hình vẽ bên Hỏi   hàm số y  f x  nghịch biến khoảng sau đây? A  1;  B  0;1 C  ;  D  0;   Lời giải Chọn B   Ta có y  x f  x2  x  x  x  x     2 y   x f  x     x   2   x  1    x  x   x2    x2   x  1     Ta có bảng biến thiên Nhìn bảng biến thiên hàm số y  f ( x2  1) nghịch biến khoảng  0;1   VÍ DỤ 3.Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   x  x   x  mx  với x   Số giá trị   nguyên âm m để hàm số g  x   f x  x  đồng biến khoảng  1;   A C B D Lời giải Chọn B   Ta có g '  x    x  1 f ' x  x  Để hàm số g  x  đồng biến khoảng 1;      g '  x   x   1;    f ' x2  x   x  1;     x    x2  x  2 x    x x2      m x  x    x   1;     x2  x   m x  x    1 x  1;   Đặt t  x2  x  , x   1;    t  Khi 1 trở thành t  mt   t   0;    t   m t  2 t   0;   Để 1 nghiệm với x   1;      nghiệm với t   0;   Ta có h  t   t  5  với t   0;   Dấu xảy t   t  t t Suy Min  h  t       nghiệm t   0;    m   m  2 t 0;   Vậy số giá trị nguyên âm m VÍ DỤ Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau Bất phương trình f  x   e x  m với x   1;1 A m  f    B m  f  1  e C m  f    D m  f  1  e Lời giải Chọn C Có f  x   e x  m, x   1;1  m  g  x   f  x   e x , x   1;1 (1) 2  g  x   0, x   1;0  Ta có g  x   f   x   x.e x có nghiệm x    1;1   g  x   0, x   0;1 Bảng biến thiên: Do max g  x   g    f    Ta 1  m  f     1;1 VÍ DỤ Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên sau: Bất phương trình f ( x)  3e x  m có nghiệm x   2;  khi: A m  f  2   B m  f    3e C m  f    3e D m  f  2   Lời giải Chọn B Ta có: f ( x)  3e x  m  f ( x)  3e x  m Đặt h  x   f ( x)  3e x   h  x   f   x   3e x   Vì x   2;  , f   x   x   2;   x    0;   3e x   3; 3e  Nên h  x   f   x   3e x   0, x   2;   f (2)  3e  h  x   f ( 2)  Vậy bất phương trình f ( x)  3e x  m có nghiệm x   2;  m  f    3e VÍ DỤ Tổng giá trị nguyên tham số m khoảng  2020; 2020  để hàm số y    đồng biến khoảng  0;   4 A 2039187 B 2022 C 2093193 Lời giải Chọn A Điều kiện xác định: sin x  m D 2021 sin x  sin x  m Ta có y  cos x  sin x  m    sin x  3 cos x cos x   m  sin x   y   2 sin x  m  sin x  m   sin x  m   2   Vì x   0;  nên cos x  0; sin x   0;    4   3  m  m    m    Suy hàm số đồng biến khoảng  0;        4  m      m  Vì m    m  2019; 2018; ; 1; 0  1; 2 2019  2020    2039187 Vậy tổng giá trị tham số m là: S  VÍ DỤ Cho hàm số f  x  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình bên Hàm số g  x   f 1  x   x  x nghịch biến khoảng ? y –2 O x –2  3 A  1;   2  1 B  0;   2 C  2; 1 Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có: g  x   f 1  x   x  x  g   x   2 f  1  x   x   2x t Xét tương giao đồ thị hàm số y  f   t  y   Hàm số nghịch biến  g   x    f  1  x     2  t  t Dựa vào đồ thị ta có: f   t      t  1 2  x   2   x  Khi đó: g '  x      1  x  x    Cách 2: Ta có: g  x   f 1  x   x  x  g   x   2 f  1  x   x  D  2;3 Ghép trục ta được:  4  log m  f  u   log m có nghiệm phân biệt   1  log m  10 4  m  m    m  1;10;11; ;999  10  m  10 Câu 3:  lim f  x     x   f 1  a  b   Ta có   f    9a  3b  24  24   3a  b    lim f x    x    Suy f  x   có nghiệm phân biệt x1   x2   x3 Mặt khác: f  x  f ''  x    f '  x    f  x  f ''  x    f '  x    Xét g  x   f  x  f ''  x    f '  x   2  g '  x   f '  x  f ''  x   f  x  f '''  x   f '  x  f ''  x   f  x  f '''  x   12 f  x   x  x1   ;1  Khi g '  x    12 f  x    f  x     x  x2  1;3  x  x  3;     Bảng biến thiên Do g  x2   f  x2  f ''  x2    f '  x2      f '  x2    nên g  x   có hai nghiệm phân biệt 2 Câu 4:  f  x  x    f  x3  x     Ta có: f  x  x      3  f  x  x    2 f  x  x    Theo đồ thị: f  2   1 f  a     a  3   f  b     b    3 f c    c  6  4 Với 1 x3  x   2  x  x    x  2; x  (2 nghiệm) Với   x  x   a  x3  x   a  (3 nghiệm) Với  3 x3  x   b  x3  x   b  (3 nghiệm) Với   x  x   c (1 nghiệm) Vậy f  x  x    có 2+3+3+1 = nghiệm Với f  x  x    2 có trường hợp f  d   2 với d  2 ; f  e   2 với  e  f  f   2 với f  Với d  2 x3  x   d có nghiệm Với  e  x3  x   e có nghiệm Với f  x3  x   f có nghiệm Trường hợp f  x3  x    2 có 1+3+1 = nghiệm Vậy tổng cộng f  x3  x    có + = 14 nghiệm Câu 5: Chọn C Ta có g '  x   x f  x3   '   (2m  1)(4 x  x)   Hàm số đồng biến  ;    g '  x   0, x   0;     x3   '   (2m  1)(4 x  x)  0, x   ;       x3   3x  2m   f '  , x   0;    8x     x f Với x   x3   x3    f '   2   Đẳng thức xảy x3  3x 3   x  Mặt khác,    x  8( x  ) 16 x  x3    x   3 3x '  (  2)  f '    16 8x2      3 Đẳng thức xảy x  Như vậy: 2m   m 16 Vì m m   10;10  nên m  10; 9; 8;  1; 0 Có 11 giá trị Suy Câu 6: 3x f 8x2  Đặt u  x   x   x  1   x  3 x  1  x    x  3 x  1   x  3 u ' x     2  x  3  x  3   x  3 2x+2   x  3  x  3 u'  x      x  1 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình cho có năm nghiệm :  104  m   m   4  log m       log m  10  m  10   m  10,11,12, ,999  Vậy có 991 giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 7: Xét hàm số y  x  x   x  Tập xác định hàm số  2 x  8x  4, x   x  Ta có y  x  x   x    1 x  8 x  10,  x  3  x  1 4 x  8, x   x  y'   , 1 x  8 Đặt t  x  x   x  Khi bảng biến thiên hàm số y  f  t  Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số y  f  t  cho có điểm cực đại Câu 8: Đặt t  sin x  2,1  t  Phương trình f  sin x  2   trở thành: t  t1   0;1  PTVN  t  t2  1;2 f t     t  t3   2;3 t  t   3;4   PTVN  BBT: Dựa vào bảng biến thiên ta có: 3 + t  t2 có nghiệm phân biệt x thuộc 2 ;  2  3 + t  t3 có nghiệm phân biệt x thuộc 2 ;  2  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Câu 9: Xét hàm số h  x   f  x   x  x  h  x   f   x   x  h  x    f   x   x  1 Vẽ đường thẳng y  x  Từ đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y  x  cắt đồ thị hàm số  x  1 y  f   x  ba điểm Khi phương trình 1   x    x  h 1  f 1  x  x  Ta có bảng biến thiên hàm số h  x  sau: Khi ta có bảng biến thiên hàm số g  x   h  x  Câu 10: Xét h  x   f  x   x  x  h ' x  f ' x  2x  h ' x   f '  x  2x    f ' x  x 1 Dựa vào đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số y  f '  x  đường thẳng y  x  cắt điểm có hồnh độ x  1; x  1; x   x  1 Do phương trình f '  x   x    x   x  Bảng biến thiên Bảng biến thiên hàm số g  x   h  x  Vậy hàm số g  x   f  x   x2  x đồng biến khoảng 1;  Câu 11: Xét hàm số g  x   f  x 1  x3  Ta có: g ' x  x f ' x 1  x  x  f ' x 1  x    x0 g ' x     f ' x 1  x 1 Xét 1 : Đặt x  t 1  t  1   t  a a  0;1 Khi ta có: f 't  2t   t    t   t  b b  2;3  x  2   x  a 1  a 1  1; 0 1    x 1   x  b 1 b 1  1; 2 Ta có: Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số g  x đồng biến khoảng 2; 1  x  a   2; 1  x0 Câu 12: Ta có f '  x      x  b  1;    x  Từ đồ thị ta có f  a   M , M  f  b   m, m   0;1 Đặt u  f  x  , ta có hàm số g  x   f  u  Số nghiệm phân biệt phương trình g '  x   số cực trị hàm số g  x   f  u  Dựa vào đồ thi hàm số y  f  x  ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số g  x   f  u  có 12 cực trị Vậy phương trình g '  x   có 12 nghiệm phân biệt Câu 13: Đặt: h  x   f  x   x  h '  x   f '  x    3  Từ đồ thị hàm y  f '  x  ta có BBT: Số điểm cực trị dương hàm h  x  Do số điểm cực tiểu g  x  là: 2.2   Câu 14: Ta có f ( x)  f (1  x)  9x 91 x 9x    x  x x 1 x x 3 3 3 3 Do   f  3m  sin x   f (cos x)    1  3m  sin x  cos x   3m  sin x  sin x 4 Kết luận: 1 1  3m    m  64 192 Câu 15: Đặt u  cos x , t  f  u  Phương trình trở thành: f (t )  Ta có bảng biến thiên hàm số y  f (t ) Số nghiệm phương trình f  f  cos x    số giao điểm đường thẳng y  đồ thị hàm số y  f (t ) , từ bảng biến thiên  phương trình f (t )  có nghiệm Vậy phương trình f  f  cos x    có nghiệm Câu 16: Đặt t  f  x  Phương trình trở thành: f  t   log m Số nghiệm phương trình f  f  x    log m số giao điểm đường thẳng y  log m đồ thị hàm số y  f (t ) , từ bảng biến thiên  phương trình có tối đa 18 nghiệm Câu 17: Đặt t  2x3  6x  x  Khi t   x2  , t      x  1    m 2 Lại có m    m  Vậy có số nguyên m thoả mãn toán f 2x3  6x   2m  có nghiệm phân biệt   2m    5sin x  Suy g  t   f  t   t  Ta có g   t   f   t   2t   f   t   t Câu 18: Đặt t   t  1    t    t  3  Bảng biến thiên: Suy ra: Câu 19: Đặt t  x  x  t Ta có h  x   f  x3   x  h  t   f  t   3 t Dựa vào bảng biến thiên ta suy ta x a  h  x   f   t   t2 0t a Suy hàm số g ( x )  h  x  có cực trị Câu 20: Xét phương trình f  f  x    x 1 Nhận xét: x   f  x   x   f  f  x    f  x   x  1 nghiệm x  x  2  f  x   x  2  f  f  x    f  x   x  1 khơng có nghiệm x  2 Ta xét bảng biến thiên f  f  x   với 2  x  sau: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình f  f  x    x có nghiệm  x2  Câu 21: g   x     x   x  (nghiệm kép, loại)  f  x  1   x   1  l  x   a 1   x   a   a     f  x  1      x   b  Vậy g  x  có cực trị   x   b   b  1  x    x2    Câu 22: f  x  có hai cực trị x  0, x   f   x   ax  x    f  x   a x  ax  C f    2, f 1  4  a  3, c  2  f  x   x  x   f 1  x  , x   x  x  4, x  f 1  x     f 1  x     x  x  4, x   f 1  x  , x  Ta có đồ thị f 1  x  sau: Đặt h  x   f 1  x   m Ta có g  x   h  x  g  x  có cực trị  phương trình h  x   có nghiệm đơn  m  Vậy có 17 giá trị m thỏa yêu cầu toán Câu 23: Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y  f  x  có điểm cực trị x  1; x  1; x   x2  x 1, x    x  x  1,  x  Đặt u  x   x  x2 1   ; u ' x    x  x  1,   x    x2  x 1, x  1  Bảng biến thiên ghép trục  x   x    Hàm số g  x   f  u  x   có điểm cực đại điểm cực tiểu Câu 24: Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta thấy hàm số có cực trị x  1; x  Đặt t  sin x  t '  cos x ; t '   x  Ta có bảng ghép trục   k , k   Phương trình  3  f  2sin x   f  m  có nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0;    3  f  m   f   Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta thấy  m  a   2; 1  3  f  m   f     m  b   0;1 Vì m nên m    m  c  1;  Câu 25: Đặt t   x  f 1  x   f  t  Bảng ghép trục: Phương trình g  x  trở thành g  t   f  t   m YCBT trở thành: f  t   m  có nghiệm phân biệt m Để f  t   m  có nghiệm phân biệt thì:  m  8  m    có 13 giá trị m m   20;20            Câu 26: Ta có: y  f   sin(3 x   )  3sin  x     f  4sin  x    sin  x     3       Vậy hàm số có điểm cực tiểu Câu 27: Đặt u  x    u '    x x2  x2  Ta có bảng biến thiên sau x -1 -∞ +∞ +∞ -1 1 u +∞ -1 -1 -2 -2 +∞ +∞ f(-2)=7 f(-2)=7 f(u) f(0)=-1 f(0)=-1 f(1)=-2 f(-1)=-2 f(-1)=-2 f(-1)=-2 f(1)=-2 Từ bảng biến thiên để phương trình có nghiệm thực phân biệt 1  m  Suy m0,1,2,3, 4,5,6 Câu 28: Đặt g  x   k. x  2 , k   h  x   f  x  f  x  x2  g  t  dt  k   x   0  f  x   k   f  x     f  h '  x   k f '  x   f  x     h '  x      f  x  x1   2;   '  x    x  x2   0;    x    x  x3   2; x1   x  x   x ; 2  Bảng biến thiên x - h'(x) -2 _ x3 x1 + x2 _ + x4 _ - + h(x) Dưạ vào bảng biến thiên suy hàm số h(x) nghịch biến khoảng  3; 2  ... Cho hàm số y  x3  x2  Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng  0;  B Hàm số nghịch biến khoảng  ;  C Hàm số nghịch biến khoảng  0;  D Hàm số nghịch biến khoảng  2;    Hàm số. .. đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng  1;1 B Hàm số nghịch biến khoảng  ;  C Hàm số đồng biến khoảng   ;   D Hàm số nghịch biến khoảng 1;   Câu 12: Trong hàm số sau, hàm số vừa...  Cho hàm số f  x   x x2   6x  A Hàm số nghịch biến khoảng  2;  B Hàm số nghịch biến  ; 2  C Hàm số đồng biến  2;   D Hàm số đồng biến khoảng  2;  Cho hàm số y  x 