Tìm hiểu thuộc tính nội xạ của các môđun

Lời nói đầu Thầy giáo hớng dẫn giao cho chúng tôi đọc và biên tập lại một số phần nói về các môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ và môđun nội xạ đối với một môđun A cho trớc. Đây là những nội dung mới đối với chơng trình học tập. Phần lớn các nội dung mà thầy giáo hớng dẫn giao cho chúng tôi đều đợc viết bằng tiếng Anh, do đó việc đọc và hiểu những nội dung đó là một khó khăn lớn. Một số chỗ chúng tôi phải nhờ sự hỗ trợ của thầy giáo mới hoàn thành đợc phần dịch thuật và sự thực cha có điều kiện để hiểu thấu đáo. Chúng tôi cảm nhận đợc đây là những nội dung hấp dẫn và bổ ích nếu có điều kiện tiếp tục đi sâu tìm hiểu. Việc hoàn thành khoá luận này đã giúp cho cá nhân tác giả có đợc sự tự tin hơn trong việc tiếp tục quá trình tự học và tìm hiểu thêm về toán học trong tơng lai. 1 Chơng 1. Những kiến thức cơ sở về môđun Trong chơng này chúng tôi tổng hợp một số kiến thức cơ sở về Lý thuyết môđun. Chúng tôi giả thiết rằng mọi môđun đợc nói đến trong khoá luận này đều là môđun phải đơn nguyên (unitary) trên một vành có đơn vị R. Các kết quả trong chơng này đều đợc tổng hợp từ bài giảng Môđun và đại số nên chúng tôi không trình bày lại các chứng minh của các mệnh đề và định lý. 1.1. Môđun. Môđun con. Môđun thơng Định nghĩa 1.1.1. Giả sử R là vành giao hoán có đơn vị là 10. X đợc gọi là môđun phải trên R nếu thoả mãn các điều kiện sau: 1. X có phép toán ký hiệu là + và (X, +) là nhóm Aben, tức là: (i) x,yX: x+y = y+x. (ii) x,y,z X: (x+y)+z = x+(y+z) (iii) 0 X: 0+x = x,xX . (iv) x X: xX: x+ x = 0. 2. Xác định một phép nhân các phần tử của R với các phần tử của X thoả mãn các điều kiện sau: (v ) , R, x X: x( + ) = x + x (vi) R, x,yX: (x+y) = x + y (vii) , R, x X: x() = (x) (viii) x X: x1 = x. Điều kiện (viii) trong định nghĩa trên đợc gọi là điều kiện đơn nguyên (hay còn gọi là điều kiện unita). Khi X là một môđun phải trên vành R ta nói R là vành các vô hớng, nói riêng, mỗi phần tử của R đợc gọi là một vô hớng. Ngời ta cũng định nghĩa khái niệm môđun trái trên vành R bằng cách viết các vô hớng phía bên trái 2 trong phép nhân các phần tử của X với các vô hớng cùng một vài thay đổi trong cách phát biểu các điều kiện (v) (viii) cho thích hợp. Ví dụ 1.1.2. (i) Mọi nhóm giao hoán kí hiệu theo lối cộng X là một Z-môđun. (ii) Với mọi vành giao hoán X ,với đơn vị là 1 đều là một môđun trên vành con bất kì chứa 1 của X. (iii) Giả sử R là một vành giao hoán với đơn vị . Kí hiệu: X=R S ={f:SR}, trong đó S là một tập hợp khác rỗng cho trớc. Trên X ta xác định phép toán cộng nh sau: f,g X f+g xác định bởi: (f+g)(s)=f(s)+g(s), s S. Phép nhân với các vô hớng cho nh sau: (f)(s) = f(s), s S. Khi đó các tiên đề về môđun đợc thoả mãn và X trở thành môđun trên R. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là một môđun trên vành R và A là một tập hợp con khác của X. Khi đó A đợc gọi là môđun con của X nếu A khép kín đối với các phép toán cộng và nhân với các vô hớng của môđun X và với các phép toán đó A cũng làm thành một môđun trên R. Ta dùng kí hiệu A X để chỉ A là một môđun con của R-môđun X. Mệnh đề 1.1.4. (Tiêu chuẩn nhận biết môđun con) Tập con khác rỗng A của môđun X là một môđun con của R-môđun X nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau đây đợc thoả mãn: a) x, y A: x+yA. b) R, x A thì xA. Ví dụ 1.1.5. (i) Với mọi nhóm con của một nhóm aben cộng X đều là môđun con của X trên vành Z . 3 (ii) Giả sử X là một vành giao với đơn vị là 1 và A là một iđêan phải của X. Khi đó A môđun con của X khi xét X là môđun phải trên chính nó. (iii) Cho R là một vành và S là một tập hợp khác rỗng tuỳ ý. Xét môđun X = R S ={f:SR} và A={fXf(s) = 0, với tất cả sS trừ nhiều lắm là một số hữu hạn}. Khi đó A là một môđun con của X. Định nghĩa 1.1.6. Môđun con A của môđun M đợc gọi là môđun con tối đại của M nếu A M và A không chứa trong một môđun con thực sự nào của M. áp dụng Mệnh đề 1.1.4 ta chứng minh đợc Mệnh đề sau : Mệnh đề 1.1.7. Giao của một họ khác rỗng những môđun con của R-môđun X là một môđun con của X. Xét họ các môđun con của môđun X chứa một tập con U cho trớc của X ta nhận đợc họ này khác rỗng (vì X là một phần tử của họ đó). Giao của họ này là một môđun con của X và hiển nhiên đó là môđun con bé nhất (theo quan hệ bao hàm) của X chứa U. Môđun con này đợc gọi là môđun con của X sinh bởi tập hợp U và kí hiệu là <U>. Khi U là một tập hợp hữu hạn (chỉ có hữu hạn phần tử) thì <U> đợc gọi là môđun con hữu hạn sinh của X. Nếu U chỉ gồm duy nhất một phần tử a, tức là U = {a} thì <U> đợc kí hiệu là <a> và gọi là môđun cyclic sinh bởi phần tử a. Nói riêng, nếu môđun X có một phần tử a nào đó sao cho <a> = X thì X đợc gọi là môđun cyclic. Ví dụ quen thuộc về môđun cyclic là Z-môđun Z vì Z = <1> = <-1>. Cho trớc các môđun con A, B của R-môđun X. Tập hợp C gồm các phần tử c = a + b, trong đó aA, bB, cũng làm thành một môđun con của X. Môđun con này đợc gọi là tổng của các môđun con A và B. Ta cũng có thể khái quát tình huống này cho một họ tuỳ ý {A i } i I , các môđun con. Khi đó tập hợp các phần tử biểu diễn đợc dới dạng một tổng hữu hạn phần tử, mỗi phần tử 4 thuộc một môđun con nào đó của họ cũng làm thành một môđun con của X. Môđun con này đợc gọi là tổng của họ đã cho và kí hiệu i I A i . Tổng của một họ môđun con của môđun M là môđun M là môđun con của M sinh bởi hợp của họ môđun con đó. Một trờng hợp đặc biệt của tổng các môđun con đợc định nghĩa nh sau : Định nghĩa 1.1.8. Cho một họ {A i } i I , các môđun con của môđun X và i I A i là tổng của họ đã cho. Tổng i I A i đợc gọi là tổng trực tiếp nếu mỗi iI luôn có A i j i A j = 0. Khi đó ta sử dụng kí hiệu i I A i . Môđun con A của M đợc gọi là hạng tử trực tiếp của môđun M nếu tồn tại môđun con B của M sao cho M = A B. Trong trờng hợp này ta cũng nói môđun M phân tích đợc thành tổng trực tiếp của các môđun con A và B. Mệnh đề 1.1.9. Tổng i I A i là tổng trực tiếp nếu và chỉ nếu mỗi phần tử của nó biểu diễn đợc một cách duy nhất dới dạng tổng của hữu hạn phần tử, mỗi phần tử thuộc một môđun con A i nào đó của họ. Định nghĩa 1.1.10. Giả sử X là một môđun trên R, A là một môđun con của X. Khi đó A là nhóm con của nhóm cộng Aben X (cũng là nhóm con chuẩn tắc). Xét nhóm thơng (đối với phép cộng): Q = X/A={x+Ax X}. Giả sử rR và x+AQ ta định nghĩa phép nhân: (x+A)r = xr+A. Khi đó các tiên đề môđun đợc thoả mãn và Q trở thành một môđun trên R. Môđun Q đợc gọi là môđun thơng của môđun X trên môđun con A của nó. Ví dụ 1.1.11. Cho Z là Z- môđun khi đó 5Z Z và Z/5Z là môđun thơng của môđun Z trên môđun con 5Z. Môđun Z/5Z đợc kí hiệu là Z5 ={ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }. 1.2. Đồng cấu môđun. Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X, Y là các R-môđun . Khi đó ánh xạ f: X Y đợc gọi là R đồng cấu môđun nếu 2 điều kiện sau đây thoả mãn: 5 a) f( x1 + x2 ) = f(x1) + f(x2), x1, x2 X. b) f(x) = f(x), R, x X. Các khái niệm đơn cấu nói trên đồng cấu đợc định nghĩa tơng tự trong lý thuyết nhóm. Một đồng cấu môđun từ M đến M đợc gọi là tự đồng cấu của M. Tập hợp tất cả các tự đồng cấu của môđun M đợc ký hiệu là End(M). Tập hợp các đồng cấu môđun từ M đến N đợc ký hiệu là Hom(M, N). Các ví dụ sau đây chứng tỏ các tập hợp này luôn luôn khác rỗng. Ngoài ra ta còn thực hiện đợc các phép toán trên các tập hợp này để có các cấu trúc đại số nh môđun hoặc vành. Ví dụ 1.2.2. 1. Cho M là một R - môđun . Khi đó ánh xạ đồng nhất trên M là một tự đẳng cấu môđun; ánh xạ cho mỗi x M ứng với phần tử 0 của M là một tự đồng cấu và đợc gọi là tự đồng cấu 0 hay tự đồng cấu tầm thờng. 2. Cho M là một R- môđun và A là một môđun con của M. Khi đó ánh xạ nhúng i : A M là một đơn cấu. Đơn cấu này đợc gọi là đơn cấu chính tắc từ A vào M. ánh xạ p : M M/A cho bởi p(x) = a+A là một toàn cấu và đợc gọi là toàn cấu chính tắc hay phép chiếu tự nhiên của môđun M lên môđun thơng M/A. 3. Cho M, N là các môđun, ánh xạ cho mọi x(M ứng với 0(N cũng là một đồng cấu môđun và đợc gọi là đồng cấu 0. Về các đồng cấu môđun f : M N ta có các định lý sau : Định lý 1.2.3. (1) f(0 M ) = 0 N ; (2) f(-x) = -f(x), với mọi xM; (3) f(A) là môđun con của N, với mọi môđun con A của M; (4) f -1 (B) là môđun con của M, với mọi môđun con B của N; (5) Hợp thành các đồng cấu môđun f : M N và g: N P là một đồng cấu từ M P; (6) Quan hệ đẳng cấu giữa các môđun là một quan hệ tơng đơng. 6 Từ (3) và (4) của định lý trên ta suy ra rằng: - Tập Imf = {f(x) | x M} là môđun con của N; - Tập Kerf = {x M | f(x) = 0} là một môđun con của M. Hiển nhiên rằng f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = N. Khẳng định tơng ứng với điều này cho đơn cấu là định lý sau đây. Định lý 1.2.4. Đồng cấu f : M N là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}. Khi xét các môđun con A của môđun M và một đồng cấu f : A N ta thờng đặt ra câu hỏi: Liệu có thể mở rộng đồng cấu f để có một đồng cấu g : M N hay không ? Mệnh đề sau đây đề cập đến một trờng hợp đặc biệt của môđun con A trong môđun M. Mệnh đề 1.2.5. Nếu A là một hạng tử trực tiếp của môđun M thì mọi đồng cấu f : A N đều mở rộng đợc thành đồng cấu từ M N. Chứng minh. Vì A là hạng tử trực tiếp của M nên có môđun con B của M sao cho M = A B. Giả sử f : A N là một đồng cấu bất kì. Xét tơng ứng g : M N cho bởi mỗi phần tử x M, x có dạng biểu diễn duy nhất x = a + b, trong đó a A và b B, cho ứng với f(a). Khi đó g đúng là một đồng cấu từ M đến N và g|A = f. Định lý sau đây thờng đựợc gọi là định lý đồng cấu môđun. Định lý 1.2.6. Nếu f : M N là một đồng cấu môđun thì tồn tại một đồng cấu g : M/Kerf N sao cho f = g.p, trong đó p là phép chiếu tự nhiên từ M lên M/Kerf. Hơn nữa, g là đẳng cấu và Imf = Img. Đối với các đồng cấu môđun ta còn có các định lý đẳng cấu sau. Định lý 1.2.7. ( Định lý thứ nhất về đẵng cấu) Nếu A, B là hai môđun con của M thì: ( A + B ) / B A / ( A B ). Định lý 1.2.8. ( Định lý thứ hai về đẵng cấu ) Nếu A B là các môđun con của môđun M thì M / B - ( M / A ) / ( B / A ). 7 1.3. Môđun các đồng cấu và vành tự đồng cấu của một môđun Cho các R-môđun M, N. Trong mục này ta xét cấu trúc môđun và cấu trúc vành trên các tập hợp Hom(M, N) và End(M) vừa đợc giới thiệu ở trên. Định lý 1.3.1. Hom(M, N) làm thành một R-môđun với các phép toán định nghĩa sau đây: f, g Hom(M, N)x M (f+g)(x) = f(x) + g(x); fHom(M, N)rRx M (fr)(x) = f(x)r. Môđun nói trong định lý này đợc gọi là môđun các đồng cấu từ M đến N. Định lý sau đây đề cập đến một trờng hợp riêng khi môđun M đợc chọn là vành R xét nh một môđun phải trên chính nó. Định lý 1.3.2. Hom(R, N) đẳng cấu với N. Hệ quả 1.3.3. Cho trớc một R-môđun M. Khi đó End(M) làm thành một R- môđun đối với các phép toán cho nh trong Định lý 1.3.1. Định lý 1.3.4. Cho trớc một R-môđun M. Khi đó End(M) làm thành một vành đối với phép toán cộng cho nh trong Định lý 1.3.1 và phép nhân là phép lấy tích ánh xạ. Khi R là một vành giao hoán có đơn vị, áp dụng Hệ quả 1.3.3, Định lý 1.3.4 và kiểm tra trực tiếp các điều kiện liên quan đến phép nhân ta thấy rằng End(M) là một đại số trên vành R. Đại số này có tính chất kết hợp nhng không có tính chất giao hoán vì rằng phép lấy tích ánh xạ không có tính chất giao hoán. Trờng hợp đặc biệt khi R là một trờng K và M là không gian véc tơ V trên trờng K với số chiều n thì đại số End(V) đẳng cấu với đại số các ma trận vuông cấp n với các phần tử lấy trong trờng K, kí hiệu là M n (K). 8 1.4. Môđun hữu hạn sinh Định nghĩa 1.4.1. R-môđun M đợc gọi là môđun hữu hạn sinh nếu trong R tồn tại một tập hợp con hữu hạn U sao cho môđun con của M sinh bởi U chính là M, tức là <U> = M. Vì rằng tập hợp U hữu hạn nên U = { a 1 , a 2 , . . . , a n }. Khi đó M là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử a 1 , a 2 , . . . , a n . Nói cách khác M = a 1 R + a 2 R + . . . + a n R. Ví dụ về môđun hữu hạn sinh có thể kể đến các không gian véc tơ hữu hạn chiều; các môđun cyclic đề cập đến trong các phần trớc. Mệnh đề sau đây cho một cách xây dựng các môđun hữu hạn sinh. Định lý 1.4.1. Nếu M là một môđun hữu hạn sinh thì mọi môđun thơng của M cũng là môđun hữu hạn sinh. Chứng minh. Giả sử R-môđun M đớc sinh bởi một tập hợp gồm n phần tử U = { a 1 , a 2 , . . . , a n } và A là một môđun con của M. Khi đó ta có tập hợp con V = { a 1 +A, a 2 +A, . . . , a n +A} của M/A sinh ra M/A. Để lấy một ví dụ về Z-môđun không phải là môđun hữu hạn sinh ta xét mệnh đề sau. Mệnh đề 1.4.2. (phản ví dụ) Z-môđun Q không phải là môđun hữu hạn sinh. Chứng minh. (phản chứng) Giả sử có một tập hữu hạn U = {r 1 , r 2 , . . . ,r n } các số hữu tỷ sinh ra Q, tức là mỗi số hữu tỷ a đều biểu diễn đợc dạng a = k 1 r 1 + k 2 r 2 + . . . + k n r n , trong đó k i là số nguyên. Giả sử r i = i i c b , trong đó b i và c i là các số nguyên với c i dơng. Phân tích các số c i ra thừa số nguyên tố. Giả sử có mặt các nhân tử nguyên tố p 1 , p 2 , . . . , p s trong sự phân tích đó (kể cả các nhân tử riêng của các số r i ). Gọi q là số nguyên tố không trùng với một số nào trong các số p j . Khi đó q 1 là một số 9 hữu tỷ. Do U sinh ra Q nên có q 1 = m 1 r 1 + m 2 r 2 + . . . + m n r n , với các số nguyên m i nào đó. Khi đó q 1 = m 1 1 1 c b + m 2 2 2 c b + . . . +m n n n c b . Quy đồng mẫu số và gọi mẫu số chung của vế phải là B. Khi đó B là tích của các nhân tử nguyên tố p 1 , p 2 , . . . , p s , mỗi nhân tử có thể lấy nhiều lần. Từ đó ta nhận đợc q 1 = B A , trong đó A là một số nguyên. Vì vậy B = A.q, tức là B chia hết cho q. Điều này mâu thuẫn với cách chọn q không trùng với các số nguyên tố p 1 , p 2 , . . . , p s và B là tích của các số p 1 , p 2 , . . . , p s . Đối với các môđun hữu hạn sinh ta có mệnh đề : Mệnh đề 1.4.3. Trong môđun hữu hạn sinh một môđun con thực sự đợc chứa trong một môđun con tối đại. Khi chứng minh Mệnh đề này và một số kết quả trong chơng 2 ngời ta cần tới bổ đề Zorn. Bổ đề Zorn Cho A là tập hợp sắp thứ tự. Nếu mỗi tập hợp con sắp thứ tự hoàn toàn trong A có phần tử lớn nhất thì A có phân tử tối đại. Chơng 2. thuộc tính nội xạ của các môđun 10 . với thuộc tính nội xạ ta có các mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1.3. Hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là môđun nội xạ. Chứng minh. Giả sử E là môđun nội xạ. về các môđun nội xạ, môđun tựa nội xạ và môđun nội xạ đối với một môđun A cho trớc. Đây là những nội dung mới đối với chơng trình học tập. Phần lớn các nội