Trong đoạn sau đây chúng ta sẽ đi đến sự phân tích của các môđun nội xạ thành các môđun hữu hạn trực tiếp và các môđun con thuần tuý vô hạn với các thuộc tính duy nhất mạnh.
Định nghĩa 2.5.1. Giả sử A và B là những hạng tử trực tiếp của một môđun M. A đợc gọi là phối cảnh với B nếu tồn tại một môđun con X của M sao cho M = A ⊕ X = B ⊕ X. Ta nói rằng A siêu phối cảnh với B nếu với môđun con X bất kỳ của M, M = A ⊕ X xảy ra khi và chỉ khi M = B ⊕ X.
Quan hệ phối cảnh có tính chất phản xạ và đối xứng nhng trong trờng hợp tổng quát không có tính chất bắc cầu. Quan hệ siêu phối cảnh là quan hệ tơng đơng.
Sự phân tích M = M1 ⊕ M2 với một tính chất nào đó đợc gọi là duy nhất (duy nhất sai khác một phối cảnh, duy nhất sai khác một đẳng cấu) nếu với mọi sự phân tích khác M = N1 ⊕ N2 cùng tính chất nh vậy ta có Mi = Ni (Mi phối cảnh với Ni, Mi đẳng cấu Ni), với i = 1, 2.
Bổ đề 2.5.2. Giả sử N và ⊕i∈IXi là các môđun con của một môđun M. Nếu có N ∩ (⊕i∈NXi) ≠ 0 thì tồn tại j ∈ I sao cho Xj và N có các môđun con khác không đẳng cấu.
Chứng minh. Từ giả thiết N ∩ ( ⊕i ∈ N Xi) ≠ 0 suy ra N ∩ ( ⊕i ∈ F Xi) ≠ 0, đối với một tập hợp con hữu hạn F của I. Giả sử K là một tập hợp con tối đại của F sao cho N ∩ ( ⊕i ∈ K Xi) ≠ 0. Xét j ∈ F \ K và gọi p : Xj ⊕( ⊕i ∈ K Xi) → Xj là phép chiếu tự nhiên. Khi đó N’ = ∩j ∈ F\K (Xj ⊕ ( ⊕i ∈ K Xi)) ≠ 0, N’ ⊂ N, p(N’)
⊂ Xj và N’ đẳng cấu với p(N’).
Sau đây chúng tôi đề cập đến một phơng pháp tổng quát để xây dựng sự phân tích trực tiếp vừa là công cụ dùng cho việc chứng minh các định lý phân tích, vừa để áp dụng về sau.
Hai môđun đợc gọi là trực giao nếu chúng không có các môđun con khác không đẳng cấu. Đối với một lớp B tuỳ ý các môđun, ta dùng kí hiệu B⊥ để chỉ lớp các môđun trực giao với mọi môđun thuộc lớp B. Rõ ràng rằng luôn có B ⊂ B⊥⊥ và B⊥ = B⊥⊥⊥. Ta có đẳng thức B = B⊥ nếu và chỉ nếu B đóng kín đối với các đẳng cấu, môđun con, mở rộng cốt yếu và tổng trực tiếp (dùng
Bổ đề 2.5.2). Lớp môđun B nh vậy cũng đóng kín đối với các mở rộng và th- ơng môđun các môđun con đóng nhng không nhất thiết đóng kín đối với thơng bất kì hay tích trực tiếp (chẳng hạn lớp các môđun không xoắn và lớp các nhóm aben xoắn, tơng ứng).
Các lớp B⊥⊥ và B⊥ làm thành một cặp trực giao với nhau. Một cách tổng quát, hai lớp môđun A và B làm thành một cặp trực giao nếu A⊥ = B và
B⊥ = A. Khi đã cho một cặp các lớp môđun A, B nh vậy, với một môđun M bất kỳ, tồn tại các môđun con A và B của M tối đại với điều kiện A∈A và B∈B. Khi đó tổng A+B là tổng trực tiếp và cốt yếu trong M. Các môđun A và B nói chung không duy nhất, thậm chí không sai khác một đẳng cấu; thực chất có thể B là môđun con bù giao của A trong M và ngợc lại.
Nếu M là môđun nội xạ (hoặc tổng quát hơn, M là môđun tựa liên tục (xem [2, Hệ quả 2.36] ) thì ta có sự phân tích M = A ⊕ B duy nhất sai khác một siêu phối cảnh.
Nếu chúng ta xuất phát từ các lớp B di truyền, tức là lớp môđun đóng kín đối với các đẳng cấu và môđun con, thì
B⊥ = {A | A không có môđun con thuộc B} và
B⊥⊥ = { B | ∀ C (C ≠ 0, C ≤ B) ∃ D(D≠ 0, D≤ C , D∈B}.
Trong tình huống này ta gọi B⊥ là lớp B-rỗng và B⊥⊥ là lớp B-đầy.
Định nghĩa 2.5.3. Môđun M đợc gọi là môđun hữu hạn trực tiếp nếu M không đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp thực sự nào của M.
Môđun M đợc gọi là thuần tuý vô hạn nếu M ≅ M ⊕M.
Rõ ràng rằng hạng tử trực tiếp của môđun hữu hạn trực tiếp lại là môđun hữu hạn trực tiếp. Mệnh đề sau đây là một đặc trng của môđun hữu hạn trực tiếp qua vành tự đồng cấu của nó.
Mệnh đề 2.5.4. Môđun D là hữu hạn trực tiếp nếu và chỉ nếu từ fg = 1 suy ra gf = 1, đối với mọi tự đồng cấu f, g của D.
Chứng minh. Giả sử rằng D là môđun hữu hạn trực tiếp và f, g là các tự đồng
cấu của D sao cho fg = 1. Khi đó ta có f là toàn cấu, g là đơn cấu và có sự phân tích trực tiếp D = g(D) ⊕Kerf. Nh vậy D ≅ g(D), một hạng tử trực tiếp của D. Từ tính hữu hạn trực tiếp của D suy ra Kerf = 0. Vây f là đẳng cấu. Từ đó gf =
Chứng minh chiều ngợc lại. Giả sử rằng D thoả mãn điều kiện trên và D = B ⊕C với B ≅ D, ta chứng minh C = 0. Giả sử rằng h: D→B là ánh xạ đẳng cấu. Ta xét ánh xạ g: D→D cho bởi g(x) = h-1(x), với mọi x∈B và g(x) = 0, với mọi x∈C. Khi đó gh = 1. Theo giả thiết phải có hg = 1. Điều này suy ra g là đơn ánh, tức là C = 0. Điều này kết thúc chứng minh Mệnh đề 2.5.4.
Bổ đề 2.5.5. Nếu M không hữu hạn trực tiếp thì X(N) nhúng đợc vào M đối với một môđun X khác 0 nào đó.
Chứng minh. Từ giả thiết M không hữu hạn trực tiếp ta có M = A1⊕X1, với A1
≅ M và X1 khác 0. Lại tiếp tục khai triễn hạng tử đẳng cấu với M thành tổng trực tiếp nh trên và chú ý rằng các môđun Xi đẳng cấu với nhau ta có M = A
⊕X(N) , trong đó X(N) là tổng trực tiếp vô hạn các môđun Xi đẳng cấu với X. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Đối với các môđun nội xạ mệnh đề sau đây chứng tỏ điều kiện trên cũng là điều kiện đủ.
Mệnh đề 2.5.6. Môđun nội xạ M không hữu hạn trực tiếp khi và chỉ khi X(N) nhúng đợc vào M đối với một môđun X khác 0 nào đó.
Chứng minh. Dùng Bổ đề 2.5.5, ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ. Giả sử M
chứa môđun con K = ⊕i∈NXi trong đó Xi ≅ X ≠ 0, với mọi i∈I. Đặt K1 = X1 và K2 = ⊕i= 2: Xi. Khi đó K = K1⊕ K2, với K2 ≅ K. Do đó E(K) không hữu hạn trực tiếp. Vì E(K) là một hạng tử trực tiếp của M nên M không hữu hạn trực tiếp.
Bổ đề 2.5.7. Giả sử P là một môđun thuần tuý vô hạn. Nếu môđun B nhúng đ- ợc vào P thì B(N) cũng nhúng đợc vào P.
Chứng minh. Từ định nghĩa suy ra P(N) nhúng đợc vào P, do đó B(N) cũng nhúng đợc vào P.
Bổ đề 2.5.8. Giả sử E = B ⊕P, trong đó E là môđun nội xạ và P là môđun thuần tuý vô hạn. Nếu B nhúng đợc vào P thì E đẳng cấu với P.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.5.7 môđun B(N) nhúng đợc vào P. Vì B(N) = ⊕i=1: Bi, với Bi = B, ∀i∈N, nên ta có B(N) = ⊕i=1: Bi = ⊕i=2: Bi . Do E nội xạ nên B và P đều là các môđun nội xạ. Từ đó
= B ⊕ E(⊕i=1: Bi) ⊕ C = B ⊕ P = E. Điều này chứng minh bổ đề 2.5.8. Bây giờ ta chứng minh định lý phân tích của môđun nội xạ.
Định lý 2.5.9. Mọi môđun nội xạ M có sự phân tích duy nhất sai khác một siêu phối cảnh M = D ⊕ P, ở đây D là hữu hạn trực tiếp, P là thuần tuý vô hạn với D và P trực giao.
Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh tồn tại sự phân tích. Xét lớp di truyền B
= {X | X(N) nhúng đợc vào E}. Khi đó E = V ⊕ L, ở đây V là môđun B-rỗng và L là môđun B-đầy. Theo cách xây dựng, V và L trực giao. Theo mệnh đề 2.5.6, V là môđun hữu hạn trực tiếp. Ta chứng minh L là môđun thuần tuý vô hạn. Theo Bổ đề Zorn, tồn tại tổng trực tiếp tối đại K = ⊕i∈IYi trong L, ở đâu mỗi Yi đẳng cấu với một luỹ thừa Xi(N). Do đó
K ≅ ⊕i∈IXi(N)≅ (⊕i∈IXi)(N) = ⊕i∈NZi, ở đây Zi ≅⊕i∈IXi, với mọi i∈I.Đặt K1 = ⊕i∈NZ2i-1 và K2 = ⊕i∈NZ2i ta có K = K1⊕K2 và K1 ≅ K ≅ K2. Đặt K1 = ⊕i∈NZ2i-1 và K2 = ⊕i∈NZ2i ta có K = K1⊕K2 và K1 ≅ K ≅ K2. Vì L là môđun nội xạ nên L = F ⊕ N, ở đây N = E(K). Từ tính tối đại của K suy ra rằng F là môđun hữu hạn trực tiếp.
Ta cũng có N = E(K) = E(K1) ⊕ E(K2) ≅ N⊕ N, do đó N là môđun thuần tuý vô hạn.
Mặt khác, áp dụng Bổ đề Zorn, ta có một đơn cấu f :H →N trong đó H là môđun con của F sao cho f không thể mở rộng đợc. Vì L là môđun nội
xạ, nên F nội xạ, do đó H là một hạng tử trực tiếp của F và f(H) là hạng tử trực tiếp của N. Chẳng hạn F = H ⊕ H’ và N = f(H) ⊕ N’. Khi đó ta có
f(H) ⊕ N’ = N ≅ N ⊕ N ≅ f(H) ⊕N’ ⊕ N.
Từ f(H) ≅ H là môđun nội xạ và hữu hạn trực tiếp, theo Định lý 1.29, [2], ta có N’ ≅ N’ ⊕ N. Do N’ là môđun con của N và N thuần tuý vô hạn, theo Bổ đề 2.5.8 ta có N’ ≅ N.
Bây giờ ta chứng minh rằng H’ = 0. Giả sử trái lại, Vì H’ là môđun B- đầy, H’ chứa một môđun con W ≠ 0 sao cho W(N) nhúng đợc vào E. Tức là E
chứa tổng trực tiếp ⊕i∈NWi, ở đây Wj ≅ W, với mọi i∈N. Vì V là môđun B
rỗng, V∩(⊕i∈NWi) = 0, theo Bổ đề 2.5.2. Do đó ⊕i∈NWi nhúng đợc vào L. Vì F là hữu hạn trực tiếp, N∩(⊕i∈NWi ) ≠ 0. Mặt khác ⊕i∈NWi nhúng đợc vào F, điều này là một mâu thuẫn.
Vì T ≤ N ≅ N’, ta có một đơn cấu khác không g : H’’ → N’ trong đó H’’ là môđun con của H’. Khi đó ánh xạ f⊕g : H⊕H’’→ f(H) ⊕N’ = N là một mở rộng của f, mâu thuẫn. Do đó H’ = 0 và F = H. Vì vậy F nhúng đợc vào N. Theo Bổ đề 2.5.8 ta có L = F ⊕ N ≅ N, suy ra rằng L là môđun thuần tuý vô hạn.
Bây giờ ta chứng minh sự duy nhất. Ta sẽ chứng tỏ rằng với sự phân tích khác bất kỳ E = D ⊕ P với các thuộc tính đã cho, D là môđun B-rỗng và P là môđun B-đầy. Từ P(N) nhúng đợc vào P, P là môđun con của E ta có P∈B và do đó P là môđun B-đầy. Bây giờ xét môđun D. Giả sử 0 ≠ X ∈ B sao cho X là môđun con của D. Khi đó E chứa tổng ⊕i∈NXi, ở đây Xi ≅ X, với mọi i∈N. Nếu P ∩(⊕i∈NXi) = 0 thì ⊕i∈NXi nhúng đợc vào D, mâu thuẫn vì D là môđun hữu hạn trực tiếp. Mặt khác P ∩(⊕i∈NXi) ≠ 0, theo Bổ đề 2.5.2, tồn tại môđun con khác không P’ của P và chỉ số t ∈N sao cho P’ nhúng đợc vào Xt. Khi đó P chứa P’ và P’ nhúng vào Xt và Xt đẳng cấu với X ≤ D. Điều này lại mâu thuẫn vì P và D không có môđun con khác 0 đẳng cấu. Do đó X = 0 và D là môđun B-rỗng. Vậy sự phân tích M = L ⊕ V là duy nhất sai khác một siêu phối cảnh.
Tài liệu tham khảo
[1]. Sze Tsen Hu, Nhập môn đại số đồng điều, (1973), Nhà in Minh Sang, (bản dịch tiếng việt).
[2]. S. H. Mohamed and B. J. Muller, Continuous and discrete Modules, (1990), Cambridge Univ. Press.
[3]. D. W. Sharpe and P. Vamos, Injective Modules, (1972), Cambridge Univ. Press.