Chuong 1 mệnh đề tập hợp

CHƯƠNG I : MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP §1 MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Định nghĩa: Mệnh đề câu khẳng định Đúng Sai Một mệnh đề vừa vừa sai 2.Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P ” gọi mệnh đề phủ định P Ký hiệu P Nếu P P sai, P sai P Mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề "nếu P Q " gọi mệnh đề kéo theo Ký hiệu P Þ Q Mệnh đề P Þ Q sai P Q sai Cho mệnh đề P Þ Q Khi mệnh đề Q Þ P gọi mệnh đề đảo Q Þ P Mệnh đề tương đương Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề " P Q " gọi mệnh đề tương đương Ký hiệu P Û Q Mệnh đề P Û Q P Þ Q Q Þ P Chú ý: "Tương đương" gọi thuật ngữ khác "điều kiện cần đủ", "khi khi", "nếu nếu" Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề Ví dụ: P ( n ) : " n chia hết cho 5" với n số tự nhiên P ( x;y ) :" 2x + y = " Với x, y số thực Các kí hiệu " , $ mệnh đề phủ định mệnh đề có chứa kí hiệu " , $ Kí hiệu : đọc với mọi, : đọc tồn Phủ định mệnh đề “ " x Ỵ X , P ( x ) ” mệnh đề “ $x Ỵ X , P (x) ” Phủ định mệnh đề “ $x Ỵ X , P ( x ) ” mệnh đề “ " x Ỵ X , P (x) ” B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MỆNH ĐỀ VÀ TÍNH ĐÚNG SAI CỦA MỆNH ĐỀ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Các câu sau đây, câu mệnh đề, câu mệnh đề? Nếu mệnh đề cho biết mệnh đề hay sai (1) Ở đẹp quá! (2) Phương trình x2 - 3x + = vô nghiệm (3) 16 khơng số ngun tố (4) Hai phương trình x2 - 4x + = x2 - x + + = có nghiệm chung (5) Số p có lớn hay khơng? (6) Italia vô địch Worldcup 2006 (7) Hai tam giác chúng có diện tích (8) Một tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc với Lời giải Câu (1) (5) khơng mệnh đề(vì câu cảm thán, câu hỏi) Các câu (3), (4), (6), (8) mệnh đề Câu (2) (7) mệnh đề sai Ví dụ 2: Cho ba mệnh đề sau, với n số tự nhiên (1) n + số phương (2) Chữ số tận n http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word (3) n - số phương Biết có hai mệnh đề mệnh đề sai Hãy xác định mệnh đề nào, mệnh đề sai Lời giải Ta có số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, Vì - Nhận thấy mệnh đề (1) (2) có mâu thuẫn Bởi vì, giả sử mệnh đề đồng thời n + có chữ số tận nên khơng thể số phương Vậy hai mệnh đề phải có mệnh đề mệnh đề sai - Tương tự, nhận thấy mệnh đề (2) (3) có mâu thuẫn Bởi vì, giả sử mệnh đề đồng thời n - có chữ số tận nên khơng thể số phương Vậy ba mệnh đề mệnh đề (1) (3) đúng, mệnh đề (2) sai Bài tập luyện tập Bài 1.0: Các câu sau đây, câu mệnh đề, câu mệnh đề? Nếu mệnh đề hay cho biết mệnh đề hay sai a) Không lối này! b) Bây giờ? c) Chiến tranh giới lần thứ hai kết thúc năm 1946 d) 16 chia dư e) 2003 không số nguyên tố f) số vơ tỉ g) Hai đường trịn phân biệt có nhiều hai điểm chung Bài 1.1: Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vịng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan Inđơnêxia Trước thi đấu vòng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đốn sau: Dung: Singapor nhì, cịn Thái Lan ba Quang: Việt Nam nhì, cịn Thái Lan tư Trung: Singapor Inđơnêxia nhì Kết quả, bạn dự đoán đội sai đội Hỏi đội đạt giải mấy?  DẠNG TOÁN 2: CÁC PHÉP TOÁN VỀ MỆNH ĐỀ Các phép tốn mệnh đề sử dụng nhằm mục đích kết nối mệnh đề lại với tạo mệnh đề Một số phép toán mệnh đề : Mệnh đề phủ định(phép phủ định), Mệnh đề kéo theo(phép kéo theo), mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương(phép tương đương) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau, cho biết mệnh đề hay sai? P : " Hình thoi có hai đường chéo vng góc với nhau" Q : " số nguyên tố" R : " Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh lại" S : " > - 3" K : " Phương trình x4 - 2x2 + = có nghiệm " H :" ( 3- ) 12 = " Lời giải Ta có mệnh đề phủ định P : " Hai đường chéo hình thoi khơng vng góc với nhau", mệnh đề sai Q : " số nguyên tố", mệnh đề R : " Tổng hai cạnh tam giác nhỏ cạnh lại", mệnh đề sai S : " £ - ", mệnh đề sai K : " phương trình x - 2x + = vô nghiệm ", mệnh đề x4 - 2x2 + = ( x2 - 1) + > H :" ( 3- ) 12 ¹ ", mệnh đề sai http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề P Þ Q phát biểu mệnh đề đảo, xét tính sai a) P : " Tứ giác ABCD hình thoi" Q : " Tứ giác ABCD AC BD cắt trung điểm đường" b) P : "2 > 9" Q : "4 < 3" µ = 2B µ " c) P : " Tam giác ABC vuông cân A" Q : " Tam giác ABC có A d) P : " Ngày tháng ngày Quốc Khánh nước Việt Nam" Q : " Ngày 27 tháng ngày thương binh liệt sĩ" Lời giải a) Mệnh đề P Þ Q " Nếu tứ giác ABCD hình thoi AC BD cắt trung điểm đường", mệnh đề Mệnh đề đảo Q Þ P : "Nếu tứ giác ABCD có AC BD cắt trung điểm đường ABCD hình thoi ", mệnh đề sai b) Mệnh đề P Þ Q " Nếu > < ", mệnh đề mệnh đề P sai Mệnh đề đảo Q Þ P : " Nếu < > ", mệnh đề mệnh đề Q sai µ = 2B µ ", mệnh đề c) Mệnh đề P Þ Q " Nếu tam giác ABC vng cân A A µ = 2B µ vng cân A", mệnh đề sai Mệnh đề đảo Q Þ P : " Nếu tam giác ABC có A d) Mệnh đề P Þ Q " Nếu ngày tháng ngày Quốc Khánh nước Việt Nam ngày 27 tháng ngày thương binh liệt sĩ" Mệnh đề đảo Q Þ P : " Nếu ngày 27 tháng ngày thương binh liệt sĩ ngày tháng ngày Quốc Khánh nước Việt Nam" Hai mệnh đề mệnh đề P ,Q Ví dụ 3: Phát biểu mệnh đề P Û Q hai cách và xét tính sai a) P : "Tứ giác ABCD hình thoi" Q : " Tứ giác ABCD hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau" b) P : " Bất phương trình x2 - 3x > có nghiệm" Q : " ( - 1) - 3.( - 1) > " Lời giải a) Ta có mệnh đề P Û Q mệnh đề P Þ Q, Q Þ P phát biểu hai cách sau: "Tứ giác ABCD hình thoi tứ giác ABCD hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau" "Tứ giác ABCD hình thoi nêu tứ giác ABCD hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau" b) Ta có mệnh đề P Û Q mệnh đề P , Q đúng(do mệnh đề P Þ Q, Q Þ P đúng) phát biểu hai cách sau: " Bất phương trình x2 - 3x > có nghiệm " Bất phương trình x2 - 3x > có nghiệm ( - 1) ( - 1) - 3.( - 1) > 1" - 3.( - 1) > 1" Bài tập luyện tập Bài 1.2: Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau, cho biết mệnh đề hay sai? P : " Trong tam giác tổng ba góc 1800" Q:" ( 3- 27) số nguyên " R : " Việt Nam vô địch Worldcup 2020" > - 2" K : " Bất phương trình x2013 > 2030 vơ nghiệm " S: "- http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài 1.3: Phát biểu mệnh đề P Þ Q phát biểu mệnh đề đảo, xét tính sai a) P : " Tứ giác ABCD hình chữ nhật" Q : "Tứ giác ABCD có hai đường thẳng AC BD vng góc với nhau" b) P : "- 3>- ( 2" Q : " - ) 3 ( > - ) " µ =B µ + Cµ " Q : " Tam giác ABC có BC = AB + AC " c) P : " Tam giác ABC có A d) P : "Tố Hữu nhà Toán học lớn Việt Nam" Q : "Évariste Galois nhà Thơ lỗi lạc Thế giới " Bài 1.4: Phát biểu mệnh đề P Û Q hai cách và xét tính sai a) Cho tứ giác ABDC Xét hai mệnh đề P: " Tứ giác ABCD hình vng" Q: " Tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với " b) P: " Bất phương trình x2 - 3x + > có nghiệm" Q: " Bất phương trình x2 - 3x + £ vơ nghiệm" Bài 1.5: Cho mệnh đề : A : “Nếu ∆ABC có cạnh a, đường cao h h = a ” ; B : “Tứ giác có bốn cạnh hình vuông” ; C : “15 số nguyên tố” ; D : “ 125 số nguyên” a) Hãy cho biết mệnh đề sau, mệnh đề đúng, mệnh đề sai : A Þ B, A Þ D, B Þ C b) Hãy cho biết mệnh đề sau, mệnh đề đúng, mệnh đề sai : A Û B, B Û C, B Û D Bài 1.6: Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo P Þ Q, Q Þ P xét tính sai mệnh đề a) Cho tứ giác ABCD hai mệnh đề: P: " Tổng góc đối tứ giác lồi 1800 " Q: " Tứ giác nội tiếp đường tròn " b) P : " 2- > - 1" Q: " ( 2- ) 2 > ( - 1) "  DẠNG TOÁN 3: MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA KÍ HIỆU " , $ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho mệnh đề chứa biến " P ( x ) : x > x3 " , xét tính sai mệnh đề sau: ỉ1÷ ÷ a) P ( 1) b) P ỗ c) " x ẻ N , P ( x ) d) $x Ỵ N , P ( x ) ỗ ữ ỗ3ứ ố Li gii a) Ta có P ( 1) : > 13 mệnh đề sai ỉ1ư ỉ 1ư ÷ ữ ỗ b) Ta cú P ỗ : > ữ ữ õy l mnh ỳng ỗ ỗ ữ ữ ç ç è3ø è3ø c) Ta có " x Ỵ N , x > x mệnh đề sai P ( 1) mệnh đề sai d) Ta có $x Ỵ N , x > x mệnh đề x - x3 = x ( - x ) ( + x ) £ với số tự nhiên Ví dụ 2: Dùng kí hiệu để viết câu sau viết mệnh đề phủ định http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a) Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho sáu b) Với số thực bình phương số khơng âm c) Có số ngun mà bình phương nó d) Có số hữu tỉ mà nghịch đảo lớn Lời giải a) Ta có P : " n Ỵ N , n ( n + 1) ( n + 2) M6 , mệnh đề phủ định P : $n Ỵ N , n ( n + 1) ( n + 2) M6 b) Ta có Q : " x Ỵ ¡ , x ³ 0, mệnh đề phủ định Q :$x Ỵ ¡ , x2 < c) Ta có R : $n Ỵ Z, n = n , mệnh đề phủ nh l R : " n ẻ Z, n2 n 1 > q , mệnh đề phủ định " q Ỵ Q, £ q q q Ví dụ 3: Xác định tính sai mệnh đề sau tìm phủ định : a) A : " " x Ỵ R, x ³ " d) $q Ỵ Q, b) B: " Tồn số tự nhiên số nguyên tố" c) C : " $x Ỵ N , x chia hết cho x + " d) D: " " n Ỵ N , n - n + hợp số " e) E: " Tồn hình thang hình vng " f) F: " Tồn số thực a cho a + + £ 2" a +1 Lời giải a) Mệnh đề A A : $x Ỵ R, x2 < b) Mệnh đề B B : "Với số tự nhiêu số nguyên tố" c) Mệnh đề C sai C : " " x Ỵ N , x M( x + 1) " d) Mệnh đề D sai với n = ta có n4 - n2 + = 13 hợp số Mệnh đề phủ định D : " $n Ỵ N , n - n + số số nguyên tố" e) Mệnh đề E E : " Với hình thang khơng hình vng " f) Mệnh đề F mệnh đề phủ định F : " Với số thực a a + + > 2" a +1 Bài tập luyện tập Bài 1.7: Xét mệnh đề chứa biến sau, tìm giá trị biến để mệnh đề đúng, mệnh đề sai a) P ( x ) : "x Ỵ R, x - 2x ³ 0" b) Q ( n ) : "n chia hết cho 3, với n Ỵ N " c) R ( x ) : " - 4x2 + 4x - £ với x Ỵ ¡ " Bài 1.8: Xét (sai) mệnh đề phủ định mệnh đề sau : a) " x Ỵ ¡ , x - x + > c) $x Ỵ N , n + chia hết cho ( d) $q Ỵ Q, 2q - = e) $n Ỵ N , n ( n + 1) số phương Bài 1.9: Xác định tính - sai MĐ sau : a)" x Î R, x > - Þ x2 > b)" x ẻ R, x > ị x2 > )( 2 b) " x Î ¡ , x - x + = x + 3x + x - http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ) 3x + c)" x ẻ R, x2 > ị x > d)" x Ỵ N , x > Û x2 > e) " m, n ẻ Ơ , m n số lẻ Û m2 + n2 số chẵn Bài 1.10: a) Với n Ỵ ¥ , cho mệnh đề chứa biến P (n) : "n2 + chia hết cho 4” Xét tính sai mệnh đề P(2007) b) Xét tính sai ca mnh P(n) : $n ẻ Ơ *, n(n + 1) chia hết cho 11” Bài 1.11: a) Cho mệnh đề P : "Với số thực x, x số hữu tỉ 2x số hữu tỉ" Dùng kí hiệu viết P, P xác định tính - sai b) Phát biểu MĐ đảo P chứng tỏ MĐ Phát biểu MĐ dang MĐ tương đương Bài 1.12: Cho số tự nhiên n Xét hai mệnh đề chứa biến : A(n) : "n số chẵn", B(n) : "n2 số chẵn" a) Hãy phát biểu mệnh đề A(n) Þ B(n) Cho biết mệnh đề hay sai ? b) Hãy phát biểu mệnh " n ẻ Ơ , B (n) ị A(n) ” c) Hãy phát biểu mệnh đề “ " n ẻ Ơ , A(n) B (n) Bi 1.13: Xét tính sai mệnh đề sau: a) P :" " x Ỵ R, " y Ỵ R : x + y = 1" b) Q :"$x Î R, $y Î R : x + y = 2" c) R :"$x Ỵ R, " y Ỵ R : x + y = 3" d) S :" " x Ỵ R, $y Ỵ R : x + y = 4" §2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TỐN HỌC A: TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định lí chứng minh định lí · Trong tốn học định lý mệnh đề Nhiều định lý phát biểu dạng " " x Ỵ X , P ( x ) Þ Q ( x ) ", P ( x ) ,Q ( x ) mệnh đề chứa biến · Có hia cách để chứng minh định lí dạng Cách 1: Chứng minh trực tiếp gồm bước sau: - Lấy x Î X mà P ( x ) - Chứng minh Q ( x ) đúng(bằng suy luận kiến thức toán học biết) Cách 2: Chứng minh phản định lí gồm bước sau: - Giả sử tồn x0 Ỵ X cho P ( x0 ) Q ( x0 ) sai - Dùng suy luận kiến thức toán học để đến mâu thuẫn Định lí đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ · Cho định lí dạng " " x Ỵ X , P ( x ) Þ Q ( x ) " (1) Khi P ( x ) điều kiện đủ để có Q ( x ) Q ( x ) điều kiện cần để có P ( x ) · Mệnh đề " x Ỵ X , Q ( x ) Þ P ( x ) gọi định lí đảo định lí dạng (1) Lúc (1) gọi định lý thuận gộp lại thành định lí " x Ỵ X , Q ( x ) Û P ( x ) , ta gọi " P ( x ) điều kiện cần đủ để có Q ( x ) " Ngồi cịn nói " P ( x ) Q ( x ) ", " P ( x ) Q ( x ) ", B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word  DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Chứng minh với số tự nhiên n n3 chia hết cho n chia hết cho Lời giải Giả sử n không chia hết cho n = 3k + n = 3k + 2, k Ỵ Z Với n = 3k + ta có n3 = ( 3k + 1) = 27k3 + 27k2 + 9k + không chia hết cho ba (mâu thuẫn) Với n = 3k + ta có n3 = ( 3k + 2) = 27k3 + 54k2 + 36k + không chia hết cho ba (mâu thuẫn) Vậy n chia hết cho Ví dụ 2: Cho tam thức f ( x ) = ax2 + bx + c,a ¹ Chứng minh tồn số thực α cho a.f ( α ) £ phương trình f ( x ) = ln có nghiệm Lời giải ỉ bư D Ta có f ( x ) = a ỗ x+ ữ , D = b2 - 4ac ữ ỗ ữ ỗ 2a ø 4a è Giả sử phương trình cho vơ nghiệm, nghĩa ∆ < ỉ bư ∆ Khi ta có: af ( x ) = a2 ç x+ ÷ ÷ ç ÷ - > 0, " x ẻ Ă ỗ 2a ứ ố Suy không tồn α để af ( α ) £ , trái với giả thiết Vậy điều ta giả sử sai, hay phương trình cho ln có nghiệm 1 Ví dụ 3: Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = Chứng minh a + b + c > + + có a b c a , b , c ba số lớn Lời giải Giả sử ngược lại, ta có trường hợp sau: · TH1: Với ba số lớn ba số nhỏ mâu thuẫn với giả thiết abc = · TH2: Với hai ba số lớn 1, khơng tính tổng qt giả sử a > 1, b > Vì abc = nên c < ( a - 1) ( b - 1) ( c - 1) < Û abc + a + b + c - ab - bc - ca - < 1 + + (mâu thuẫn) a b c Vậy có ba số a, b, c lớn Ví dụ 4: Chứng minh tam giác có đường trung tuyến vừa phân giác xuất phát từ đỉnh tam giác cân đỉnh Lời giải Giả sử tam giác ABC có AH vừa đường trung tuyến vừa đường phân A giác khơng cân A Khơngmất tính tổng qt xem AC > AB Trên AC lấy D cho AB = AD Gọi L giao điểm BD AH · · Khi AB = AD, BAL = LAD AL chung nên D ABL = D ADL D Û a + b + c < ab + bc + ca Û a + b + c < Do AL = LD hay L trung điểm BD Suy LH đường trung bình tam giác CBD Þ LH / / DC điều mâu thuẫn LH , DC cắt A Vậy tam giác ABC cân A Bài tập luyện tập L B http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word H C Bài 1.14: Chứng minh phương pháp phản chứng: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = vơ nghiệm a c dấu Bài 1.15: Chứng minh phương pháp phản chứng: Nếu hai số ngun dương có tổng bình phương chia hết cho hai số phải chia hết cho Bài 1.16: Chứng minh : Nếu độ dài cạnh tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 c độ dài cạnh nhỏ tam giác Bài 1.17: Cho a, b, c dương nhỏ Chứng minh ba bất đẳng thức sau sai 1 a ( - b) > , b( - c ) > , c ( - a ) > 4 Bài 1.18: Nếu a1a2 ³ 2( b1 + b2 ) hai phương trình x2 + a1x + b1 = 0, x2 + a2x + b2 = có nghiệm Bài 1.19: Chứng minh số vô tỉ ìï a + b + c > ïï Bài 1.20: Cho số a, b, c thỏa điều kiện : ïí ab + bc + ca > ïï ïïỵ abc > Chứng minh ba số a, b, c dương (1) (2) (3) Bài 1.21: Chứng minh phản chứng định lí sau : “Nếu tam giác ABC có đường phân giác BE, CF nhau, tam giác ABC cân” Bài 1.22: Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 100 Chứng minh tìm đoạn để ghép thành tam giác  DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG THUẬT NGỮ ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐIỀU KIỆN ĐỦ, ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho định lí : “Cho số tự nhiên n Nếu n5 chia hết cho n chia hết cho 5” Định lí viết dạng P Þ Q a) Hãy xác định mệnh đề P Q b) Phát biểu định lí cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần” c) Phát biểu định lí cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ” d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) định lí dùng thuật ngữ “điều kiện cần đủ” phát biểu gộp hai định lí thuận đảo Lời giải a) P : “n số tự nhiên n5 chia hết cho 5”, Q : “n chia hết cho 5” b) Với n số tự nhiên, n chia hết cho điều kiện cần để n chia hết cho ; phát biểu cách khác : Với n số tự nhiên, điều kiện cần để n5 chia hết cho n chia hết cho c) Với n số tự nhiên, n5 chia hết cho điều kiện đủ để n chia hết cho d) Định lí đảo : “Cho số tự nhiên n, n chia hết cho n chia hết cho 5” Thật vậy, n = 5k n = 55.k5 : Số chia hết cho Điều kiện cần đủ để n chia hết cho n5 chia hết cho Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề sau với thuật ngữ "Điều kiện cần", "Điều kiện đủ" a) Nếu hai tam giác chúng có diện tích b) Nếu số nguyên dương chia hết cho chia hết cho c) Nếu hình thang có hai đường chéo hình thang cân d) Nếu tam giác ABC vuông A AH đường cao AB = BC BH Lời giải http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a) Hai tam giác điều kiện đủ để chúng có diện tích Hai tam giác có diện tích điều kiện cần để chúng b) Số nguyên dương chia hết cho điều kiện đủ để chia hết cho Số nguyên dương chia hết cho điều kiện cần để chia hết cho c) Hình thang có hai đường chéo điều kiện đủ để hình thang cân Hình thang cân điều kiện cần để có hai đường chéo d) Tam giác ABC vuông A AH đường cao điều kiện đủ để AB = BC BH Tam giác ABC có AB = BC BH điều kiện cần để vng A AH đường cao Ví dụ 3: Dùng thuật ngữ điều kiện cần đủ để phát biểu định lí sau a) Tam giác ABC vuông AB + AC = BC b) Tứ giác hình chữ nhật có ba góc vng c) Tứ giác nội tiếp đường tròn có hai góc đối bù d) Một số chia hết cho có chữ số tận số chẵn Lời giải a) Tam giác ABC vuông điều kiện cần đủ để AB + AC = BC b) Tứ giác hình chữ nhật điều kiện cần đủ để có ba góc vng c) Tứ giác nội tiếp đường tròn điều kiện cần đủ để có hai góc đối bù d) Một số chia hết cho điều kiện cần đủ để có chữ số tận số chẵn Bài tập luyện tập Bài 1.23: Phát biểu định lý sau cách sử dụng khái niệm " Điều kiện cần", " Điều kiện đủ " a) Nếu mặt phẳng, hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ hai đường thẳng song song với b) Nếu số nguyên dương có chữ tận chia hết cho c) Nếu tứ giác hình thoi đường chéo vng góc với d) Nếu tam giác chúng có góc tương ứng e) Nếu số nguyên dương a chia hết cho 24 chia hết cho Bài 1.24 Dùng thuật ngữ điều kiện cần đủ để phát biểu định lí sau a) Một tam giác tam giác cân, có hai góc b) Tứ giác hình bình hành tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường c) x ³ y Û x ³ y uuur uur d) Tứ giác MNPQ hình bình hành MN = QP Bài 1.25: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí sau: a) “Nếu tứ giác hình vng có bốn cạnh nhau” Có định lí đảo định lí khơng , sao? b) “Nếu tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc” Có định lí đảo định lí khơng , sao? Bài 1.26: Dùng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu định lí sau : a) Nếu MA ^ MB M thuộc đường trịn đường kính AB ; b) a ¹ b ¹ điều kiện đủ để a2 + b2 > §3: TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT Tập hợp • Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa • Cách xác định tập hợp: + Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc { … } + Chỉ tính chất đăc trưng cho phần tử tập hợp • Tập rỗng: tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu ∅ http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Tập hợp – Tập hợp bng ã A è B ( "x ẻ A ị x ẻ B ) Cỏc tớnh cht: + A Ì A, " A + Ỉ Ì A, " A + A Ì B, B Ì C Þ A Ì C • A = B Û (A Ì B B Ì A) Û ( " x, x Ỵ A Û x Ỵ B ) Một số tập tập hợp số thực Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Tập số thực ( - ¥ ; +¥ ) Hình biểu diễn ¡ | ù Đoạn é ëa ; bû {x Ỵ ¡ | a £ x £ b} /////[ ]//// Khoảng ( a ; b) {x Ï ¡ | a < x < b} /////( )//// Khoảng (- Ơ ; a) {x ẻ Ă | x < a} Khong (a ; + Ơ ) {x ẻ Ă | a e) " x Ỵ ¡ , x4 - x2 + 2x + ³ Bài 1.68: Xét định lí : “Nếu x số thực âm x + £ - ” x a) Viết định lí dạng kí hiệu b) Định lí có định lí đảo khơng ? Giải thích c) Sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần" "điều kiện đủ" để phát biểu định lí Bài 1.69: Chứng minh phản chứng định lí sau : a) Chứng minh với n ∈ N , ta có: n : lẻ ⇔ 3n + : chẵn b) Cho x, y Ỵ  Nếu x2 + y2 – 2x + 4y + > x ¹ y ¹ - c) Nếu x ≠ – y ≠ – x + y + xy ≠ – Bài 1.70: Cho cỏc hp: A = {x ẻ Â | - £ x < 6}, B = {x ẻ Ô | (1- 3x)(x4 - 3x2 + 2) = 0}, C = {0;1;2;3;4;5;6} a) Viết tập hợp A, B dạng liệt kê phần tử, tập C dạng rõ tính đặc trưng phần tử b) Tìm A Ç B, A È B, A \ B, C B ÈAA Ç B c) Chứng minh A Ç (B È C ) = A Bài 1.71: Tìm quan hệ bao hàm hay tập hợp sau đây: a) A = { x Î ¥ x