Khi khảo sát các hệ lượng tử cũng như khảo sát các hệ cổ điển ta cần phải biết định luật phân bố xác suất của các trạng thái riêng lẽ. Để tìm các định luật người ta đưa ra các thống kê lượng tử. Từ việc tìm hiểu các thống kê lượng tử người ta áp dụng chúng để nghiên cứu tính chất các hệ lượng tử.
LỜI CẢM ƠN “Để hoàn thành tiểu luận này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: Ban giám hiệu trường Đại Học Sư phạm Huế tạo điều kiện sở vật chất với hệ thống thư viện đại, đa dạng loại sách, tài liệu thuận lợi cho việc tìm kiếm, nghiên cứu thơng tin Xin cảm ơn giảng viên môn – PGS.TS Lê Thị Thu Phương giảng dạy hướng dẫn tận tình, chi tiết để em có đủ kiến thức vận dụng chúng vào tiểu luận Do chưa có nhiều kinh nghiệm làm để tài hạn chế kiến thức, tiểu luận chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận nhận xét, ý kiến đóng góp, phê bình từ phía Cơ để tiểu luận hồn thiện Lời cuối cùng, em xin kính chúc cô nhiều sức khỏe, thành công hạnh phúc Sinh viên thực Giang Thị Quyên MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài 2.Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng nghiên cứu 4.Phương pháp nghiên cưú Cấu trúc tiểu luận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 1.1 Các hệ lượng tử tính chất chúng 1.1.1 Giới thiệu hệ lượng tử 1.1.2 Các đặc tính hệ 1.2 Ap dụng phương pháp thống kê vào hệ lượng tử 1.2.1 Cách mô ta hệ lượng tử 1.2.2 Ap dụng phương pháp thống kê vào hệ lượng tử 1.3 Phân bố tắc lượng tử 1.4 Thống kê Maxwell-Boltzmann lượng tử 13 1.5 Thống kê Fermi – Dirac 14 1.5 Thống kê Bose – Einstein 16 1.6 So sánh phân bố Maxwell-Boltzmann, Boson–Einstein Fermi– Dirac 17 CHƯƠNG 2: BÀI TẬP 20 2.1 Bài tập có lời giải 20 2.2 Bài tập không lời giải 33 PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 A.KẾT LUẬN 34 B TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Trong năm gần việc nghiên cuuws vật lý vi mơ nói chung lý tuyết trường lượng tử nói riêng tạo nên sở giới quan vật lý để lý giải chất hạt vi mơ mặt tính chất cấu trúc Cùng với phát triển lịch sử học loài người vật lý học trải qua nhiều giai đoạn phát triển đạt nhiều thành tựu quan trọng Từ học cổ điển Niuton đến lý thuyết trường điện từ Maxwell Faraday, Ngày lý hoạc đại với khuynh hướng thâm nhập sau vào cấu trúc vi mô vật chất ta thấy ngồi quy luật tìm thấy vật lý cổ điển xuất qui luật qui luật thống kê Vật lý thống kê phận vật lý đại nghiên cứu hệ nhiều hạt phương pháp thống kê Khi khảo sát hệ lượng tử khảo sát hệ cổ điển ta cần phải biết định luật phân bố xác suất trạng thái riêng lẽ Để tìm định luật người ta đưa thống kê lượng tử Từ việc tìm hiểu thống kê lượng tử người ta áp dụng chúng để nghiên cứu tính chất hệ lượng tử Trên sở tơi chọn đề tài “ Các hệ lượng tử thống kê tập vận dụng” để nghiên cưu tính chất hệ hạt vi mơ 2.Mục đích nghiên cứu - Các thống kê lượng tử - Bài tập có liên quan Đối tượng nghiên cứu - Các thống kê lượng tử theo phương pháp Gipxo 4.Phương pháp nghiên cưú -Nghiên cứu lý thuyết - Vật lý lý thuyết -Một số tập điển hình Cấu trúc tiểu luận -Gồm ba phần: mở đầu, nội dung, kết luận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 1.1 Các hệ lượng tử tính chất chúng 1.1.1 Giới thiệu hệ lượng tử Hệ lượng tử hệ cấu thành hạt lượng tử Hạt lượng tử hạt tuân theo định luật học lượng tử VD: Hệ electron trng kim loại, khí phonon … Cơ học lượng tử mơ tả tính chất đặc tính riêng biệt hạt giới vi mô mà thông thường khơng giải thích dựa vào quan điểm cổ điển 1.1.2 Các đặc tính hệ a) Lưỡng tính sóng – hạt đối tượng vi mơ Từ suy nghĩ cho lượng tử ánh sáng, hay photon, vừa mang tính chất sóng, vừa mang tính chất hạt, De Broglie cho hạt thông thường mang tính chất sóng Điều quan niệm cổ điển khơng giải thích Sự kiện phản ánh hệ thức bất định Haizenbec tìm năm 1925, nói lên rằng: độ bất định ∆𝑥 ∆𝑝 việc xác định tọa độ xung lượng hạt vi mô liên hệ với hệ thức ∆𝑥 ∆𝑝 ≥ ℎ (1.1) ∆𝐸 ∆𝑡 ≥ ℎ (1.2) Đối với hạt vi mơ có lượng nhỏ, có kích thước xung lượng nhỏ, độ xác phép đo đồng thời thơng số chưa đủ đạt u cầu Như trạng thái hạt vi mô học lượng tử diễn tả tọa độ xung lượng, làm học cổ điển( phương trình tắc Haminton) Các mức lượng xác định có trạng thái dừng, nghĩa chúng không xác định cách xác theo thời gian Do có đặc tính sóng- hạt nên hạt vi mơ khơng có tọa độ xác -định tuyệt đối xác, mà bị “ nhịe đi” khơng gian Khi hai hạt tồn miền không gian định khơng thể phân biệt chúng nhau, khơng thể theo dõi chuyển động hạt.Đó tính đồng hạt học lượng tử b) Tính gián đoạn phân số vật lý đặc trưng cho hạt vi mô Để diễn tả cách tốn học đặc tính đại lượng vật lí, ta gán cho đại lượng vật lí tốn tử tương ứng định Trong học lượng tử, đại lượng vật lí biểu diễn toán tử trị số chúng xác định trị riêng tốn tử Theo học lượng tử, ngồi lượng E hệ đại lượng moomen động lượng, spin, moomen từ hình chiếu chúng lên phương tách riêng bất kì, lấy trị số rời rạc Chẳng hạn bình phương mơmen động lượng lấy trị số sau 𝑀2 = ħ2 𝑙(𝑙 + 1) (1.3) Trong l = 0, 1, 2,… gọi số lượng tử quỹ đạo Spin có trị số 𝑆 = ħ2 𝑠(𝑠 + 1) Trong s = 0, 1/2 , 1, 3/2 … ⃗⃗⃗ + 𝑆⃗) có Bình phương momen động lượng tồn phần 𝐽2 (𝑗⃗ = 𝑀 thể có trị số 𝐽2 = ħ2 𝑗(𝑗 + 1) Trong j = ± 𝑠, gọi số lượng tử mơmen tồn phần hay số lượng tử nội Hình chiếu mơmen từ quỹ đạo lên phương từ trường ngồi có trị số 𝜇𝑙𝑥 = 𝜇𝐵𝑚1 Trong 𝜇𝐵 = 𝑒ħ 2𝑚𝑐 manheto Bo m1 có 2𝑙 + giá trị + 𝑙, 𝑙 − … 0, … − 𝑙 Hình chiếu mơmen từ riêng (mơmen từ spin) lên phương từ trường ngồi có trị số 𝜇𝑠𝑧 = 2𝜇𝐵 𝑚𝑠 Trong 𝑚𝑠 lấy 2s + giá trị + s, s-1…-s Hình chiếu mơmen từ tồn phần lên phương từ trường ngồi có trị số 𝜇𝑧 = 𝑔𝑀𝐵 𝑚𝑧 Trong 𝑚𝑧 gọi số lượng tử từ có 2𝑗 + giá trị +𝑗, 𝑗 − … −𝑗, gọi thừa số Lanđơ có giá trị số khác tùy thuộc vào chất hạt (vào spin hạt) vào số lượng tử quỹ đạo 𝑙 c) Đặc tính spin Ngồi tính chất thông số mà ta dùng để diễn tả hạt vi mô cách cổ điển khối lượng, điện tích ta phải đưa vào thơng số tính chất mới, t “lượng tử” Đó “spin” hạt, “tương tác trao đổi”, “nguyên lí Pauli”, “nguyên lí hạt đồng nhất”, “tính chất suy biến mức lượng”, “hệ thức bất định Heisenberg ” 1.2 Ap dụng phương pháp thống kê vào hệ lượng tử 1.2.1 Cách mô ta hệ lượng tử Trước ngiên cứu việc áp dụng phương pháp thống kê vào hệ lượng tử ta xét xem: Các hệ mô tả nào? Để mô ta đại lượng vật lý khác mối liên hệ chúng, học lượng tử người ta dùng cấc tốn tử tuyến tính tự liên hợp 𝐿̂ tác dụng lên hàm 𝜓 gọi hàm sóng Tốn tử biểu diễn đại lượng định cho ta biết, tác dụng cần phải tiến hành hàm sóng VD: Tốn tử tọa độ 𝑋̂ rõ hám sóng nhận cách đơn giản với tọa độ 𝑋̂𝜓 = 𝑋𝜓 Tốn tử hình chiếu xung lượng: 𝑝 ̂𝜓 𝑥 = −𝑖ћ 𝜕𝜓 𝜕𝑥 Chỉ rõ cần phải lấy vi phân hàm sóng theo x Tốn tử động ta cần phải lấy tổng đạo hàm bậc hai hàm sóng 𝑇̂ = − ћ 𝜕2 𝜕2 𝜕2 + + ( ) 2𝑚 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 (1.4) ̂ tương ứng với lượng toàn phần Trong học lượng tử toán tử 𝐻 hệ ћ 𝜕2 𝜕2 𝜕2 ̂ = 𝑇̂ + 𝑈 ̂= 𝐻 + + ( ) + 𝑈(𝑥) (1.5) 2𝑚 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Trong học lượng tử để diễn tả trạn thái cảu hệ vật lý người ta dùng phương trình Schrodinger: ̂ 𝜓 = 𝑖ћ 𝐻 𝜕𝜓 𝜕𝑡 (1.6) Đối với trạng thái dừng phương trình Schrodinger viết dạng sau: ̂ 𝜓 = 𝐸𝑛 𝜓𝑛 𝐻 (1.7) Mỗi giá trị riêng 𝐸𝑛 tương ứng với hay nhiều trạng thái xác định hệ, diễn tả hay nhiều hàm riêng Nếu mức lượng tương ứng với nhiều hàm riêng mức lượng gọi suy biến, trạng thái ứng với lượng E cho gọi độ suy biến hay trọng số thống kê g(E) Theo hệ thức bất định, hàm sóng diễn tả trạng thái hệ phụ thuộc vào tọa độ 𝜓(𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 ) Hoặc vào xung lượng 𝜓(𝑝1 , 𝑝, … , 𝑝𝑁 ) Hàm sóng có ý nghĩa thống kê Cụ thể là, bình phương mơđun hàm sóng |𝜓(𝑞)|2 hay 𝜓𝜓 ∗ liên hệ vơi xác suất tìm hệ lượng tử có tọa độ 𝑞1 , 𝑞2 … 𝑞𝑛 yếu tố không gian tọa độ 𝑑𝑞 = 𝑑𝑞1 , 𝑑𝑞2 … 𝑑𝑞𝑛 theo hệ thức 𝑑𝑊(𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑁 ) = |𝜓|2 𝑑𝑞1 , 𝑑𝑞2 … 𝑑𝑞𝑁 = |𝜓|2 𝑑𝑞 Nghĩa |𝜓|2 mật độ phân bố xác suất Do bình phương cảu mơđun hàm sóng cần phải thỏa mãn điệu kiện chuẩn hóa dạng +∞ ∫ |𝜓|2 𝑑𝑞 = −∞ Trong tích phân lấy theo tồn khơng gian tọa độ hệ Nếu hàm sóng 𝜓(𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛 ) thỏa mãn phương trình Schodinger hàm sóng 𝜓(𝑝1 , 𝑝, … , 𝑝𝑁 ) thứ tự hạt thay đổi, thỏa mãn phương trình Đặc tính hàm sóng phản ánh tính khơng thể phân biệt hạt học lương tử, tọa độ hạt riêng lẻ đổi chỗ cho ta không thấy xuất hiện tượng Hàm sóng mà nõ đổi dấu hốn vị hai hạt gọi hàm sóng phản đối xứng Cịn hàm sóng khơng đỏi dấu hốn vị hai hạt gọi àm sóng đối xứng Tínhđối xứng hàm sóng hệ lượng tử phụ thuộc vào spin hạt cấu thành hệ Nếu hạt cấu thành hệ có spin ngun trạng thái hệ diễn tả hàm sóng đối xứng 𝜓(1,2) = 𝜓(2,1) Nếu hạt cấu thành hệ có spin bán nguyên trạng thái hệ diễn tả hàm sóng phản đối xứng 𝜓(1,2) = − 𝜓(2,1) Tính đối xứng hàm sóng xác định số trạng thái hệ dẫn tới hai loại thống kê lượng tử: Thống kê Fermi-Dirac thống kê BozeEinstein Hạt có spin bám nguyên tuân theo nguyên lí loại trừ pauli, hệ khơng thể có hai hạt nằm hệ lượng tử 1.2.2 Ap dụng phương pháp thống kê vào hệ lượng tử Nhiệm vụ vật lý thống kê lượng tử nghiên cứu tính chất hệ nhiều hạt mô tả phương pháp học lượng tử Cũng trường hợp vật lý thống kê cổ điển, trạng thái vi mô hệ lượng tử thực tế cịn chưa biết Phương trình Schodinger cho phép ta tìm phổ trạng thái khả hữu hệ cịn khơng thể trả lời câu hỏi : thời điểm cho, hệ lượng tử mằm trạng thái nào? Cũng trường hợp cổ điển, để trả lời câu hỏi ta phải xét tập hợp trạng thái vi mơ khác tương thích với điều kiện bên ngồi định Sau đó, dựa vào cá trạng thái khả hữu hệ phương pháp thống kê, ta xác định xác suất trạng thái, đó, xác định trị trung bình các thơng số vi mơ khác hệ Nói khác đi, khảo sát hệ lượng tử khảo sát hệ cổ điển ta cần phải biết định luật phân bố xác suất trạng thái riêng lẻ Để tìm định luật phân bố thống kê lượng tử, người ta sử dụng phương pháp Gipxơ 1.3 Phân bố tắc lượng tử Phương pháp Gipxơ mà ta xét hệ vật lý thống kê cổ điển áp dụng đểv nghiên cứu hệ lượng tử, nhiên, đặc tinha hạt vi mô cảu hệ lượng tử, nên áp dụng phương pháp ta cần có nhứng thay đổi thích hợp Đối với hệ đẳng nhiệt xác suất để hệ nằm trạng thái có lượng 𝐸𝑘 là: 𝜓 − 𝐸𝑘 𝑊𝑘 = exp { } 𝜃 (1.8) Đó phân bố tắc lượng tử Trạng thái vi mô hệ lượng tử diễn tả hàm sóng 𝜓𝑘 với lượng cho 𝐸𝑘 trị trung bình mơt đại lượng vật lý ℒ đo dược trạng thái vi mô 𝜓𝑘 〈𝐿̂〉𝑘 = ∫ 𝜓𝑘∗ 𝐿̂ 𝜓𝑘 (𝑞)𝑑𝑞 (1) Sự biến thiên trạng thái ứng với thời gian xác định phương trình Schodinger: ̂ 𝜓 = 𝑖ћ 𝐻 𝜕𝜓 𝜕𝑡 (2) Nếu hệ nằm trạng thái dừng 𝜓𝑘 với lượng cho 𝐸𝑘 ta tìm 𝜓𝑘 𝐸𝑘 từ phương trình: ̂ 𝜓𝑘 = 𝐸𝑘 𝜓𝑘 𝐻 (3) Tương tự trường hợp cổ điển, trạng thái vĩ mô định hệ lượng tử tương ứng với tập hợp trạng thái vi mô 𝜓𝑘 xác suất để hệ nằm trạng thái vi mô 𝜓𝑘 sễ 𝑊𝑘 mà ta phải tìm Và giống trường hợp cổ điển, tập hợp thống kê lượng tử tập hợp hệ tương tự trạng thái vi mơ khác Vì vậy, tập hợp thống kê lượng tử mô ta tập hợp hàm sóng 𝜓𝑘 tập hợp tương ứng xác suất 𝑊𝑘 trạng thái diễn tả 𝜓𝑘 Do đó, theo lí thuyết xác suất trị trung bình đại lượng ℒ theo tập hợp thống kê lượng tử xác định theo công thức: ℒ̅ = ∑ 𝑊𝑘 〈ℒ̅ 〉 ∫ 𝜓𝑘∗ ℒ̂ 𝜓𝑘 (𝑞)𝑑𝑞 𝑘 (4) Ta viết công thức (4) dạng tương tự cơng thức tính trung bình pha Vật lý thống kê cổ điển, neeus ta đưa vào phần tử ma trận toán tử Khi ta có: ℒ̅ = ∬ ℒ(𝑞, 𝑞 ′ )⍴(𝑞 ′ , 𝑞)𝑑𝑞𝑑𝑞 ′ (5) 𝑞𝑞 Ở ℒ(𝑞, 𝑞 ′ ) phần tử ma trận tốn tử ℒ̂ cịn ⍴(𝑞 ′ , 𝑞) ma trận mật độ định nghĩa sau: ⍴(𝑞 ′ , 𝑞) = ∑ 𝑊𝑘 𝜓𝑘∗ (𝑞′ )𝜓𝑘 (𝑞) (6) 𝑘 Ma trận mật độ phần tử ma trận toán tử mật độ ⍴̂ định nghĩa sau: ⍴̂𝜓𝑘 (𝑞) = ∑ ⍴(𝑞 ′ , 𝑞) 𝜓𝑘 (𝑞′)𝑑𝑞 ′ (7) 𝑘 Trong trường hợp tổng quát ma trận mật độ gọi hàm thời gian, tốn tử mật độ phụ thuộc vào thời gian ta có: ⍴(𝑞, 𝑞′, 𝑡) = ∑ 𝑊𝑘 𝜓𝑘∗ (𝑞 ′ , 𝑡)𝜓𝑘 𝑑(𝑞, 𝑡) (8) 𝑘 Với 𝜓𝑘 (𝑞, 𝑡) xác điịnh từ phương trình Ta tìm phương trình để xác định ⍴(𝑞, 𝑞′, 𝑡) Theo (2) ta có: 𝑖ћ 𝜕𝜓𝑘 (𝑞, 𝑡) ̂ 𝜓𝑘 (𝑞, 𝑡) =𝐻 𝜕𝑡 (9) ̂, Hay đưa vào phần tử ma trận tốn tử 𝐻 Do từ (8) (9) ta thấy ma trận mật độ ⍴(𝑞, 𝑞′, 𝑡) thỏa mãn phương trình: 𝑖ћ 𝜕⍴(𝑞, 𝑞′, 𝑡) = ∫ ∑[𝐻(𝑞, 𝑞′′)𝑊𝑘 𝜓𝑘 (𝑞′′, 𝑡)𝜓𝑘∗ (𝑞 ′ , 𝑡) 𝜕𝑡 𝑘 −𝑊𝑘 𝜓𝑘 (𝑞, 𝑡)𝜓𝑘∗ (𝑞′′, 𝑡)𝐻(𝑞′′, 𝑞)]𝑑𝑞′′ = ∫[𝐻(𝑞, 𝑞") ⍴(𝑞′′, 𝑞′, 𝑡) − ⍴(𝑞, 𝑞′′, 𝑡)𝐻(𝑞′′, 𝑞′)]𝑑𝑞′′ 𝐻∗ (𝑞, 𝑞 ′ ) = 𝐻(𝑞 ′ , 𝑞) hay là: 10 Nội khí Bose bằng: 𝜀𝑖 (𝜇 − 𝜀𝑖 ) 𝑒𝑥𝑝 { −1 𝑘𝑇 } 𝑈 = ∑ 𝜀𝑖 𝑛𝑖 = ∑ 𝑖 𝑖 Thay tổng tích phân ta được: 3⁄ 2𝑚 𝑈 = 2𝜋𝑉 ( ) ℎ 𝜀 ⁄2 ∫ (𝜇 − 𝜀𝑖 ) 𝑒𝑥𝑝 { −1 𝑘𝑇 } ∞ Trong trường hợp suy biến yếu, khai triển hàm dấu tích phân thành chuỗi: ∞ = ∑ 𝑒 −𝑗𝑥 𝑒𝑥 − 𝑗=1 Và đó: 2𝑚 𝑈 = 2𝜋𝑉 ( ) ℎ 3⁄ 2𝑚 = 2𝜋𝑉 ( ) ℎ 3⁄ ∞ ∞ ∑∫ 𝜀 − 𝜀𝑖 ) } 𝑑𝜀 𝑘𝑇 𝑗(𝜇 3⁄ 𝑒𝑥𝑝 { 𝑗=1 ∞ 5⁄ (𝑘𝑇) ∑ 𝑗=1 ∞ 𝑗𝜇 3⁄ −𝑥 𝑒 𝑑𝑥 𝑒𝑥𝑝 ∫ 𝑥 { } 5⁄ 𝑘𝑇 𝑗 2𝜋𝑚𝑘𝑇 = 𝑘𝑇𝑉 ( ) ℎ2 𝑗𝜇 𝑒𝑥𝑝 ( ) 𝑘𝑇 ∑ 5⁄ 𝑗 𝑗=1 3⁄ ∞ Bài 3: Phổ lượng photon có dạng 𝐸(𝑞) = ћ𝑐𝑞 Trong 𝑞 = |𝑞⃗| , 𝑞⃗ vecto sóng Tính lượng tự entropi khí photon Bài giải Thế hóa học 𝜇 khí photon băng khơng Do lượng tự khí photon 𝐹 = 𝑁𝜇 − 𝑝𝑉 = −𝑝𝑉 Mặt khác, 21 𝑝𝑉 = −𝑘𝑇 ∑ 𝑙𝑛 [1 − 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑖 ℎ𝑣𝑖 )] 𝑘𝑇 Tổng theo i thực tổng theo tất giá trị vecto sóng q thay tích phân Số trạng thái với lượng 𝜀 bằng: 4𝜋𝑉𝑝2 𝑑𝑝 4𝜋𝑉ℎ3 𝑞 𝑑𝑞 4𝜋𝑉𝑞 𝑑𝑞 𝑑𝑁(𝑞) = = = ℎ3 ℎ3 (2𝜋)3 Khi tính đến hai định hướng phân cực photon, ta thu ∞ ћ𝑐𝑞 4𝜋𝑞 𝑝𝑉 = −𝑘𝑇 ∫ 𝑙𝑛 [1 − 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑉𝑑𝑞 )] 𝑘𝑇 (2𝜋)3 ∞ (𝑘𝑇)4 𝑉 =− ∫ ln(1 − 𝑒 𝑥 )𝑥 𝑑𝑥 𝜋 (ћ𝑐) ∞ (𝑘𝑇)4 𝑉 𝑥3 = ∫ 𝑑𝑥 3𝜋 (ћ𝑐)3 − 𝑒 𝑥 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑥 = ћ𝑐𝑞 , 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 𝑘𝑇 ∞ 𝑥3 𝜋4 ∫ 𝑑𝑥 = − 𝑒𝑥 15 Cuối ta có: 𝜋 (𝑘𝑇)4 𝜎 𝑝𝑉 = −𝐹 = 𝑉 = 𝑉𝑇 45(ћ𝑐)3 𝜋 2𝑘4 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝜎 = 𝑙à ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố 𝑆𝑡𝑒𝑓𝑎𝑛 − 𝐵𝑜𝑙𝑡𝑧𝑚𝑎𝑛𝑛 45(ћ𝑐)3 Nếu biết lượng tự tính entropi 𝑆 = −( 𝜕𝐹 4𝜎 𝑉𝑇 ) = 𝜕𝑇 𝑣 22 Bài 4: Rút công thức Plank xạ nhiệt môi trường tán sắc chiết suất phụ thuộc vào tần số xạ Bài giải Trong môi trường với chiết suất n(v), vecto sóng xạ xác định cơng thức : 𝑞 = 𝑛(𝑣) 2𝜋𝑣 𝑐 Số dao động riêng khoảng số sóng từ q đến q+dq xạ điện từ chiếm thể tích V 𝑉𝑞 𝑑𝑞 𝑑𝑁(𝑞) = 𝜋2 Khi chuyển đến phân bố theo tần số, ta thu 𝑑𝑞 = = 2𝜋 𝑑𝑛(𝑣) [𝑛(𝑣) + 𝑣 ] 𝑑𝑣 𝑐 𝑑𝑣 2𝜋𝑛(𝑣) 𝑑𝑙𝑛[𝑛(𝑣)𝑣] 𝑑𝑣 𝑐 𝑑𝑙𝑛𝑣 Do đó, số dao động mà tần số chúng nằm khoảng v-v+dv 𝑉 2𝜋𝑛(𝑣) 𝑑𝑙𝑛[𝑛(𝑣)𝑣] 𝑑𝑁(𝑣) = [ 𝑑𝑣 ] 𝑣 𝜋 𝑐 𝑑𝑙𝑛𝑣 Sau nhân biểu thức với lượng trung binhfcuar dao động tử điều hòa: 𝜀(𝑣, 𝑇) = ℎ𝑣 ℎ𝑣 exp [ ] − 𝑘𝑇 Ta thu công thức Plank xạ nhiệt: 𝑞𝜋𝑛3 (𝑣)ℎ𝑣 𝑑𝑙𝑛[𝑛(𝑣)𝑣] 𝑈(𝑣, 𝑇) = ℎ𝑣 𝑐3 𝑑𝑙𝑛𝑣 exp [ ] − 𝑘𝑇 Bài 5: Rút điịnh luật xạ Planck không gian hai chiều Sử dụng kết thu rút định luật Stefan- Boltzmann không gian hai chiều 23 Bài giải Đối với khí hai chiều 𝑑𝛺 = 2𝜋𝜀𝑑𝜀 𝑐 ℎ2 Số photon với lượng khoảng 𝜀 − 𝜀 + 𝑑𝜀 bằng: 𝑑𝑛 = 2.2𝜋 𝜀 𝑑𝜀 𝜀 𝑐 ℎ2 [exp ( ) − 1] 𝑘𝑇 Mật độ xạ cân 4𝜋 𝜀 𝑑𝜀 𝜌(𝑣, 𝑇) = 𝜀𝑑𝑛 = 𝜀 𝑐 ℎ2 [exp ( ) − 1] 𝑘𝑇 4𝜋 ℎ𝑣 𝑑𝜀 = 𝜀 𝑐 [exp ( ) − 1] 𝑘𝑇 Năng lượng toàn phần xạ tần số bằng: ∞ ∞ 4𝜋 ℎ𝑣 𝑑𝜀 4𝜋 ℎ 𝑘𝑇 𝑥2 𝐸=∫ = ( ) ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 ℎ 𝑒 −1 [exp ( 𝜀 ) − 1] 𝑐 0 𝑘𝑇 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑥 = ℎ𝑣 𝑘𝑇 ∞ 𝑥2 𝑉ì ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 2,4 𝑛ê𝑛 𝑒 −1 9,6𝜋ℎ 𝑘𝑇 𝐸= ( ) = 𝜎𝑇 𝑐 ℎ 9,6𝜋𝑘 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝜎 = 2 𝑐 ℎ Bài 6: Ơ không độ tuyệt đối, mức Fermi vơi nồng độ 𝜇 = 7,04 𝑒𝑉 Xác định giá trị mức Fermi 20K 24 Bài giải Để tính mức Fermi nhiệt độ 0K ta sử dụng hệ thức nư tính mức Fermi T=0 với khác biệt trường hợp này, hàm Fermi-Dirac dáu tích phân khơng thể thay Từ 4𝜋(𝑚) 𝑛= ℎ3 𝑘í ℎ𝑖ệ𝑢 𝐸−𝜇 = 𝑥, 𝑘𝑇 𝐸 1⁄ 3⁄ ∞ 𝐸 ⁄2 𝑑𝐸 ∫ 𝐸−𝜇 exp ( 𝑘𝑇 ) + = 𝑓(𝐸) Khi đó, 𝑑𝐸 = 𝑘𝑇𝑑𝑥 ∞ ∞ 𝑓(𝐸)𝑑𝐸 𝑓(𝜇 + 𝑘𝑇𝑥) ∫ = 𝑘𝑇 ∫ 𝑑𝑥 𝑥+1 𝐸−𝜇 𝑒 𝜇 exp ( 𝑘𝑇 ) + − 𝑘𝑇 ∞ ∞ 𝑓(𝜇 + 𝑘𝑇𝑥) 𝑓(𝜇 + 𝑘𝑇𝑥) 𝑘𝑇 ∫ 𝑑𝑥 + 𝑘𝑇 ∫ 𝑑𝑥 𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 + − 𝜇 𝑘𝑇 𝜇 𝑘𝑇 𝑉ì 𝑘𝑇 ∫ 𝜇 − 𝑘𝑇 𝑓(𝜇 + 𝑘𝑇𝑥) 𝑓(𝜇 − 𝑘𝑇𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘𝑇 ∫ 𝑑𝑥 𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 + 𝜇 𝑘𝑇 𝜇 𝑘𝑇 = ∫ 𝑓(𝜇 − 𝑘𝑇𝑥)𝑑𝑥 − ∫ ∞ 𝑓(𝜇 − 𝑘𝑇𝑥) 𝑑𝑥 𝑒𝑥 + 𝜇 𝑘𝑇 ∞ 𝑓(𝐸)𝑑𝐸 𝑓(𝜇 + 𝑘𝑇𝑥) 𝑛ê𝑛 ∫ = 𝑘𝑇 ∫ 𝑓(𝜇 − 𝑘𝑇𝑥)𝑑𝑥 + 𝑘𝑇 ∫ 𝑑𝑥 𝑥+1 𝐸−𝜇 𝑒 exp ( 𝑘𝑇 ) + 0 𝜇 𝑘𝑇 −𝑘𝑇 ∫ 𝑓(𝜇 − 𝑘𝑇𝑥) 𝑑𝑥 𝑒𝑥 + 25 Ở nhiệt độ thấp, 𝜇 ≫ 𝑘𝑇 ta thay cận tích phân sau ∞ Khi khai triển hàm 𝑓(𝜇 + 𝑘𝑇𝑥) 𝑓(𝜇 − 𝑘𝑇𝑥) thành chuỗi gới hạn đến số hạng thứ hai chuỗi, ta thu được: ∞ ∞ 𝑓(𝜇 + 𝑘𝑇𝑥) 𝑓(𝜇 − 𝑘𝑇𝑥) 𝑘𝑇 ∫ 𝑑𝑥 − 𝑘𝑇 ∫ 𝑑𝑥 𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 + 0 ∞ = (𝑘𝑇)2 𝑓′(𝜇) ∫ 𝑥 𝜋2 (𝑘𝑇) 𝑑𝑥 = 𝑓′(𝜇) 𝑒𝑥 + Từ đó, 𝜇 ∞ 𝑓(𝐸)𝑑𝐸 𝜋2 ∫ = ∫ 𝑓(𝐸)𝑑𝐸 + (𝑘𝑇) 𝑓′(𝜇) 𝐸−𝜇 exp ( 𝑘𝑇 ) + Vì kim loại, số điện tử toàn phần tất mức T>0 số điện tử T=0 nên 𝜇0 4𝜋(2𝑚)2 𝑛= ∫ 𝑓(𝐸)𝑑𝐸 ℎ3 Do đó, 𝜇0 4𝜋(2𝑚)2 ℎ3 ∫ 𝑓(𝐸)𝑑𝐸 = 4𝜋(2𝑚)2 ℎ3 𝜇 [∫ 𝑓(𝐸)𝑑𝐸 + (𝑘𝑇)2 Hay 𝜇 ∫ 𝑓(𝐸)𝑑𝐸 + (𝑘𝑇)2 ′ (𝜇) 𝑓 𝜇0 𝜋2 =0 Có thể viết gần (𝜇 − 𝜇0 )𝑓(𝜇) + 𝑉ì 𝑓(𝜇) = 𝜇 1⁄ , 𝑓(𝜇) = 2𝜇 1⁄ (𝑘𝑇)2 ′ (𝜇) 𝑛ê𝑛 26 𝑓 𝜋2 𝜋2 𝑓′(𝜇) ] (𝜇 − 𝜇0 )𝜇 1⁄ + (𝑘𝑇)2 𝜋2 12𝜇 ⁄2 =0 Từ đó, 𝜋 𝑘𝑇 𝜇 ≅ 𝜇0 [1 − ( ) ] 12 𝜇0 Ở 𝑇 = 20𝐾 𝜇 = 7.04 𝑒𝑉 Bài 7:Tìm mật độ dịng bão hịa phát xạ nhiệt điện tử áp dụng phân bố Fermi-Dirac cho điện tử kim loại Công thoát điên tử A Bài giải Số trạng thái lượng điện tử khoảng vận tốc 𝑣𝑥 ÷ 𝑣𝑥 + 𝑑𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 ÷ 𝑣𝑦 + 𝑑𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 ÷ 𝑣𝑧 + 𝑑𝑣𝑧 bằng: 𝑑𝑝𝑥 𝑑𝑝𝑦 𝑑𝑝𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑚 𝑑𝛺 = = ( ) 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ℎ3 ℎ Khi hay tính cho đơn vị thể tích kim loại 𝑚 𝑑𝛺 = ( ) 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑧 ℎ Số điện tử khoảng vận tốc 2𝑚3 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑛 = 𝜀−𝜇 ℎ3 [exp ( + 1] 𝑘𝑇 ) 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝜀 = 𝑚 (𝑣 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2 ) 𝑥 Trong tất điện tử có thành phần pháp tuyến vận tốc 𝑣𝑥 > 𝑣0 , 𝑚𝑣0 −𝜇 =𝐴 Đều qua diện tích 𝑐𝑚2 bề mặt kim loại sau giây Số điện tử với vận tốc 𝑣𝑥 qua 𝑐𝑚2 bề mặt kim loại sai giây ∞ ∞ 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑧 2𝑚3 𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣 = 𝑣𝑥 𝑑𝑛(𝑣𝑥 ) = ∫ ∫ 𝑚 ℎ3 + 𝑣2 + 𝑣2) − 𝜇 ] + exp [ (𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 −∞ −∞ 2𝑘𝑇 𝑘𝑇 Số điện tử toàn phần bay sau giây từ 1𝑐𝑚2 bề mặt 27 ∞ ∞ ∞ 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑧 2𝑚3 𝑣 = ∫ 𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥 ∫ ∫ 𝑚 𝜇 ℎ exp [ (𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2 ) − ] + 𝑣0 −∞ −∞ 2𝑘𝑇 𝑘𝑇 Ta đưa vào tọa độ trụ 𝜌, 𝑣𝑥 , 𝜑 cho 𝑣𝑦2 + 𝑣𝑧2 = 𝜌2 , 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑧 = 𝜌𝑑𝑝𝑑𝜑 Từ ∞ 2𝜋 ∞ 2𝑚3 𝜌𝑑𝑝𝑑𝜑 𝑣 = ∫ 𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥 ∫ ∫ 𝑚 ℎ + 𝜌2 ) − 𝜇 ] + (𝑣 exp [ 𝑥 𝑣0 0 2𝑘𝑇 𝑘𝑇 ∞ ∞ 2𝑚3 𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥 = 2𝜋 ∫ 𝜌𝑑𝜌 ∫ 𝑚 ℎ + 𝜌2 ) − 𝜇 ] + (𝑣 exp [ 𝑥 𝑣0 2𝑘𝑇 𝑘𝑇 Ta đưa biến vào số 𝑚𝑣𝑥2 𝑈 = exp ( ) 2𝑘𝑇 Và kí hiệu 𝑚𝜌2 𝜇 𝐵 = exp ( − ) 2𝑘𝑇 𝑘𝑇 Khi ∞ ∞ 𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥 𝑘𝑇 𝑑𝑈 ∫ = ∫ 𝑚 𝑚 𝑈 𝐵𝑈 + + 𝜌2 ) − 𝜇 ] + (𝑣 exp [ 𝑣0 𝑈0 2𝑘𝑇 𝑥 𝑘𝑇 𝑘𝑇 𝐵𝑈 + 𝑈=∞ 𝑘𝑇 𝐵𝑈0 + = = [− ln ( )] [− ln 𝐵 + ln ( )] 𝑚 𝑈 𝑚 𝑈0 𝑈=𝑈0 = 𝑘𝑇 𝐵𝑈0 + 𝑘𝑇 ln ( ) = ln (1 + ) 𝑚 𝐵𝑈0 𝑚 𝐵𝑈0 𝑘𝑇 𝑚𝜌2 𝜇 𝑚𝑣02 = ln [1 + exp (− ) exp ( ) exp (− )] 𝑚 2𝑘𝑇 𝑘𝑇 2𝑘𝑇 28 = 𝑘𝑇 𝑚𝜌2 𝐴 ln [1 + exp (− ) exp (− )] 𝑚 2𝑘𝑇 𝑘𝑇 𝑘𝑇 𝑚𝜌2 𝐴 = exp (− ) exp (− ) 𝑚 2𝑘𝑇 𝑘𝑇 Nếu giả thiết A>> kT ∞ 𝑚 𝑘𝑇 𝐴 𝑚𝜌2 𝑣 = 4𝜋 ( ) exp (− ) ∫ exp (− ) 𝜌𝑑𝜌 ℎ 𝑚 𝑘𝑇 2𝑘𝑇 = 4𝜋𝑚 𝐴 (𝑘𝑇) exp (− ) ℎ3 𝑘𝑇 Bài 8: Áp suất khia điện tử bạc T=0K Bài giải Theo nhiệt động lực học 𝑝 = −( 𝜕𝐹 ) 𝜕𝑉 𝑇 Ở T=0K, 𝐹 = 𝑈0 − 𝑇𝑆 = 𝑈0 nghĩa giá trị lượng tự trùng với giá trị nội mà 𝜇 2𝑚 𝑈0 = ∫ 𝐸𝑛(𝐸)𝑑𝐸 = 4𝜋𝑉 ( ) ℎ 3⁄ 𝜇 𝑜 ∫ 𝐸 ⁄2 𝑑𝐸 8𝜋𝑉 2𝑚 = ( ) ℎ2 Trong ℎ2 3𝑛 𝜇= ( ) 2𝑚 8𝜋 2⁄ Do đó, 3ℎ2 𝑁 3𝑁 𝑈0 = ( ) 10𝑚 8𝜋 2⁄ 𝑉 −2⁄ = 𝑎𝑉 −2⁄ Trong 2⁄ 𝑁 = 𝑛𝑉, 3ℎ2 𝑁 3𝑁 𝑎= ( ) 10𝑚 8𝜋 Từ đó, 29 3⁄ 𝜇 5⁄ 𝑝0 = − ( 𝜕𝑈0 −5 𝑈0 ) = 𝑎𝑉 ⁄3 = 𝜕𝑉 𝑇 3𝑉 Khi thay đổi giá trị 𝑈0 , ta thu 𝑁𝜇 ℎ2 𝑝0 = = 𝑛𝜇 = ( ) 𝑉 5𝑚 8𝜋 2⁄ 𝑛 5⁄ Số điện tử đơn vị thể tích bạc 𝑛 = 𝑁𝐴 𝜌 𝑀 Trong 𝑁𝐴 số Avongadro, 𝜌 khối lượng riêng M khối lượng nguyên tử bạc Thay giá trị số ta thu được: 𝑛 = 6,02 1026 10500 = 5,8 1028 𝑚−3 107,87 2⁄ (6,62 10−34 )2 𝑝0 = ( ) 5.9,1 10−31 8.3,14 (5,8 1028 ) 5⁄ ≈ 1010 (𝑁⁄ ) 𝑚 Bài 9: rút điều kiện khử suy biến (điềukiện áp dụng thống kê cổ điển) giải thích ý nghĩa vật lý Bài giải Sử dụng khác biệt phân bố Bose-Einsten lượng tử, Fermi-Dirac lượng tử phân bố Maxwwell-Boltzmann cổ điển khơng cịn điều kiện: 𝜀−𝜇 exp ( )≫1 𝑘𝑇 Điều kiện ứng với 𝜀 dẫn tới exp (− 𝜇 )≫1 𝑘𝑇 Số hạt toàn phần 𝑁 = ∫ 𝑑𝑛 = 4𝜋 𝑉 𝜀−𝜇 ∫ exp ( ) 𝑝 𝑑𝑝 ℎ3 𝑘𝑇 ∞ 4𝜋 𝑉𝑚 𝜇 𝜀 = exp ∫ exp exp ( ) (− ) 𝜀 ⁄2 𝑑𝜀 ℎ 𝑘𝑇 𝑘𝑇 𝑝2 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 𝜀 = 2𝑚 30 Sau lấy tích phân ta thu được: 2𝜋𝑚𝑘𝑇 𝑁=( ) ℎ2 3⁄ 3⁄ 𝜇 𝑉 exp ( ) , 𝑘𝑇 𝜇 2𝜋𝑚𝑘𝑇 exp (− ) = ( ) 𝑘𝑇 ℎ2 𝑉 𝑁 Nghĩa điều kiện áp dụng thống kê cổ điển có dạng: 2𝜋𝑚𝑘𝑇 ( ) ℎ2 3⁄ 𝑉 ≫1 𝑁 Khoảng cách trung bình hạt 𝑑 = 𝑛 3⁄ 2𝜋𝑚𝑘𝑇 𝑛≪( ) ℎ2 −1⁄ 3, 𝑉 ℎ ,𝑑 ≪ 𝑁 √𝜋√2𝑘𝑇𝑚 Nếu tính đến vận tốc có xác xuất lớn 𝑣 = √ ℎ √𝜋√2𝑘𝑇𝑚 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑛 = 𝑉/𝑁 Tù đó: = 2𝑘𝑇 ℎ √𝜋𝑚𝑣 𝑚 , ta thu , ℎ = 𝜆 𝑙à 𝑏ướ𝑐 𝑠ó𝑛𝑔 𝑑𝑒 𝐵𝑟𝑜𝑔𝑙𝑖𝑒 𝑚𝑣 Như vậy, điều kiện thu có nghĩa thống kê điển áp dụng cho trường hợp khoảng cách trung bình hạt lớn nhiều so với bước sóng de Broglie, tức 𝑑 ≫ 𝜆 Bài 10: Xác định số va chạm điện tử đơn vi điện tích thành bình khí điện tử không độ tuyệt đối Bài giải Nguyên tố thể tích pha khơng gian xung lượng tọa độ cầu 𝑑𝛤 = 𝑝2 sin 𝜃 𝑑𝑝𝑑𝜃𝑑𝜑 Vì góc 𝜑 nhận giá trị từ đến 2𝜋 𝑑𝛤 = 2𝜋𝑝2 sin 𝜃 𝑑𝑝𝑑𝜃 Số điện tử đơn vị thể tích với xung lượng khoảng từ p đến p+dp tạo với pháp tuyến thành bình góc θ khoảng 𝜃 ÷ 𝜃 + 𝑑𝜃 2.2𝜋 sin 𝜃 𝑑𝜃𝑝2 𝑑𝑝 𝑑𝑛 = ℎ3 Số va chạm điện tử vơi smootj đơn vị điện tích thành bình 31 4𝜋 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃𝑣𝑝2 𝑑𝑝 𝑑𝑣 = 𝑣 cos 𝜃 𝑑𝑛 = ℎ3 Sô va chạm cộng với đơn vị điện tích thành bình 𝑣= 2𝜋 𝑝0 0 4𝜋 ∫ sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑝2 𝑑𝑝 ℎ 𝑚 4𝜋 𝑝04 𝜋𝑝04 = = 𝑚ℎ3 2𝑚ℎ3 Trong 𝑝0 , gia strij gới hạn xung lượng điện tử T=0 Gia trại xung lượng tìm từ điều kiện 𝑝0 1⁄ 8𝜋𝑝2 8𝜋𝑝03 3ℎ3 ∫ 𝑑𝑝 = 𝑛, = 𝑛, 𝑝0 = ( 𝑛) ℎ3 ℎ 8𝜋 𝜋 3𝑛 𝑣= ( ) 2𝑚ℎ3 8𝜋 4⁄ 3𝑛 =( ) 8𝜋 3𝑛 3𝑛 ℎ4 = ℎ( ) 32𝑚 𝜋 32 1⁄ 1⁄ ℎ 2.2 Bài tập khơng lời giải Bài 1: Từ phân bố tắc lượng tử suy phân bố Maxwell-Boltzmann cho hệ hạt khơng tương tác Bài 2: Tính lượng áp suất khí Bose điểm chuyển pha Bài 3: Xét khí nhiệt độ cao cân nhiệt với xạ Tìm hệ thức mật độ khí nhiệt độ trường hợp áp suất khí áp suất xạ Bài 4: Tìm xác suất để điện tử kim loại có lượng lượng Fermi Bài 5: Tìm lượng giới hạn khí điện tử siêu đặc có lượng liên hệ với xung lượng hệ thức 𝜀 = 𝑐𝑝 Xác đinh mật độ coi chất khí khí siêu tương đối tính 33 PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO A.KẾT LUẬN Sau thời gian thực đến em hoàn thành đề tài nghiên cứu “Các thống kê lượng tử tập vận dụng”, đạt mục tiêu đề thu lại kết sau: Các thống kê lượng tử Ap dụng phương pháp Gipxo vào hệ lượng tử So sánh hàm phân bố thống kê lượng tử Giải số toán Các thống kê lượng tử đưa tập vận dụng không lời giải Trong trình làm đề tài nghiên cứu này, em mở rộng tầm hiểu biết lý thuyết lượng tử nghiên cứu hạt vi mô phương pháp thống kê Qua biết cách áp dụng lý thuyết lượng tử thống kê để giải tập liên quan Tiểu luận khai thác sử dụng hợp lí nâng cao hiệu học tập cho sinh viên học tập môn Nhiệt động lực học vật lý thống kê tử rèn luyện khả tư tính tốn, thái độ học tập nghiên cứu nghiêm túc nhằm trang bị cho vốn kiến thức sâu sắc hoàn thiện kiến thức để phục vụ cho việc giảng dạy sau Tuy nhiên, thời gian nhận thức thân nhiều nên tìm hiểu, khai thác, đưa số dạng tập Tiểu luận cịn nhiều thiếu sót, em mong nhận góp ý để tiểu luận hồn thiện 34 B TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Đình –Trần Cơng Phong, giao trình “Cơ Học Lượng Tử”, NXB Đại học Huế ,2012 Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh , Lê Trọng Tường, “ Bài Tập Vật Lý Lý Thuyết Tập II” (Cơ học lượng tử vật lý thống kê), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Vũ Thanh Khiết, giáo trình “Nhiệt động lực học vật lý thống kê”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Vũ Văn Hùng, “Vật lý thống kê”, NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng, “Vật lý thống kê” NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Quang Học, Đinh Quang Vinh, “Bài tập vật lý lý thuyết 2” (Vật lý thống kê), NXB Đại học Sư phạm http://www.mientayvn.com/Vat%20li/Tai_lieu/Tai_lieu_ly_moi_1/Vat_li _thong_ke/Tom_tat_VLTK.pdf https://tailieu.vn/doc/huong-dan-giai-bai-tap-nhiet-dong-hoc-va-vat-lythong-ke-phan-2-1761349.html 35 ... Trọng Tường, “ Bài Tập Vật Lý Lý Thuyết Tập II” (Cơ học lượng tử vật lý thống kê) , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Vũ Thanh Khiết, giáo trình “Nhiệt động lực học vật lý thống kê? ??, NXB Đại học Quốc... Hùng, ? ?Vật lý thống kê? ??, NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng, ? ?Vật lý thống kê? ?? NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Quang Học, Đinh Quang Vinh, “Bài tập vật lý lý... tập hợp pha Cũng giống trường hợp vật lý thống kê cổ điển phương trình (11) sở để nghiên cứu trình khơng cân khn khổ vật lý thống kê lượng tử Tập hợp thống kê lượng tử từ điều kiện cân bằng: