tiểu luận vật lý thống kê về lý thuyết thăng giáng

Chắc chắnrằng, có thể có những độ lệch rất lớn hơn độ lệch quân phương, nhưngchúng có xác suất rất nhỏ và vì vậy chúng sẽ không gây ảnh hưởng đáng kểtới các tính chất của hệ.hình vẽ Như

Một trong các vấn đề của vật lý thống kê là ký thuyết thăng giáng.Khi hệ nằm trong trạng thái cân bằng, trên thực tế, các đại lượng vật lý bất

kỳ F(x) không phải là không đổi mà liên tục biến đổi ở gần giá trị trungbình F của nó Trong các phần nhỏ của một hệ thức bất kỳ, hoặc là sau mộtkhoảng thời gian nhỏ, do chuyển động của hạt vi mô của các hạt, có xảy rabiến thiên tự phát của các thông số vĩ mô Các độ lêch ngẫu nhiên tồn tạitrong hệ một cách liên tục này của các đại lượng vật lý so với trị số trungbình được gọi là các thăng giáng

Người đầu tiên nghiên cứu vấn đề thăng giáng là Albert Einstein khiông nghiên cứu hiệu ứng kích thước nguyên tử hữu hạn tác động đến hiệntượng tán xạ vào năm 1903 và 1904 Và sau đó ông đưa ra lý thuyết vềchuyển động Brown Đây là bài báo đầu tiên về vật lý thống kê

Việc tìm xác suất xuất hiện một trị số tuyệt đối nào đó của thăng giáng

là một trong các vấn đề cơ bản của lý thuyết thăng giáng Dựa vào thănggiáng người ta giải thích được nhiều hiện tượng vật lý như: tán xạ của ánhsáng, sự xuất hiện của các dòng không đều trong các mạch có suất điệnđộng Các thăng giáng đã đặt giới hạn cho độ nhạy của máy đo khác nhau…

Nhằm mục đích hiểu rõ hơn về những vấn đề trên nên em chọn đề tài

“Lý thuyết thăng giáng”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nghiên cứu nhằm hệ thống lại một số kiến thức về lýthuyết thăng giáng và ứng dụng vào giải một số bài tập liên quan

1.3 Phương pháp nghiên cứu

Để hoàn thành tiểu luận này cần phải sử dụng các phương pháp phântích, tổng hợp và vận dụng các kiến thức để tính toán triển khai công thức

và giải các bài tập cụ thể

1.4 Giới hạn đề tài

Đề tài nghiên cứu một số vấn đề của lý thuyết thăng giáng về địnhnghĩa, thăng giáng thống kê ở hệ cân bằng, các phương pháp xác địnhthăng giáng, một số úng dụng và một số bài tập điển hình

1.5 Bố cục đề tài

Tiểu luận chia làm 3 phần

Phần mở đầu nêu rõ lý do chọn đề tài, mục đích, nhiệm vụ, phươngpháp nghiên cứu và giới hạn đề tài

Phần thứ hai là phần nội dung chính của đề tài

Phần thứ ba là kết luận và tài liệu tham khảo

PHẦN 2 NỘI DUNGCHƯƠNG I MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỦA LÝ THUYẾT THĂNG GIÁNG

I.1 Định nghĩa thăng giáng

F F− là độ lệch quân phương khỏi vị trí trung bình;

Để đánh giá gần đúng độ thăng giáng của một đại lượng vật lý, người

ta dùng độ lệch quân phương của nó Thông thường như vậy là đủ Nhưngđôi khi để đánh giá độ thăng giáng người ta có thể dùng độ lệch có bậc caohơn, thí dụ độ lệch trung bình bậc bốn

Độ thăng giáng của một đại lượng vật lý tính theo độ lệch quânphương là bằng

( )2

F F

∆ = ± − (I.1)Đôi khi, thay cho trị tuyệt đối của độ thăng giáng người ta đưa vào

độ thăng giáng tương đối, được xác đinh như sau

O

F(x)F

( )2

2

F F F

δ = − (I.2)

Việc xác định độ thăng giáng qua độ lệch quân phương làm cho việcđánh giá độ lớn của nó được dễ dàng Thực vậy, độ lệch quân phương (hayphương sai ( )2

F F− ), cũng như phương sai là đại lượng ngẫu nhiên Đạilượng ngẫu nhiên đó phân bố gần trị trung bình F theo định luật chuẩn(định luật phân bố Gaoxơ)

1

exp 2

lớn hơn độ lệch quân phương hiếm hơn rất

nhiều so với các độ lệch nhỏ Vì vậy, độ lệch

quân phương cho ta hình dung được cỡ của độ

thăng giáng một đại lượng vật lý ngẫu nhiên

nào đó Phân tích (I.1) ta sẽ có cực đại càng hẹp

nếu phương sai ( )2

F F− càng nhỏ Chắc chắnrằng, có thể có những độ lệch rất lớn hơn độ lệch quân phương, nhưngchúng có xác suất rất nhỏ và vì vậy chúng sẽ không gây ảnh hưởng đáng kểtới các tính chất của hệ.(hình vẽ )

Như vậy, để đánh giá thăng giáng trong hệ, ta cần phải biết trungbình của bình phương độ lệch của một đại lượng vật lý (đặc trưng cho hệ)

mà ta có thể xác định, chẳng hạn như theo công thức sau

được xác định từ thí nghiệm, còn trung bình của bình phương thì thường làchưa biết.

Trong một hệ bất kỳ thường có các thăng giáng của nhiều đại lượng vật

lý Khi đó, đối với hai đại lượng bất kỳ trong số đó, ngoài việc tính các độlệch quân phương 2

Đại lượng đó được gọi là tương quan của hai đại lượng q i và q k bởi

vì nó nói lên mối quan hệ tương hỗ của hai đại lượng ngẫu nhiên đó Nếucác đại lượng ngẫu nhiên q i và q k là độc lập thì tương quan của chúngbằng không Và ngược lại, nếu tương quan của hai đại lượng nào đó, q i và

k

q , là bằng không

∆ ∆ =q q i k 0

thì đại lượng đó được xem là độc lập

I.2: Thăng giáng thống kê ở hệ cân bằng

Ta đã thấy rằng trong một hệ vật lý ở trạng thái cân bằng, trong khi các giátrị của các tham số ngoại được xác định từ điều kiện bên ngoài, thì các biến

số nội của hệ lại luôn có những giá trị chịu những biến thiên quanh giá trịtrung bình, đó chính là thăng giáng nội tại

I.2.1: Thăng giáng của mật độ hạt

1 Thăng giáng số hạt của một hệ nhỏ

Xét một hệ S có một thể tích nhỏ V xác định trong một hệ ϕ, hệ S có thể

trao đổi nhiệt và trao đổi hạt với phần còn lại của ϕ, phần còn lại này đóng

vai trò hệ điều nhiệt và hệ trữ hạt Ta cho hệ S có nhiệt độ T và thế hóa học

µ.

Như ta đã biết, khi ở trạng thái cân bằng, xác suất Pl để S ở trạng thái vi

mô ( )l có năng lượng El và có số hạt Nl là:

2 2

2

N N

Để xét thăng giáng của thể tích của một hệ nhỏ s là một phần của hệ

S, ta xác định số hạt của hệ s không đổi và cho s tiếp xúc nhiệt và cơ vớiphần còn lại của S Phần còn lại này sẽ ấn định cho hệ s nhiệt độ T và ápsuất p; ta gọ đó là tập hợp T-p

Ta có áp suất Pl để hệ s ở trạng thái cân bằng có thể tích trong khoảng

V đến V+dV và có trạng thái vi mô ( )l có năng lượng Pl là:

ρ = (I.2.17)Thăng giáng ρcó thể tính bởi phương pháp của phần I.2.1, tức là giữ thể

tích V xác định cho ta kết quả:

1 2 2

1 2 2

2 2 ,

So sánh biểu thức trên với (I.2.21), (I.2.22) ta tìm được (I.2.20)

I.2.2: Thăng giáng của năng lượng

I.2.2.1 Sự tương hợp giữa năng lượng và thể tích

Để đánh giá được nhưng thăng giáng thống kê của năng lượng, ta có thể sửdụng một trong hai phương pháp: hoặc ta xác định thể tích V của hệ nhỏ S,

là một phần của hệ S, hoặc ta cho số hạt N có giá trị định trước Tất nhiên

là hai phương pháp cùng dẫn đến một hệ quả vật lý cho năng lượng

Ở đây ta sẽ dùng phương pháp thứ hai, cho xác định số hạt N khi này, ta cótập hợp T-p, và phân bố thống kê của các trạng thái vi mô được xác định

bởi hệ thức (I.2.11) Để tính được thăng giáng của năng lượng E, ta phảixét mối liên hệ giữa E và V, xác định bởi:

Với Z được tính bởi hệ thức (I.2.12)

Ta có thể thấy rằng như vậy

Để tính được thăng giáng của năng lượng ta bắt đầu bằng cách tính thănggiáng của đại lượng E+pV = H là entalpi cuả hệ ta có:

( ) 1 ( ) 1

2 2

( )2 2 2

, ,

µ µ

Thật vậy, theo phương trình trạng thái thì p là một hàm của thểtích và nhiệt độ

p T

, ,

Trong trường hợp ta xét là hệ vật lý khí lý tưởng, từ phương trình trạngthái pV=NkT ta có:

0

E V

I.2.3: Thăng giáng của nhiệt độ

Trong thực tế sự thăng giáng của năng lượng không được đo trực tiếp,

mà nhiệt độ được đo bằng nhiệt kế; năng lượng trung bình E và thể tíchtrung bình E và thể tích trung bình V của hệ có mối quan hệ với nhiệt độcủa hệ

Vì như vậy, nhiệt độ T của hệ S là hàm theo E và V nên :

T N V

V N V

Nên

,

1

V N V

(theo kết quả ta đã có ở (I.2.39))

Điều này chứng tỏ rằng thăng giáng của nhiệt độ và của thể tích là khôngtương quan

Mặt khác, trong hệ thức (I.2.46), ta thấy các giá trị ∆V , ∆(E pV+ ) và

Các hiện tượng vật lý quan sát được về mặt vĩ mô dsinh ra do thănggiáng chính là sự sai lệch hỗn loạn của các đại lượng vật lý khỏi các giá trịtrung bình thống kê cân bằng của chúng Ví dụ như sự tán xạ ánh sáng bởicác môi trường xảy ra do các thăng giáng mật độ gây ra do sự không đồngnhất trong không gian của chiết suất (hệ số khúc xạ); những thăng giángcủa dòng trong mạch điện trong các mạch điện là nguyên nhân gây ranhững tạp âm không khử được trong các thiết bị vô tuyến; độ lớn các thănggiáng điện và cơ trong các dụng cụ đo quyết định độ nhạy của chúng,… Đặc trưng định lượng các thăng giáng là momen tương quan Trongtrường hợp tổng quát, đối với n đại lượng vật lý khác nhau có thể viết dướidạng:

( ) (1 ) (2 )

1 1 k 2 2 k k n

n n

F −F F −F F −F (I.3.1)trong đó các chỉ số trên t và 0 có nghĩa là đại lượng đã cho được lấy tại cácthời điểm khác nhau t và t= 0

trong nhiều trường hợp, các hiện tượng thăng giáng được phản ánh kháđầy đủ bởi momen tương quan bậc 2, hoặc ngắn gọn hơn là các tương quanbình phương, nghĩa là các đại lượng dạng:

( )2 2

F −F =D F = ∆ F (I.3.3) ( t 0)2

k k

F −F ; ( t 0) ( t 0)

k k

F −F Fl −Fl (I.3.4)Trong số đó đại lượng quan trọng nhất là sự sai lệch bình phươngtrung bình ∆ 2 ( )F , đôi khi còn được gọi ngắn gọn là “thăng giáng” và sailệch bình phương trung bình tương đối hay “thăng giáng tương đối” đượcxác định như sau:

( )F F

∆

(I.3.5)Đối với các đại lượng vật lý khác nhau, có nhiều cách để tính cácmomen tương quan bình phương Với các đại lượng chỉ phụ thuộc vò tốc

độ hoặc xung lượng, việc tính các momen tương đối dễ dàng nhờ biểu thứctổng quát đối với xác suất có giá trị cho trước của xung lượng:

2

-2mkT 2

Trong một số trường hợp đơn giản nhất, các sai lệch bình phươngtrung bình của xung lượng được tính nhờ định lý Virian, còn các sai lệchbình phương trung bình của xung lượng được tính nhờ định lý phân bố đềucủa động năng

Ví dụ, theo định luật phân bố đều:

Theo định lý Virian đối với dao tử điều hòa có 2 2

H m

I.4: Tính momen bình phương theo phương pháp Gibbs

Cơ học thống kê của Gibbs cho phép rút ra những hệ thức tổng quát,

liên hệ phương sai và nói chung là các tương quan bình phương của các tọa

độ suy rộng vơi các giá trị trung bình của chúng khi có lực phụ tác động lêncác tọa độ này Như vậy, nếu biết sự phụ thuộc của F vào lực ngoài (dù chỉbằng thực nghiệm) thì có thể tìm các đại lượng D F( ) (k = F k −F k) 2

Theo bổ đề thứ hai của Gibbs, đối với số hạng bất kỳ ta có:

Nếu đại lượng F X( ) là hàm của tọa độ, thì có thể biểu diễn như toạ

độ suy rộng mới ( ) nào đó Đại lượng a xuất hiện trong (I.4.1) được biểudiễn là lực phụ bên ngoài, tác động theo hướng tọa độ suy rộng q Điều này

có nghĩa là hàm Hamilton của hệ có dạng:

q

∂

= −

∂ hệ còn chịu của lực phụ -a.

Thay F q X= ( ) và H(X,a) từ (I.4.2) vào (I.4.1) với chú ý q 0

a

∂ =

được:

Giả thiết rằng đại lượng F trong (I.4.1) có ý nghĩa của vận tốc nào

đó, tức là thay F bởi ϕ & Khi đó, theo (I.4.1) và (I.4.2) ta có:

F& = = = ϕ& ∫ F dX& ω = ∫ H F ωd X = − ∫ H ω FdX

Nhưng theo vật lý thống kê, ở trạng thái cân bằng nhiệt động thì

∆ & = − & & = & − & =

Kết quả này chính là biểu thức (I.3.6)

I.5: Xác định thăng giáng bằng phương pháp Gibbs

1 Dựa vào phân bố chính tắc Gibbs ta có thể tính được trung bìnhcủa bình phương và cả trị số của độ thăng giáng của một đại lượng vật lý Fbất kỳ

2 2

p 1

-2 2

Trong đó đại lượng F hoặc là đã biết từ thí nghiệm hoặc là đượctínth theo công thức

2 1

p 1

( )exp

-2 mkT 2

Còn trong trường hợp tổng quát, khi F phụ thuộc cả vào p lẫn q thìviệc tính tích phân (I.5.1) rất khó khăn

2 Trong những trường hợp mà ta không thể tính trực tiếp biểu thức (I.5.1),thì để xác định phương sai của các đại lượng nhiệt động , người ta xácddnhj theo cách khác: người ta biểu thị phương sai của một đại lượng nhiệtđộng (F F− ) 2 theo một hàm nào đó của trị trung bình F mà ngườ tathường đã biết trước từ thí nghiệm cách đó thường được sử dụng trongtrường hợp khi mà đại đại lượng vật lý F chỉ phụ thuộc vào tọa độ x của hệ:

Thật vậy, bằng cách lấy vi phân công thức trị trung bình của đại

∫theo a, ta được:

( )

-H ( , )exp

p a

∂ đã biết từ thí nghiệm (theo phương trình Calapeyron –

Mendeleev), bởi vì V là thể tích vĩ mô của hệ nên

N V

1

q a

q(x) qua đạo hàm q

a

∂

∂ , đạo hàm đo được trong thí nghiệm hoặc là được biểu

thị qua năng lượng tự do Như vậy, nếu biết được năng lượng tự do ta cóthể tính được thăng giáng của các đại lượng nhiệt động q(x)

3 Để đánh giá thăng giáng ta có thể tiến hành theo quan điểm khác.

Ta coi rằng, mọi độ lệch khỏi cân bằng đều kéo theo sự biến thiên của nănglượng, của entrôpy và của các thông số khác của một phần của hệ do phầncòn lại của hệ gây ra Trong trường hợp phân bố chính tắc, xác suất sao cho

hệ nằm trong một nhóm các trạng thái xác định P1 là bằng

1 1

Do đó xác suất sao cho hệ đẳng nhiệt nằm trong nhóm trạng thái P1

tức là xác suất của các thăng giáng trong hệ, sẽ có thể viết như sau:

Như vậy, để tìm được xác suất của các thăng giáng W(P1) ta phải tìm ∆ ψ ,

vấn đề này có thể dược giải quyết trong một số trường hợp cụ thể

4 Trong một số trường hợp đơn giản nhất, ta có thể tính được độlệch quân phương dựa vào lập luận cụ thể về thăng giáng và vào định luậtphân bố đều động năng theo các bậc tự do hoặc dựa vào định luật Virian.Vậy tùy vào từng trường hợp cụ thể mà ta có thể tìm được thăng giáng dựavào phương pháp Gibbs một cách khác nhau

CHƯƠNG II: MỘT SỐ HIỆN TƯỢNG LIÊN QUAN ĐẾN THĂNG GIÁNG

II.1: Độ nhạy của máy đo

Do có thăng giáng, một đại lượng vật lý bất kỳ sẽ biến đổi liên tục ởgần trị trung bình của nó, điều đó xác định độ nhạy của máy đo Thật vậy,nếu trị số của một đại lượng vật lý mà nhỏ hơn các thăng giáng trong máy

đo, thì với một lần đo ta không thể nào xác định được đại lượng vật lý đó

Ta đi xét một vài ví dụ:

1 Để đo nhiệt độ bằng nhiệt biểu thì người ta dựa vào phép đo thể tíchchất khí ở áp suất không đổi Vì vậy, độ nhạy của nhiệt biểu khí sẽ đượcxác định bởi các thăng giáng của thể tích chất khí Vì chất khí trong nhiệtbiểu thỏa mãn phương trình Calapeyron - Mendeleev cho nên một sự biếnthiên của thể tích một lượng ∆V sẽ dẫn đến một sự biến thiên của nhiệt độ:

do có thăng giáng của thể tích là rất nhỏ :

10

10

T T

−

∆ ≈

2 Thông thường khi đo một đại lượng vật lý người ta căn cứ vào độlệch của kim máy đo hoặc là góc quay của của dây thạch anh Trong trườnghợp đó, các thăng giáng của dây hay của kim (chuyển động nhiệt) cũng làmhạn chế độ nhạy của máy đo Ta có thể đánh giá độ lớn của các sai lệchngẫu nhiên của kim, nếu ta coi rằng máy đo có kim có một bậc tự do quay

với năng lượng trung bình của chuyển động nhiệt là

2

kT

Do có thănggiáng, dây hay kim sẽ thực hiện dao động nhỏ ở gần vị trí cân bằng, đối vớicác dao động có động năng trung bình bằng thế năng trung bình, nghĩa là

kT

ϕ α

〉

Như vậy,độ chính xác của phép đo giới hạn bởi các thăng giáng

Sẽ rất hay nếu chú ý rằng người ta có thể xác định bằng thực nghiệmhằng số Boltzmann k qua trung bình của bình phương góc lệch của dâythạch anh

3 Trong các mạch điện cũng có xuất hiện các thăng giáng trong sựphân bố điện tích Tuy nhiên, nhờ có điện trường các biến thiên bất kỳ củamật độ điện tích được truyền đi bên trong dây dẫn dưới dạng sóng Khi đó,các thăng giáng ổn định nhất là các thăng giáng mà chúng làm xuất hiệncác sóng dừng trong dây dẫn số các sóng điện từ dừng có tần số từ ν đến

1 ( ) 4

do một điện trở khác, điều đó mâu thuẫn với nguyên lý thứ hai của nhiệtđộng học.

So sánh (II.6) và (II.7) ta tìm được công thức của suất điện động thănggiáng ứng với tần số ν :

2 ( ) 4kTR( )

ξ ν = ν (II.8)

Đó là công thức Naiquist Công thức đó chứng tỏ rằng, bình phương củasuất điện động thăng giáng ứng với một tần số nào đó là tỷ lệ với nhiệt độ

và với điện trở của dây dẫn ứng với tần số đó

Các dòng thăng giáng và cả “hiệu ứng rung” gắn với các thăng giángcủa electron bay ra từ catot đã làm giới hạn độ nhạy của các dụng cụ điện

tử hiện đại

II.2: Sự tán xạ của ánh sáng do thăng giáng của mật độ

Trong các môi trường thường xảy ra thăng giáng của mật độ (khối lượng

riêng)

Dùng các hệ thức

M V