Tiểu luận vật lý thống kê: áp dụng hàm phân bố Fermi Dirac cho khí electron tự do trong kim loại

1.4 Giới hạn đề tài Đề tài chỉ nghiên cứu về tính chất của hàm phân bố Fermi-Dirac khi áp dụng cho khí electron tự do trong kim loại, các công thức về năng lượng tự do, năng lượng toàn

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn……… 1

Phần 1.Mở đầu……… 2

1.1.Lí do chọn đề tài……… 2

1.2.Mục đích nghiên cứu……… 2

1.3.Phương pháp nghiên cứu……… 2

1.4.Giới hạn đề tài……… 2

1.5.Bố cục đề tài……… 3

Phần 2: Nội dung……… 4

2.1.Nhiệt dung của khí electron tự do trong kim loại……… 4

2.1.1 Cách tính theo nguyên lí loại trừ Pauli……… 4

2.1.2.Khảo sát khí lý tưởng Fermi……….5

2.2 Tính chất từ của khí electron tự do trong kim loại………14

2.2.1.Mật độ trạng thái ở năng lượng Fermi……… 14

2.2.2.Áp dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất

từ của khí electron trong kim loại……… 16

Phần 3: Bài tập……… 19

Phần 4: Kết luận và tài liệu tham khảo……… 34

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài:

Vật lý thống kê là một nghành trong vật lý lý thuyết, áp dụng các phương pháp thống kê

để giải quyết các bài toán liên quan đến các hệ chứa một số rất lớn những phần tử, có số bậc tự do cao đến mức không thể giải quyết chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử,

mà phải giả thiết các phần tử có tính hỗn loạn và tuân theo các quy luật thống kê

Một trong những vấn đề cơ bản trong vật lý thống kê là các hàm phân bố thống kê, trong

đó có hàm phân bố thống kê Fermi-Dirac.Thống kê Fermi-Dirac được áp dụng vào các hạt có spin bán nguyên như electron, nucleon, mezon và các nguyên tử mà trong đó tổng các electron và nuclon là một số lẻ Một trong những dạng toán ta hay bắt gặp nhất về phân bố Fermi-Dirac là việc áp dụng hàm phân bố này cho các khí electron tự do trong kim loại

Vì những ứng dụng hữu ích và quan trọng của nó trong việc dự đoán, tính toán các thông

số trong một số vấn đề của vật lý lý thuyết cũng như hiểu rõ hơn về về ứng dụng của hàm

phân bố thống kê Fermi-Dirac nên em chọn đề tài “ Áp dụng hàm phân bố thống kê Fermi-Dirac khảo sát khí electron tự do trong kim loại”

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Đề tài nghiên cứu này nhằm mục đích hệ thống lại kiến thức về hàm phân bố Fermi-Dirac cho các khí electron tự do trong kim loại và giải quyết một số bài tập liên quan

1.3 Phương pháp nghiên cứu:

Để hoàn thành đề tài này cần vận dụng các phương pháp như phân tích, tổng hợp và sử dụng các kĩ năng tính toán trong triển khai công thức và giải các bài tập liên quan

1.4 Giới hạn đề tài

Đề tài chỉ nghiên cứu về tính chất của hàm phân bố Fermi-Dirac khi áp dụng cho khí electron tự do trong kim loại, các công thức về năng lượng tự do, năng lượng toàn phần,

1.5 Bố cục đề tài:

Đề tài chia làm 4 phần:

Phần thứ nhất là phần mở đầu, nêu rõ lí do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và giới hạn đề tài

Phần thứ hai là phần nội dung chính của đề tài

Phần thứ ba là một số dạng bài tập liên quan

Phần thứ tư là phần kết luận và tài liệu tham khảo

PHẦN II: NỘI DUNG

2.1 Nhiệt dung của khí electron tự do trong kim loại:

2.1.1 Cách tính theo nguyên lí loại trừ Pauli:

Phát biểu nguyên lý loại trừ Pauli: đối với các hạt spin có bán nguyên ( gọi là các hạt Fermion) như electron, proton,neutron,positron…thì chỉ có 0 hoặc 1 hạt cùng nằm trên một mức năng lượng (nói cách khác là tất cả các Fermion đều phải có năng lượng khác nhau)

Theo nguyên lí Pauli, tại 00K các electron cũng không phải cùng nằm trên một mức năng lượng thấp nhất, mà chúng lấp đầy một loạt các mức năng lượng liền nhau từ mức thấp nhất đến một mức cao nhất nào đó gọi là Fermi (𝜀𝐹) Khi tăng nhiệt độ, không phải tất cả các electron đều có thể thay đổi năng lượng của mình bằng cách nhảy lên các mức năng lượng cao hơn, vì các mức này nói chung đều bị lấp đầy, chỉ có các electron nằm trên các mức năng lượng kích thích mới có khả năng thay đổi năng lượng của mình.Khi đó, số electron này được tính bằng kTg(𝜀𝐹) Mỗi một electron như vậy khi chuyển mức sẽ thu nhận thêm năng lượng cỡ kT Do đó ta có:

 Nhiệt dung của khí electron tự do: C V electron  T

Kết quả này đã biểu diễn sự phụ thuộc của electron

2.1.2 Khảo sát khí lý tưởng Fermi:

Trong kim loại, các electron tự do có thể di chuyển dễ dàng trong khoảng không gian giữa các nút mạng Do đó, tập hợp các electron tự do này được coi là một chất khí Các electron dương ở nút mạng sắp xếp tuần hoàn trong không gian gây ra hiệu ứng chắn, nên tương tác giữa các electron yếu đi nhiều, song các electron tự do này vẫn có thể di

chuyển dễ dàng trong khắp vật thể Nếu bỏ qua tương tác, tập hợp các electron tự do trong kim loại được coi là khí lý tưởng Fermi

Electron có khối lượng rất nhỏ ( 31

0 đến 𝜇0 nên 𝜇0 phải phụ thuộc vào số điện tử Sự phụ thuộc vào 𝜀 của 𝑛 (𝜀) ở nhiệt độ T khác nhau được biểu diễn ở hình 2

Hình 1: Các electron trong kim loại lần lượt chiếm tất cả các mức năng lượng kể từ mức

thấp nhất.Do sự suy biến gần hoàn toàn của khí electron trong kim loại, cho nên có tồn tại

một mức năng lượng hoàn toàn xác định, đó là mức trên cùng bị chiếm bởi các

electron.Các mức năng lượng nằm trên mức đó còn chưa bị chiếm bởi các electron, mức trên cùng bị chiếm bởi các electron đó được gọi là mức Fermi ( khoảng cách năng lượng giữa mức thấp nhất và mức Fermi là 𝜇 )

Trong đó m là khối lượng của hạt và p

là xung lượng của hạt Số hạt có xung lượng và tọa độ nằm trong thể tích không gian pha dpxdpydpzdV bằng :

Với g là bội suy biến của mỗi mức năng lượng 

Tích phân theo thể tích V chuyển động từ dp dp dp x y z 42pdp trong biểu thức trên, ta sẽ tìm được số hạt electron trong thể tích V có xung lượng nằm giữa p và p + dp bằng:

2 3

1

p kT

g V

h e

4

.2 1

kT

Vgm

h e



Vậy, tổng số electron tự do ở nhiệt độ T được tính theo công thức sau:

0

( ) ( )

N    n  d (2.2) Với   ( ) là mật độ trạng thái,

g( ) là bội suy biến của mỗi mức năng lượng 

Vì mỗi mức năng lượng  ứng với hai trạng thái 𝑠 = ±1

3 3 2 2

2 3 0

2

1

kT

V m

d e

2 3

(2 ) 2

Thay     trong tích phân đầu tiên và chú ý:

p I

Khi đó ta có:

3/2 0

2

3

5/2

2 E

5 



3/ 2 3/ 2 0

V m N

2

S   , khí electron tự do ở nhiệt độ 0K được gọi là khí điện tử suy biến hoàn toàn.Hay T0 được gọi là nhiệt độ suy biến Ở nhiệt

độ T<< T0 khí electron gọi là khí suy biến Khi (T=0K) thì khí electron suy biến hoàn toàn Ở nhiệt độ T >> T0 ta có khí electron không suy biến

Khi được cung cấp năng lượng từ bên ngoài vào thì nhiệt độ của hệ sẽ tăng lên Một số electron ở gần mức Fermi bị kích thích nhảy lên các mức năng lượng nằm trên mức Fermi Đến nhiệt độ T0 nào đó thì electron ở mức thấp nhất  0 cũng có thể nhảy lên mức Fermi, ta có:

kT  

Nhiệt độ:

2/3 2

2 0

2

N T

2

N T

Điều này nghĩa là khí electron không suy biến T >> T0 tuân theo thống kê cổ điển

Thay các giá trị của , m, k, và N 1024cm 3

2

elec v

V elec

2

0 0

( )

2

T V

Từ đó, ta dễ dàng tìm được năng lượng tự do của phương trình trạng thái khí electron tự

do trong kim loại:

2 2

0

0 0 0

2.2 Tính chất từ của khí electron tự do trong kim loại:

2.2.1 Mật độ trạng thái ở năng lượng Fermi:

Tính chất của các electron có thể coi như tính chất của khí lí tưởng mà các hạt là các electron không tương tác nhau Các electron bị giữ lại không đi ra khỏi kim loại bởi các lực điện ở biên giới kim loại Như vậy các electron chuyển động trong không gian giới nội và theo các nguyên lí của cơ học lượng tử thì nó bị lượng tử hóa, tức là hạt không thể

có các trạng thái chuyển động tùy ý mà chỉ có những trạng thái lượng tử gián đoạn đặc trưng bởi các số lượng tử gián đoạn

Phương trình Schrodinger xét cho một electron có dạng:

Ở đây n=0,1,2,… Các thành phần của vectơ 𝑘 chính là số lượng tử mà cùng với số lượng

tử cho biết phương của spin sẽ xác định trạng thái của electron Đặt (2.22) và (2.19) ta được giá trị riêng của các trạng thái vectơ sóng k:

  (2.26)

Ở trạng thái cơ bản của một hệ gồm N electron tự do các trạng thái bị chiếm có thể được

mô tả bởi các điểm bên trong một hình cầu không gian k Năng lượng ứng với mặt hình cầu này được gọi là năng lượng Fermi Năng lượng tương ứng với mặt cầu Fermi là:

2 2

2

432

32

1/3 2

3

F F

Từ (2.28) ta suy ra :

3/2

23

F

m V

2

23

d N D

2.2.2 Áp dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất từ của khí

electron tự do trong kim loại:

Ở hầu hết các kim loại, các electron dẫn tạo nên một độ cảm thuận từ không phụ thuộc vào nhiệt độ và có giá trị không lớn lắm, cỡ chừng 10-6

Theo lý thuyết điện tử tự do cổ điển độ cảm ứng thuận từ của electron phải tuân theo định luật Curie:

2

.

B B

N I

H k T



  

(2.33)Nhưng trên thực tế giá trị quan sát được của  trên các kim loại không sắt từ không phụ thuộc vào T và có giá trị cỡ bằng 1/100 giá trị nói trên

Ở đây dấu bằng xảy ra đối với k T B F ( tính chất hàm phân bố Fermi-Dirac) sao cho

có thể giả thiết ở gần mức Fermi  f( , ).D( ) d T    B HD(F) (2.37)

Ta thay (2.35-2.36-2.37) vào (2.34) ta được:

2

3( ) H

Vậy từ (2.38) ta thu được giá trị của  là:

2

32

B B

Cần chú ý rằng , không có khí electron hoàn toàn tự do và vì vậy, chúng ta không thể kiểm nghiệm lại giá trị của độ cảm từ bằng thực nghiệm Khi đo độ cảm từ của các kim loại ta sẽ thấy ngay một hiệu ứng phức tạp Ở đây sẽ có cả độ cảm từ của khí electron lẫn

độ cảm nghịch từ và độ cảm thuận từ của các ion của mạng tinh thể Vì vậy, ở các kim loại, tùy thuộc vào độ lớn của hiệu ứng này hay hiệu ứng kia mà ta quan sát thấy các tính chất thuận từ hay các tính chất nghịch từ

Thế nhưng, ở các kim loại kiềm là kim loại có các electron ngoài liên kết yếu nhất, người

ta đã quan sát thấy độ cảm từ không phụ thuộc vào nhiệt độ Do đó, ta có thể cho rằng các tính chất của chúng về căn bản được xác định bởi các tính chất thuận từ của khí electron

(b) Đối với các nhiệt độ khác 0, hãy tìm điều kiện để hệ không suy biến ?

(c) Chứng tỏ rằng nhiệt dung riêng electron tỉ lệ với nhiệt độ T khi hệ suy biến mạnh

Lời giải:

(a) Khi T= 0K, tất cả các mức năng lượng nằm thấp đều bị chiếm chỗ, trong khi đó những mức năng lượng cao hơn 0 lại hoàn toàn trống Lưu ý rằng electron có spin s=1/2, nên mỗi trạng thái có thể nhận chứa hai electron, do đó 2D00V  N, hay:

0

02

N VD

 

Với V là thể tích của mẫu

(b) Điều kiện không suy biến đòi hỏi e kT 1



 , khi đó:

1

1

2

2 1

kT kT

D N

d D kT e V

/ 2

N V kT

D  

(c) Khi T= 0K, các electron ở trong trạng thái cơ bản không bị kích thích Khi

𝑇 ≠ 0𝐾, nhưng T 0

k



 , chỉ những electron nào ở gần mặt Fermi mới bị kích

thích , N eff kTD0 và nhiệt dung riêng do các electron đóng góp là 0 3

2

C  k Do đó, khi hệ bị suy biến mạnh nhiệt dung riêng CT

Bài 2: (a) Tính độ dài của vector sóng Fermi đối với 4,2.1021 electron bị nhốt trong một hộp 1cm3 ?

(b) Tính năng lượng Fermi ( bằng eV) cho hệ electron này ?

(c) Nếu các electron được thay thế bằng notron, hãy tính độ dài vector sóng Fermi và năng lượng Fermi ?

F F

eV m

Bài 3: Tính mật độ trạng thái D( )  như một hàm của năng lượng 𝜀 của một khí electron

tự do một chiều ( Giả thiết điều kiện biên tuần hoàn hay hạn chế một chuỗi dài có độ dài

L nào đó) Hãy tính năng lượng Fermi Fở không độ tuyệt đối đối với với một hệ N electron

Lời giải:

Năng lượng của một hạt là

2

.2

p m

Chú ý đến hai trạng thái spin, ta có:

Tại nhiệt độ 0K, electron sẽ chiếm tất cả các trạng thái có năng lượng từ 0 đến năng lượng Fermi F Do đó:

2 2

(a) Tìm một trị số gần đúng của năng lượng Fermi ( bằng eV) trong Na?

(b) Tìm một trị số gần đúng cho nhiệt dung riêng electron của Na ở nhiệt độ trong phòng?

Lời giải:

(a) Năng lượng Fermi là:

2/3 2

2

3 2

F

N E

(b) Cho biểu thức nội năng của một hệ tổng quát (không nhất thiết là một khí tự do) ở không độ tuyệt đối, làm thế nào xác định được áp suất của hệ?

(c) Từ đó hãy tính áp suất của khí này và chứng tỏ nó phù hợp với kết quả cho bởi thuyết động học

Lời giải:

(a) Mật độ trạng thái cho bởi:

3/2 3

4( ) d (2 )

(2 )

5

F

F N V

(a) Nhiệt dung riêng C ?

4 (k) dk 2

Và động năng của electron là

2 2

2 m k

   Kết hợp hai biểu thức trên ta được

3/2 1/2

232

F

N E

Bài 7: Tính xác suất để cho ở nhiệt độ phòng (kT=0,025Ev) electron chiếm các trạng thái

nằm cao hơn mức Fermi 0,1 eV và thấp hơn mức -0,1 Ev

Lời giải:

Ta có hàm phân bố Fermi:

1 ( )

1

E kT

0,1

4

0, 0251( ) 1, 79.10

1

E kT

Bài 8: Tìm độ chênh lệch giữa năng lượng (theo đơn vị kT) của electron nằm trên mức

Fermi và các electron nằm trên mức có xác suất bị chiếm là 0,2 và 0,8

Lời giải:

Ta có:

1 ( )

1

E kT

E kT

Lời giải:

Số electron có năng lượng nằm giữa E và E + dE là:

3/ 2 1/ 2 3

2/3 2

4 (2 )

4 (2 ) 2

33

E h

Bài 10: Giá trị thực nghiệm của mức Fermi đối với liti ở T = 0K bằng 3,5Ev Gía trị nào

của khối lượng hiệu dụng phải thay vào công thức để có sự phù hợp giữa các lý thuyết và thực nghiệm Fermi

Lời giải:

Dựa vào kết quả bài 9, tac có thể xác định được giá trị của mức Fermi:

2/3 2

37 0

momen từ riêng (momen từ trong một đơn vị thể tích) Tìm biểu thức tổng quát đối với momen từ riêng khi T và H tùy ý Từ đó xác định độ từ thẩm của chất khí trong giới hạn khi từ trường dần đến 0 khi nhiệt độ đủ thấp để có thể bỏ qua số hạng bậc lớn hơn T2 Biết rằng:

2 3/2

2

.2

1

U kT

p E m

 và sử dụng công thức khai triển tích phân, chú ý điều kiện nhiệt độ thấp, ta có thể tìm được:

3/ 2 2

3 1/2 1/2 2

3

16 (2 )

h n m

Bài 12: Xét một mẫu khí Fermi của hạt nhân nguyên tử Ngoại trừ nguyên lý Pauli ra,

các nucleon trong các hạt nhân nặng được giả thiết là chuyển động một cách độc lập trong một quả cầu tương ứng với thể tích V của hạt nhân Chúng được xem như là một

tính động năng trên mỗi nucleon, Ekin/A với mẫu này Thể tích của các hạt nhân là

44

3 3

1616

p h

Trong đó pF là xung lượng Fermi

Tổng động năng của các nuclon là:

5 2

3

16

F kin

Bài 13: Cho biết mật độ số hạt n và năng lượng Fermi  của một khí Fermi không tương tác ở độ không tuyệt đối T = 0K Hãy tìm hệ số nén đẳng nhiệt



k m

Bài 14: Tìm công thức tính động năng cực đại của một electron trong một khối khí

Fermi gồm N electron không tương tác trong thể tích V ở độ không tuyệt đối

Lời giải:

Khi T = 0K, phân bố Fermi là:

10

F F

f f

4(2 ) m d

h

Do đó:

3/2 3

0

4(2 )

Tức là max  F  1,1.1018J

Bài 15: Xét một hệ khí suy biến (tức là T = 0K) gồm N electron trong một thể tích V

(a) Hãy tìm một phương trình liên hệ áp suất, năng lượng và thể tích của khí này trong trường hợp siêu tương đối tính (tức là bỏ qua khối lượng nghỉ của electron)

(b) Đối với khí gồm các electron thực ( tức là khối lượng nghỉ m), hãy tìm điều kiện

về N và V để kết quả ở câu (a) vẫn sử dụng được một cách gần đúng

Lời giải:

Năng lượng của khí electron suy biến không tương tác là:

2

3 0

F

N p

2 F

pV  E

(b) Đối với một electron thực:

PHẦN IV: KẾT LUẬN

Trong đề tài này, em đã vận dụng các kiến thức đã được học cùng với nguồn tài liệu tham khảo để thiết lập nên các công thức tính nhiệt dung của khí electron tự do trong kim loại bằng phương pháp gần đúng đơn giản dựa vào nguyên lý loại trừ Pauli Sử dụng hàm phân bố thống kê Fermi-Dirac để xác định được nhiệt dung của khí electron

tự do trong kim loại,khảo sát khí electron tự do trong kim loại, tìm ra được mật độ trạng thái ở năng lượng Fermi,năng lượng toàn phần của khí electron ở nhiệt độ

thấp,entropy,năng lượng tự do, độ từ hóa và độ cảm từ của khí electron trong kim loại Cùng với lý thuyết, các bài tập được lựa chọn ở phần bài tập có mục đích khái quát, vận dụng lý thuyết nhằm củng cố kiến thức cho những lý thuyết được trình bày

ở trên