TIỂU LUẬN vật lý THỐNG kê LƯỢNG tử

1 Mục lục 1 Phương pháp các toán tử sinh hạt và hủy hạt 2 1.1 Một số hệ thức đại số toán tử quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Hệthức1 2 1.1.2 Hệthức2 3 1.1.3 Hệthức3 3 1.1.4 Hệthức4 5 1.1.5 Hệthức5 5 1.1.6 Hệthức6 9 1.1.7 Hệthức7 10 1.1.8 Hệthức8 11 1.1.9 Hệthức9 11 1.1.10 Hệthức10 12 2 Chương 1 Phương pháp các toán tử sinh hạt và hủy hạt 1.1 Một số hệ thức đại số toán tử quan trọng Trong phần này chúng ta sẽ thiết lập một số hệ thức đại số toán tử quan trọng thường gặp trong lý thuyết lượng tử các hệ nhiều hạt. 1.1.1 Hệ thức 1 Nếu  A,  B là hai toán tử phản giao hoán ; ξ là tham số nào đó; n là một số nguyên, thì ta có hệ thức sau: a) e ξ  A ˆ B n e −ξ  A =  e ξ  A ˆ Be −ξ  A  n (1.1) b) e ξ  A F  ˆ B  e −ξ  A = F  e ξ  A ˆ Be −ξ  A  (1.2) Chứng minh a) Từ biểu thức vế trái của phương trình (1.1) ta thêm (n - 1) tích  e − ξ  A e ξ  A  vào giữa các toán tử  B, ta có: VT = e +ξ  A ˆ B n e −ξ  A = e +ξ  A ˆ B. ˆ B ˆ B.e −ξ  A = e +ξ  A ˆ B.e −ξ  A e +ξ  A ˆ B.e −ξ  A e +ξ  A ˆ B.e −ξ  A =  e +ξ  A ˆ B.e −ξ  A  e +ξ  A ˆ B.e −ξ  A   e +ξ  A ˆ B.e −ξ  A  =  e +ξ  A ˆ B.e −ξ  A  n = VP (dpcm) Tiểu luận Vật lý thống kê lượng tử 3 b) Ta phân tích F   B  thành chuỗi (hình thức) F  ˆ B  =  n=1 ∂ n F ( ˆ B ) ∂ ˆ B n × ˆ B n n! =  n=1 c n ˆ B n ởđâyc n = ∂ n F ( ˆ B ) ∂ ˆ B n × 1 n! ≡ hằng số nào đó. Nên ta có: e ξ  A F  ˆ B  e −ξ  A =  n=1 c n .e ξ  A ˆ B n e −ξ  A từ câu a) ta có: e ξ  A F  ˆ B  e −ξ  A =  n=1 c n .  e ξ  A ˆ Be −ξ  A  n = F  e ξ  A ˆ Be −ξ  A  = VP(dpcm) 1.1.2 Hệ thức 2 Nếu  A,  B là hai toán tử phản giao hoán thì ta có hệ thức sau: a)  A  B n  A −1 =   A  B  A −1  n (1.3) b)  AF   B   A −1 = F   A  B  A −1  (1.4) Chứng minh a) Ta thêm (n -1) tích   A −1  A  vào giữa các toán tử  B ở vế trái của phương trình trên, ta có: VT =  A  B n  A −1 =  A  B.  B  B.  A −1 =  A  B  A −1  A.  B  A −1  A  B.  A −1 =   A  B  A −1   A.  B  A −1    A  B.  A −1  =   A  B.  A −1  n = VP (dpcm) b) Ta phân tích F   B  thành chuỗi (hình thức) F   B  =  n=1 ∂ n F (  B ) ∂  B n ×  B n n! =  n=1 c n  B n với c n = ∂ n F ( ˆ B ) ∂ ˆ B n × 1 n! ≡ hằng số nào đó. Từ đó, vế trái của phương trình trên có được: VT =  AF   B   A −1 =  n=1 c n  A  B n  A −1 =  n=1 c n   A  B  A −1  n = F   A  B  A −1  = VP (dpcm) 1.1.3 Hệ thức 3 Nếu  A,  B là hai toán tử phản giao hoán ( tức là   A,  B  =0) và từng toán tử  A,  B lại giao hoán với   A,  B  ( tức là   A,   A,  B  =   B,   A,  B  =0) thì ta có hệ thức: e  A+  B = e  A .e  B .e − 1 2 [  A,  B ] = e  B .e  A .e − 1 2 [  A,  B ] (1.5) GVHD: GS.TS. Trần Công Phong HVTH: Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - K21 - ĐHSP Huế Tiểu luận Vật lý thống kê lượng tử 4 Chứng minh Ta sử dụng công thức trung gian là hàm của ξ như sau: f (ξ)=e ξ  A e ξ  B (1.6) ∂f ∂ξ = e ξ  A  Ae ξ  B + e ξ  A e ξ  B  B =  Ae ξ  A e ξ  B + e ξ  A e ξ  B  B =  Ae ξ  A e ξ  B + e ξ  A  Be ξ  B =  Ae ξ  A e ξ  B + e ξ  A  Be − ξ  A e ξ  A e ξ  B Ta suy ra ∂f ∂ξ =  ˆ A + e ξ ˆ A ˆ Be ξ ˆ B  f (ξ) (1.7) Đặt ϕ (ξ)=e ξ  A  Be − ξ  A ta có: ∂ϕ ∂ξ = e ξ  A  A  Be − ξ  A + e ξ  A  Be − ξ  A  −  A  = e ξ  A   A  B −  B  A  e − ξ  A = e ξ  A   A,  B  e − ξ  A =   A,  B  Vì theo giả thiết   A,  B  =0nên: ϕ (ξ)=   A, −→ B  ξ + const ϕ (0) = const = e 0  Be − 0 =  B Ta suy ra ϕ ( ξ)=  ˆ A, ˆ B  ξ + ˆ B (1.8) Thế (1.8) vào (1.7), ta có: ∂f ∂ξ =   A +   A,  B  ξ +  B  f (ξ) ⇔ 1 f (ξ) ∂f ∂ξ =  A +   A,  B  ξ +  B ⇔ d(ln f (ξ)) dξ =  A +   A,  B  ξ +  B ⇔ ln f (ξ)=  Aξ + 1 2   A,  B  ξ 2 +  Bξ+ const Ta suy ra f (ξ)=const. exp   Aξ + 1 2   A,  B  ξ 2  (1.9) Từ (1.9) và (1.6) ta có: f (0) = const =1 Suy ra: f (ξ)=e ξ (  A+  B ) + 1 2 [  A,  B ] ξ 2 = e ξ  A e ξ  B Với ξ =1, ta có: e  A+  B = e  A .e  B .e − 1 2 [  A,  B ] (dpcm) GVHD: GS.TS. Trần Công Phong HVTH: Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - K21 - ĐHSP Huế Tiểu luận Vật lý thống kê lượng tử 5 1.1.4 Hệ thức 4 Giả sử a + ,alà các toán tử sinh hạt và hủy hạt boson. Khi đó, ta có hệ thức: a)  a,  a +  l  = l.  a +  l−1 = ∂(a + ) l ∂a + (1.10) b)  a + , (a) l  = −l.(a) l−1 = − ∂(a) l ∂a (1.11) Chứng minh a) Đối với toán tử sinh hạt và hủy hạt boson, ta có:  a, a +  = aa + − a + a =1⇒ aa + =1+a + a ta có:  a, (a + ) l  = a(a + ) l − (a + ) l a = aa + (a + ) l−1 − (a + ) l a =(1+a + a)(a + ) l−1 − (a + ) l a =(a + ) l−1 + a + (aa + )(a + ) l−2 − (a + ) l a =(a + ) l−1 + a + (1 + a + a)(a + ) l−2 − (a + ) l a =(a + ) l−1 +(a + ) l−1 +(a + ) 2 (aa + )(a + ) l−3 − (a + ) l a =(a + ) l−1 +(a + ) l−1 + +(a + ) l a − (a + ) l a = l.(a + ) l−1 = ∂ ( a + ) l ∂a + (dpcm) b) Ta có: [a, a + ]=1⇔ aa + − a + a =1⇔ a + a = aa + − 1 Khi đó: VT =  a + , (a) l  = a + (a) l − (a) l a + = a + a(a) l−1 − (a) l a + =(aa + − 1) (a) l−1 − (a) l a + = −(a) l−1 + a (a + a)(a) l−2 − (a) l a + = −(a) l−1 + a (aa + − 1) (a) l−2 − (a) l a + = −(a) l−1 − (a) l−1 +(a) 2 a + (a) l−2 − (a) l a + = −(a) l−1 − (a) l−1 +(a) 2 (a + a)(a) l−3 − (a) l a + = −(a) l−1 − (a) l−1 − +(a) l a + − (a) l a + = −l.(a) l−1 = − ∂(a) l ∂a = VP (dpcm) 1.1.5 Hệ thức 5 Giả sử x là tham số, f (a + ,a) là hàm của các toán tử sinh hạt a + và hủy hạt boson và có thể phân tích thành chuỗi theo a, a + . Khi đó, ta có: a) e xa f  a, a +  e − xa = f  a, a + + x  (1.12) GVHD: GS.TS. Trần Công Phong HVTH: Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - K21 - ĐHSP Huế Tiểu luận Vật lý thống kê lượng tử 6 b) e − xa + f  a, a +  e xa + = f  a + x, a +  (1.13) Chứng minh a) Theo hệ thức (1.2) ta có thể viết vế trái của (1.12) dưới dạng: e xa f  a, a +  e − xa = f  e xa a.e − xa ,e xa a + .e − xa  = f  e xa e −xa a, e xa a + .e −xa  = f  a, e xa a + .e −xa  (1.14) Xét hàm g (x)=e xa a + e − xa . Phân tích hàm g (x) thành chuỗi: g (x)=  n =0 ∂ n g ∂x n     x=0 × x n n! Khi n =0: n =0: g (x =0)=a + (1.15) Khi n =1: ∂g ∂x     x=0 .x =  e xa aa + e −xa − e xa a + a.e −xa    x=0 .x =(ag (x) − g (x) a)| x =0 .x=  aa + − a + a  x = x (1.16) Khi n =2: ∂ 2 g ∂x 2    x=0 . x 2 2! = ∂ ∂x  ∂g ∂x    x=0 . x 2 2! = ∂ ∂x (ag (x) − g (x) a)   x=0 . x 2 2! =  a ∂g ∂x − ∂g ∂x a    x=0 . x 2 2! = {a [ag (x) − g (x) a] − [ag (x) − g (x) a] a}| x=0 . x 2 2! = {a 2 g (x) − ag (x) a − ag (x) a − g (x) a 2 }| x=0 . x 2 2! =(a 2 a + − aa + a − aa + a − a + a 2 ) . x 2 2! =[a (aa + − a + a) − (aa + − a + a) a] . x 2 2! = {a [a, a + ] − [a, a + ] a} . x 2 2! =[a, [a, a + ]] . x 2 2! =0 Ta suy ra ∂ 2 g ∂x 2     x=0 . x 2 2! =0 (1.17) Khi n =3: ∂ 3 g ∂x 3    x=0 . x 3 3! = ∂ ∂x  ∂ 2 g ∂x 2     x=0 . x 3 3! = ∂ ∂x (a 2 g (x) − ag (x) a − ag (x) a + g (x) a 2 )   x=0 . x 3 3! =  a 2 ∂g ∂x − a ∂g ∂x a − a ∂g ∂x a + ∂g ∂x a 2    x=0 . x 3 3! = {a 2 [ag (x) − g (x) a] − 2a [ag (x) − g (x) a] a +[ag (x) − g (x) a] a 2 }| x=0 . x 3 3! =[a 3 g (x) − a 2 g (x) a − 2a 2 g (x) a +2ag (x) a 2 + ag (x) a 2 − g (x) a 3 ]| x=0 . x 3 3! =(a 3 a + − 3a 2 a + a +3aa + a 2 − a + a 3 ) . x 3 3! =[(a 3 a + − a 2 a + a − a 2 a + a + aa + a 2 ) − (a 2 a + a − aa + a 2 − aa + a 2 + a + a 3 )] . x 3 3! GVHD: GS.TS. Trần Công Phong HVTH: Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - K21 - ĐHSP Huế Tiểu luận Vật lý thống kê lượng tử 7 =[a (a 2 a + − aa + a − aa + a + a + a 2 ) − (a 2 a + − aa + a − aa + a + a + a 2 ) a] . x 3 3! =[a, (a 2 a + − aa + a − aa + a + a + a 2 )] . x 3 3! =[a, (a (aa + − a + a) − (aa + − a + a) a)] . x 3 3! =[a, [a, (aa + − a + a)]] . x 3 3! =[a, [a, [a, a + ]]] . x 3 3! Ta suy ra ∂ 3 g ∂x 3     x=0 . x 3 3! =0 (1.18) Từ (1.15) đến (1.18) ta có: g (x)=a + + x Thế g (x)vào (1.14) ta có: e xa f  a, a +  e − xa = f  a, a + + x  (dpcm) b) Theo hệ thức (1.2) ta có e −xa + f  a, a +  e xa + = f  e −xa + ae xa + ,e −xa + a + e xa +  = f  e −xa + ae xa + ,e −xa + e xa + a +  = f  e −xa + ae xa + ,a +  (1.19) Xét hàm g (x)=e −xa + ae xa + . Phân tích hàm g (x) thành chuỗi: g (x)=  n=0 ∂ n g ∂x n      x=0 . x n n! Khi n =0: g (x =0)=a (1.20) Khi n =1: ∂g ∂x     x=0 .x =  e −xa +  −a +  ae xa + + e −xa + aa + e xa +     x=0 .x =  −a + g (x)+g (x) a +    x=0 .x =  −a + a + aa +  .x =  aa + − a + a  .x =  a, a +  .x = x (1.21) Khi n =2: ∂ 2 g ∂x 2    x=0 . x 2 2! = ∂ ∂x  ∂g ∂x    x=0 . x 2 2! = ∂ ∂x (−a + g (x)+g (x) a + )   x=0 . x 2 2! =  −a + ∂g ∂x + ∂g ∂x a +    x=0 . x 2 2! = {−a + (−a + g (x)+g (x) a + )+(−a + g (x)+g (x) a + ) a + }| x=0 . x 2 2! =  (a + ) 2 g (x) − a + g (x) a + − a + g (x) a + + g (x)(a + ) 2     x=0 . x 2 2! =  (a + ) 2 a − a + aa + − a + aa + + a(a + ) 2  . x 2 2! =  (a + ) 2 a − a + aa +  +  a(a + ) 2 − a + aa +  . x 2 2! = {−a + (aa + − a + a)+(aa + − a + a) a + } . x 2 2! = {−a + [a, a + ]+[a, a + ] a + } . x 2 2! GVHD: GS.TS. Trần Công Phong HVTH: Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - K21 - ĐHSP Huế Tiểu luận Vật lý thống kê lượng tử 8 =[[a, a + ] ,a + ]=[1,a + ] Ta suy ra ∂ 2 g ∂x 2     x=0 . x 2 2! =0 (1.22) Khi n =3: ∂ 3 g ∂x 3    x=0 . x 3 3! = ∂ ∂x  ∂ 2 g ∂x 2     x=0 . x 3 3! = ∂ ∂x  (a + ) 2 g (x) − 2a + g (x) a + + g (x)(a + ) 2     x=0 . x 3 3! =  (a + ) 2 ∂g ∂x − 2a + ∂g ∂x a + + ∂g ∂x (a + ) 2     x=0 . x 3 3! =  (a + ) 2 (−a + g (x)+g (x) a + ) − 2a + (−a + g (x)+g (x) a + ) a + + +(−a + g (x)+g (x) a + )(a + ) 2     x=0 . x 3 3! =  −(a + ) 3 g (x)+(a + ) 2 g (x) a + +2(a + ) 2 g (x) a + − − 2a + g (x)(a + ) 2 − a + g (x)(a + ) 2 + g (x)(a + ) 3     x=0 . x 3 3! =  −(a + ) 3 a +(a + ) 2 aa + +2(a + ) 2 aa + − 2a + a(a + ) 2 − a + a(a + ) 2 + a(a + ) 3  . x 3 3! =  a(a + ) 3 − a + a(a + ) 2 − a + a(a + ) 2 +(a + ) 2 aa +  − −  a + a(a + ) 2 − (a + ) 2 aa + − (a + ) 2 aa + +(a + ) 3 a  . x 3 3! =  a(a + ) 2 − a + aa + − a + aa + +(a + ) 2 a  a + − − a +  a(a + ) 2 − a + aa + − a + aa + +(a + ) 2 a  . x 3 3! = {[(aa + − a + a) a + − a + (aa + − a + a)] a + − a + [(aa + − a + a) a + − a + (aa + − a + a)]} . x 3 3! =[(aa + − a + a) a + − a + (aa + − a + a) ,a + ] . x 3 3! =[[(aa + − a + a) ,a + ] ,a + ] . x 3 3! =[[[a, a + ] ,a + ] ,a + ] . x 3 3! Ta suy ra ∂ 3 g ∂x 3     x=0 . x 3 3! =0 (1.23) Từ (1.20) và (1.23) ta có: g (x)=a + x (1.24) thế (1.24) vào (1.19) ta thu được vế phải của (1.13) e −xa + f  a, a +  e xa + = f  a + x, a +  (dpcm) GVHD: GS.TS. Trần Công Phong HVTH: Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - K21 - ĐHSP Huế Tiểu luận Vật lý thống kê lượng tử 9 1.1.6 Hệ thức 6 Giả sử f (a, a + ) là hàm của các toán tử sinh hạt (a + ) và hủy hạt (a) boson và có thể phân tích thành chuỗi theo a, a + . Khi đó ta có: a)  a, f  a, a +  = ∂f ∂a + (1.25) b)  a + ,f  a, a +  = − ∂f ∂a (1.26) Chứng minh Xét hàm trung gian: ϕ (x)=e xa f  a, a + + x  e − xa (1.27) theo hệ thức (1.12) , ta có: ϕ (x)=f  a, a + + x  (1.28) Suy ra ∂f (a, a + + x) ∂x = ∂ϕ(x) ∂x = e xa af  a, a +  e − xa − e xa f  a, a +  e − xa a = aϕ (x) − ϕ (x) a =[a, ϕ (x)] (1.29) Do: ∂(a + ) l ∂x = l  a +  l−1 = lim x→0  l  a + + x  l−1  = lim x→0 ∂ ∂x  a + + x  l ⇒ ∂f (a, a + ) ∂a + = lim x→0 ∂f (a, a + + x) ∂x (1.30) Kết hợp (1.28), (1.29), (1.30) ta có: ∂f (a, a + ) ∂a + = lim x→0 ∂f (a, a + + x) ∂x = lim x→o [a, ϕ (x)] =  a, f  a, a +  (dpcm) b) Xét hàm trung gian ϕ (x)=e −xa + f  a, a +  e xa + (1.31) theo hệ thức (1.13) , ta có: ϕ (x)=f  a + x, a +  (1.32) Suy ra ∂f (a + x, a + ) ∂x = ∂ϕ(x) ∂x = − e −xa + a + f  a, a +  e xa + + e −xa + f  a, a +  a + e xa + = −a + ϕ ( x)+ϕ (x) a + =  ϕ (x) ,a +  (1.33) GVHD: GS.TS. Trần Công Phong HVTH: Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - K21 - ĐHSP Huế Tiểu luận Vật lý thống kê lượng tử 10 Do: ∂(a) l ∂a = l(a) l−1 = lim x→0  l(a + x) l−1  = lim x→0 ∂ ∂x (a + x) l ⇒ ∂f ( a,a + ) ∂a = lim x→0 ∂f ( a+x,a + ) ∂x = lim x→0 [ϕ (x) ,a + ]=[f (a, a + ) ,a + ] ⇒ [a + ,f (a, a + )] = − ∂f ( a,a + ) ∂a (dpcm) 1.1.7 Hệ thức 7 Giả sử α là tham số, khi đối với toán tử sinh hạt (a + ) và hủy hạt (a) boson, ta có hệ thức: a) e − αa + a ae αa + a = ae α (1.34) b) e − αa + a a + e αa + a = a + e − α (1.35) Chứng minh a) Xét hàm ϕ (x)=e xa + a ae − xa + a (1.36) ∂ϕ(x) ∂x = e xa + a a + aa e − xa + a − e xa + a ae − xa + a a + a = e xa + a  a + aa − aa + a  e − xa + a = e xa + a  a + a, a  e − xa + a (1.37)  a + a, a  = a + aa − aa + a = a + aa −  1+a + a  a = a + aa − a − a + aa = −a (1.38) Thế (1.38) vào (1.37), ta thu được ∂ϕ(x) ∂x = −e xa + a ae − xa + a = −ϕ (x) ⇔ ∂ϕ(x) ϕ(x) = −∂x ⇔ d (ln ϕ (x)) = −dx ⇔ ln ϕ (x)=−x + const ⇔ ϕ (x)=const.e −x ; ϕ (0) = const = a Ta suy ra ϕ (x)=a.e −x (1.39) Với x = −α ta thu đượ c công thức phải tìm: e −αa + a a.e αa + a = a.e α (dpcm) b) Xét hàm ϕ (x) có dạng ϕ (x)=e xa + a a + e −xa + a ∂ϕ(x) ∂x = e xa + a a + aa + e −xa + a − e xa + a a + e −xa + a a + a = e xa + a (a + aa + − a + a + a) e −xa + a = e xa + a a + (aa + − a + a) e −xa + a = e xa + a a + [a, a + ] e −xa + a = e xa + a a + e −xa + a GVHD: GS.TS. Trần Công Phong HVTH: Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - K21 - ĐHSP Huế [...].. .Tiểu luận Vật lý thống kê lượng tử ⇒ ∂ϕ(x) ∂x = ϕ (x) ⇒ ∂ϕ(x) ϕ(x) 11 = ∂x ⇒ d (ln ϕ (x)) = dx ⇒ ln ϕ (x) = x + const ⇒ ϕ (x) = const.ex Ta có ϕ (0) = const = a+ ⇒ ϕ (x) = a+ ex Với x = −α, ta thu được công thức: + e−α a aa+ eα a 1.1.8 +a = a+ e−α (dpcm) Hệ thức 8 Giả sử x là tham số khi đó đối với toán tử sinh hạt (a+ ) và hủy hạt (a) boson, ta có hệ... số, khi đó đối với toán tử sinh hạt (a+ ) và hủy hạt (a) boson, ta có hệ thức: + + e−(α a+βa ) a+ e(α a+βa ) = a+ − α a) + + e−(α a+βa ) a e(α a+βa ) = a + β b) (1.42) (1.43) Chứng minh Xét hàm trung gian F (γ) dạng: + + F (γ) = e−(α a+βa )γ a+ e(α a+βa )γ GVHD: GS.TS Trần Công Phong (1.44) HVTH: Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - K21 - ĐHSP Huế Tiểu luận Vật lý thống kê lượng tử 12 + + + + = −e−(α a+βa... n là số nguyên, khi đó đối với toán tử sinh hạt (a+ ) và hủy hạt (a) boson, ta có hệ thức a) b) eα a a+ n n = a+ + α eα a + + (a)n eβ a = eβ a (a + β)n (1.49) (1.50) Chứng minh a) áp dụng cho hệ thức (1.42) với α → −α; β = 0, ta có: eα a a+ e−αa = a+ + α GVHD: GS.TS Trần Công Phong HVTH: Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - K21 - ĐHSP Huế Tiểu luận Vật lý thống kê lượng tử 13 Lũy thừa bậc n cả hai vế, ta... Công Phong + n + + = (a + β)n ⇒ (a)n eβa = eβa (a + β)n (dpcm) HVTH: Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - K21 - ĐHSP Huế 14 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Quang Báu-Bùi Bằng Đoan-Nguyễn Văn hùng (2004), Vật lý thống kê, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội . Phong HVTH: Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - K21 - ĐHSP Huế Tiểu luận Vật lý thống kê lượng tử 5 1.1.4 Hệ thức 4 Giả sử a + ,alà các toán tử sinh hạt và hủy hạt boson. Khi đó, ta có hệ thức: a)  a,  a +  l  =. HVTH: Phạm Tùng Lâm - Lớp VLLT-VLT - K21 - ĐHSP Huế Tiểu luận Vật lý thống kê lượng tử 9 1.1.6 Hệ thức 6 Giả sử f (a, a + ) là hàm của các toán tử sinh hạt (a + ) và hủy hạt (a) boson và có thể phân. ˆ B.e −ξ  A =  e +ξ  A ˆ B.e −ξ  A  e +ξ  A ˆ B.e −ξ  A   e +ξ  A ˆ B.e −ξ  A  =  e +ξ  A ˆ B.e −ξ  A  n = VP (dpcm) Tiểu luận Vật lý thống kê lượng tử 3 b) Ta phân tích F   B  thành chuỗi (hình thức) F  ˆ B  =  n=1 ∂ n F ( ˆ B ) ∂ ˆ B n × ˆ B n n! =  n=1 c n ˆ B n ởđâyc n = ∂ n F ( ˆ B ) ∂ ˆ B n × 1 n! ≡