tiểu luận vật lý hệ nhiều hạt

Đầu tiên, khung h...i trong 3.27 có ngụ ý củacủa phương trình tương đương 3.28 khung h0i lên một toán tử 0 cónghĩa là lấy trung bình nhiệt động lực học, đó là các vết trong tập hợptất cả

NỘI DUNG 2

Chương 3: Hàm Green ở nhiệt độ khác không 2 3.1 Giới thiệu 2

3.2 Hàm Green Matsubara 9

3.3 Hàm Green trễ và nâng cao 19

3.4 Phương trình Dyson 39

độ không ở chương 2, do đó phương pháp Matsubara sẽ được sử dụngtrong suốt các phần còn lại của cuốn sách Kết quả đối với nhiệt độkhông luôn luôn dễ dàng thu được từ kết quả của trường hợp nhiệt

độ khác không bằng cách cho T = 0

Ở nhiệt độ khác không, nó được giả định có đại lượng nào đó kháckhông Đó là các hạt của chúng, đó là điện tử, photon hoặc là spinđược tương tác với một hệ của các hạt khác chưa biết, vì chúng daođộng giữa các cấu hình khác nhau Tất cả những gì được gọi là nhiệt

độ, có liên quan tới năng lượng trung bình trên tất cả các cấu hình cóthể có của hệ

Một hàm Green có thể có của điện tử là

trong ma trận S thông thường Nhưng nó xuất hiện trong các thừa sốexp(−βH) Nhiễu loạn được mở rộng trên các nhân tố trọng số nhiệtđộng lực học Tất nhiên, đó là một rắc rối để có thể chia làm hai phầnkhác nhau gộp lại một.

Các Hamiltonian có trong hai số hạng là một thừa số theo cấp sốnhân Các thừa số của β = 1/(kBT ) có thể được coi là một phức thờigian Phương pháp Matsubara hoàn toàn là điều ngược lại, nó xemthời gian như một nhiệt độ phức Mục đích là để xử lý t và β là phầnthực và phần ảo, yêu cầu chỉ khai triển ma trận S

Một động cơ thúc đẩy cho các phương pháp Matsubara được đưa rabằng cách kiểm tra các số lấp đầy các trạng thái cho boson (eβω~ q−1)−1

và fermion (eβξ~ + 1)−1 Mỗi một trong số này có thể được khai triểntrong một chuỗi (ξp~ = ε~p− µ):

∞

X

n=−∞

1(2n + 1)iπ/β − ξ~p (3.8)

∞

X

n=−∞

12niπ/β − ω~ (3.9)

Những chuỗi có thể được bắt nguồn từ một định lý nói rằng bất

kỳ hàm phân hình có thể được khai triển như một phép tổng ở trêncác cực và các thặng dư tại các cực của nó Hệ số lấp đầy boson

eβω~ q − 1
−1

có các cực tại ω~ = 2niπ/β và hệ số fermion eβξ~ + 1
−1

có các cực tại ξ~p = (2n + 1)iπ/β Nó sẽ thuận lợi cho việc xác định

Trong phương pháp Matsubara, thời gian sẽ trở thành một số phức,

mà thường gọi là τ , ở đây τ = it Hàm Green là hàm của τ với miềnxác định

β



(3.14)

Chia tích phân (3.19) thành miền âm và miền dương:

f (iωn) = 1

2

Z β 0

dτ f (τ )einπ/β (3.22)

Biểu thức f (iωn) = 0 khi n là số nguyên lẻ cho các boson

f (iωn) =

Z β 0

dτ eiωn τf (τ )

f (τ ) = 1

βX

dτ f (τ )einπ/β (3.25)Trong trường hợp này f (iωn) = 0 nếu n là chẵn, trong khi đối với n

là số nguyên lẻ thì:

f (iωn) =

Z β 0

dτ eiωn τf (τ )

f (τ ) = 1

βX

Có hai ưu điểm lớn của phương pháp Matsubara là nó dẫn chúng

ta trực tiếp tới kết quả Trong bản chất, (3.10) và (3.11), một số côngthức Kubo được suy ra từ các định nghĩa của vật lý như độ dẫn điện,

độ cảm ứng từ Trong công thức (3.6) cho biết hàm tương quan chỉ

là hàm Green sơ ban đầu Cuối cùng nó thể hiện cho hàm GreenMatsubara dẫn trực tiếp tới hàm ban đầu Hàm Matsubara sẽ là hàmcủa tần số phức iωn, chẳng hạn như f (iωn) Hàm tương đương banđầu thu được bằng cách cách thay thế iωn bởi (ω + iδ), ở đây δ là vôcùng bé và i = √

−1 Bước này được gọi là một phép phân tích mởrộng Trong thực tế, trong các công thức đó thì chỉ có một công thứcgiúp cho f (iωn) loại bỏ hết iωn, và thay thế bởi (ω + iδ) Một biệnpháp đơn giản mang lại hàm ban đầu cần thiết cho các đại lượng vật

lý đo lường Kỹ thuật Matsubara là một phương pháp trực tiếp tínhtoán định tính có thể được so sánh với thực nghiệm

Hàm Green điện tử được định nghĩa là

G(~p, τ − τ0) = −DTτC~pσ(τ )C~pσ† (τ0)E (3.27)G(~p, τ − τ0) = −Tr[e−β(H−µN −Ω)Tτeτ (H−µN )

Những định nghĩa này có một số đặc trưng và quy ước mà cầnphải được giải thích Đầu tiên, khung h i trong (3.27) có ngụ ý củacủa phương trình tương đương (3.28) khung h0i lên một toán tử 0 cónghĩa là lấy trung bình nhiệt động lực học, đó là các vết trong tập hợptất cả các trạng thái, thứ hai Hamiltonian hiện được thay thế bằng

H − µN , ở đây µ là thế điện hóa và N là toán tử số hạt Một phân bốchính tắc suy rộng, coi số lượng của hạt là biến Định nghĩa của hàmGreen áp dụng cho hệ nhiều hạt Nó cũng có thể sử dụng rất thànhcông cho một hạt trong một vùng trống Trong trường hợp sau, việctiếp tục phân tích được thực hiện như iωn → E + µ + iδ và thế điệnhóa bị triệt tiêu trong tất cả các biểu thức vì βµ  0 trong hệ mộthạt tại nhiệt độ khác không

Trong một hệ nhiều electron, thế điện hóa được giữ nguyên trongcác hệ thức Việc tiếp tục phân tích (iωn → E + iδ) và năng lượngđược đo từ thế điện hóa (năng lượng fermi) Yếu tố Tτ là một toán

tử thứ tự τ , mà toán tử sắp xếp với τ sớm nhất (gần với −β nhất)

ở bên phải Nó xác định các hàm đơn điệu theo toán tử thứ tự thờigian trong hàmGreen có nhiệt độ khác không Chỉ số dưới τ là chỉ sốcủa T để phân biệt các toán tử từ nhiệt độ Thế nhiệt động lực học Ωtrong exp(−βΩ) là yếu tố chuẩn hóa cho một trung bình nhiệt độnglực học Ký tự G đã được đã được sử dụng cho các hàm Matsubara

Ký tự này sẽ luôn nhắc nhở người đọc rằng đây là hàm Green của thờigian phức và tần số phức

Trong (3.27) hàm Green bên vế trái đã được viết như một hàm củahiệu (τ − τ0), mặc dù vế phải không hẳn là một hàm của hiệu Bâygiờ chứng minh cho trường hợp này Ban đầu, viết hàm Green cho cáctrường hợp riêng biệt cho τ > τ0 và τ < τ0

i(3.31)

Sự thay đổi ký hiệu trong số hạng thứ hai xuất hiện bất cứ khi nàohai toán tử fermion là đổi chổ cho nhau Tiếp theo, sử dụng định lýcho vết là không thay đổi bởi một biến thiên tuần hoàn của các toántử

Tr(ABC Y Z) = Tr(BC XY ZA) (3.32)

để các toán tử của e(τ0− K) bên trái Khi này phương trình (3.31) cóthể viết lại như sau

G(~p, τ − τ0) = −Θ(τ − τ0)Tr

h

e−τ0Ke−β(K−Ω)eτ KC~ pσe−(τ −τ0)KC~pσ†

i++Θ(τ0 − τ )Trhe−τ Ke−β(K−Ω)eτ0KC~pσ† e(τ −τ0)KCpσ~

i

(3.33)Tiếp theo giao hoán các toán tử số mủ:

e−τ0Ke−β(K−Ω) = e−β(K−Ω)e−τ0K (3.34)

vì cả hai đều có toán tử đơn điệu K [ thế nhiệt động lực học Ω khôngphải là một toán tử mà là một hàm vô hướng của β và µ, được xác

(3.35)

Vế phải của công thức trên là một hàm duy nhất của tổ hợp (τ − τ0).Hàm Green có thể được viết như là một hàm của hiệu Nó loại bỏ mộtbiến thời gian vì nó là không cần thiết Một định nghĩa tương đươngcủa hàm Green là

τ < 0 : G(~pτ ) = Tr(e−β(K−Ω)Cpσ~† eτ KC~pσe−τ K) (3.38)Bằng cách sử dụng tính chất tuần hoàn của vết của một số thời gian, phương trình trên có thể được xếp lại thành:

τ < 0 : G(~p, τ ) = Tr



e−β(K−Ω)e(τ +β)KCpσ~ e−(τ +β)KCpσ~†

(3.40)

Số hạng bên phải là −G(~p, τ + β) với 0 < (τ + β) < β Trường hợpsau cho thấy

−β < τ < 0 : G(~p, τ ) = −G(~p, τ + β) (3.41)

tương tự như trong (3.24) Tìm thấy khi chứng minh hàm Green cóthể được mở rộng trong một chuỗi Fourier của các nhân tố trong (3.26)

G(~p, iωn) =

Z β 0

dτ eiωn τG(~p, τ ) (3.42)

G(~p, τ ) = 1

βX

ε~pC~pσ† C~pσ (3.44)

K = K0 = X

~ pσ

Sự phụ thuộc vào τ của hàm Green là:

= −e−ξ~ τ{Θ(τ )[1 − nF(ξ~ p)] − Θ(−τ )nF(ξ~ p)} (3.51)

= −e−ξ~ τ

[Θ(τ ) − nF(ξp~)] (3.52)

ở đây nF(ξ~p) là kỳ vọng của toán tử số: nF(ξ~p) =< C~pσ† C~pσ >, mà từ

cơ sở cơ học thống kê có dạng:

dτ eiωn τ

G(~p, τ ) = −(1 − nF)

Z β 0

Phonon và hàm Green phonon được định nghĩa là hàm có tínhchất đơn điệu Chúng rõ ràng là tương tự nhau, vì vậy chỉ có phéplấy đạo hàm của hàm Green phonon là được trình bày ở phần cuốịCho phonon trong khoảng thời gian −β ≤ τ ≤ β, hàm Green là:

D(~q, τ − τ0) = − < TτẴq, τ )Ă−~q, τ0) > (3.59)Ẵq, τ ) = eτ H(a~ + a†−~q)e−τ H (3.60)Phonon không có thế điện hóa mà chỉ phụ thuộc vào τ bởi Hamilto-nian Vế phải của (3.60) chỉ là một hàm của (τ − τ0) Từ 2 biến của τ

ta có thể thay bằng

D(~q, τ ) = − τẴq, τ )Ă−~q, 0) (3.61)Tiếp theo ta kiểm tra cho trường hợp τ < 0, ta có:

Sử dụng hoán vị tuần hoàn của các biến trong vết:

τ < 0 : D(~q, τ ) = −Tr

h

eβΩeτ HẴq)e−(τ +β)HĂ−~q)

i(3.64)

τ < 0 : D(~q, τ ) = −Tr

h

e−β(H−Ω)e(τ +β)HẴq)e−(τ +β)HĂ−~q)

i(3.65)Trong đó chứng minh

−β < τ < 0 : D(~q, τ ) = D(~q, τ + β) (3.66)

Vế phải của phương trình hàm Green với 0 < τ + β < β Các đồngnhất thức đáp ứng điều kiện chung trong (3.20) cho các hàm tương

quan Biến đổi Fourier có dạng như (3.23)

D(~q, iωn) =

Z β 0

dτ etωn τD(~q, τ ) (3.67)

D(~q, τ ) = 1

βX

n

e−iωn τD(~q, iωn) (3.68)

Phương trình (3.69) đưa ra định nghĩa hàm Green phụ thuộc tần số

Sự khác biệt giữa (3.20) và (3.24) chỉ là dấu thay đổi Hàm fermion

có sự thay đổi dấu bởi vì các toán tử trong nó tuân theo hệ thức phảngiao hoán, trong khi các boson không thay đổi dấu bởi vì các toán tửcủa nó tuân theo hệ thức giao hoán Tất nhiên, thay đổi này là kếtquả của sự khác biệt cơ bản giữa boson và fermion Sự thay đổi dấunày đảm bảo cho sự thay đổi dấu giữa ±1 trong hai hình thức củaphân phối nhiệt: (eβξ~ + 1)−1 và (eβω~ q − 1)−1 Ta phải chú ý dấu trongbài toán fermion với nhiều toán tử

Cho các phonon không tương tác hoặc là hàm Green phonon tự dothu được bởi: H = H0 = P

~ω~a†~a~, đối với τ biến đổi của hiệu suấttoán tử:

a~(τ ) = eτ H0a~e−τ H0 = e−τ ω~ qa~ (3.70)

a†~(τ ) = eτ H0a†~e−τ H0 = eτ ω~ qa†~ (3.71)Luôn nhớ rằng [a~(τ )]† 6= a†~(τ ) Hàm Green không tương tác là

D(0)(~q, τ ) = −Θ(τ )D(a~e−τ ω~ q + a†−~qeτ ω~ q)(a−~q + a†~)

E

−Θ(−τ ) −~q + a†~)(a~e−τ ω~ q + a†−~qeτ ω~ q) (3.72)

Chữ in hoa được sử dụng để biểu thị cho giá trị giá trị trung bìnhnhiệt của toán tử số boson

Hàm Green của τ có thể viết là:

D(0)(~q, τ ) = −Θ(τ )[(N~ + 1)e−τ ω~ q + N~eτ ωq ~]

−Θ(−τ )[N~e−τ ω~ q + (N~ + 1)e−τ ω~ q] (3.75)Hàm Green của tần số là

D(~q, iωn) =

Z β 0

dτ eiωn τD(0)(~q, τ )

= −

h(N~ + 1)(e

D(0)(~q, iωn) = −

h(N~ + 1)(e

Sử dụng phương trình (3.74) cho thấy tử số thứ nhất bằng (−1) vàthứ hai bằng (+1)

Hàm Green là một hàm đơn giản Nó giống hệt với trường hợp nhiệt

độ không (3.75) và sự khác biệt duy nhất là sử dụng tần số phức thay

vì số thực, lưu ýD(0)(~q, iωn) luôn âm

Hàm Green phonon giống với kết quả nhiệt độ không, loại bỏ tần

Phần này được kết thúc bằng một bình luận trên ký hiệu Ba hìnhthức sau đây cho hàm Green là tương đương và sẽ được sử dụng đểthay thế cho nhau:

G(~p, ipn) = G(~p, ip) = G(p) (3.83)D(~q, iωn) = D(~q, iω) = D(q) (3.84)

Vế bên trái đã được sử dụng, còn vế còn lại, ip đã được sử dụng thay

vì ipn, chúng có nghĩa là một, kể từ khi i trong ip là đủ thông tin để

chú ý rằng tần số phức đang được sử dụng, luôn luôn rời rạc Do đócác chỉ số dưới n là không cần thiết Trong các vế cuối cùng, một kýhiệu bốn vectơ p = (~p, ip) là thường dùng, và các hình thức ban đầucủa G là đủ để chúng ta biết việc sử dụng hàm Green Matsubara.

Hàm Green trễ và nâng cao đã được giới thiệu trong mục 2.9, chúngđóng một vai trò quan trọng trong thuyết nhiệt độ khác không, nhữngtính chất của chúng sẽ được thảo luận trong phần này Những tínhchất quan trọng này đến từ sự thật rằng tất cả những đại lượng đođược, như là độ dẫn hoặc độ cảm, là hàm trễ tương ứng Mục tiêu củanhiều tính toán là để tính một hàm trễ Có nhiều cách khác nhau để

có được nó Cách thứ nhất là sử dụng thuyết thời gian thực ngay cả ởnhiệt độ khác không Phương pháp này đã được sử dụng rất sớm và làcách đầu tiên nhưng là cách khó nhất Cách thứ hai, cách này được sửdụng thường xuyên, đầu tiên tính hàm Matsubara tương đương củamột tần số ảo Nó chỉ ra rằng hàm trễ đạt được từ hàm Matsubarabằng cách đơn giản là thay iωn bằng ω + iδ, với δ| vô cùng bé HàmMatsubara là cách tính toán dễ nhất bởi vì biểu thức S-ma trận của

nó là đơn giản Hàm trễ dễ dàng được tìm thấy từ hàm Matsubara.Hàm trễ Green có thể được định nghĩa cho cả nhiệt độ không vànhiệt độ khác không Hàm trễ Green cho một electron trong trạng

có lý Thứ nhất, bắt đầu tính tại một thời điểm t0 và sau đó tính nótại thời điểm t Dĩ nhiên, hệ là có lý, những cái này giải thích tại saohàm Green là một trong những đại lượng vật lý thú vị Sự tiện lợi củahàm Green là không cần tính toán tại các thời gian khác nhau Tronggiới hạn này thời gian là bằng nhau, hoán tử trở nên thống nhất.

1 = lim

t→t 0{C~pσ(t)C~pσ† (t0) + C~pσ† (t0)C~pσ(t)} (3.87)

vì nó trở thành hoán tử fermion bình thường Dấu cộng ở giữa haiphần tử là một đặc trưng quan trọng cho hàm Green trễ của toán tửfermion Vế trái của (3.85) chỉ ra rằng hàm trễ chỉ phụ thuộc vào sựkhác nhau (t − t0) Đặc trưng này có thể được chỉ ra bằng những vậndụng vào các phần tương tự trong các phần sau

Đối với phonons, hàm Green trễ là

Dret(~q, t − t0) = −iΘ(t − t0) 0) − Ă−~q, t0)Ẵq, t)(3.88)

Nó là tương tự với (3.85) trong đó nó cho thời gian thực, nó cũng lànhiệt động lực học trung bình, và chỉ phụ thuộc vào t > t0 Tuy nhiêndấu ở giữa bây giờ là dấu trừ, nó tương ứng với hạt boson Hàm trễđối với cả electron và phonon, vế phải có thể được chỉ ra là hàm của

t − t0, như đã được đưa ra của hàm Green ở vế trái trong định nghĩạHàm trễ Green hữu ích cho nhiều loại toán tử Những toán tử nàythường là tích của electron hoặc toán tử boson Ví dụ chúng ta địnhnghĩa các toán tử

Toán tử U là tuyến tính trong các toán tử Ci với Mij là phần tử

ma trận Toán tử U có các tính chất như hạt boson, các toán tử C

là fermion hoặc toán tử boson Trường hợp khi C là boson và mộtfermion thì U là boson bởi vì nó đóng vai trò như một hạt kết hợp.Dạng kết hợp tuyến tính sẽ được sử dụng khá thường xuyên, vì nómang tính chất của một toán tử quan trọng như toán tử dòng và toán

tử mật độ Hàm Green trễ cho toán tử U được định nghĩa như sau

Uret(t − t0) = −iΘ(t − t0) †(t0) − U†(t0)U (t)] (3.91)

Định nghĩa này tương tự với (3.88), với biểu hiện quan trọng là nó

có dấu trừ ở giữa dấu Bracket, đó là trường hợp cho tất cả các toán

tử boson, cho bất kì toán tử nào nó là tích của boson hoặc số chẵncủa fermion

Tuy nhiên, một toán tử như V ở trên được coi như fermion nếu nó

là tích của một số lẻ fermion Hàm trễ của nó là

Vret(t − t0) = −iΘ(t − t0) †(t0) + V†(t0)V (t)] (3.92)cái mà bây giờ có dấu cộng ở giữa

Tất cả những hàm trễ này có dạng định nghĩa chuyển đổi Fourierlà

đối ngược với hàm trễ Những chuyển đổi Fourier tương ứng với tần

số được định nghĩa trong cách thông thường như trong (3.94)

Hàm nâng cao năng lượng thoát ra là liên hợp phức của hàm trễtương ứng Để chứng minh điều này, trước tiên ta bắt đầu với hàmnâng cao, sau đó lấy liên hợp phức hermit và cuối cùng đổi biến thờigian Kết quả ta được hàm trễ

Uadv(t0 − t) = iΘ(t − t0) 0)U†(t) − U†(t)U (t0)] (3.99)

Uadv(t0− t)† = Uret(t − t0) (3.100)Bây giờ lấy chuyển đổi cho cả hai vế

Một hạt tương ứng với những hàm Green này đã được giới thiệu

Sự biểu diễn này là một dạng không được sử dụng phổ biến cho việctính toán các đại lượng vật lý và tính số Tuy nhiên, nó rất hữu ích choviệc chứng minh định lý và trong trường hợp cho mối liên hệ giữa hàm

Green và một cái khác Sự biểu diễn sử dụng tập hợp đủ của trạng thái

|mi với trạng thái riêng chính xác của K = H − µN Thông thườnggiá trị riêng và trạng thái riêng là không biết Tuy nhiên, trong lýthuyết chúng tồn tại và được dùng làm điều kiện cho việc chứng minhđịnh lý Giá trị riêng của K được kí hiệu Em

K|m = Em|m

(3.102)

Trạng thái đủ của trạng thái sẽ được sử dụng trong nhiệt động lựchọc trung bình, Tr được kí hiệu cho trace, và tập hợp |ni được dùngcho tổng sau

itKU e−itK|m it(En −E m ) (3.105)

cái mà được cho bởi hàm trễ

2

− e−i(t−t0)(En −E m )

2i

(3.106)Trong thành phần thứ hai thay đổi biến tổng n và m vì vậy phần tử

ma trận là giống nhau trong mỗi thành phần

Uret(t − t0) = − iΘ(t − t0)eβΩX

m,n

eit(ω+iδ)dteβΩX

m,n