là bài tiểu luận về sự lưỡng tính sóng hạt của vật chất sử dụng các tính chất về sóng DeBroglie để chứng minh mọi vật chất đều có tính sóng hạt . Sử dụng các kiến thức của cơ học lượng tử để giải các bài giải thích và làm một số bài tập liên quan
Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .3 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1, Lý chọn đề tài 2, Mục đích nghiên cứu 3, Phạm vi nghiên cứu 4, Nhiệm vụ nghiên cứu 5, Phương pháp nghiên cứu 6, Bố cục: Gồm phần PHẦN 2: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lý thuyết .6 1.1Hàm sóng 1.1.1 Khái niệm hàm sóng 1.1.2 Sự chuẩn hóa hàm sóng .9 1.2 Sóng de-Broglie .12 1.2.1 Sóng vật chất .12 1.2.2 Ý nghĩa hàm sóng .13 1.2.3 Mật độ vi hạt sóng de-Broglie 14 1.3 Nguyên lý bất định Heisenberg 15 1.3.1 Sự xác định bất định sóng de-Broglie 15 1.3.2 Mơ hình hạt tự 16 1.3.3 Phân tích hàm sóng 17 1.3.4 Nguyên lý bất định 19 1.4 Phương trình Schrodinger .21 1.5 Sóng de-Broglie với rào bậc thang 22 1.5.1 Đặt vấn đề 22 1.5.2 Tìm dạng hàm sóng 23 1.5.3 Sự truyền qua sóng 25 SVTH: Giang Thị Quyên Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức 1.5.4 Sự phản xạ toàn phần .26 1.6 Bó sóng với rào bậc thang .27 Chương 2: Bài tập 30 2.1 Bài tập có lời giải 30 2.1.1 Dạng 1: Hàm sóng 30 Bài 30 2.1.2 Dạng 2: Sóng De-Broglie 31 Bài 31 2.1.3 Dạng 3: Hệ thức bất định Heisenberg 33 Bài 3: 33 2.1.4 Dạng 4: chuyển động qua hàng rào chữ 33 Bai 33 Bài 37 2.1.5 Dạng 5: chuyển động qua bậc thang 39 Bài 39 Bài 41 2.2 Bài tập không lời giải .42 PHẦN 3: TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 SVTH: Giang Thị Quyên Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức LỜI CẢM ƠN “Để hoàn thành tiểu luận này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: Ban giám hiệu trường Đại Học Sư phạm Huế tạo điều kiện sở vật chất với hệ thống thư viện đại, đa dạng loại sách, tài liệu thuận lợi cho việc tìm kiếm, nghiên cứu thơng tin Xin cảm ơn giảng viên môn – PGS.TS Trương Minh Đức giảng dạy hướng dẫn tận tình, chi tiết để em có đủ kiến thức vận dụng chúng vào tiểu luận Do chưa có nhiều kinh nghiệm làm để tài hạn chế kiến thức, tiểu luận chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận nhận xét, ý kiến đóng góp, phê bình từ phía Thầy để tiểu luận hồn thiện Lời cuối cùng, em xin kính chúc thầy nhiều sức khỏe, thành công hạnh phúc SVTH: Giang Thị Quyên Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1, Lý chọn đề tài Lưỡng tính sóng-hạt thuộc tính vật chất, thể điểm đối tượng vật chất di chuyển không gian có tính chất lan truyền sóng tương ứng với vật chất đó, đồng thời có tính chất hạt chuyển động Là khái niệm trung tâm học lượng tử, lưỡng tính sóng-hạt nhấn mạnh thiếu sót khái niệm cổ điển "sóng" "hạt" việc mơ tả đầy đủ hành trạng thực thể vật chất thang nguyên tử (nguyên tử phân tử) hạ nguyên tử (hạt nhân, proton, electron, photon ) Những luận giải thống học lượng tử giải thích điều dường nghịch lý thuộc tính tồn vật chất Vũ trụ, luận giải khác giải thích lưỡng tính sóng-hạt hệ xuất hạn chế khác người quan sát Nhận thấy vấn đề hay cần làm rõ nên em chọn đế tài “Sự lưỡng tính sóng hạt” đề tìm hiều sâu kiến thức liên quan cách giải tập đề tài 2, Mục đích nghiên cứu - Hệ thống hóa kiến thức liên quan - Nghiên cứu mở rộng kiến thức rèn luyện phương pháp giải tập liên quan 3, Phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu lưỡng tính sóng hạt ánh sáng vật chất 4, Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống xây dựng kiến thức có liên quan, áp dụng giải tập SVTH: Giang Thị Quyên Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức 5, Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết phương pháp giải tập thông qua tài liệu tham khảo giáo trình 6, Bố cục: Gồm phần -Phần 1: Mở đầu +Gồm: lý chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, bố cục -Phần 2: Nội dung +Gồm : Cơ sở lý thuyết tập -Phần 3: Kết luận +Gồm: kết luận tài liệu tham khảo SVTH: Giang Thị Quyên Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức PHẦN 2: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lý thuyết 1.1Hàm sóng 1.1.1 Khái niệm hàm sóng Sóng q trình lan truyền xung động Một sóng phẳng lan truyền theo chiều dương trục x không bị biến dạng theo thời gian có dạng: v – tốc độ truyền sóng Tại thời điểm t=0, sóng có dạng hàm Khi thời gian trôi qua, thời điểm t sau mốc t=0 hàm sóng giữ ngun hình dạng ψ(x,0), bị kéo sang phải đoạn đường vt, trở thành dạng (1) Để cho dễ hình dung, ta lấy ví dụ sóng có hình dạng đơn giản, sóng vng, có hình dạng thời điểm ban đầu t=0 xung hình vng có chiều cao C=10 độ dài a=4⋅10-10m: Xung vng (1) có hình dạng vị trí ban đầu miêu tả hình SVTH: Giang Thị Quyên Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức Hình 1: Xung vuông thời điểm t=0 Muốn cho xung vuông (2) di chuyển sang phải theo chiều dương trục x với vận tốc v, ta thay biến x (2) thành x−vt: Tương tự ta mơ lan truyền xung tam giác có dạng hàm số: cách thay x (4) thành x−vt: Một trường hợp đặc biệt, chí có vai trị quan trọng mơn học lượng tử, cần nhắc đến sóng sin, hay lan truyền dao động điều hồ: , k ω liên hệ với qua vật tốc v=ω/k Ở kk gọi số sóng, cịn ω tần số góc, hay đơn giản tần số Số sóng thể “độ giãn” sóng khơng gian, cịn tần số thể “nhịp độ” sóng theo thời gian: , Và cho kết mơ hình Mơ sóng sin Thực tế cho thấy việc sử dụng hàm phức tỏ thuận tiện nhiều so với hàm lượng giác Do học lượng tử, người ta thường biểu diễn sóng sin (6) dạng hàm phức: SVTH: Giang Thị Quyên Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức Nguyên tắc việc chuyển đổi đơn giản: giá trị hàm sóng thực nằm phần thực hàm phức (7): Để hiểu thêm số phức thao tác nó, cần đọc “Hình học số phức” 1.1.2 Sự chuẩn hóa hàm sóng a) Xác suất Sự chuẩn hóa hàm sóng có liên quan đến xác suất tìm thấy hạt khơng gian Vì vậy, trước hết ta giới thiệu sơ lược xác suất Có nhiều khái niệm đưa để định nghĩa xác suất Ở đây, địnhnghĩa xác suất theo lối thống kê: Thực phép thử n lần Giả sử biến cốA xuất m lần Khi đó, m gọi tần số biến cố A tỉ số m/n gọi tần số xuất biến cố A loạt phép thử Cho số phép thử tăng lên vô hạn, tần số xuất biến cố A dần số xác định gọi xác suất biến cố A Ví dụ, sau 1000 lần qua ngã tư, có 200 lần gặp đèn đỏ Khi đó, xác suất để gặp đèn đỏ Trong trường hợp phép thử có nhiều biến cố xuất phép tính xác suất phức tạp Ví dụ, hộp chứa 10 viên bi, có viên màu xanh viên màu đỏ Lần lượt lấy viên bi, không hoàn lại Trong trường hợp này, xác suất để hai viên bi màu đỏ tính sau Ta thấy xác suất để lần lấy thứ viên bi màu đỏ Vì lấy khơng hồn lại, nên sau lần lấy thứ nhất, số viên bi lại hộp 9, SVTH: Giang Thị Quyên Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức cịn lại viên màu đỏ, giả sử lần lấy thứ ta viên màu đỏ Do đó, xác suất để lần lấy thứ hai viên bi màu đỏ Như vậy, tổng cộng ta có · = 30 lần thu viên bi màu đỏ tổng số · 10 = 90 lần thử Kết xác suất để thu hai viên bi màu đỏ Xác suất học lượng tử thường liên quan đến biến liên tục, tọa độ Khơng có nhiều ý nghĩa nói xác suất hạt tìm thấy điểm cụ thể đó, chẳng hạn Thay vào đó, ta nói xác suất tìm thấy hạt khoảng nhỏ trục từ đến Xác suất tỉ lệ thuận với giá trị thay đổi theo vùng khác trục Vì vậy, xác suất tìm thấy hạt từ đến hàm biến thiên theo, ví dụ ) Hàm gọi mật độ xác suất, xác suất đơn vị chiều dài Bởi xác suất phải số thực, không âm nên phải hàm thực không âm điểm Hàm sóng nhận giá trị âm hàm phức nên khơng phải hàm mật độ xác suất Theo học lượng tử, hàm hàm mật độ xác suất b) Sự chuẩn hóa hàm sóng Xác suất tìm thấy hạt vùng a ≤ x ≤ b tính cách lấy tích phân theo biến x từ a → b Bởi xác suất tìm thấy hạt tồn khơng gian đơn vị nên có yêu cầu SVTH: Giang Thị Quyên Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức Khi hàm thỏa mãn điều kiện gọi chuẩn hóa Nếu hàm khơng chuẩn hóa thỏa mãn u cầu sau với số khơng âm tùy ý, hàm Φ xác định hàm chuẩn hóa Thật Như vậy, để hàm sóng, trước hết phải khả tích bình phương; nghĩa phải có tích phân Hơn nữa, tích phân phải xác định Vì vậy, phải dần zero Tương tự, đạo hàm phải dần zero khi Ngồi u cầu khả tích bình phương, hàm sóng cần phải đơn trị liên tục Xác suất tìm thấy hạt điểm cụ thể khơng thể có hai giá trị khác nên phải đơn trị Để chắn đơn trị, ta yêu cầu đơn trị Bên cạnh yêu cầu hàm sóng phải liên tục, ta thường có thêm yêu cầu đạo hàm riêng phần ∂/∂x, ∂/∂y, liên tục Một hàm thỏa mãn điều kiện gọi hàm hoàn hảo (tiếng Anh well-behaved) SVTH: Giang Thị Quyên 10 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức Kết tính tốn cho C(p) thể hình 2: Hình 2: Phân bố biên độ C(p) thành tố de-Broglie tạo nên bó sóng Trạng thái bó sóng thời điểm tt tổng hợp sóng de-Broglie trở lại: SVTH: Giang Thị Quyên 26 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức Chương 2: Bài tập 2.1 Bài tập có lời giải 2.1.1 Dạng 1: Hàm sóng Bài 1: Tìm phép biến đổi Fourier Trong a số dương, A thưà số chuẩn hóa cần phải xác định LỜI GIẢI: Sử dụng điều kiện chuẩn hóa: Ta tính được: Biến đổi fourier là: Tính được: Đồ thị hàm số biểu diễn hình: SVTH: Giang Thị Quyên 27 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức 2.1.2 Dạng 2: Sóng De-Broglie Bài : tìm bước sóng De-Broglie cho hạt tương đối a) Electron bay qua cac hiệu diện 1V,100V b) Electron bay với vận tốc v=cm/s c) Electron chuyển động với lượng 1MeV Lời giải: Gọi e giá điện tích khối lượng lượng e ta có: a) Vì T=eU=1000 Rất bé so với nên bước sóng De-Broglie xác định theo cơng thức : tương tự U=100V , ta b) vận tốc electron v=cm/s =106m/s bé so với vận tốc ánh sáng Trong trường hợp động T e rât bé so với lượng tĩnh bước sóng De-Broglie xác định theo cơng thức : SVTH: Giang Thị Quyên 28 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức c) Trong trường hợp động T =1MeV bước sóng De-Broglie xác định theo công thức : 2.1.3 Dạng 3: Hệ thức bất định Heisenberg Bài 3: Xuất phát từ phương trình Heisenberg xem xét hạt tự do, đại lượng lượng, xung lượng có bảo tồn khơng? Lời giải: Tốn tử Haminton hạt tự có dạng: Tốn tử khơng phụ thuộc rõ vào thời gian Nên ta có : Từ phương trình ta thấy lượng, xung lượng bảo toàn 2.1.4 Dạng 4: chuyển động qua hàng rào chữ Bai 4: Hạt có khối lượng m chuyển động qua hàng rào chữ nhật có dạng: U(x)= Xác định hệ số phản xạ R hệ số truyền qua D lượng E hạt lớn Uo bé Uo (Hình 3.5) Lời giải: Phương trình Schrodinger vùng I, II, III có dạng: SVTH: Giang Thị Quyên 29 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức Trong - Xét trường hợp : Trong vùng III sóng phản xạ nên ta đặt B3 Sóng tới , sóng phản xạ sóng truyền qua Từ điều kiện liên tục điểm ta xác định B1 , A2 , B2 A3 Hệ số phản xạ R hệ số truyền qua D xác định công thức sau: Dễ thấy R+ D 1 - Xét trường hợp : Trong trường hợp ta đặt Thay vào biểu thức B1 A3 ta SVTH: Giang Thị Quyên 30 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức Chú ý : Hay ta tìm Khi kd ˃˃ 0, Vì ˃˃ kd ˃˃ nên gần ta có : Bài 5: Chứng tỏ trường hợp tổng quát hàng rào có dạng ln ln thỏa mãn hệ thức R+D 1 ( R hệ số phản xạ D hệ số truyền qua Lời giải : Giả sử hạt có lượng E > tới hàng rào từ bên trái Khi miền với (Hình 3.6) có sóng truyền qua miền , có sóng tới sóng phản xạ Phương trình Schrodinger miền I (miền bên trái có sóng tới sóng phản xạ) miền II (miền bên phải có sóng truyền qua có dạng: SVTH: Giang Thị Quyên 31 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức Trong , Nghiệm + , Các song tới song phản xạ song truyền qa Có dạng : = , , =A Khi Các hệ số phản xạ R hệ số qua D xác định sau ; Muốn chứng minh hệ thức R + D = 1ta sử dựng định luật bảo toàn số hạt nghĩa dung phương trinh liên tục : Bài toán xe dừng nên khơng phụ thuộc rõ vào thời gian = div j = Trong trường hợp chiều = hay , ta có : SVTH: Giang Thị Quyên 32 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức Từ điều kiện hay suy hay R + D = (dpcm ) 2.1.5 Dạng 5: chuyển động qua bậc thang Bài 6: Một hạt có khối lượng m xung lượng p tới từ phía trái nhảy bậc hình Hãy tính xác suất để hạt bị tán xạ ngược trở lại a) b) Lời giải: Các phương trình schrodinger Nếu , ta có: SVTH: Giang Thị Quyên 33 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức Và điều kiện để hữu hạn sử dụng Các điều kiện liên tục dẫn đến , Xác suất phản xạ Nếu , ta có: Ơ Chú ý có sóng Các điều kiện liên tục dẫn đến , Xác suất phản xạ Bài 7: Xét theo quan điểm học lượng tử dịng hạt có khối lượng m, hạt chuyển động theo chiều dương trục với động năngvề phía nhảy bậc vị trí Thế khơng với với Tỉ phần hạt bị phản xạ lại bao nhiêu? Lời giải: Các phương trình schrodinger SVTH: Giang Thị Quyên 34 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức Vì với có sóng phản xạ nên nghiệm có dạng: Từ điều kiện liên tục hàm sóng ta thu , Do số hạt bị phản xạ SVTH: Giang Thị Quyên 35 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức 2.2 Bài tập không lời giải Bài 1: Tính bước sóng De Broglie bóng tennis có khối lượng 1g chuyển động với vận tốc 0,5m/s nhiễu xạ qua cửa sổ có kích thước × 1.5 để thấy tượng lượng tử thường bỏ qua giới vĩ mô Bài 2: Hạt chuyển động hố vng góc thành cao vơ hạn có bề rộng a (0 < x < a) có trạng thái với lượng gián đoạn: ứng với hàm sóng Cho trang thái mơ tả hàm sóng: a) Nêu ý nghĩa vật lý hàm sóng quan điểm nguyên lý chồng chất trạng thái Tính xác suất để hạt trạng thái b) Tính lượng trung bình hạt c) Cho biết hàm sóng mơ tả trạng thái thời điểm t = viết hàm sóng thời điểm t d) Chứng tỏ lượng trung bình khơng phụ thuộc thời gian Bài 3: Tính bước sóng de Broglie cho: (i) hạt có khối lượng 0.1 kg chuyển động với vận tốc 1m/s; (ii) elctron tự có lượng 10 eV, 100 eV; (iii) hạt alpha tự có lượng MeV; (iv) hạt neutron tự có lượng 0.02 eV; (v) electron tự có động MeV Bài 4: Các đại lượng vật lí biểu diễn toán tử tự liên hợp hệ thức giao hoán với Hermitic Chứng minh hệ thức bất định: SVTH: Giang Thị Quyên 36 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức Trong trị trung bình lấy theo trạng thái Xét trường hợp Hãy tìm hàm sóng mơ tả trạng thái tích độ bất định toạ độ xung lượng đạt giá trị nhỏ Bài 5: Tìm hàm sóng mơ tả trạng thái dừng hạt chuyển động trường thế: Tính hệ số truyền qua phản xạ hạt rào cho trường hợp Xét trường hợp Bài 6: Tính hệ số truyền qua phản xạ hạt rào thế: Xét trường hợp SVTH: Giang Thị Quyên 37 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức Bài 7: Một electron với lượng E = 1eV đến rào chữ nhật Hàng rào phải rộng xác suất để electron truyền qua bờ Bài 8: Chứng minh hệ thức R(E) + D(E) = Trong R D hệ số phản xạ hệ số truyền qua thỏa mãn cách tự động rào dạng bậc thang: Bài 9: Hãy tìm hệ số phản xạ truyền qua nhảy bậc chiểu hình vẽ hạt đến từ phía phải SVTH: Giang Thị Quyên 38 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức SVTH: Giang Thị Quyên 39 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức PHẦN 3: TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Đình –Trần Cơng Phong, giao trình “Cơ Học Lượng Tử”, NXB Đại học Huế ,2012 Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh , Lê Trọng Tường, “ Bài Tập Vật Lý Lý Thuyết Tập II” (Cơ học lượng tử vật lý thống kê), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Yung-Kuo Lim,Trường Đại học Khoa học Công nghệ Trung Hoa, “Bài Tập Và Lời Giải Cơ Học Lượng Tử” (PROBLEMS AND SOLUTIONS ON QUANTUM MECHANICS), NXB Giao dục Phạm Quý Tư , Đỗ Đình Thanh “Giáo Trình Cơ Học Lượng Tử”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội SVTH: Giang Thị Quyên 40 ... Quyên 38 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức SVTH: Giang Thị Quyên 39 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức PHẦN 3: TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Đình –Trần Cơng Phong,... Sóng de-Broglie đặc trưng cho xác định xung lượng lượng, có nghĩa tất hạt có giá trị xung lượng lượng SVTH: Giang Thị Quyên 11 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức Sóng de-Broglie... xung lượng p1,p2 tính từ cơng thức (2) qua giá trị lượng E độ cao rào U0 SVTH: Giang Thị Quyên 22 Tiểu Luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS-TS Trương Minh Đức 1.5.3 Sự truyền qua sóng Trường hợp lượng