BÀI 3 PT bậc 2 với hệ số THỰC

BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC MỤC TIÊU: Kiến thức: - Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức Kĩ năng: - Giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phúc vận dụng vào giải số toán liên quan - Vận dụng định lí Vi-ét vào giải số toán chứa biểu thức đối xứng hai nghiệm phương trình - Biết cách giải phương trình quy phương trình bậc hai hệ số thực - Vận dụng kiến thức học để giải số toán tổng hợp I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Căn bậc hai phức Định nghĩa Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z  w gọi bậc hai w Tìm bậc hai số phức w • W số thực +) Nếu w < w có hai bậc hai i w  i w +) Nếu w  w có hai bậc hai • w  a  bi(a, b  ), b  w  w Nếu z  x  iy bậc hai w ( x  iy)2  a  bi  x2  y  a Do ta có hệ phương trình:  2 xy  b Mỗi nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai w Nhận xét: +) Số có bậc hai +) Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối (khác 0) Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Xét phương trình az  bz  c  0(a, b, c  ; a  0) Ta có   b2  4ac b 2a • Nếu   phương trình có hai nghiệm thực phân biệt • Nếu   phương trình có nghiệm thực x   b   b   ; x2  2a 2a • Nếu   phương trình có hai nghiệm phức phân biệt: x1  b  i |  | b  i |  | ; x2  2a 2a Hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax2  bx  c  0(a  0) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (thực phức) x1  Trang b   S  x1  x2   a  P  x  x  c  a Chú ý: Mọi phương trình bậc n: A0 z n  A1 z n1  An1 z  An  ln có n nghiệm phức ( không thiết phân biệt ) với n nguyên dương SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Giải phương trình Tính tốn biểu thức nghiệm Phương pháp giải Cho phương trình: az  bz  c  0; a, b, c  , a  • Giải phương trình bậc hai với hệ số thực • Áp dụng phép toán tập số phúc để biến đổi biểu thức Ví dụ: Xét phương trình z  z   a) Giải phương trình tập số phức b) Tính z1  z2 Hướng dẫn giải a) Ta có     4  (2i)2 Phương trình có hai nghiệm : z1   2i; z1   2i b) Ta có z1  z2  22  22  2 Trang Suy ra: z1  z2  2  2  Ví dụ mẫu Ví dụ Tất nghiệm phức phương trình z + = A 5 Hướng dẫn giải B 5i C  5i D   z  5i Ta có phương trình: z    z  5  z  5i    z   5i Vậy phương trình cho có hai nghiệm phức z1  5i z2   5i Chọn C Ví dụ Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z  z   Giá trị biểu thức A  z1  z2 A Hướng dẫn giải B C D Ta có   7  ( 7i) nên phương trình có hai nghiệm là: 7 z  i; z    i 4 4 Suy A  z1  z2  2 Chọn B Ví dụ Trong số sau, số nghiệm phương trình z   z( z  )?  3i Hướng dẫn giải A B 1 C 1 D  2i 2 1  3i  Ta có z   z ( z  )  z  2.z       z    4 2  2   3i  3i z   z  2     3i   3i z   z    Chọn A Ví dụ Phương trình z  az  b  0(a, b  ) có nghiệm phúc  4i Giá trị a+b A 31 B C 19 D 29 Hướng dẫn giải Cách 1: Do z   4i nghiệm phương trình z  az  b  nên ta có: (3  4i)2  a(3  4i)  b   (3a  b  7)  (4a  24)i  3a  b   a  6   a  24  b  25  Do a+b =19 Cách 2: Vì z1   4i nghiệm phương trình z  az  b  nên z2   4i nghiệm phương trình cho  z1  z2  a Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình ta có   z1  z2  b Trang (3  4i)  (3  4i)  a a  6    a  b  19 b  25  (3  4i)(3  4i )  b Chọn C Chú ý : Nếu z0 nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực z0 nghiệm phương Trình Ví dụ Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z  z  34  Giá trị z0   i A 17 B 17 C 17 D 37 Hướng dẫn giải Ta có   25  (5i)2 Phương trình có hai nghiệm z  3  5i; z  3  5i Do z0  3  5i  z0   i | 1  4i | 17 Chọn A Ví dụ Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z  z   ư? Tọa độ điểm biểu diễn số phức A P  3;   4i mặt phẳng phức z1 B N 1; 2  C Q  3; 2  D M 1;  Hướng dẫn giải  z   2i Ta có z  z      z   2i Theo yêu cầu tốn ta chọn z1   2i Khi đó:  4i  4i (7  4i )(1  2i )     2i z1  2i 12  22 Vậy điểm biểu diễn số phức P(3; 2) Chọn A Ví dụ Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   Giá trị biểu thức  z1  1 2019   z2  1 2019 A 21009 Hướng dẫn giải B 21010 C D 21010  z1   i Xét phương trình z  z    ( z  2)  1    z2   i Khi ta có:  z1  1 2019  (1  i)   (1  i)   (1  i)   (1  i)  1009   z2  1 2019  (1  i ) 2019  (1  i ) 2019 1009  (1  i)  (2i)1009  (1  i)  (2i)1009  (2i)1009 ((1  i)  (1  i))  (2i)1010   i  505  21010  21010 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu : Nghiệm phương trình z  z   tập số phức A z  3  i; z   i 2 2 B z   i; z   i Trang 3 D z   3i; z   3i  i; z   i 2 2 Câu 2: Gọi z1 z2 hai nghiệm phương trình z  z  10  Tính giá trị biểu thức C z  P  z1  z2 2 A P  20 B P  40 C P  D P  10 Câu : Phương trình z  z  10  có hai nghiệm z1 , z2 Giá trị z1  z2 A B C D 2 Câu 4: Biết số phức z = -3+ 4i nghiệm phương trình z  az  b  , a, b số thực Giá trị a- b A -31 B -19 C D -11 Câu 5: Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z  z   Hỏi điểm điểm biểu diễn số phức iz0 ? 1 3 A M  ;  2 2 3 1 B M  ;  2 2 3 1 C M  ;   2 2  3 D M   ;   2 Câu : Cho z nghiệm phức phương trình x2  x   Giá trị biểu thức P  z  z  z 1  i 1  i B C 2i D 2 Câu : Kí hiệu z0 số phức có phần áo âm phương trình z  z  37  Toạ độ điểm biểu A diễn số phức w  iz0 1  A  2;   3    B   ; 2    1  C  2;   3    D   ;    Câu 8: Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  3z   Giá trị z1  z2 , A B C D 10 Câu 9: Kí hiệu z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z  z   Giá trị z1   6i A Câu 10: Gọi z1 thức B z2 C 73 D 73 hai nghiệm phức phương trình z  z   Giá trị biểu 1  z1 z2 A B C D Câu 11: Ký hiệu z1 , z2 nghiệm phương trình z  z  10  Giá trị z1 z2 A B C 10 D 20 Câu 12: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z  z   Giá trị biểu thức z1  z1  z2 A Bài tập nâng cao B 10 C 15 D Câu 13 : Phương trình z  3z   có hai nghiệm phức z1 , z2 Giá trị z1  z22 A 27 B 64 C 16 D Trang Câu 14: Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z  z   Môđun z13  z24 A 81 B 16 D C 27 Câu 15: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình az  bz  c  ( với a, b, c  ) Giá trị biểu thức M  z1  z2   z1  z2    z1  z2 A c a B 4  c a C c 4a D 4 c a Câu 16: Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z  z   Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức w  i 2019 z0 ? A M(-2;1) B M(2:1) C M(-2;-1) D M(2;-1) Câu 17: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z  z  13  A, B hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1 , z2 mặt phẳng tọa độ Oxy Diện tích tam giác OAB 13 D Câu 18: Gọi z nghiệm phương trình z  z   Giá trị biểu thức 1 M  z 2019  z 2018  2019  2018  z z A B C D -1 A 13 B 12 C Câu 19: Trong tập số phức, cho phương trình z  z  m  0, m  (1) Gọi m0 giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1  z1  z2  z2 Hỏi khoảng (0;20) có giá trị m0  ? ? A 13 B 11 C 12 D 10 Câu 20: Goi z1 z2 nghiệm phức phương trình z  z   Tính w  1  z1  100 A w  250 i C w  251 B w  251 1-C 2-A 3-C 4-B ĐÁP ÁN 5-A 6-D 11-C 12-B 13-D 14-C 15-D 16-A  1  z2  100 D w  250 i 7-C 8-A 9-A 10-B 17-D 18-B 19-D 20-B Dạng Định lí Vi-ét ứng dụng Phương pháp giải Định lí Vi-ét: Cho phương trình: az  bz  c  0; a, b, c  , a  b   z1  z2   a Có hai nghiệm z1 , z2  z  z  c  a Ví dụ: Phương trình z  z  24  có hai nghiệm phức z1 , z2 nên Trang z1  z2  4; z1  z2  24 Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: z1  z2  b a Ví dụ mẫu Ví dụ Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   Giá trị biểu thức z12  z22 A 14 B -9 C -6 Hướng dẫn giải Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z  z   D  z1  z2  Theo định lý Vi-ét ta có:   z1  z2  Suy ra: z12  z22   z1  z2   z1 z2  22  2.5  6 Chọn C Ví dụ Phương trình bậc hai sau có nghiệm  2i ? A z  z   B z  z   C z  z   D z  z   Hướng dẫn giải Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức liên hợp nên phương trình bậc hai có nghiệm  2i nghiệm cịn lại  2i Khi tổng tích hai nghiệm 2; Vậy hai số phức  2i nghiệm phương trình z  z   Chọn C Chúng ta giải phương trình: +) z  z    ( z 1)2  2i  z   i  z  1 i +) z  z    ( z  1)2  4i  z   2i  z  1  2i +) z  z    ( z 1)2  4i  z   2i  z   2i +) z  z    ( z  1)2  2i  z   i  z  1  i Ví dụ Kí hiệu z1 , z2 nghiệm phức phương trình z  z   Tính giá trị biểu thức P  z1 z2  i  z1  z2  A P  B P  C P  D P  Trang Hướng dẫn giải Ta có z1 , z2 hai nghiệm phương trình z  z    z1  z2  2  Theo định lý Vi-ét ta có :   z1  z2  Ta có P  z1 z2  i  z1  z2  3 3   i (2)   2i     (2)  2 2 Chọn D Ví dụ Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   Giá trị P  z13  z23 A.-20 Hướng dẫn giải B 20 C 14 D 28  z1  z2  Theo định lý Vi-ét ta có   z1  z2  Suy z13  z23   z1  z2   z12  z1 z2  z22     z1  z2   z1  z2   3z1 z2     42  3.7   20 Chọn A Cách khác : Ta có z  4z    ( z  2)2  3i  z   3i   z2   3i Do : z13  z23  (2  3i )3  (2  3i )3  20 Ví dụ Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình 3z  z  27  Giá trị z1 z2  z2 z1 A Hướng dẫn giải B Áp dụng định lí Vi-ét, ta có z1  z2  Mà z1  z2  z1 z2  C.3 D z1  z2  z1  z2   Do z1 z2  z2 z1  z1   z2    z1  z2     Chọn A Ví dụ Cho số thực a  gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  2z  a  Mệnh đề sau sai? A z1  z2 số thực B z1  z2 số ảo Trang C z1 z2 số ảo  z2 z1 D z1 z2 số thực  z2 z1 Hướng dẫn giải b  Đáp án A a Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm hai số phức liên hợp Gọi z1  x  yii x, y  Ta có z1  z2   nghiệm, nghiệm lại z2  x  yi Suy z1  z2  yi số ảo Đáp án B z1 z2 z12  z22  z1  z2   z1 z2  2a      z2 z1 z1  z2 z1  z2 a Vậy C đáp án sai D Chọn C Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Phương trình nhận hai số phức i i làm nghiệm? A z   B z   C z   D z   Câu 2: Phương trình bậc hai nhận hai số phức  3i  3i làm nghiệm? A z  z   B z  z  13  C z  z  13  D z  z   Câu 3: Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  3z   Giá trị z1.z2 B  A C D Bài tập nâng cao Câu 4: Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z  z   Giá trị biểu thức P  z14  z24 A -14 B -14 i C 14 D 14 i Câu 5: Cho số phức z0 có z0  2018 Diện tích đa giác có đỉnh điểm biểu diễn z0 nghiệm phương trình 1 viết dạng n 3, n    z  z0 z z0 Chữ số hàng đơn vị n A B C D 2 Câu 6: Cho phương trình z  mz   m tham số thực Tìm m để phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z12  z22  6 A m = +2 B m = +4 C m = -3 D m = Câu 7: Có giá trị thực a cho phương trình z  az  2a  a2  có hai nghiệm phức có mơđun 1? A B C D Câu 8: Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z  4z   Số phức z1 z2  z1 z2 A 1-B B 10 2-C 3-A 4-A C i ĐÁP ÁN 5-C 6-A 7-A D 10 i 8-A Trang Dạng Phương trình quy phương trình bậc hai Phương pháp giải • Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức • Nắm vững cách giải số phương trình quy bậc hai, hệ phương trình đại số bậc cao; Ví dụ: Giải phương trình z  z   tập số phức Hướng dẫn giải Đặt z  t , ta có phương trình: t  t2  t     t  2 Với t = ta có z   z   Với t = -2 ta có z  2  z  i Vậy phương trình cho có bốn nghiệm z   3; z  i Ví dụ mẫu Ví dụ Tổng mơđun bốn nghiệm phức phương trình z  3z   A Hướng dẫn giải B C D z   z   2 z   Ta có: z  3z      z  i  z    i   2  z   i  Khi đó, tổng mơđun bốn nghiệm phức phương trình cho 2 i i 3 2 | || | Chọn A Ví dụ Kí hiệu z1 , z2 , z2 , z4 bốn nghiệm phức phương trình z  z   Giá trị z1  z2  z3  z4 2 A  Hướng dẫn giải B 12 C D  z   z  1 z2    Ta có: z  z      z  5i  z  5   z   5i Phương trình có bốn nghiệm là: z1  1, z2  1, z3  i 5, z4  i Do đó: z1  z2  z3  z4  12  12  ( 5)  ( 5)  12 2 2 Chọn B Trang 10 Ví dụ Gọi z1 , z2 , z2 , z4 nghiệm phức phương trình  z  z    z  z   12  Giá trị biểu thức S  z1  z2  z3  z4 ∣ A S  18 Hướng dẫn giải 2 B S  16 C S  17 D S  15 Ta có:  z  z    z  z   12  t  Đặt t  z  z ta có t  4t  12    t  6  z1   z  2  2 z  z      z  1  i 23 Suy ra:  z  z     1  i 23  z4   2 2 23     23     Suy S   (2)               17           Chọn C 2 z4  z  4 : Khi z1  z2 z2 C D Ví dụ Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình A Hướng dẫn giải Điều kiện: z  B  | z |2  | z |4  zz  Ta có:  z  4     z  4     z  4 z  z   z   1 15 z  i z    2   z2  z 4    15 i z  z     2 2 15 i 15 i 15 15 Vậy z1  z2    i  i | 1| 2 2 Chọn A Ví dụ Cho số thực a, biết phương trình z  az   có bốn nghiệm z1 , z2 , z2 , z4 thỏa mãn z   z22   z32   z42    441 Tìm a a  1 a   A B 19  a   19 a  2 Hướng dẫn giải Nhận xét: z   z  (2i)2  ( z  2i)( z  2i)  a  1 C   a   19  a 1 D a 19 Đặt f ( z)  z  az  1, ta có: Trang 11  z12   z22   z32   z42      zk  2i     zk  2i   f (2i)  f (2i) 4 k 1 k 1  16i  4ai  116i  4ai  1  (17  4a)  a  1 Theo giả thiết, ta có (17  4a)  441    a  19  Chọn B Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn 11z 2018  10iz 2017  10iz 11  Mệnh đề đúng? A | z | B | z | C  z  D | z | 2 Hướng dẫn giải 11  10iz 11  10iz Ta có z 2017 (11z  10i )  11  10iz  z 2017  | z |2017  11z  10i 11z  10i Đặt z  a  bi có  11  10iz 11  10i (a  bi ) (10b  11)2  100a   11z  10i 11(a  bi )  10i 121a  (11b  10) 100  a  b   220b  121 121 a  b   220b  100 Đặt t | z | (t  0) ta có phương trình t 2017  100t  220b  121 121t  220b  100 Nếu t   VT  1;VP  Nếu t   VT  1;VP  Vậy t  | z | Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Gọi z1 , z2 , z3 nghiệm phương trình iz3  2z  (1  i) z  i  Biết z1 số ảo Đặt P  z2  z3 , chọn khẳng định đúng? A  P  B  P  C  P  D  P  Câu 2: Kí hiệu z1 , z2 , z3 z4 nghiệm phức phương trình z  5z  36  Tính tổng T  z1  z2  z3  z4 A T = B T = C T = 10 D T = Câu 3: Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 nghiệm phương trình z  z  12 z   Tính diện tích S tam giác ABC 3 3 C S  D S  2018 2017 Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn 11z  10iz  10iz 11  Mệnh đề sau đúng? 1  A | z |  ;  B | z | (1; 2) C | z |[0;1) D | z |[2;3) 2  A s  3 B S  Câu 5: Cho phương trình z  z  z  8z   có bốn nghiệm phức phân biệt z1 , z2 , z3 , z4 Tính giá trị biểu thức T   z12   z22   z32   z42   A T = i B T = C T = -2 i D T = Trang 12 Câu 6: Biết z1 , z2   4i z3 ba nghiệm phương trình z3  bz  cz  d  0(b, c, d  ) z3 nghiệm có phần ảo dương Phần ảo số phức w  z1  3z2  2z3 A – 12 B -8 C -4 D 10 Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn 11z  10iz  10iz 11  Tính mơđun số phức z A z  10 B z  C z  11 D z  221 Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  z  z   Tìm phần thực số phức w  z  z  z  1 A Phần thực B Phần thực C Phần thực D Phần thực Câu 9: Kí hiệu z1; z2 ; z3 ; z4 ; z5 ; z6 nghiệm phức phương trình z  2016z5  2017 z  2018z  2017 z  2016z   Tính T   z12  1 z22  1 z32  1 z42  1 z52  1 z62  1 A T  20182 B T  20172 C T  20162 D T  20142  z 1  Câu 10: Kí hiệu z1; z2 ; z3 ; z4 nghiệm phương trình   1  2z  i  Tính giá trị biểu thức T   z12  1 z22  1 z32  1 z42  1 A T  6375 B T  6375 C T   17 D T  17 Câu 11: Cho số phức z  a  bi(a, b  , a  0) có z =1 Kí hiệu a0 phần thực biểu thức a0  a B -1 z  z  z Giá trị nhỏ A -4 C D Câu 12: Cho số thực z thỏa mãn 5z  (i  4) | z | 2(i  4) Phần thực số phức z A 12 B  1-B 2-C 11-B 12-B 3-D 4-A C ĐÁP ÁN 5-B 6-C D 7-B 8-D 9-D 10-D Trang 13 ... 42  3. 7   ? ?20 Chọn A Cách khác : Ta có z  4z    ( z  2) 2  3i  z   3i   z2   3i Do : z 13  z 23  (2  3i )3   (2  3i )3  ? ?20 Ví dụ Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình 3z...  z 13  z 23 A. -20 Hướng dẫn giải B 20 C 14 D 28  z1  z2  Theo định lý Vi-ét ta có   z1  z2  Suy z 13  z 23   z1  z2   z 12  z1 z2  z 22     z1  z2   z1  z2   3z1 z2  ... T   z 12  1 z 22  1 z 32  1 z 42  1 z 52  1 z 62  1 A T  20 1 82 B T  20 1 72 C T  20 1 62 D T  20 1 42  z 1  Câu 10: Kí hiệu z1; z2 ; z3 ; z4 nghiệm phương trình   1  2z  i 