Bài tập lớn đại số tuyến tính bình phương cực tiểu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ BỘ MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH -o0o - BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI: BÀI TỐN BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU GVHD: Tăng Lâm Tường Vinh Nguyễn Xuân Mỹ Nhóm TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG NĂM 2021 ~1~ ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ BỘ MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH -o0o - BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI: BÀI TỐN BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU GVHD: Tăng Lâm Tường Vinh Nguyễn Xn Mỹ NHĨM TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG NĂM 2021 ~2~ Thành Viên Nhóm BTL:     2013671         Trần Hữu Nghĩa 2013877 Nguyễn Quang Minh 2013774 Nguyễn Phạm Bình Minh 2013773 Trần Hữu Tơn Hồng Phi Long La Nghĩa 2013867 Nguyễn Hải Nam 2013821 Phan Tiến Lộc 2013694 Võ Thành Lộc 2013701 Trương Minh Mẫn 2013746 Phạm Thanh Minh 2013784 Nguyễn Vũ Doãn Mạnh 2013739 Nguyễn Đặng Nhật Minh 2013769 ~3~ ~4~ MỤC LỤC I Cơ sở lý thuyết tốn bình phương cực tiểu Lịch sử đời, mục đích, khái niệm……………………………6 Giải phương trình hồi quy dạng y=ax+b phương pháp bình phương cực tiểu………………………………………… Giải phương trình hồi quy dạng y=a x +bx +c phương pháp bình phương cực tiểu…………………………………… II Chương trình Matlab 1) Viết chương trình dùng phương pháp bình phương cực tiểu để tìm phương trình hồi quy y=ax+b, y=a x2 +bx +c …….8 2) Một số ví dụ minh hoạ………………………………………… 10 III Ứng dụng tốn bình phương cực tiểu………………… 15 ~5~ Bảng thích Câu lệnh Giải thích câu lệnh Zeros (o,p) Tạo ma trận có o hàng p cột For… end Vòng lặp chạy giá trị Disp(a) Xuất giá trị a Sym Định nghĩa hàm pinv Hàm nghịch đảo linspace Khoảng giá trị biến Grid on Kẻ ô cho đồ thị plot Xlabel, ylabel Vẽ đồ thị Gán tên cho trục hoành, trục tung I Cơ sở lý thuyết tốn bình phương cực tiểu ~6~ Lịch sử đời, mục đích, khái niệm  Sự đời Bình phương cực tiểu bắt nguồn từ cơng trình tiên phong Gauss Legender vào năm 1975 sau thưc nghiệm tương đối xác vị trí thiên thể, tạo móng cho tốn tuyến tính sau  Mục đích Làm giảm bớt sai số phép đo, sai số hệ thống, tối ưu hóa cho giá trị sai số nhỏ Được sử dụng toán giải hệ phương trình, tìm đường cong, phương trình hồi quy thống kê  Khái niệm Trong toán học, phương pháp bình phương cực tiểu, phương pháp tối ưu hóa để lựa chọn đường khớp cho dải liệu ứng với cực trị tổng sai số thống kê đường khớp liệu  Phương pháp bình phương cực tiểu Phương pháp bình phương bé thường dùng để lập cơng thức thực nghiệm Ví dụ mối quan hệ hàm số y = f(x) cụ thể gọi lập cơng thức thực nghiệm tìm hàm số xấp xỉ hàm số f(x) phương pháp bình phương cực tiểu tốn thực tế có dạng: a) y = ax + b b) y = ax2 + bx + c GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y= AX+B BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU ~7~ Giả sử tập hợp điểm D={( t1 ; b1 ) , … ( t m ; b m ) } Tìm hàm f=f(t) cho đồ thị qua tất điểm D m m Xét hàm f(t)=α + βgg(t) Tìm α , βg để G (t )=∑ ( α+βgg(t i )−bi ) =∑ Gi nhỏ 2 i=1 i=1 Ta tìm cực trị hàm G(t) có hai biến α , βg Ký hiệu: g(t i)= gi { { m ∂G(t ) ∑ ( α + βg g i−bi ) =0 =0 ∂α i=1 ↔ m ∂G(t ) =0 ∑ ( α + βg gi−b i ) gi =0 ∂ βg i =1 ¿ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y = AX +BX+C BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU Hàm hồi quy có dạng Y = ax2 + bx + c Sai số : vi = (ax2 + bx + c ) – yi với i = 1, ,…, n Tổng bình phương sai số bé nghĩa là: n n S  vi  (axi  bxi  c  yi )  i 1 i 1 Như a, b, c thỏa mãn hệ phương trình: n  S  S 2 (axi  bxi  c  yi ) xi2 0    a a i 1   n  S  S  0   2 (axi  bxi  c  yi ) xi 0 i 1  b  b n  S  S   c  2 (axi  bxi  c  yi ) 0  i 1  c Rút gọn ta hệ phương trình tắc sau: ~8~ n n n  n 2  a  xi  b  xi  c  xi  xi yi i 1 i 1 i 1  i 1 n n n  n  a  xi  b xi  c  xi  xi yi i 1 i 1 i 1  i 1 n n  n  a  xi  b  xi  nc  yi i 1 i 1  i 1 Giải hệ ta tìm giá trị a, b, c II Chương trình Matlab 1) Viết chương trình dùng phương pháp bình phương cực tiểu để tìm phương trình hồi quy y=ax+b, y=a x2 +bx +c ~9~ 2) Ví dụ minh hoạ  VD: Tìm phương trình hồi quy bậc 2: D= { ( 2; ) , ( ; ) , (−2 ; ) } Bài giải ~ 10 ~ y=a x2 +bx +c với tập hợp ~ 11 ~ ~ 12 ~  VD: cho bảng liệu (7;5), (14;6.5), (21;8.2), (28;9.1) hồnh độ cho biết số mà bạn Phú học tuần trước thi Đại số tuyến tính cịn tung độ cho biết số điểm mà bạn Phú đạt tương ứng với số học Xấp xỉ bảng liệu hàm bậc Bài Giải Tương tự VD nhập giá trị ma trận A Tiếp tục nhập ma trận B Đi giải hệ a T a X =aT b ta nghiệm X ~ 13 ~ Suy hàm số bậc y=3.7 +0.2 t Hình vẽ III Ứng dụng tốn bình phương cực tiểu Bài tốn 1: Tìm hàm tuyến tính hàm bậc hai khớp với liệu độ lệch nhiệt độ trung bình tồn cầu từ năm 1991-2000 cho bảng sau ~ 14 ~ Calendar year Computational year Temperature deviation 1991 0,29 1992 0,14 1993 0,19 1994 0,26 1995 0,28 1996 0,22 1997 0,43 1998 0,59 1999 0,33 2000 10 0,29 Dùng phương pháp đạo hàm (ti,yi) liệu cho trước g1(t) =0,123+0,034t.g2(t)=-0,4078+0,2997t-0,024t2 ~ 15 ~ Bài tốn 2: Tìm đường cong khớp với dải liệu có chu kì nhiệt độ ghi nhận Washington ngày 1/1/2001 cho bảng sau Time of day T Temp(C) 12 mid -2,2 am 1/8 -2,8 am ¼ -6,1 am 3/8 -3,9 12noon ½ 0,0 pm 5/8 1,1 pm ¾ -0,6 pm 7/8 -1,1 ~ 16 ~ Dùng phương pháp giải hệ Ax=b với mơ hình g(x j,t)=x1+x2cos2 π t−¿x3sin2 π t Kết thu g(t)=−¿1,95−¿0,7445cost2 π t−¿2,5594 sin2 π t Bài toán 3: Tìm đường cong khớp với dải liệu chiều cao trọng lượng trung bình bé trai từ 2-11 tuổi ghi nhân trung tâm kiểm soát dịch bệnh năm 2002 sau age(yrs) height(m) weight(kg) 0,912 13,7 0,986 15,9 1,06 18,5 ~ 17 ~ 1,13 21,3 1,19 23,5 1,26 27,3 1,32 32,7 1,38 36 10 1,41 38,6 11 1,49 43,7 Dùng phương pháp giải hệ Ax=b với mơ hình +Mơ hình 1:g1(xj,t)=α e βgt Kết thu g1(t)=2,0907e 2,0553t +Mơ hình 2:g2(xj,t)=α t βg Kết thu g2(t)=16,3044t2,4199 LỜI CẢM ƠN ~ 18 ~ Chân thành cảm ơn cô Nguyễn Xuân Mỹ chấm cho báo cáo tập lớn nhóm em ~ 19 ~ ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ BỘ MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH -o0o - BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI: BÀI TỐN BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU... học, phương pháp bình phương cực tiểu, phương pháp tối ưu hóa để lựa chọn đường khớp cho dải liệu ứng với cực trị tổng sai số thống kê đường khớp liệu  Phương pháp bình phương cực tiểu Phương. .. trình hồi quy dạng y=a x +bx +c phương pháp bình phương cực tiểu? ??………………………………… II Chương trình Matlab 1) Viết chương trình dùng phương pháp bình phương cực tiểu để tìm phương trình hồi quy y=ax+b,