bài tập lớn đại số tuyến tính phần Ma trận

Chơng I: Định thức Nội dung: Trình bày định nghĩa các tính chất của định thức và các ph- ơng pháp cơ bản tính định thức. Đó là một phơng tiện để nghiên cứu không gian vectơ và lý thuyết hệ phơng trình tuyến tính. Yêu cầu chính của chơng này là: * Hiểu rõ và nắm vững các tính chất của định thức; * Nắm vững các phơng pháp tính định thức để có tính thành thạo những định thức cần thiết. Cụ thể: - Ta đã dùng phép thế để mô tả khái niệm định thức. - Định thức có 7 tính chất - Các phơng pháp cơ bản + Khai triển định thức theo một dòng hoặc một cột + Phơng pháp Sarus + Phơng pháp đa về dạng tam giác + Phơng pháp quy nạp và phơng pháp truy hồi ứng dụng: giải hệ phơng trình Gramer Tìm ma trận nghịch đảo Ta sẽ thấy khi khái niệm định thức cấp n (n là một số nguyên dơng tuỳ ý) đợc xây dựng, thì nó có một vai trò rất to lớn. Nó góp phần đa vấn đề giải hệ phơng trình bậc nhất trở thành một lý thuyết. Chơng II: Ma trận Nội dung: Nghiên cứu ma trận và mối liên hệ giữa ma trận với không gian vectơ. Nhờ nó mà các ánh xạ tuyến tính đợc nghiên cứu sâu sắc hơn. Cụ thể: - Các phép toán trên các ma trận - Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông - Giá trị riêng, vectơ riêng - Chéo hoá một ma trận Ta đã biết ma trận góp phần vào việc nghiên cứu lý thuyết hệ phơng trình tuyến tính. Bây giờ ta tiếp tục hiểu ma trận sâu hơn nữa: đặc biệt nghiên cứu mối liên hệ giữa ma trận và ánh sáng tuyến tính. Nhờ có ma trận mà ta xác định giá trị riêng và vectơ riêng một ánh xạ tuyến tính; do đó xác định đợc những không gian con bất biến ứng với tuyến tính đặc biệt nh các phép biến đổi đối xứng, biến đổi trực giao. Mục lục Nội dung Trang Mở đầu . Chơng i. định thức Định nghĩa, các tính chất của định thức Các phơng pháp tính định thức, ứng dụng . Chơng ii. Ma trận Ma trận của một ánh xạ tuyến tính Các phép toán trên các ma trận . Cách tính định thức của tích hai ma trận vuông và cách tìm ma trận nghịch đảo . Sự thay đổi của ma trận của một ánh xạ tuyến tính khi thay đổi cơ sở - ma trận đồng dạng . Vectơ riêng - giá trị riêng Chéo hoá ma trận Chơng I: định thức I. Phép thế 1.1. Định nghĩa phép thế a. Giả sử tập hợp X n = }{ n .2,1 . Một song ánh . X n X n đợc gọi là một phép thế trên tập X n . Nói riêng song ánh đồng nhất đợc gọi là phép thế đồng nhất. b. Chuyển trí: Một phép thế //////////// trên tập X n đợc gọi là một chuyển trí hai phần tử i, j thuộc X n nếu I (i) = j và I (K) = k , k X n , k i, k j. Đợc ký hiệu bởi (i, j). VD X n = }{ n X3,2,1 ( ) ( ) ( ) ( ) = n n 321 .321 - ( ) i : là ảnh của phần tử i - Tập hợp tất cả các phép thế trên là tập X n . KH S n Tập hợp S n có n! phần tử. Ví dụ: S 3 có 3! = 6 phần tử X 3 = }{ 7,6,5 = 765 765 1 = 675 765 2 = 756 765 3 = 657 765 4 = 657 765 5 = 576 765 6 1.2. Nghịch thế a. Định nghĩa: giả sử là một phép biến trên tập X n . với i, j X n , i j ta nói cặp ( (i) ; (j) ) là 1 nghịch tế của nếu i < j nhng (i) > (j) . VD: Trên X 3 , phép thế = 657 765 5 có 3 nghịc thế là (7,6); (5,6); (7,5). 1.3. Dấu hiệu của phép thế Định nghĩa: Ta gọi phép thế là một phép thế chẵn nếu có một số chẵn nghịch thế. gọi là phép nghịch thế lẻ nếu nó có một số lẻ nghịch thế 7. Gán cho mỗi phép thế chẵn 1 giá trị bằng +1; mỗi phép thế lẻ - một giá trị bằng -1 * Hệ quả 1. (j) (i) ji ji; )(Sgn = 2. ).Sgn(u)Sgn(u),(Sgn = 3. Mọi chuyển trí đều là phép thế lẻ II. Khái niệm ma trận, định nghĩa tính chất của định thức 1. Khái niệm ma trận Định nghĩa 1: Một bảng gồm m.n số đợc viết thành m dòng n cột nh sau = nnnjn2n1 iniji2i1 2n2j2221 inij1211 a a .aa . a a .aa . a a .aa a a .aa B đợc gọi là 1 ma trận kiểu (m,n). Ký hiệu: A = a (i,j) (m,n) . n1,j,m1,i;Ra ij == - Các ma trận ký hiệu bằng chữ in hoa - Nếu m = n ta gọi A là ma trận vuông cấp n. VD: = 90417 84525 83717 A là ma trận cấp 3; m = n = 3 = 90 83 64 62 B ma trận cột; )84714( = C ma trận dòng Định nghĩa 2: có ma trận: nnnjn2n1 njij2j1j n2i22212 n1i12111 a a .aa . a a .aa . a a .aa a a .aa là ma trận chuyển vị của ma trận A: KH A t VD: = 1243 6521 A ; A t = = 16 42 31 A 2. Định nghĩa của định thức Định nghĩa: Cho ma trận vuông, cấp n = nnnjn2n1 2n2j2221 1nij1211 a a .aa . a a .aa a a .aa A ta thấy tổng (2)2 Sn (1)1 a)aSng(D = Tổng đợc gọi là định thức của ma trận A nnnjn2n1 2n2j2221 1nij1211 a a .aa . a a .aa a a .aa đợc ký hiệu A hay det A 3. Các tính chất của định thức 3.1. Tính chất 1 Nếu định thức D có tính chất mỗi dòng thứ i, mọi thành phần đều có dạng: a ij = a ij + a ij thì D = D 1 +D 2 + = nn'nj'n2n1 2n'2j'2221 1n'' ij1211 nnnj'n2n1 2n2j'2221 1n' ij1211 a a .aa . a a .aa a a .aa a a .aa . a a .aa a a .aa D VD: a0 0b1 3 2b1 a70 0b a73 21 a703 02b1 D − + + + = − + − = −+ ++ = 3.2. TÝnh chÊt 2 NÕu ∀ thµnh phÇn thø i, cã thõa sè chung lµ C th× ta cã             =             = nnn2n1 2n2221 1n1211 nnn2n1 2n2221 1n1211 a .aa . a .aa a aa a .aa . a .aa a aa D C VD:             =             = 10987 5432 7654 4321 2 10987 10864 7654 4321 D 3.3. TÝnh chÊt 3: Trong ®Þnh thøc nÕu ®æi chç 2 dßng cho nhau th× ®æi dÊu. [...]... những phần bù đại số tơng ứng thì s D = j A j M j =1 VD: Xét định thức: 1 0 2 1 3 1 4 2 A= 2 0 3 0 0 7 6 5 Chọn dòng thứ nhất và dòng thứ 3 ta có 6 định thức cấp 2 10 12 1 02 M1 = ; M 2 = ; M 3 = ; M 4 = 20 23 20 03 01 21 M5 = ; M6 = 0 30 Gọi A1, A2 A6 lần lợt là các phần bù đại số của M 1, M2 , M6 theo định lý ta có D = A1M1 + A2M2 + +A6M6 Mà ta có M2, M3, M6 0 nên ta chỉ tính 3 phần bù đại số của... cột) có nhiều thành phần bằng 0 hoặc là những số đơn giản Ví dụ: VD1: Tính định thức 3 2 5 0 7 06 3 =D 1 0 0 10 4 0 2 9 Giải: Nhận thấy cột thứ hai có nhiều thành phần bằng 0 Khai triển định thức theo cột này ta không cần tính phần bù đại số của những thành phần bằng 0 Vậy : D = (-1)1+2 (-2) A Trong đó: 76 3 A = 1 0 10 4 2 9 D = 2 [6.10 (-4) + 3.1.2 - 6.1.9 - 7.10.2] = -856 VD2 Tính 3 2 5 0 =D 7 06... 3.4 Tính chất 4: Nếu định thức có 2 dòng (2 cột) giống nhau = 0 3.5 Tính chất 5: nếu định thức có 2 dòng (cột) có các thành phần tơng ứng tỉ lệ hệ thức đó = 0 3.6 Tính chất 6: Nếu mỗi thành phần ở dòng thứ i với cùng một số C rồi cộng vào thành phần cùng cột ở dòng thứ k thì ta đợc 1 định thức mới bằng định thức đã cho VD: 65 65 65 D= = 25 ay Dh = = 25 0 71 0 71 50 3.7 Tính chất 7: Với At là ma. .. trần chuyển vị của ma trận A ta có At =A tức là 2 mà trận chuyển vị của nhau thì có định thức bằng nhau III Khai triển định thức 1 Định thức con - Phần bù đại số a Định nghĩa: Cho định thức D cấp N + Nếu chọn dòng i1, , ir và r cột j1, jr (r . toán trên các ma trận - Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông - Giá trị riêng, vectơ riêng - Chéo hoá một ma trận Ta đã biết ma trận góp phần vào việc. phơng trình tuyến tính. Bây giờ ta tiếp tục hiểu ma trận sâu hơn nữa: đặc biệt nghiên cứu mối liên hệ giữa ma trận và ánh sáng tuyến tính. Nhờ có ma trận mà