Vấn đề phân loại các nhóm con đại số của nhóm SL(2,C)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VÕ THÀNH KHANG VẤN ĐỀ PHÂN LOẠI CÁC NHÓM CON ĐẠI SỐ CỦA NHÓM SL(2, C) LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VÕ THÀNH KHANG VẤN ĐỀ PHÂN LOẠI CÁC NHÓM CON ĐẠI SỐ CỦA NHÓM SL(2, C) Chuyên ngành : Mã số : Người hướng dẫn: Đại số lí thuyết số 8460104 TS NGÔ LÂM XUÂN CHÂU Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Cơ sở lý thuyết nhóm 1.2 Tác động nhóm Định lý Sylow 1.3 Đa tạp affine 11 Nhóm đại số 16 2.1 Nhóm đại số 16 2.2 Đại số Lie nhóm đại số Lie 23 2.3 Nhóm đại số giải 30 Các nhóm đại số nhóm SL(2, C) 33 3.1 Nhóm tuyến tính đặc biệt cấp 33 3.2 Phân loại nhóm đại số nhóm SL(2, C) 35 Các nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) 39 4.1 Phân loại nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) 39 4.2 Mơ tả nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) 44 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 i MỞ ĐẦU Lý thuyết nhóm đại số phát triển từ năm 1950, với cơng trình nhà tốn học Chevalley, Kolchin, Borel, Một kết quan trọng nhóm đại số Định lý Lie-Kolchin khẳng định nhóm đại số liên thơng giải nhóm tuyến tính tổng qt GL(n, C) liên hợp với nhóm nhóm ma trận tam giác Nhóm SL(2, C) gồm ma trận vng cấp hai có định thức đóng vai trị quan trọng lý thuyết nhóm đại số nói chung đặc biệt lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Người ta chứng minh rằng, nhóm Galois vi phân phương trình vi phân tuyến tính cấp hai nhóm đại số nhóm SL(2, C) Việc nghiên cứu nhóm đại số nhóm SL(2, C) cho phép ta nghiên cứu tính giải Liouville phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Xuất phát từ nhận định trên, định chọn đề tài “Vấn đề phân loại nhóm đại số nhóm SL(2, C)” để tìm hiểu Mục đích luận văn tìm hiểu làm rõ phân loại nhóm đại số nhóm SL(2, C) Bên cạnh đó, luận văn cịn làm rõ nhóm hữu hạn SL(2, C) Luận văn tập trung làm rõ kết [2] Ngoài Mục lục, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành bốn chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở nhóm, tác động nhóm lên tập hợp định nghĩa đa tạp affine để làm sở cho lập luận chương sau luận văn Chương Nhóm đại số Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa đưa tính chất nhóm đại số Đồng thời, mơ tả cấu trúc nhóm đại số thơng qua nhóm tuyến tính tổng qt Chương Các nhóm đại số nhóm SL(2, C) Trong chương này, chúng tơi trình bày lại làm rõ phép chứng minh định lý phân loại nhóm đại số nhóm SL(2, C) [2] Chương Các nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) Trong chương này, chúng tơi nhóm đại số SL(2, C) hữu hạn Hơn chúng tơi cịn xác định cụ thể nhóm hữu hạn thơng qua đẳng cấu tới nhóm cổ điển nhóm đối xứng nhóm thay phiên Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn kính trọng sâu sắc đến thầy giáo TS Ngô Lâm Xuân Châu, thầy trực tiếp giảng dạy, tận tình hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban lãnh đạo trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán Thống kê quý thầy cô giảng dạy, giúp đỡ trình học tập trường Đồng thời, tơi xin cảm ơn anh chị, bạn học viên lớp Đại số lí thuyết số khóa 20, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế trình độ kinh nghiệm nghiên cứu nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành tinh thần học thuật quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Ngày tháng năm 2020 Học viên thực Nguyễn Võ Thành Khang Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức sở lý thuyết nhóm tác động nhóm lên tập hợp Bên cạnh chúng tơi trình bày định nghĩa số tính chất tơpơ đa tạp affine, làm sở cho lập luận phần sau luận văn 1.1 Cơ sở lý thuyết nhóm Định nghĩa 1.1.1 Cho G tập hợp khác rỗng trang bị phép tốn hai ngơi ký hiệu “ ” Khi (G, ) gọi nhóm thỏa mãn điều kiện sau: (i) Phép toán kết hợp, tức g.(h.k) = (g.h).k với g, h, k ∈ G (ii) Tồn phần tử e ∈ G cho e.g = g.e = g với g ∈ G Phần tử e gọi phần tử đơn vị nhóm (iii) Mỗi phần tử có nghịch đảo, tức là, với g ∈ G, tồn g −1 ∈ G cho g.g −1 = g −1 g = e Nếu phép toán nhóm giao hốn, tức g.h = h.g với g, h ∈ G ta nói G nhóm giao hốn (hay nhóm abel) Định nghĩa 1.1.2 Cho G nhóm H tập khác rỗng G Khi H gọi nhóm G H với phép tốn cảm sinh từ G lập thành nhóm Định nghĩa 1.1.3 Cho G G hai nhóm Một đồng cấu nhóm G G ánh xạ f : G → G cho f (gh) = f (g).f (h) với g, h ∈ G Giả sử f : G → G đồng cấu nhóm Khi hạt nhân ker f = {g ∈ G : f (g) = eG } ảnh Im f = {f (g) : g ∈ G} nhóm G G Sau ta xét số ví dụ nhóm nhóm Ví dụ 1.1.4 (i) Cho k trường n số nguyên dương Tập hợp GL(n, k) ma trận vuông cấp n với hệ số k có định thức khác khơng nhóm với phép nhân ma trận Phần tử đơn vị nhóm ma trận đơn vị; phần tử nghịch đảo ma trận ma trận nghịch đảo Nhóm gọi nhóm tuyến tính tổng quát (ii) Cho X tập hợp gồm n phần tử x1 , x2 , , xn Mỗi song ánh σ : X → X gọi phép X (hoặc phép n phần tử) Ký hiệu (xi1 xi2 xir ) phép biến xik thành xik+1 với k = 1, 2, , r − giữ nguyên phần tử lại, phép gọi r-xích Ký hiệu S(X) tập hợp tất phép X Khi S(X) với phép hợp thành ánh xạ nhóm, gọi nhóm phép n phần tử (hoặc nhóm đối xứng) Nhóm đối xứng cịn ký hiệu Sn Cấp Sn n! (iii) Xét nhóm đối xứng Sn Mỗi 2-xích gọi chuyển trí Khi phép phân tích thành hợp thành chuyển trí Một phép gọi chẵn (tương ứng, lẻ) hợp thành số chẵn (tương ứng, lẻ) chuyển trí Ký hiệu An tập hợp tất phép chẵn Sn Khi An nhóm nhóm đối xứng gọi nhóm thay phiên Cấp An n! Trong trường hợp G nhóm hữu hạn, định lý sau cho ta mối liên hệ cấp G cấp nhóm Định lý 1.1.5 (Lagrange) Cho G nhóm hữu hạn H nhóm G Khi |H| | |G| Ở phần tiếp theo, ta xét chiều ngược lại Định lý Lagrange để thấy chiều ngược lại số trường hợp đặc biệt Định nghĩa 1.1.6 Cho G nhóm H nhóm G Khi tập hợp gH = {gh : h ∈ H} gọi lớp ghép trái H G Tương tự ta có lớp ghép phải H G Số lớp ghép trái H G gọi số H G ký hiệu [G : H] Nhóm H gọi chuẩn tắc G gH = Hg với g ∈ G Một cách tương đương, ghg −1 ∈ H với g ∈ G với h ∈ H Định nghĩa 1.1.7 Cho G nhóm H nhóm chuẩn tắc G Khi tập hợp G/H = {gH : g ∈ G} nhóm với phép tốn định nghĩa sau (g1 H).(g2 H) = (g1 g2 )H với g1 , g2 ∈ G Nhóm G/H gọi nhóm thương G theo nhóm H Ví dụ 1.1.8 (i) Cho G nhóm H nhóm G Xét tập hợp ZG (H) = {g ∈ G : gh = hg với h ∈ H} Khi ZG (H) nhóm chuẩn tắc G, gọi nhóm tâm hóa H G (ii) Cho G nhóm S tập G Xét tập hợp NG (S) = {g ∈ G : gSg −1 = S} Khi NG (H) nhóm chuẩn tắc G, gọi nhóm chuẩn tắc hóa S G (iii) Mọi nhóm số chuẩn tắc Thật vậy, giả sử H nhóm số G Lấy g ∈ G Nếu g ∈ H ta có gH = H = Hg Giả sử g ∈ / H Vì có hai lớp ghép trái H G nên ta suy hai lớp ghép trái H gH Vì lớp ghép trái rời nên gH = G \ H Tương tự, lớp ghép phải rời nên Hg = G \ H = gH Do gH = Hg Điều với g ∈ G nên ta suy H chuẩn tắc G (iv) Nhóm An chuẩn tắc Sn Thật vậy, lấy τ ∈ An σ ∈ Sn Khi τ phép chẵn Ta có σ σ −1 chẵn lẻ Ta suy στ σ −1 phép chẵn Do στ σ −1 ∈ An Vậy An chuẩn tắc Sn Khi Sn /An có hai phần tử nên Sn /An ∼ = Z2 1.2 Tác động nhóm Định lý Sylow Cho G nhóm X tập hợp Trong mục này, ta xem xét tác động nhóm G lên tập hợp X Đồng thời, ta nghiên cứu trường hợp G nhóm hữu hạn có cấp lũy thừa số nguyên tố Đây kết cần thiết cho lập luận chương cuối luận văn Định nghĩa 1.2.1 Một tác động nhóm G lên tập hợp X ánh xạ G × X → X thỏa mãn điều kiện sau (i) e.x = x với x ∈ X , e phần tử đơn vị nhóm G, (ii) (gh).x = g.(h.x) với g, h ∈ G, với x ∈ X Tập hợp X với tác động nhóm G gọi G-tập Một tác động gọi tầm thường g.x = x với g ∈ G Một tác động gọi bắc cầu với x, y ∈ X , tồn g ∈ G cho g.x = y Định nghĩa 1.2.2 Cho tác động nhóm G lên tập hợp X x ∈ X Khi (i) Gx = {g ∈ G : g.x = x} nhóm G, gọi nhóm ổn định x G (ii) Tập G.x = {g.x : g ∈ G} gọi quỹ đạo phần tử x Phần tử x gọi phần tử cố định tác động |G.x| = Ta kiểm tra nhóm ổn định Gx phần tử x ∈ X nhóm G Giả sử g, h ∈ Gx Khi (gh).x = g.(h.x) = g.x = x Ta suy gh ∈ Gx Do Gx đóng với phép tốn G Lấy g ∈ Gx Khi g.x = x Ta suy g −1 (g.x) = g −1 x Hơn g −1 (g.x) = (g −1 g).x = x Ta suy g −1 x = x g −1 ∈ Gx Tiếp theo ta xét số tính chất quỹ đạo (i) Nếu y ∈ G.x G.x = G.y Thật vậy, giả sử y = h.x với h ∈ G Khi g.y = g.(h.x) = (gh).x với g ∈ G Ta suy phần tử G.y thuộc G.x Mặt khác, y = h.x nên x = h−1 y Suy x ∈ G.y G.x ⊆ G.y (ii) Nếu z ∈ S thuộc vào quỹ đạo x y G.z = G.x = G.y Như hai quỹ đạo xác định hai phần tử khác không giao trùng Trong trường hợp X tập hữu hạn, giả sử X = {x1 , x2 , , xn }, ta có X = n i=1 G.xi Từ suy n |X| = |G.xi | i=1 Ví dụ 1.2.3 (i) Cho G nhóm Với X tập hợp tất nhóm G, xét tác động nhóm G lên tập X xác định g.H = gHg −1 với g ∈ G, với H ∈ X Tác động gọi tác động liên hợp nhóm G lên tập hợp tất nhóm G (ii) Cho G nhóm H nhóm G Khi G tác động bắc cầu lên G/H Trong trường hợp |G| > tác động G lên khơng tác động bắc cầu Một kết quan trọng lý thuyết tác động nhóm Định lý quỹ đạo, phát biểu số phần tử quỹ đạo số nhóm ổn định Mệnh đề 1.2.4 (Định lý quỹ đạo) Số phần tử quỹ đạo G.x số nhóm ổn định phần tử x, tức |G.x| = [G : Gx ] với x ∈ X Chương Các nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) Ta phân loại tất nhóm đại số nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, C) Trong chương này, ta xác định nhóm nhóm liệt kê Định lý 3.2.5 nhóm hữu hạn Các kết chương trình bày theo tài liệu [2] 4.1 Phân loại nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) Mệnh đề 4.1.1 Mọi ma trận M ∈ SL(2, C) có cấp hữu hạn chéo hóa Chứng minh Giả sử ord(M ) = m, tức M n = I2 Khi đa thức tối tiểu M ước đa thức xn − ∈ C[x] Vì đa thức xn − có n nghiệm đơn C nên đa thức tối tiểu A có nghiệm đơn Điều chứng tỏ A chéo hóa Mệnh đề 4.1.2 Giả sử M ma trận đường chéo cấp không ma trận vô hướng Khi tâm hóa SL(2, C) ma trận M ma trận đường chéo  Chứng minh Giả sử M =   λ 0 µ   a b , λ = µ Giả sử A =  39  ∈ Z(M ) c d SL(2, C) Tính tốn trực tiếp ta có      λ aλ bµ a b  =  AM =  µ cλ dµ c d      λ a b aλ bλ  =  MA =  µ c d cµ dµ Vì AM = M A nên ta suy b(µ − λ) = c(µ − λ) = Theo giả thiết λ = µ ta suy b = c = Vậy A ma trận đường chéo Mệnh đề 4.1.3 Giả sử M ma trận SL(2, C) N ma trận đường chéo khác ma trận vơ hướng Khi M N M −1 ma trận đường chéo M ∈ D† ,    · D, D† = D ∪  −1 với D nhóm ma trận đường chéo   a b Chứng minh Lấy M =    x  ∈ SL(2, C) N =  c d y , x = y = Tính tốn trực tiếp ta có  M N M −1 =  adx − bcy −abx + aby cdx − cdy −bcx + acy   Ma trận N M N −1 ma trận đường chéo −abx + aby = cdx − cdy = Vì x = y = nên ta có ab = cd = Như xảy trường hợp sau a = d = 0, b = c = 0, a = c = b = d = Vì  detM = b nên ta suy a = d = b = c = Do ma trận M có dạng   c  a    Điều chứng tỏ M ∈ D† Ta có điều phải chứng minh d Mệnh đề 4.1.4 Cho nhóm G x, g ∈ G Khi gZ(x)g −1 = Z(gxg −1 ) 40 Chứng minh Giả sử gag −1 ∈ gZ(x)g −1 , a ∈ Z(x) Khi (gag −1 )(gxg −1 )(gag −1 )−1 = gag −1 gxg −1 ga−1 g −1 Vì a ∈ Z(x) nên axa−1 = x Do (gag −1 )(gxg −1 )(gag −1 )−1 = gxg −1 Điều chứng tỏ gag −1 ∈ Z(gxg −1 ) Ngược lại, lấy a ∈ Z(gxg −1 ) Khi agxg −1 a−1 = gxg −1 Ta suy g −1 agxg −1 a−1 g = x, tức là, (g −1 ag)x(g −1 ag)−1 ) = x Từ suy g −1 ag ∈ Z(x) a ∈ gZ(x)g −1 Ta có điều phải chứng minh Định lý 4.1.5 ([2]) Giả sử G nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) Khi xảy trường hợp sau: (i) G liên hợp với nhóm nhóm  D† = D ∪   −1  · D, D nhóm ma trận chéo (ii) G nhóm cấp 24 (hay nhóm tứ diện) (iii) G nhóm cấp 48 (hay nhóm bát diện) (iv) G nhóm cấp 120 (hay nhóm nhị thập diện) Trong ba trường hợp cuối cùng, G chứa ma trận vô hướng −I2 Chứng minh Giả sử G nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) G khơng liên hợp với nhóm nhóm D† Ký hiệu H tập ma trận vô hướng G Giả sử λI2 ∈ H Vì λI2 ∈ SL(2, C) nên det(λI2 ) = Ta suy λ2 = Do λ = ±1, tức H chứa ma trận I2 −I2 Khi H = {I2 } H = {I2 , −I2 } Ta suy cấp H Lấy x ∈ G \ H Vì G nhóm hữu hạn nên x có cấp hữu hạn Bởi Mệnh đề 4.1.1, ma trận x chéo hóa Bởi Mệnh đề 4.1.2, tâm hóa ma trận đường chéo khác ma trận vô hướng D Ta suy Z(x) giao G lớp 41 liên hợp D Do Z(x) = Z(y) y ∈ Z(x) Với x, y, g, g ∈ G ta có gZ(x)g −1 ∩ g Z(y)g −1 = H gZ(x)g −1 = g Z(y)g −1 Thật vậy, theo Mệnh đề 4.1.4 ta có Z(gxg −1 ) = gZ(x)g −1 Z(g yg −1 ) = g Z(y)g −1 Giả sử gZ(x)g −1 ∩ g Z(y)g −1 = H Khi Z(gxg −1 ) ∩ Z(g yg −1 ) = H Lấy z ∈ Z(gxg −1 ) ∩ Z(g yg −1 ) \ H , ta có gxg −1 ∈ Z(z), g yg −1 ∈ Z(z) Z(z) nhóm giao hốn Do Z(gxg −1 ) = Z(z) = Z(g yg −1 ) Điều tương đương với gZ(x)g −1 = g Z(y)g −1 Trong trường hợp gZ(x)g −1 = g Z(y)g −1 , ta có y ∈ g −1 gZ(x)g −1 g Hơn gZ(x)g −1 = g Z(y)g −1 g −1 g ∈ N (x) Do ta biểu diễn G sau G= s i=1 ∪ (gZ(xi )g −1 − H) ∪ H, (4.1) tổng lấy tất lớp ghép gN (xi ) nhóm thương G/N (xi ) x1 , x2 , , xs ∈ G \ H Tiếp theo ta mơ tả nhóm chuẩn hóa N (xi ) Bởi Mệnh đề 4.1.3, ma trận SL(2, C) mà liên hợp ma trận đường chéo khác vô hướng để tạo thành ma trận đường chéo thuộc nhóm D† Ta suy N (xi ) giao G lớp liên hợp D† Tiếp theo ta chứng minh [N (x) : Z(x)] ≤ với x ∈ G \ H Lấy g ∈ G cho gxg −1 ma trận đường chéo Khi nhóm gZ(x)g −1 = Z(gxg −1 ) chứa ma trận đường chéo N (gxg −1 ) = gN (x)g −1 Bằng cách thay x gxg −1 ta giả sử nhóm  Z(x) chứa  ma trận đường chéo λ Bây giả sử x =  µ  , với λ, µ ∈ C λ = µ Khi với   a b ∈ c d SL(2, C) ta có   a b   c d µ   a b Ma trận  λ  λ  c d −1  µ a b   c d  adλ − bcµ ab(µ − λ)  = cd(λ − µ) −bcλ + adµ −1 a b    ma trận đường chéo ab = c d 42   a b cd = Ta suy ma trận    a  có dạng  c d d   b    Xét nhóm c H0 = {y ∈ SL(2, C) : yxy −2 ∈ D} ta có [H0 : D] = Vì N (x) ⊆ G ∩ H0 nên ta có [N (x) : Z(x)] = [N (x) : G ∩ D] ≤ [G ∩ H0 : G ∩ D] = [(G ∩ H0 )D : D] ≤ [H0 : D] = Vì xi ∈ G \ H với i = 1, 2, , s nên ta có [N (xi ) : Z(xi )] = [N (xi ) : Z(xi )] = Ký hiệu M = ord(G/H) ei = ord(Z(xi )/H) Từ biểu diễn (4.1) ta suy s [G : N (xi )](ei ord H − ord H) + ord H, M ord H = i=1 hay s M= i=1 Do = M s i=1 M (ei − 1) + [N (xi ) : Z(xi )].ei [N (xi ) : Z(xi )] −1 ei + Vì G = H nên s = Giả sử s = Khi 1 ≥ = , M [N (x1 ) : Z(x1 )]e1 ord(N (xi ))/H G = N (x1 ) Nhắc lại N (x1 ) giao G lớp liên hợp D† Ta suy G liên hợp với nhóm nhóm D† Điều cho ta mâu thuẫn Do s ≥ Vì ei ≥ với i = 1, 2, , s nên 1 ≤1− 0< M s i=1 s i=1 [N (xi ) : Z(xi )] < [N (xi ) : Z(xi )] 43 (4.2) Nhắc lại [N (xi ) : Z(xi )] = nên ta có trường hợp sau (i) s = 2, [N (x1 ) : Z(x1 )] = [N (x2 ) : Z(x2 )] = 2, (ii) s = 2, [N (x1 ) : Z(x1 )] = [N (x2 ) : Z(x2 )] = 2, (iii) s = 3, [N (x1 ) : Z(x1 )] = [N (x2 ) : Z(x2 )] = [N (x3 ) : Z(x3 )] = Nhận xét rằng, tất trường hợp ta có [N (x2 ) : Z(x2 )]  = Do c −c−1 G chứa ma trận liên hợp với ma trận có dạng M =   D† \ D Vì M = −I2 nên ta suy ord H = Ta xem xét trường hợp cụ thể Trường hợp (i) Ta có 1 1 = + − Ta suy e1 = 3, e2 = M = 12 M e1 2e2 Do ord G = 24 Trường hợp (ii) Ta có 1 = + Trường hợp khơng thể xảy M 2e1 2e2 M > 2e2 Trường hợp (iii) Ta có 1 = + + − M e1 e2 e3 Giả sử e1 ≤ e2 ≤ e3 Khi e1 < Ta suy e1 = 1 = + − M e2 e3 Vì e2 = nên M > 2e3 Khi ta có trường hợp sau: Với e1 = 2, e2 = e3 = 3, M = 12 ord G = 24 Với e3 = 4, M = 24 ord G = 48 Với e3 = 5, M = 60 ord G = 120 Định lý chứng minh xong 4.2 Mô tả nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) Ở phần trước ta liệt kê tất nhóm hữu hạn nhóm tuyến tính đặc biệt cấp Giả sử G nhóm hữu hạn SL(2, C) khơng liên 44 hợp với nhóm D† Khi ta chứng minh cấp G 24 48 120 (Định lý 4.1.5) Bây cách lấy thương với tập ma trận vô hướng H = {−I2 , I2 } G ta mô tả chi tiết nhóm G Bổ đề 4.2.1 ([2]) Cho G nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) khơng liên hợp với nhóm D† Khi nhóm thương G/H khơng chứa nhóm xiclic chuẩn tắc Chứng minh Giả sử phản chứng, K/H nhóm xiclic chuẩn tắc G/H , K nhóm G chứa H Vì K/H nhóm xiclic nên ta giả sử lớp xH phần tử sinh K/H (xH)r = I2 H Khi ta có xr = I2 xr = −I2 Xét nhóm G sinh phần tử x −x Vì phần tử x −x có cấp hữu hạn nên nhóm sinh x −x chéo hóa Hơn nữa, nhóm chuẩn tắc G nên ta suy G liên hợp với nhóm nhóm D† Điều mâu thuẫn với giả thiết G không liên hợp với nhóm nhóm D† Định lý 4.2.2 ([2]) Cho G nhóm cấp 24 nhóm SL(2, C) khơng liên hợp với nhóm D† Khi nhóm thương G/H đẳng cấu với A4 , nhóm thay phiên phần tử Hơn nữa, G liên hợp với nhóm sinh ma trận   ξ  0 ξ −1    φ  , −1 ξ nguyên thủy bậc đơn vị 3φ = 2ξ − Chứng minh Vì |G| = 24 |H| = nên G/H có cấp 12 Theo Mệnh đề 4.2.1, G/H khơng có nhóm xiclic chuẩn tắc Gọi r số 3-nhóm Sylow G/H ta có r | r ≡ (mod 3) Ta suy r = Do G/H có bốn 3-nhóm Sylow ta giả sử nhóm S1 , S2 , S3 S4 Xét tác động liên hợp nhóm G/H lên tập hợp S = {S1 , S2 , S3 , S4 } Theo Mệnh đề 1.2.6, tác động cảm sinh đồng cấu nhóm ϕ từ G/H đến nhóm S4 , với lớp ghép gH ∈ G/H ta có phép ký hiệu σg Hơn 45 nữa, theo Định lý Sylow, nhóm S1 , S2 , S3 , S4 liên hợp với Do tác động G/H bắc cầu Xét nhóm K Im ϕ cho K = {σg : σg (Si ) = Si với i = 1, 2, 3, 4} Theo Mệnh đề 1.2.4 ta suy [Im ϕ : K] = |G/H.Si | = Ta suy ord(Im ϕ) chia hết cho cấp ker ϕ 1, Giả sử cấp ker ϕ Khi ker ϕ nhóm xiclic chuẩn tắc G/H Điều mâu thuẫn với Bổ đề 4.2.1 Do ord(ker ϕ) = Điều chứng tỏ G/H đẳng cấu với nhóm nhóm S4 sign Xét hợp thành G/H → S4 −−→ {−1; 1}, sign : S4 → {−1; 1} ánh xạ dấu cho sign(σ) = σ phép chẵn sign(σ) = −1 σ phép lẻ Ta chứng minh G/H khơng có nhóm có cấp Giả sử phản chứng L nhóm cấp G/H giả sử phần tử khác đơn vị L có cấp Khi L nhóm giao hốn (vì gh = (gh)−1 = h−1 g −1 = hg với g, h ∈ L) Lấy a b hai phần tử có cấp L xét nhóm sinh a b, nhóm {e, a, b, ab} có cấp Điều khơng thể xảy L có cấp Do L chứa phần tử có cấp Khi nhóm sinh phần tử có cấp nhóm nhóm xiclic chuẩn tắc Điều mâu thuẫn với Bổ đề 4.2.1 Như G/H khơng chứa nhóm chuẩn tắc có cấp Từ suy (sign ◦ϕ)(gH) = {1} với gH ∈ G/H G/H đẳng cấu với nhóm thay phiên A4 Xét tồn cấu nhóm τ : G → A4 với ker τ = H = {−I2 ; I2 } Vì nhóm thay phiên A4 sinh phần tử tích hai 2-xích Do ta xét tạo ảnh phần tử sinh qua đồng cấu τ Lấy A ∈ τ −1 (123) Ta lấy liên hợp nhóm G cho A có dạng đường chéo, tức   ξ  A= ξ −1 46 Ta có τ (A3 ) = τ (A) ◦ τ (A) ◦ τ (A) = (123) ◦ (123) ◦ (123) = (1) Ta suy A3 ∈ H Tuy nhiên τ (A) = (123) = (1) τ (A2 ) = (132) = (1) nên A ∈ / H A2 ∈ / H Do đó, cách thay A −A (nếu cần thiết) ta giả sử ξ nguyên thủy bậc đơn vị Lấy B ∈ τ −1 (12)(34) Ta có τ (AB) = (134) = (243) = τ(BA) Do B khơng b11 b12 phải ma trận đường chéo Giả sử B =  b21 b22 , b12 = b21 = (vì trái lại B có cấp vơ hạn)   c  , c2 = b21 d2 = 2b12 Xét lớp liên hợp G ma trận  d Phép liên hợp không làm thay đổi dạng ma trận A Tính tốn trực tiếp ta ma trận B có dạng  B=  φ ψ  2ψ −χ Ta có τ (B ) = (1) Ta suy B ∈ H Tính tốn trực tiếp ta   B = φ2 + 2ψ ψ(φ − χ) 2ψ(φ − χ) 2ψ + χ2  ∈ {−I2 ; I2 } Từ suy φ = χ Ta có τ (BA2 ) = (143) = τ ((AB)2 ) Ta suy BA2 = ±(AB)2 Tính tốn trực tiếp ta có  φξ ψ(ξ −1 )2   φ2 ξ + 2ψ φψ(ξ  − 1)  (AB)2 =   BA2 =  −1 −1 2 −1 2φψ(1 − (ξ ) ) 2ψ + φ (ξ ) 2ψξ −φ(ξ ) Chú ý ψ = Ta suy φ(ξ − 1) = ±(ξ −1 )2 = ±ξ Bằng cách thay B −B ta giả sử φ(ξ − 1) = ξ Vì ξ nguyên thủy bậc đơn vị nên ξ = ξ − Do 4ξ − 4ξ + = −3 hay (2ξ − 1)2 = −3 Từ suy 2ξ − = 3 ξ4 = = = 2 =3 = 3φ −2ξ + ξ − 3ξ + (ξ − 1)(ξ − 2) ξ (ξ − 1) ξ −1 2 Bây giờ, det(B) =  nên ta  có φ + 2ψ = −1 hay 3ψ = ±(2ξ − 1) Bằng cách liên hợp G với ma trận   ta giả sử 3ψ = 2ξ − = 3φ Do ψ = φ −1 47 Vì τ (A) τ (B) phần tử sinh nhóm A4 , nhóm sinh A B chứa H nên ta suy G sinh ma trận có dạng     ξ  ξ −1  φ  , −1 ξ nguyên thủy bậc đơn vị 3φ = 2ξ − Định lý 4.2.3 ([2]) Cho G nhóm cấp 48 nhóm SL(2, C) khơng liên hợp với nhóm D† Khi nhóm thương G/H đẳng cấu với S4 , nhóm đối xứng phần tử Hơn nữa, G liên hợp với nhóm sinh ma trận   ξ 0 ξ −1    φ   , −1 ξ nguyên thủy bậc đơn vị 2φ = ξ(ξ + 1) Chứng minh Lập luận tương tự chứng minh Định lý 4.2.2 Ta có |G/H| = 24 Gọi r số 3-nhóm Sylow G/H Khi r ≡ (mod 3) r | Suy r = Do G/H có bốn 3-nhóm Sylow Xét tác động liên hợp G/H lên tập hợp 3-nhóm Sylow G/H Tác động cảm sinh đồng cấu nhóm từ G/H vào nhóm đối xứng S4 Ảnh đồng cấu chứa nhóm số Ta suy cấp ảnh chia hết cho Do cấp hạt nhân 1, 2, Giả sử cấp hạt nhân Khi hạt nhân chứa nhóm chuẩn tắc cấp Nhóm chuẩn tắc G Điều mâu thuẫn với Bổ đề 4.2.1 Do cấp hạt nhân ta suy G/H đẳng cấu với nhóm S4 Trong nhóm S4 xét phép σ = (1234) ta có σ ◦ (12) ◦ σ −1 = (σ(1) ◦ σ(2)) = (23) Trong trường hợp tổng quát, với k = 1, ta có σ k ◦ (12) ◦ σ −k = (k + k + 2) 48 Điều chứng tỏ xích (1234) (12) sinh nhóm S4 Ta xét tạo ảnh xích qua đồng cấu τ : G → S4 Lấy A ∈ τ −1 (1234) Ta lấy liên hợp nhóm G cho A có dạng đường chéo, tức  A=  ξ 0 ξ −1  Vì τ (A4 ) = (1) nên ξ = ±1 Nếu ξ = ξ = ±1 A2 ∈ H Tuy nhiên ta có τ (A2 ) = (13) ◦ (24) = (1) nên ta suy ξ = −1 Do ξ nguyên thủy bậc đơn vị Lấy B ∈ τ −1 (12) Ta có τ (AB) = (134) τ (BA) = (234) Do đó τ (AB) = τ (BA) Ta suy B ma trận đường chéo Giả sử B =  b11 b12 b21 b22 , b12 = b21 = (vì trái lại B  có cấp vơ hạn) Xét lớp liên hợp G ma trận  c 0 d  , c2 = b21 d2 = b12 Phép liên hợp không làm thay đổi dạng ma trận A Tính tốn trực tiếp ta ma trận B có dạng   φ ψ  B= ψ −χ Ta có τ (B ) = (1) Ta suy B ∈ H Tính tốn trực tiếp ta   φ2 + ψ ψ(φ − χ)  ∈ {−I2 ; I2 } B2 =  ψ(φ − χ) ψ + χ2 Từ suy φ = χ Ta có τ (BA3 ) = (143) = τ ((AB)2 ) Suy BA3 = ±(AB)2 Tính tốn trực tiếp ta có  φξ ψ(ξ −1 )3   φ2 ξ + ψ2 φψ(ξ  − 1)  (AB)2 =   BA3 =  ψξ −φ(ξ −1 )3 φψ(1 − (ξ −1 )2 ) ψ + φ2 (ξ −1 )2 Từ suy φ(ξ − 1) = ±(ξ − 3) = ±(ξ ) = ±ξ Ta giả sử φ(ξ − 1) = ξ 49 Khi ξ(ξ + 1) = ξ ξ ξ ξ4 − = (ξ − 1) = 2 = 2φ ξ −1 ξ −1 ξ −1 Như ta suy 2φ = −1 Vì det(B) = 1nên ta có = −φ − ψ Từ suy 2ψ = −1 Lấy liên hợp G ma trận   (nếu cần), ta giả sử −1 φ = ψ Ta thấy τ (A) τ (B) sinh nhóm S4 , nhóm sinh A B chứa H nên ta suy G sinh A B Định lý chứng minh xong Định lý 4.2.4 ([2]) Cho G nhóm cấp 120 nhóm SL(2, C) khơng liên hợp với nhóm D† Khi nhóm thương G/H đẳng cấu với A5 , nhóm thay phiên phần tử Hơn nữa, G liên hợp với nhóm sinh ma trận    ξ 0 ξ −1     φ ψ , ψ −φ ξ nguyên thủy bậc 10 đơn vị, 5φ = 3ξ − ξ + 4ξ − 5ψ = ξ + 3ξ − 2ξ + Chứng minh Vì |G/H| = 60 G/H khơng chứa nhóm chuẩn tắc thực nên G/H đẳng cấu với nhóm thay phiên A5 Vì nhóm A5 sinh xích (12345) (12)(34) nên ta xét tạo ảnh phần tử sinh qua đồng cấu τ : G → A5 với hạt nhân H Lấy A ∈ τ −1 (12345) Ta lấy liên hợp nhóm G cho ma trận A có dạng   ξ 0 ξ −1   Vì τ (A5 ) = (1) nên ξ = ±1 Ta giả sử ξ = −1 cách thay A −A cần thiết Do ξ nguyên thủy bậc 10 đơn vị Lấy B ∈ τ −1 (12)(34) Ta lấy liên hợp nhóm G cho B có dạng   φ  ψ  ψ −φ 50 Vì τ (A4 B) = (254) = τ ((BA)2 ) nên A4 B = ±(BA)2 Tính tốn trực tiếp ta có     A B= φξ ψξ ψ(ξ −1 )4 −φ(ξ −1 )4  (BA)2 =  φ2 ξ + ψ φψ(1 − (ξ −1 )2 ) φψ(ξ ψ2 − 1) + φ2 (ξ −1 )2  Từ suy φ(1 − (ξ −1 )2 ) = ±ξ Ta có (ξ −1 )2 = ξ = ξ ξ = −ξ Do φ(1 + ξ ) = ±ξ Từ suy 5φ = ±(3ξ − ξ + 4ξ − 2) Ta giả sử 5φ = 3ξ − ξ + 4ξ − Vì det(B) = nên ta suy −φ2 − ψ = 5ψ = ξ + 3ξ − 2ξ + Nhóm sinh τ (A) τ (B) chứa phần tử cấp 5, cấp cấp Do cấp nhóm chia hết cho 30 Vì A5 nhóm đơn nên ta suy nhóm A5 Hơn nữa, nhóm sinh A B chứa H Do A, B sinh nhóm G Ta có điều phải chứng minh Hơn nữa, người ta chứng minh nhóm cấp 24, 48, 120 nhóm SL(2, C) đẳng cấu với nhóm phép quay hình tứ diện, bát diện, nhị thập diện không gian Tên gọi hình học nhóm hữu hạn đề cập Định lý 4.1.5 xuất phát từ lý 51 Kết luận Luận văn “Vấn đề phân loại nhóm đại số nhóm SL(2, C)” hệ thống trình bày chi tiết số kết phân loại nhóm đại số nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, C) Cụ thể, luận văn đạt kết sau Trình bày lại số kiến thức chuẩn bị nhóm, tác động nhóm lên tập hợp, định nghĩa đa tạp affine số tính chất tơpơ đa tạp affine Trình bày định nghĩa tính chất nhóm đại số, xây dựng đại số Lie liên kết với nhóm đại số đưa đặc trưng nhóm đại số liên thơng giải Trình bày lại cách phân loại nhóm đại số nhóm SL(2, C) xác đến phép liên hợp Trình bày chi tiết phân loại nhóm hữu hạn nhóm SL(2, C) xác đến đẳng cấu đến nhóm đối xứng nhóm thay phiên 52 Tài liệu tham khảo [1] I Kaplansky, An introduction to differential algebra, Paris: Hermann(1957) [2] J J Kovacic, An algorithm for solving second order linear homogenous differential equations, Journal of Symbolic Computation (1986) (2), 3-43 [3] M van der Put, M F Singer, Galois Theory of Linear Differential Equations, Comprehensive Studies in Mathematics, vol 328, Springer-Verlag, Berlin (2003) [4] A Borel, Linear Algebraic Groups, Second Enlarged Edition, SpringerVerlag, New York (1991) [5] J E Humphreys, Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, 21, Springer-Verlag, New York (1991); 5th printing (1998) 53 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN VÕ THÀNH KHANG VẤN ĐỀ PHÂN LOẠI CÁC NHÓM CON ĐẠI SỐ CỦA NHÓM SL(2, C) Chuyên ngành : Mã số : Người hướng dẫn: Đại số lí thuyết số 8460104 TS NGƠ LÂM... trên, định chọn đề tài ? ?Vấn đề phân loại nhóm đại số nhóm SL(2, C)” để tìm hiểu Mục đích luận văn tìm hiểu làm rõ phân loại nhóm đại số nhóm SL(2, C) Bên cạnh đó, luận văn cịn làm rõ nhóm hữu hạn... k) nhóm đại số Mệnh đề 2.1.4 Nhóm đóng (theo tơpơ Zariski) nhóm đại số nhóm đại số Chứng minh Cho G nhóm đại số với ánh xạ định nghĩa µ ι Xét H nhóm đóng (theo tơpơ Zariski) G Ta chứng minh H nhóm