Chuyên đề về hình học không gian chương trình THPT cơ bản và nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết, đồng thời có các bài tập tự luyện ở phía dưới có hướng dẫn giải và đáp án của các phần bài tập tự luyện. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức về về hình học không gian lớp 11, 12 và để ôn thi THPQG.
CHUN ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN SỐ 03 có lời giải chi tiết I 50 BÀI TOÁN QUAN HỆ SONG SONG, VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN, BÀI TỐN THIẾT DIỆN - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ + 2: NHẬN BIẾT + THÔNG HIỂU Mục tiêu: Đề thi gồm 50 tập trắc nghiệm quan hệ song song, quan hệ vng góc khơng gian, tốn thiết diện sưu tầm từ đề thi thử THPTQG trường THPT chuyên sở GD&ĐT nước Đây phần kiến thức lớp 11 xuất đề thi THPTQG Chủ yếu tập chứng minh song song, vng góc đường đường, đường mặt,…, sử dụng quan hệ song song vng góc để dựng thiết diện làm toán liên quan đến thiết diện Câu 1: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác cân C, cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi H,K trung điểm AB SB Trong mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề sai? A CK ⊥ SB B CH ⊥ AK C AK ⊥ BC D HK ⊥ HC Câu 2: Trong không gian, cho mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề đúng? A Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng cịn lại B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với C Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại D Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba vng góc với Câu 3: Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Nếu hai mặt phẳng phân biệt ( α ) ( β ) song song với đường thẳng nằm (α) song song với ( β ) B Nếu hai mặt phẳng phân biệt ( α ) ( β ) song song với đường thẳng nằm ( α ) song song với đường thẳng nằm ( β ) C Nếu hai đường thẳng song song với nằm hai mặt phẳng phân biệt ( α ) ( β ) ( α ) ( β ) song song với D Qua điểm nằm mặt phẳng cho trước ta vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước Câu 4: Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với mặt đáy AH, AK đường cao tam giác SAB, tam giác SAD Mệnh đề sau sai? A HK ⊥ SC B SA ⊥ AC C BC ⊥ AH D AK ⊥ BD Câu 5: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' Gọi M, N trung điểm A'B' CC' Khi CB' song song với A AM B A'N C ( BC ' M ) D ( AC ' M ) Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N, K trung điểm CD, CB, SA Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNK) đa giác (H) Hãy chọn khẳng định A (H) hình thang B (H) ngũ giác C (H) hình bình hành D (H) tam giác Câu 7: Cho hai đường thẳng phân biệt a; b mặt phẳng ( α ) Mệnh đề đúng? A Nếu a / /(α b / /(α ) b // a B Nếu a / / ( α ) b ⊥ ( α ) a ⊥ b C Nếu a / / ( α ) a ⊥ b b ⊥ ( α ) D Nếu a ⊥ ( α ) a ⊥ b b / / ( α ) Câu 8: Phát biểu sau sai? A Hai mặt phẳng phân biệt cung vng góc với đường thẳng song song B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song C Một đường thẳng mặt phẳng (khơng chứa đường thẳng cho) vng góc với đường thẳng song song D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song Câu 9: Cho bốn mệnh đề sau: 1) Nếu hai mặt phẳng ( α ) ( β ) song song với đường thẳng nằm mặt phẳng (α) song song với ( β ) 2) Hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với 3) Trong khơng gian hai đường thẳng khơng có điểm chung chéo 4) Có thể tìm hai đường thẳng song song mà đường thẳng cắt đồng thời hai đường thẳng chéo cho trước Trong mệnh đề có mệnh đề sai? A B C D Câu 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O, gọi I trung điểm cạnh SC Mệnh đề sau sai? A IO // (SAB) B IO // (SAD) C Mặt phẳng (IBD) cắt hình chóp SABCD theo thiết diện tứ giác D ( IBD ) ∩ ( SAC ) = IO Câu 11: Chọn mệnh đề mệnh đề sau đây: A Cho đường thẳng a ⊥ ( α ) , mặt phẳng ( β ) chứa a ( β ) ⊥ ( α ) B Cho hai đường thẳng a b vng góc với nhau, mặt phẳng ( α ) chứa a mặt phẳng ( β ) chứa b ( α ) ⊥ ( β ) C Cho hai đường thẳng a b vng góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường thẳng song song với đường thẳng D Cho hai đường thẳng chéo a b, ln có mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) ∆ABC vuông C Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC H hình chiếu vng góc O lên mp(ABC) Khẳng định sau đúng? A H trọng tâm tam giác ABC B H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC C H trung điểm cạnh AC D H trung điểm cạnh AB Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) Khẳng định sau đúng? A d qua S song song với AB B d qua S song song với BC C d qua S song song với BD D d qua S song song với DC Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC tam giác ABC vng C Gọi H hình chiếu vng góc S lên mp(ABC) Khẳng định sau khẳng định đúng? A H trung điểm cạnh AB B H trọng tâm tam giác ABC C H trực tâm tam giác ABC D H trung điểm cạnh AC Câu 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) Khẳng định sau khẳng định đúng? A d qua S song song với BD B d qua S song song với BC C d qua S song song với AB D d qua S song song với DC Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O, M nằm BO Mặt phẳng ( α ) qua M song song với SB AC Thiết diện mặt phẳng ( α ) với hình chóp là: A Ngũ giác B Tam giác C Hình bình hành D Hình thang khơng phải hình bình hành Câu 17: Cho tứ diện ABCD ba điểm M, N, P nằm cạnh AB, AC, AD mà không trùng với đỉnh tứ diện Thiết diện hình tứ diện ABCD cắt mặt phẳng (MNP) là: A Một tam giác B Một ngũ giác C Một đoạn thẳng D Một tứ giác Câu 18: Cho ba đường thẳng đôi chéo Mệnh mệnh đề sau? A Khơng có đường thẳng cắt ba đường thẳng cho B Có hai đường thẳng cắt ba đường thẳng cho C Có vơ số đường thẳng cắt ba đường thẳng cho D Có đường thẳng cắt ba đường thẳng cho Câu 19: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng: A Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với đường thẳng nằm mặt phẳng lại B Nếu đường thẳng song song với hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng cịn lại C Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng chúng song song với D Hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng song song với Câu 20: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Cắt hình lăng trụ mặt phẳng ta thiết diện Số cạnh lớn thiết diện thu là? A B C D Câu 21: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi M trung điểm CD, (P) mặt phẳng qua M song song với B’D CD’ Thiết diện hình hộp cắt (P) hình gì? A Ngũ giác B Tứ giác C Tam giác D Lục giác Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N P trung điểm cạnh SA, BC CD Hỏi thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) hình gì? A Hình ngũ giác B Hình tam giác C Hình tứ giác D Hình bình hành Câu 23: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm SD, N trọng tâm tam giác SAB Đường thẳng MN cắt mặt phẳng (SBC) điểm I Tỉnh tỉ số A B C IN IM D Câu 24: Trong khơng gian, tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với B Hai đường thẳng phân biệt song song đường thẳng song song với C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Câu 25: Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A Nếu hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với B Mặt phẳng hồn tồn xác định qua điểm C Mặt phẳng hoàn toàn xác định biết hai đường thẳng cắt nằm D Hai đường thẳng phân biệt thuộc hai mặt phẳng khác chéo Câu 26: Xét mệnh đề sau không gian, hỏi mệnh đề sai? A Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với B Mặt phẳng (P) đường thẳng a không nằm (P) vuông góc với đường thẳng b song song với C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song với Câu 27: Cho hai đường thẳng phân biệt a b không gian Có vị trí tương đối a b ? A B C D Câu 28: Mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song B Hai đường thẳng khơng cắt khơng song song chéo C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song Câu 29: Cho tứ diện ABCD Điểm M thuộc đoạn AC (M khác A, M khác C) Mặt phẳng ( α ) qua M song song với AB AD Thiết diện ( α ) với tứ diện ABCD hình gì? A Hình tam giác B Hình bình hành C Hình vng D Hình chữ nhật Câu 30: Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? - Nếu a ⊂ mp ( P) mp(P) // mp(Q) a // (Q) (I) - Nếu a / / mp ( P), a / / mp(Q) mp(P) // mp(Q) a//b (II) - Nếu a / / mp ( P), a / / mp(Q) mp ( P ) ∩ mp (Q) = c c//a(III) A Cả (I), (II) (III) B (I) (III) C (I) (II) D Chỉ (I) Câu 31: Mệnh đề sau sai ? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song B Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vuông góc với đường thẳng song song C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song Câu 32: Cho tứ diện ABCD có M, N trung điểm cạnh AB CD Mệnh đề sau sai? A AB ⊥ CD B MN ⊥ AB C MN ⊥ BD D MN ⊥ CD uuur uuur Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Điểm M thỏa mãn MA = 3MB Mặt phẳng (P) qua M song song với hai đường thẳng SC, BD Mệnh đề sau đúng? A (P) khơng cắt hình chóp B (P) cắt hình chóp theo thiết diện tứ giác C (P) cắt hình chóp theo thiết diện tam giác D (P) cắt hình chóp theo thiết diện ngũ giác Câu 34: Trong không gian cho đường thẳng ∆ điểm O Qua O có đường thẳng vng góc với ∆ ? A B C vơ số D Câu 35: Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D'có tất cạnh Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A BB ' ⊥ BD B A ' C ' ⊥ BD C A ' B ⊥ DC ' D BC ' ⊥ A ' D Câu 36: Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Mệnh đề sau đúng? A H trọng tâm tam giácABC B H trung điểm BC C H trực tâm tam giácABC D H trung điểm AC Câu 37: Cho hinh chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành tâm O, I trung diểm cạnh SC Khẳng định sau sai ? A Giao tuyến hai mặt phẳng (IBD) (SAC) IO B Đường thẳng IO song song với mặt phẳng (SAB) C Mặt phẳng (IBD) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện tứ giác D Đường thẳng IO song song với mặt phẳng (SAD) Câu 38: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AB A’C’ A a B a C 2a D a Câu 39: Trong không gian cho đường thẳng a,b,c mặt phẳng (P) Mệnh đề sau sai? A Nếu a // b b ⊥ c c ⊥ a B Nếu a ⊥ b b ⊥ c a // c C Nếu a ⊥ ( P ) b // (P) a ⊥ b D Nếu a ⊥ b, c ⊥ b a cắt c b vng góc với mặt phẳng chứa a c Câu 40: Cho hình chóp S.ABCD, G điểm nằm tam giác SCD, E, F trung điểm AB AD Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (EFG) là: A Tứ giác B Lục giác C Tam giác D Ngũ giác Câu 41: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên b ( a ≠ b ) Phát biểu SAI ? A Đoạn thẳng MN đường vng góc chung AB SC (M N trung điểm AB SC) B Góc cạnh bên mặt đáy C Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) trọng tâm tam giác ABC D SA vng góc với BC Câu 42: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng phân biệt nàm mặt phẳng khơng chéo B Hai đường thẳng phân biệt khơng song song chéo C Hai đường thẳng phân biệt khơng chéo cắt D Hai đường thẳng phân biệt thuộc hai mặt phẳng khác chéo Câu 43: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau: A Ba mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD) đôi vng góc B Hình chiếu A lên mặt phẳng (BCD) trực tâm tam giác BCD C Tam giác BCD vuông D Hai cạnh đối tứ diện vng góc Câu 44: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Đường thẳng AC ' vng góc với mặt phẳng đây? A ( A ' BD ) B ( A ' CD ') C ( A ' DC ') D ( A ' B ' CD ) Câu 45: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D’ Xét tất hình bình hành có đỉnh đỉnh hình hộp Hỏi có hình bình hành mà mặt phẳng chứa vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) ? A B C D 10 Câu 46: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) H hình chiếu vng góc S lên BC Hãy chọn khẳng định đúng? A BC ⊥ SC B BC ⊥ AH C BC ⊥ AB D BC ⊥ AC Câu 47: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề ĐÚNG? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với D Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với Câu 48: Cho hai mặt phẳng song song (P) (Q), mệnh đề sau sai? A Nếu đường thẳng nằm (P) song song với đường thẳng nằm (Q) B Mọi đường thẳng nằm (P) song song với (Q) C Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng (P) cắt mặt phẳng (Q) D Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng (P) cắt mặt phẳng (Q) Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với đáy H, K hình chiếu vng góc A lên SD, SC Khẳng định sau đúng? A AK vng góc với (SCD) C AH vng góc với (SCD) B BC vng góc với (SAC) D BD vng góc với (SAC) Câu 50: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, SA vng góc với đáy Gọi M trung điểm AC Khẳng định sau sai? A ( SAB ) ⊥ ( SBC ) B ( SBC ) ⊥ ( SAC ) C BM ⊥ AC D ( SBM ) ⊥ ( SAC ) HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-C 2-C 3-A 4-D 5-D 6-B 7-B 8-D 9-D 10-C 11-A 12-D 13-B 14-A 15-B 16-A 17-A 18-C 19-C 20-A 21-A 22-A 23-D 24-D 25-C 26-D 27-A 28-A 29-A 30-B 31-D 32-C 33-D 34-C 35-A 36-C 37-C 38-B 39-B 40-D 41-A 42-A 43-C 44-A 45-B 46-B 47-C 48-A 49-C 50-B Câu 1: Chọn C Phương pháp: Ta chứng minh CH ⊥ ( SAB ) Cách giải: Vì ∆ABC cân C mà H trung điểm AB nên CH ⊥ AB Vì SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ CH Từ suy CH ⊥ ( SAB ) ⇒ CH ⊥ SB CH ⊥ HK Vậy có mệnh đề AK ⊥ BC sai Câu 2: Chọn C Cách giải: Các mệnh đề “Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng cịn lại” “Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với nhau." mệnh đề sai tồn đường thẳng đơi vng góc Mệnh đề “Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba vng góc với nhau” sai tồn đường thẳng song song vng góc với đường thẳng thứ Mệnh đề “Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại.” Câu 3: Chọn A Phương pháp: Nhớ lại quan hệ song song đường thẳng mặt phẳng Cách giải: Đáp án B: ( α ) / / ( β ) , d1 ⊂ ( α ) ; d ⊂ ( β ) d1 // d2 d1 chéo d2 Loại B Đáp án C: d1 ⊂ ( α ) ; d ⊂ ( β ) ; d1 / / d xảy trường hợp ( α ) cắt (β) (trong TH d1 / / d / / ∆ với ∆ giao tuyến hai mặt phẳng) Loại C Đáp án D: Qua điểm nằm mặt phẳng ta vẽ mặt phẳng song song với mặt phẳng đường thẳng nằm mặt phẳng vẽ song song song với mặt phẳng dã cho Vậy có vơ số đường thẳng ⇒ loại D Câu 4: Chọn D Phương pháp: Sử dụng mối quan hệ vng góc đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng - Hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng - Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt vng góc với mặt phẳng chứa hai đường thẳng - Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng Cách giải: (SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ ( ABCD) (SAD) ⊥ (ABCD) (SAB) ∩ (SAD) = SA ⇒ SA ⊥ BC SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH ⊂ (SAB) AB ⊥ BC Mà AH ⊥ SB nên AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC Tương tự ta có AK ⊥ ( SCD) ⇒ AK ⊥ SC Do SC ⊥ ( AHK ) ⇒ SC ⊥ HK ⇒ A SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ AC ⇒ B BC ⊥ AH (cmt ) ⇒ C Câu 5: Chọn D Phương pháp: Phương pháp Gọi P trung điểm B'C' Chứng minh NP / / ( AMC ') NP / / B ' C để suy B ' C / /( AMC ') Cách giải: Gọi P trung điểm B'C' Giả sử S = AC '∩ A ' C Khi S trung điểm A'C Vì SN đường trung bình ∆A ' C ' C nên SN / / A ' C ', SN = A ' C '(1) Vì MP đường trung bình ∆A ' B ' C ' nên MP / / A ' C ', MP = A ' C '(2) Từ (1), (2) ta nhận SN / / MP, SN = MP Do MPNS hình bình hành Kéo theo NP / / MS Vì MS ∈ ( AMC ') ⇒ NP / / ( AMC ' ) (3) Vì NP đường trung bình ∆B ' C ' C nên NP / / B ' C (4) Từ (3), (4) suy B ' C / /( AMC ') Câu 6: Chọn B Phương pháp: Tìm trực tiếp thiết diện kết luận Cách giải: Gọi E F giao điểm MN với AB AD Trong mặt phẳng (SAB) gọi P giao điểm KE SB Trong (SAD) gọi Q giao điểm KF SD Khi KPNMQ giao tuyến (MNK) với hình chóp Do (H) ngũ giác KPNMQ Câu 7: Chọn B Phương pháp: Dựa vào mối quan hệ song song vng góc đường thẳng mặt phẳng không gian để đưa nhận xét 10 HG ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SHG ) ⇒ AB ⊥ SH Ta có: SG ⊥ AB Mà ( ABCD) ∩ ( SAB ) = AB ⇒ góc (ABCD) (SAB) góc SH HG AB = AD = a ( gt ) ⇒ ∆BAD tam giác Ta có: BAD = 60 ⇒ BG = a BO = BD = 3 a a ⇒ HG = BG.sin 60 = = Xét tam giác SHG vng G ta có: SG = HG.tan 60 = a a 3= Kéo dài HG cắt CD I Khi HI ⊥ CD AB // CD GI ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SGI ) ⇒ CD ⊥ SI Ta có: SG ⊥ CD Kẻ GK ⊥ SI ⇒ CD ⊥ GK ⇒ GK ⊥ ( SCD ) ⇒ d (G;( SCD)) = GK Ta có: ∆GBH : ∆GDI ( g − g ) ⇒ GH BG a = = ⇒ GI = 2GH = GI GD Xét tam giác SGI vng G có đường cao GK ta có: 1 1 a = + = + = ⇒ KG = 2 2 KG SG GI a a a 3 ÷ ÷ 2 Ta có: BG ∩ ( SCD ) = D ⇒ d ( B;( SCD)) BD 3 3a 7a = = ⇒ d ( B;(SCD )) = d (G;(SCD)) = = d (G;( SCD)) GD 2 14 Câu 9: Chọn C Phương pháp: Sử dụng phương pháp xác định góc hai mặt phẳng khơng gian Cách giải: 207 CK ⊥ SO ( K ∈ SO ) Gọi O tâm hình thoi ABCD, kẻ AH ⊥ SO ( H ∈ SO ) Ta dễ dàng tính BD = a, AC = a Xét tam giác vng SCO có : CK = SC.CO SC + CO ⇒ AH = CK = = a a 2 a 6 a 3 ÷ + ÷ = a a 3a ; SO = SC + OC = 2 3a CO a OK = = = 3a SO 2 ⇒ SH = SO + OH = SO + OK = 3a a + = 2a 2 BD ⊥ SC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ AH Ta có: BD ⊥ AC AH ⊥ BD ⇒ AH ⊥ ( SBD) ⇒ AH ⊥ SD AH ⊥ SO SD ⊥ AH ⇒ SD ⊥ ( AHE ) ⇒ SD ⊥ AE Kẻ HE ⊥ SD ta có: SD ⊥ HE ⇒ ( SBD);( SAD) = ( HE; AE ) = HEA 208 Lại có SD = SC + CD = Do đó, giá trị tan HEA = a 10 2a ⇒ HE.SD = DO.SH ⇒ HE = 10 AH = HE Câu 10: Chọn C Phương pháp: Dựa vào phương pháp xác định góc hai mặt phẳng đưa vào tam giác vng tính tốn cosin góc hai mặt phẳng Cách giải: Vì AA ' BB ' hình vng cạnh a ⇒ AB '2 = 2a Ta có AI = AC + CI = 5a a2 ; B ' I = B ' C '2 + C ' I = BC + 4 Mà BC = AB + AC − AB.AC.cos1200 = 3a ⇒ BC = a Khi đó: B ' I = 3a + a 13a = ⇒ AB '2 + AI = B ' I 4 ⇒ ∆AB ' I vuông A Gọi D giao điểm BC B ' I ⇒ AD = ( ABC ) ∩ ( AB ' I ) Kẻ CH ⊥ AD ( H ∈ AD ) Vì C hình chiếu I mp(ABC) Suy HI ⊥ AD ⇒ IHC góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Trong tam giác BB′ D có CI đường trung bình ⇒ CD = CB = a Xét tam giác ACD, có AD = AC + CD − AC.CD.cos1500 = a ⇒ AD = a 209 Lại có AC AD a 21 = ⇒ sin ADC = ⇒ CH = CD.sin ADC = sin ADC sin150 14 Tam giác IHC vuông ⇒ IH = CI + CH ⇒ IH = Vậy cos IHC = a 70 14 CH 30 = IH 10 Câu 11: Chọn A Phương pháp: Phương pháp xác định góc mặt phẳng (P) (Q) Bước 1: Xác định d = ( P ) ∩ (Q) Bước 2: Xác định a ⊂ ( P ); b ⊂ (Q) cho a ⊥ d ; b ⊥ d Bước 3: Kết luận (( P );(Q)) = (a; b) Cách giải: Gọi M, N trung điểm BC B’C’, E trung điểm BM, dễ thấy HE đường trung bình tam giác ABM nên HE // AM ⇒ HE / / A ' N ⇒ A '; H ; E ; N đồng phẳng Ta có: BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ HE ; BC ⊥ A ' H ⇒ BC ⊥ ( A ' HEN ) ⇒ BC ⊥ NE ( A ' B ' C ') ∩ ( BCC ' B ') = BC ( A ' B ' C ') ⊃ A ' N ⊥ BC ( BCC ' B ') ⊃ NE ⊥ BC ⇒ ((A'B'C');(BCC'B')) = (A'N; NE) = A'NE(A'NE < 900 ) (( ABC );( BCC ' B ')) = (( A ' B ' C ');(BCC'B') ⇒ A'NE = ϕ 210 HE đường trung bình tam giác ABM ⇒ HE = 1 AM = A ' N 2 Gọi K trung điểm A’N ta dễ dàng chứng minh A’HEK hình bình hành ⇒ KE / / A ' H , KE = A ' H ⇒ KE ⊥ ( A ' B 'C') ⇒ KE ⊥ KN ⇒ ∆EKN vuông K ⇒ tan ϕ = tanA'NE = KE A' H 2A' H = = KN A ' N A' N Ta có ( A ' A;( ABC )) = ( A ' A; HA) = A ' AH = 600 ⇒ A ' H = AH tan 60 = a Tam giác A’B’C’ cạnh 2a ⇒ A ' N = Vậy tan ϕ = 2a =a 2 A ' H 2.a = = A' N a Câu 12: Chọn B Phương pháp: Xác định hai mặt phẳng (P) (Q) chứa hai đường thẳng BM B’C cho (P) // (Q) Khi d ( BM ; B ' C ) = d (( P );(Q)) = d(N;(P)), N ∈ (Q) Cách giải: Gọi D trung điểm cạnh A’C’ ta có: A’M // DC; BM // B’D ⇒ ( A ' BM ) / /( B ' CD) Mà 211 BM ⊂ ( A ' BM ); B ' C ⊂ ( B ' CD ) ⇒ d ( BM , B ' C ) = d (( A ' BM );( B ' CD)) = d (C ;( A ' BM )) Tam giác ABC ⇒ CM ⊥ BM Mà CM ⊥ A ' O ( gt ) Suy CM ⊥ ( A ' BM ) ⇒ d (C ;( A ' BM )) = CM = AC = 2 Câu 13: Chọn B Phương pháp: Gắn hệ trục tọa Oxyz sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng Cách giải: Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác SAB, có SB = SA2 + SB − 2.SA.SB.cosASB = 13 Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác SBC, có BC = SB + SC − 2.SB.SC.cos BSC = 61 Gắn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ, với S (0;0;0), A(3;0;0), B(a; b; c), C (0;5;0) SB = a + b + c = 16 a = 2 Có AB = (a − 3) + b + c = 13 ⇒ b = −2 BC = a + (b − 5) + c = 61 c = 2 ur uuu r Đường thẳng SC qua S(0;0;0) u1 = SC = (0;5;0) uu r uuur Đường thẳng AB qua A(3;0;0) u2 = AB = (−1; −2; 2) ur uu r −5 0 0 ; ; = (−10 2;0;5) ÷ Có: u1 ; u2 = ÷ 2 2 −1 −1 −2 212 uur ur SA u1 ; u2 30 = =2 Khi d ( SC ; AB ) = ur 15 u1 ; u2 ( ( ) ) Câu 14: Chọn D Phương pháp: Cách 1: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz cho A '(0;0;0), B'(1;0;0), D'(0;1;0), A(0;0;1) Xác định tọa độ điểm M, N uuuuur uuuu r uuur B ' D '; MN NB Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d ( MN ; B ' D ') = uuuuur uuuu r B ' D '; MN Cách 2: Xác định mặt phẳng (P) chứa B’D’ song song với MN, d ( MN ; B ' D ') = d ( B ' D ';(P)) = d(O;(P)) (với O trung điểm \[B'D' \]) Cách giải: Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ với A '(0;0;0), B'(1;0;0), D'(0;1;0), A(0;0;1) C (1;1;1); C '(1;1;0); B(1;0;1); D(0;1;1) 1 Ta có: M ; ;1÷; N 1; ;0 ÷ 2 uuuuur uuuu r 1 Khi B ' D ' = (−1;1;0), MN = ;0; −1÷ 2 uuuuur uuuu r −1 Suy B ' D '; MN = −1;1; ÷ uuuu r uuuuur uuuu r uuuu r NB ' = 0; ;0 ÷ ⇒ B ' D '; MN NB ' = − 213 uuuuur uuuu r uuuu r B ' D '; MN NB ' ⇒ d ( MN ; B ' D ') = =2= uuuuur uuuu r 3 B ' D '; MN Cách 2: Gọi P trung điểm C'D' suy d = d (O;(MNP)) Dựng OE ⊥ NP;OF ⊥ ME ⇒ d = OF = MO.OE MO + OE 2 MO = a; OE = a a ⇒d = Câu 15: Chọn C Phương pháp: Áp dụng cơng thức tính nhanh thể tích tứ diện gần đều, đưa tốn tính khoảng cách tốn tìm thể tích chia cho diện tích đáy (tính theo cơng thức Hê – rơng) Cách giải: Tam giác BCD có CD = 4, BD = 5, BC = ⇒ S ∆BCD = p( p − a )( p − b)( p − c ) = 15 Cơng thức tính nhanh : Tứ diện gần ABCD có AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c Suy thể tích tứ diện ABCD V = (a + b − c )(b + c − a )(a + c − b ) 12 Áp dụng với AB = CD = 4, AC = BD = 5, AD = BC = ⇒ VABCD = 15 33.V 42 = Mặt khác VABCD = d ( A;( BCD)).S∆BCD ⇒ d ( A;( BCD)) = S∆BCD Câu 16: Chọn C Phương pháp: Dựng hình, sử dụng phương pháp xác định góc hai mặt phẳng áp dụng phương pháp tọa độ hóa (hình giải tích Oxyz) để tính góc Cách giải: 214 ( ABC ) ∩ (CMN ) = {C} Ta có AB / / MN ⇒ ( ABC ) ∩ (CMN ) = ∆(∆ đường thẳng qua C // với AB) Gọi E I, trung điểm AB MN Gọi F trung điểm MI EC ⊥ AB ⇒ (( ABC ), ( MNC )) = ECF Suy FC ⊥ MN Ta có MF = a MN = , 4 MC = AC − AM = a a 11 ⇒ CF = MC − MF = a a a Xét ∆EBC vng E, có EC = BC − BE = a − ÷ = EF = EA ' = 2 2 2 Áp dụng định lý cosin cho tam giác ECF, cos ECF = Vậy tan ECF = EC + FC − EF 33 = EC.FC 33 2 −1 = cos ECF Câu 17: Chọn C Phương pháp: Tọa độ hóa, xác định tọa độ điểm áp dụng cơng thức tính góc hai mặt phẳng Cách giải: 215 Xét hình lăng trụ tam giác ABC A′ B′ C′ có tất cạnh a Gắn hệ trục hình vẽ quy ước a = (đơn vị ) Gọi D giao điểm AM′ AC Vì tam giác A’B’C’ tam giác cân cạnh a nên ta suy độ dài a Suy tọa độ điểm hình vẽ uuuu r uuur Theo giả thiết ta có CM = − AA ' ⇒ ∆ADA ' : ∆CDM uuur uuur AD ⇒ = ⇒ DA = −2 DC CD đường trung tuyến Suy D 0; ;1÷ uuuuur Ta có mặt phẳng ABC có phương trình z = ⇒ n( ABC ) = (0;0;1) Mặt khác mặt phẳng (A’MB) mặt phẳng qua ba điểm A’, D B uuuur uuuur ; ;1÷ Ta có: A ' D = 0; ;1÷ A ' B = 2 ÷ r uuuur uuuur − ⇒ n( A ' BM ) = A ' D, A ' B = ; ; ÷ ÷ 6 Vậy sin góc tạo hai mặt phẳng (A’MB) (ABC) là: 216 r r cos(( A 'BM), (ABC)) = cos n ( A ' BM ) , n ( ABC ) = ( ) − 3 + + 36 3 30 = 10 10 = Câu 18: Chọn A Phương pháp: Gắn hệ trục tạ độ dựng hình xác định góc hai mặt phẳng Cách giải: ( ) Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ cho B (0;0;0), C 0; a 2;0 , S ( x; y; z ) uuu r uuu r Ta có ( ABC ) : z = 0, AS = (x − a 2; y; z ), CS = ( x; y − z 2; z ) uuu r Do AS AB = ⇒ ( x − a 2)a = ⇒ x = a 2, d ( S , ( ABC )) = 2a ⇒ z = 2a ( z > 0) uuu r uuu r Và CS CB = ⇒ ( y − a 2)a = ( ) ⇒ y = a ⇒ S a 2; a 2; 2a uur uuu r uuu r Lại có SA = (0; a 2; 2a ), CS = a 2;0; 2a , BS = a 2; a 2; a ( ) ( ) ur r Mặt phẳng (SBC) có vtpt n = − 2;0;1 , ( SAB) có vtpt m = (0; 2; −1) ⇒ cos ϕ = ( ) 1 = 3 Cách 2: Gọi D hình chiếu vng góc S mp ( ABC) 217 AB ⊥ SA ⇒ AB ⊥ AD, tương tự: BC ⊥ CD Ta có AB ⊥ SD Vậy ABCD hình vng Gọi H, K hình chiếu D SA, SC Góc hai mặt phẳng (SAB) (SCB) góc hai đường thẳng DH DK Tính DH = HK = 2a SH SD 2 4a ; = = ⇒ HK = AC = 3 3 SA SA Từ suy cos HDK = HD + KD − HK = HD.KD Câu 19: Chọn B Phương pháp: - Trên tia SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ cho SA’=SB’=SC’=1 - Chứng minh SA’B’C’D chóp tứ giác - Tính khoảng cách từ A đến (SCD) thông qua khoảng cách từ A’ đến (SC’D) Cách giải: 218 Chóp tứ giác S.ABCD có: SA ' = SB ' = SC ' = SD = A ' SB ' = B ' SC ' = C ' SD = DSA ' = 600 ⇒ S A ' B ' C ' D ' chóp tứ giác A ' C '∩ ( SC ' D) = C ' ⇒ d ( A ';(SC'D)) = 2.d(O;(SC'D)) +) Tính khoảng cách từ A’ đến (SC’D): A ' C ' = 2.OC ' Ta có: OM = A' D 2 = , OC = = 2 2 2 ∆SOC ' vuông O ⇒ SO = SC ' − OC ' = − ÷ ÷ = 2 219 ∆SOM vuông O, OH ⊥ SM ⇒ 1 1 1 = + = + = ⇒ OH = 2 2 OH SO OM 1 ÷ ÷ ⇒ d (O, ( SC ' D)) = ⇒ d ( A ';( AC ' D)) = 6 SA ∩ (SC'D') = C' ⇒ d ( A '( SC ' D)) = 4.d (A';(SC'D)) = = = +) Vì 6 SA = 4SA' Vậy, khoảng cách từ A đến (SCD) Câu 20: Chọn B Phương pháp: Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) thông qua khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (SBC), thông qua khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (SBC) (với A’ điểm đối xứng S qua A N trung điểm A’C) Cách giải: Theo đề bài, ta có: tam giác SAB, SBC có: ASB = CSB = 600 SA ' = SB = SC = 2a ⇒ ∆SAB, ∆SBC đều, cạnh 2a ∆SA ' C vuông cân S ⇒ A ' C = SA ' = 2a ⇒ ∆A ' BC vuông cân B Gọi N trung điểm A’C ⇒ SN ⊥ ( A ' BC ) Gọi M trung điểm BC ⇒ MN / / A ' B 220 Mà A ' B ⊥ BC ⇒ MN ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SMN ) Ta có: A ' S I ( SBC ) = S , A ' S = AS ⇒ d ( A;( SBC ) ) = d (A';(SBC)) Mặt khác: A ' C ∩ ( SBC ) = C , S ' C = NC ⇒ d ( A ';( SBC )) = 2d ( N ;(SBC)) ⇒ d ( A;( SBC )) = d ( N ;( SBC )) Trong (SMN), kẻ NH ⊥ SM ⇒ SM ⊥ (SBC) ⇒ d(B;(SBC)) = NH ⇒ d ( A;( SBC )) = NH +) Tính NH: Ta có: MN = 1 1 A ' B = 2a = a (vì ∆SA ' B đều, cạnh 2a), SN = A ' C = 2a = 2a (vì vng 2 2 S) ∆SMN vuông N, NH ⊥ SM ⇒ ⇒ d ( A;( SBC )) = 1 1 a = + = + = ⇒ NH = 2 NH SN MN 2a a 2a a 221 ... HỆ SONG SONG, VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN, BÀI TỐN THIẾT DIỆN - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 3+4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 1: Cho hình chóp S.ABC, M điểm nằm tam giác... Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D’ Xét tất hình bình hành có đỉnh đỉnh hình hộp Hỏi có hình bình hành mà mặt phẳng chứa vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) ? A B C D 10 Câu 46: Cho hình chóp S.ABC có. .. thuyết hình học phẳng học để làm Cách giải: Qua đường điểm nằm ngồi đường thẳng kẻ vơ số đường vng góc với đường thẳng cho Câu 35: Chọn A 20 Phương pháp: Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cạnh hình