Chuyên đề về hình học không gian chương trình THPT cơ bản và nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết, đồng thời có các bài tập tự luyện ở phía dưới có hướng dẫn giải và đáp án của các phần bài tập tự luyện. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức về về hình học không gian lớp 11, 12 và để ôn thi THPQG.
CHUN ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (có lời giải chi tiết) I 50 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT KHỐI ĐA DIỆN –CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT - ĐỀ SỐ Câu 1: Hình đa diện sau có tâm đối xứng? A Hình hộp chữ nhật B Hình tứ diện C Hình chóp tứ giác D Hình lăng trụ tam giác Câu 2: Chọn khẳng định khẳng định sau A Khối chóp tứ giác S.ABCD phân chia thành hai khối tứ diện S.ABD S.ACD B Khối chóp tứ giác S.ABCD phân chia thành ba khối tứ diện S.ABC, S.ABD S.ACD C Khối chóp tứ giác S.ABCD phân chia thành hai khối tứ diện C.SAB C.SAD D Khối chóp tứ giác S.ABCD khơng thể phân chia thành khối tứ diện Câu 3: Tổng số mặt, số cạnh số đỉnh hình lập phương là: A 26 B 24 C 30 D 22 Câu 4: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', M trung điểm AA'.Cắt khối lăng trụ hai mặt phẳng (MBC) (MB'C') ta được: A Ba khối tứ diện B Ba khối chóp C Bốn khối chóp D Bốn khối tứ diện Câu 5: Cho khối đa diện giới hạn hình đa diện (H), khẳng định sau sai? A Các mặt (H) đa giác có số cạnh B Mỗi cạnh đa giác (H) cạnh chung nhiều hai đa giác C Khối da diện (H) khối đa diện lồi D Mỗi đỉnh (H) đỉnh chung số cạnh Câu 6: Cho khối hình 1, hình 2, hình Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hình khơng phải khối đa diện, hình khơng phải khối da diện lồi B Hình hình khối đa diện lồi C Hình khối đa diện lồi, hình khơng phải khối đa diện lồi D Cả hình khối đa diện Câu 7: Khối bát diện khối đa diện lồi loại: A {5;3} B {4;3} C {3;4} D {3;5} Câu 8: Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng? A B C D Câu 9: Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng? A B C D Câu 10: Số mặt phẳng đối xứng khối tứ diện A B C D Câu 11: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung mặt? A Năm mặt B Hai mặt C Ba mặt D Bốn mặt Câu 12: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung nhất: A cạnh B cạnh C cạnh D cạnh C {3;4} D {3;3} C 12 D Câu 13: Khối tám mặt thuộc loại: A {5;3} B {4;3} Câu 14: Tìm số mặt hình đa diện hình vẽ bên: A 11 B 10 Câu 15: Hình lăng trụ tam giác có mặt đối xứng? A B C D Câu 16: Số cạnh hình đa diện ln ln: A Lớn B Lớn C Lớn D Lớn 68 Câu 17: Có tất loại khối đa diện đều? A B C D C 11 D 12 C D Câu 18: Số cạnh khối bát diện là: A B 10 Câu 19: Số đỉnh khối bát diện A B Câu 20: Mỗi hình sau gồm số hữu hạn đa giác phẳng, tìm hình khơng hình đa diện A Hình B Hình C Hình D Hình Câu 21: Trong khẳng định sau khẳng định sai? A Hình chóp hình chóp có đáy đa giác đều, cạnh bên B Hình chóp tam giác tứ diện C Hình chóp hình chóp có đáy đa giác đều, chân đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy D Tứ diện hình chóp Câu 22: Hình lập phương thuộc loại khối đa diện nào? A {5;3} B {3;4} C {4;3} D {3;5} Câu 23: Gọi a, b, c số đỉnh, số cạnh, số mặt tứ diện Tính giá trị S = a + 2b + 3c A S = 26 B S = 28 C S = 30 D S = 24 C 12 D 10 Câu 24: Hình đa diện sau có mặt? A 20 B 11 Câu 25: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Hình chóp có cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc B Hình chóp có tất cạnh C Một hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy hình chóp D Hình chóp có mặt bên tam giác cân Câu 26: Khối đa diện có 12 mặt số cạnh là: A 60 B 30 C 12 D 24 Câu 27: Trong loại khối đa diện sau, tìm khối đa diện có số cạnh gấp đôi số đỉnh A Khối hai mươi mặt B Khối lập phương C Khối mười hai mặt D Khối bát diện Câu 28: Hình đa diện hình bên có mặt cạnh? A 11 mặt, 20 cạnh B 10 mặt, 15 cạnh C mặt, 18 cạnh D 12 mặt, 25 cạnh Câu 29: Khối bát diện khối đa diện loại nào? A {5;3} B {3;5} C {3;4} D {4;3} Câu 30: Trong hình đa diện sau đây, hình đa diện khơng nội tiếp mặt cầu? A Hình tứ diện B Hình hộp chữ nhật C Hình chóp ngũ giác D Hình chóp có đáy hình thang vng Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình vng Biết hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với đáy Hình chóp có mặt phẳng đối xứng? A B C D C 15 D 10 C D Câu 32: Hình đa diện bên có cạnh? A 11 B 12 Câu 33: Hình bên có mặt? A 10 B Câu 34: Hình bát diện có cạnh? A 10 B C D 12 Câu 35: Hình khơng phải hình đa diện? A Hình B Hình C Hình D Hình Câu 36: Hình đa diện khơng có tâm đối xứng? A Hình lăng trụ tứ giác B Hình bát diện C Hình tứ diện D Hình lập phương Câu 37: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh B Tồn hình đa diện có số cạnh số mặt C Số đỉnh số mặt củ hình đa diện ln D Tồn hình đa diện có số đỉnh số mặt Câu 38: Khối lập phương khối đa diện loại sau đây? A {3;5} B {3;4} C {3;3} D {4;3} Câu 39: Số mặt phẳng đối xứng hình bát diện là: A B 15 C D Câu 40: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? Số cạnh hình đa diện ln ln … A lớn B lớn C lớn D lớn Câu 41: Khối bát diện khối đa diện loại A {3;5} B {3;3} C {4;3} D {3;4} Câu 42: Tìm số cạnh hình đa diện có mặt A B C D Câu 43: Hình khơng phải hình đa diện? A Hình B Hình C Hình D Hình Câu 44: Khối mười hai mặt có cạnh? A 30 cạnh B 12 cạnh C 16 cạnh D 20 cạnh Câu 45: Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đơi khác có mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng C D 10 Câu 46: Khối đa diện sau có mặt? A B Câu 47: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung mặt? A Năm mặt B Hai mặt C Ba mặt D Bốn mặt Câu 48: Một hình đa diện có mặt tam giác số mặt M số cạnh C đa diện thỏa mãn hệ thức đây? A 3C = 2M B C = 2M C 3M = 2C D 2C = M Câu 49: Hình tứ diện có tâm đối xứng? A B C D Câu 50: Hình lăng trụ có 2018 đỉnh Hỏi lăng trụ có mặt bên? A 2019 B 2018 C 1009 D 2020 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-A 2-C 3-A 4-B 5-B 6-C 7-C 8-D 9-C 10-D 11-C 12-C 13-C 14-D 15-D 16-A 17-B 18-D 19-A 20-B 21-B 22-C 23-B 24-B 25-B 26-B 27-D 28-A 29-C 30-D 31-B 32-C 33-C 34-D 35-C 36-C 37-D 38-A 39-D 40-A 41-D 42-D 43-C 44-A 45-B 46-A 47-C 48-C 49-A 50-C Câu 1: Chọn A Cách giải: Mọi hình hộp chữ nhật có tâm đối xứng Mọi hình chóp khơng có tâm đối xứng (trong có hình tứ diện đều) Hình lăng trụ tam giác khơng có tâm đối xứng Câu 2: Chọn C Phương pháp: Vẽ hình quan sát, chọn đáp án Cách giải: Quan sát hình vẽ bên ta thấy khối chóp S.ABCD chia thành hai khối tứ diện S.ABC S.ADC hay hai khối tứ diện C.SAB C.SAD Câu 3: Chọn A Phương pháp: Hình lập phương hình có mặt hình vng Cách giải: Hình lập phương có mặt, đỉnh 12 cạnh nên tổng số cạnh, mặt đỉnh là: + + 12 = 26 Câu 4: Chọn B Phương pháp: Phân chia khối đa diện Cách giải Cắt khối lăng trụ hai mặt phẳng (MBC) (MB’C’) ta ba khối chóp M.ABC; M.A’B’C’; M.BCC’B’ Câu 5: Chọn B Phương pháp: Sử dụng định nghĩa khối đa diện Cách giải Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây: - Các mặt đa giác có số cạnh - Mỗi đỉnh đỉnh chung số cạnh Từ định nghĩa khối đa diện ta thấy A, C, D Vậy B sai Câu 6: Chọn C Phương pháp: Sử dụng định nghĩa khối đa diện khối đa diện lồi Khối đa diện giới hạn hình (H) gồm số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện: 1) Hai đa giác khơng có điểm chung có đỉnh chung, có cạnh chung 2) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Khối đa diện lồi: Nếu hai điểm A, B thuộc đa diện lồi điểm M ∈ AB thuộc đa diện Cách giải: A sai Hình khối đa diện lồi B sai Hình khơng phải khối đa diện lồi D sai Hình khơng phải khối đa diện Câu 7: Chọn C Phương pháp: Khối đa diện mà mặt đa giác n cạnh đỉnh đỉnh chung p cạnh gọi khối đa diện loại {n; p} Cách giải Khối bát diện khối đa diện thuộc loại {3;4} Câu 8: Chọn D Phương pháp: Phương pháp giải Lấy G, H, I, J trung điểm AB, BC, CD, DA Sử dụng giả thiết để chứng minh Hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đối xứng (SAC), (SBD), (SGI), (SHJ) Cách giải: Giả sử S.ABCD hình chóp tứ giác Khi đáy ABCD hình vng Ta có hình chiếu đỉnh S trùng với tâm đáy ABCD Hình chóp S.ABCD có mặt đối xứng (SAC), (SBD), (SGI), (SHJ) G, H, I, J trung điểm AB, BC, CD, DA Câu 9: Chọn C Phương pháp: Các hình chóp có đáy đa giác n đỉnh có n mặt phẳng đối xứng Cách giải: Hình chóp tứ giác có mặt phẳng đối xứng Câu 10: Chọn D Phương pháp: Vẽ hình mặt phẳng đối xứng Cách giải: Số mặt phẳng đối xứng tứ diện theo hình vẽ bên Cụ thể mặt phẳng đối xứng qua cạnh trung điểm cạnh đối cạnh Câu 11: Chọn C Cách giải: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung mặt Câu 12: Chọn C Phương pháp: Sử dụng định nghĩa khối đa diện Cách giải: Mỗi đỉnh khối đa diện đỉnh chung cạnh Câu 13: Chọn C Phương pháp: Khối đa diện xác định ký hiệu {p;q} đó: p = số cạnh mặt (hoặc số đỉnh mặt) q = số mặt qua đỉnh (hoặc số cạnh qua đỉnh) Cách giải: Khối bát diện khối có dạng Mỗi mặt có đỉnh nên p = 3; đỉnh có cạnh qua nên q = Vậy khối tám mặt thuộc loại {3;4} Câu 14: Chọn D Phương pháp: Quan sát hình vẽ đếm Cách giải: Hình đa diện có mặt Câu 15: Chọn D Phương pháp: Lăng trụ tam giác lăng trụ đứng có đáy tam giác Cách giải: Lăng trụ tam giác có mặt phẳng đối xứng Câu 16: Chọn A Phương pháp: Lấy tứ diện làm đại diện để xét Cách giải: Dễ thấy số cạnh hình đa diện luôn lớn Câu 17: Chọn B Phương pháp: Sử dụng lý thuyết khối đa diện (chỉ xét khối đa diện lồi) Cách giải: Có tất khối đa diện lồi đều: tứ diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt Câu 18: Chọn D Phương pháp: Dựa lý thuyết khối đa diện Cách giải: Khối bát diện có tất 12 cạnh (chú ý: coi bát diện gộp hai khối chóp tứ giác có chung đáy) Câu 19: Chọn A Phương pháp: 10 = 3 Vậy thể tích cần tính VS ABCD = d ( S ; AC ) S ABCD = Câu 15 Chọn A Phương pháp: + Xác định thiết diện hình hộp cắt với ( AEF ) + Tính thể tích H' so với thể tích hình hộp, đưa tốn tính thể tích khối chóp cộng trừ thể tích Cách giải: Mặt phẳng ( AEF ) chứa EF / / BD ⊂ ( ABCD ) ⇒ Giao tuyến ( AEF ) ( ABCD ) đường thẳng qua A song song với EF Trong ( ABCD ) qua A kẻ HI//BD ( H ∈ BC , I ∈ CD ) Trong ( BCC ′B′ ) gọi L = EH ∩ BB′, ( CDD′C ′ ) gọi M = FI ∩ D′D , ( AEF ) ≡ ( ALEFM ) ( AEF ) ∩ ( BCC ′B′ ) = HE ⇒ HE , FI , CC ′ đồng quy N Ta có: ( AEF ) ∩ ( CDD′C ′ ) = FI ( BCC ′B′ ) ∩ ( CDD′C ′ ) = CC ′ Ta có: VH ′ = VN CIH − VN EFC′ − VL ABH − VM ADI Ta dễ chứng minh B, D trung điểm CH, CI ⇒ BD = 1 HI ⇒ EF = BD = HI 2 ⇒ ∆C ′EF : ∆CIH theo tỉ số đồng dạng k = SC′EF ⇒ = SCIH 16 NC ′ EC ′ d ( N ′, ( C ′FE ) ) 1 1 = = ⇒ = ⇒ VN FC ′E = VN CIH = VN CIH NC HC 16 64 d ( N , ( CIH ) ) 1 VLABH = VM ADI = VN CIH = VN CIH ⇒ VH ′ = VN CIH −VN FC ′E − VL ABH − VM ADI = 47 VN CIH 64 CC ′ S ABCD VABCD A′B′C ′D′ d ( C ′; ( ABCD ) ) S ABCD CC ′ S ABCD = , = ⇒ = =3 = = Ta có: NC S VS CIH NC SCIH CIH d ( N ; ( CIH ) ) SCIH 47 47 25 ⇒ VS CIH = VABCD A′B′C ′D′ ⇒ VH ′ = VN CIH = VABCD A′B′C ′D′ ⇒ VH = VABCD A′B′C ′D′ 64 72 72 235 ⇒ VH 25 = VH ′ 47 Câu 16 Chọn B Phương pháp: Xác định thể tích khối chóp thơng qua phương pháp dựng hình với yếu tố đặc biệt, đưa biểu thức chứa hai biến ,xy đánh giá thông qua bất đẳng thức, khảo sát hàm số để tìm GTLN thể tích Cách giải: Gọi I, H trung điểm SA, BC BI ⊥ SA ⇒ SA ⊥ ( BIC ) ,VS IBC = VA.IBC Ta có: CI ⊥ SA BI = SB − SI = − x2 − x2 − x2 − y − x2 y , IH = IB − BH = = − = 4 2 Diện tích tam giác IBC S IBC = IH BC = y − x2 − y x y xy ⇒ VS IBC = VA.IBC = − x2 − y2 = − x2 − y 24 Khi thể tích khối chóp S.ABCD VS ABC = 2VS IBC = Ta có: xy ≤ xy − x2 − y2 12 x2 + y x2 + y ⇒V ≤ − x2 − y 2 24 Đặt t = − x − y ∈ ( 0; 2, ) V ≤ f ( t ) = Vậy giá trị lớn VS ABC Vmax = t ( − t2 ) 24 ≤ 16 (khảo sát hàm số) 27 Câu 17 Chọn C 236 Phương pháp: Xác định khoảng cách, biện luận góc vị trí điểm để tìm GTLN thể tích Cách giải: SA = a, SB = 2a Xét khối chóp tam giác S.ABC có h khoảng cách từ C đến ( SAB ) SC = 3a, ASB = α Khi đó, thể tích khối chóp S.ABC V = d ( C ; ( SAB ) ) S SAB (1) Diện tích tam giác SAB S SAB = SA.SB.sin ·ASB = a sin α (2) sin α ≤ 1 ⇒ V ≤ 3a.a = a Từ (1)(2) ⇒ V = h.a sin α mà 3 h ≤ SC = 3a Câu 18 Chọn B Phương pháp: Tính thể tích VS ABC = SA.S ABC theo cos α Cách giải: BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ ( SAM ) Gọi M trung điểm BC ta có: BC ⊥ SA 237 Trong ( SAM ) kẻ AH ⊥ SM ⇒ AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH = ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC ⇒ ( ( SBC ) ; ( ABC ) ) = ( AM ; SM ) = SMA = α Ta có: AM ⊥ BC SM ⊥ BC ⇒ AM = AH 1 = ⇒ BC = AM = ⇒ S ABC = AM BC = = sin α sin α sin α 2 sin α sin α sin α Trong tam giác vng SAM có SM = ⇒ SA = SM − AM = AM = cos α sin α cos α − cos α = = 2 sin α cos α sin α cos α cos α 1 9 ⇒ VS ABC = SA.S ABC = = 3 cos α sin α ( − cos α ) cos α Đặt t = cos α ( < t < 1) ⇒ f ( t ) = − t t ( ) 3 243 27 243 f ÷= ; f ÷÷ = ; f ⇒ f ( t ) = f ÷÷ ÷÷ = 18 2; f ÷ = x∈( 0;1) 3 10 Câu 19 Chọn C Phương pháp: Xác định thể tích khối chóp cách xác định chiều cao, với hình chiếu đỉnh tâm đường trịn nội tiếp ngoại tiếp tam giác đáy Cách giải: Ba mặt bên ( SAB ) , ( SAD ) , ( SBD ) tạo với đáy góc 450 ⇒ Chân đường cao trùng tâm đường tròn nội tiếp ∆ABD chân đường cao trùng với đường tròn tâm bàng tiếp ∆ ABD 238 Xét trường hợp ta nhận thấy thể tích khối chóp lớn ⇒ Vmax chân đường cao trùng tâm bàng tiếp ∆ABD ⇒ H ≡ C Ta có: DAB = 600 ⇒ ∆ABD tam giác cạnh Ta có: 2 a ⇒ S ABCD = 2S ABD = a = a ( ( SBD ) , ( ABCD ) ) = ( SO; OC ) = SOC = 45 ⇒ SC = OC = ⇒ ∆SOC vuông cân C a a2 a a3 ⇒ Vmax = = 2 Câu 20 Chọn B Phương pháp: Dựng hình, xác định bán kính mặt cầu để suy chiều cao khối chóp Cách giải: Do mặt cầu tâm O tiếp xúc với ,, SA SB SC điểm A1 , B1 , C1 ⇒ SA1 = SB1 = SC1 ( 1) Mặt khác: OA1 = OB1 = OC1 ( ) Từ (1) (2) ⇒ SO ⊥ ( A1 B1C1D1 ) Gọi C’ điểm đối xứng C qua S Ta có tam giác SAB, SAC’, SBC’ cân S ⇒ A1B1 / / AB, A1C1 / / AC ′, B1C1 / / BC ′ ⇒ ( A1 B1C1 ) / / ( ABC ′ ) SH / / BC ′ ⇒ SH / / ( ABC ′ ) Vậy SO ⊥ SH ⇒ SH = d ( O; ( ABC ) ) = R = Vậy V = 3 Câu 21 Chọn A Phương pháp: - Xác định góc mặt phẳng mặt phẳng 239 - Lập tỉ lệ thể tích thơng qua tỉ lệ diện tích đáy tỉ lệ chiều cao Cách giải: Xét hình nón (H) thỏa mãn yêu cầu đề bài, có thiết diện qua trục tam giác SAB Ta có: SAB cân S tam giác vuông cân ⇒ ∆ SAB vuông cân đỉnh S Gọi O trung điểm AB ⇒ SO = OA = OB = SA = = ( cm ) 2 Thể tích hình nón (H): V = SO.π OA2 = 3π 32 = 9π Gọi (P) mặt phẳng qua đỉnh tạo với đáy góc 600 , thiết diện (P) với mặt đáy tam giác cân SMN Gọi I trung điểm MN (hiển nhiên I không trùng O), suy IO ⊥ MN Mà SO ⊥ MN (vì SO ⊥ đáy) ⇒ MN ⊥ ( SIO ) ⇒ Tam giác SIO vuông O ⇒ IO = ( ( P ) , ( ABI ) ) = OIS = 60 SO SO = = = ( cm ) tan SIO tan 60 S h V0 S S = = ⇒ V0 = V Gọi V0 thể tích phần nhỏ Ta có V S S S h *Tính diện tích đáy phần tích nhỏ hơn: 240 Diện tích hình trịn S = π.OA2 = π.32 = 9π S0 = S1 = ∫ − x dx Đặt x = 3sin t ⇒ dx = 3cos tdt Đổi cận: x = → t = arcsin ⇒ S0 = ∫ − x dx = = 18 π ∫ arcsin π ,x = 3→ t = π ∫ arcsin − 9sin t 3cos t.dt = 18 π ∫ arcsin cos t.dt π + cos t 9π 2 dt = 9t + sin 2t ÷ = − arcsin − sin arcsin ÷ 2 3 arcsin 9π − 9arcsin − sin 2arcsin ÷ S 3 ⇒ 0= S 9π 9π − arcsin − sin arcsin ÷ S 3 ⇒ V0 = V = 9π ≈ 4,36 ( cm3 ) S 9π = Câu 22 Chọn C Phương pháp: Chia thành khối đa diện nhỏ để tính thể tích Cách giải: 241 Đặt V = VABC A′B′C ′ Ta có: VABCMNP = VP ABNM + VP ABC ′ , mặt khác: 1 V VP ABC = d ( P; ( ABC ) ) S ABC = d ( C ; ( ABC ) ) S ABC = 6 S ABNM S ABB′A′ A′A + BB′ AM + BN 1 = = = ⇒ VP ABNM = VC ABB′A′ A′A + BB′ A′A + BB′ 2 2 Mà VC ABB′A′ = V ⇒ VP ABNM = V = Khi VABCMNP = Vậy V V V V + = V1 V V = : =1 V2 2 Câu 23 Chọn A Phương pháp: Xác định thiết diện, sử dụng công thức tỉ số thể tích Cách giải: 242 Trong (ABD) kéo dài EM cắt AB G, cắt AD I Trong (ABC) kéo dài GN cắt AC H Khi thiết diện khối tứ diện cắt mặt phẳng (EMN) tam giác GHI (GHI) chia khối tứ diện thành hai phần A.GHI GHI.BCD Gọi P, Q trung điểm BD BC Kéo dài GH cắt BC F Áp dụng định lí Menelaus: Trong tam giác APD có MA EP ID ID ID AI = ⇔ =1 ⇔ = ⇒ = MP ED IA IA IA AD Trong tam giác ABD có: GA EB ID GA GA AG =1 ⇔ = ⇔ = ⇒ = GB ED IA GB GB AB Trong tam giác ABQ có: GA FB NQ FB FB BQ BC =1⇔ =1⇔ = ⇒ = ⇒ = GB FQ NA FQ 2 FQ BF BF ⇒ C trung điểm BF ⇒ CD//EF ( GHI ) ∩ ( BCD ) = EF AH AI = = ( GHI ) ∩ ( ACD ) = HI ⇒ EF / / HI / / CD ⇒ AC AD BCD ∩ ACD = CD ) ( ) ( Vậy VA.GHI AG AH AI 3 27 = = = VA.BCD AB AC AD 4 80 Thể tích tứ diện cạnh a: VA BCD = a 12 9a ⇒ VA.GHI = 12 320 Câu 24 Chọn C Phương pháp: +) Sử dụng phương pháp đổi đỉnh Chóp S.ABC có đỉnh B đáy SAC +) Chứng minh tam giác SAC vuông S 243 +) Xác định góc SC (ABC) +) Sử dụng cơng thức tính thể tích V = Bh Cách giải: Có AB = BC = a ⇒ ∆ ABC cân B Gọi H trung điểm AC Ta có: BH ⊥ AC ( ABC ) ⊥ ( SAC ) ( ABC ) ∩ ( SAC ) = AC ⇒ BH ⊥ ( SAC ) ⇒ BH ⊥ SA ( 1) ( ABC ) ⊃ BH ⊥ AC Gọi K trung điểm SC, tam giác SAB ⇒ BK ⊥ SA ( ) Từ (1), (2) ⇒ SA ⊥ ( BHK ) ⇒ SA ⊥ HK Lại có HK đường trung bình tam giác SAC ⇒ HK / / SC ⇒ SA ⊥ SC ⇒ ∆SAC vuông S ( ) Trong (SAC) kẻ SI ⊥ AC , tương tự SI ⊥ ( ABC ) ⇒ SC ; ( ABC ) = ( SC ; IC ) = SCI = 60 Xét tam giác vng SAC có SC = AC.cot 60 = a ⇒ S SAC = a ⇒ AC = a + 3a = 2a 1 a2 = SA.SC = a 3.a = 2 H trung điểm AC ⇒ AH = Vậy VS ABC = AC = a ⇒ BH = BA2 − AH = 3a − a = a 2 1 a2 a2 BH S SAC = a = 3 Câu 25 Chọn A Câu 26 Chọn B 244 Phương pháp: Dựa vào cơng thức tính nhanh tỉ số thể tích khối lăng trụ với đáy tứ giác sau: Cho hình lăng trụ ABCD A′B′C ′D′ với M ∈ AA′, N ∈ BB′, P ∈CC ′, Q ∈ DD′ ⇒ VABCD.MNPQ AM CN BP DQ AM CN BP DQ = + + + = + ÷= ÷ AA′ CC ′ BB′ DD′ VABCD A′B′C ′D′ AA′ CC ′ BB′ DD′ Cách giải: Áp dụng cơng thức tính nhanh: VAMNPBCD BM DP = + = ⇒ AMNPBCD = 3a ÷ VABCD A′B′C′D′ BB′ DD′ Câu 27 Chọn B Phương pháp: Dựng hình, xác định chiều cao khối chóp, đưa thể tích hàm ẩn khảo sát hàm số tìm max Cách giải: Hình vẽ tham khảo Gọi I tâm hình thoi ABCD, H hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) Ta có SA = SB = SC nên hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC hay H ∈ BI Có SI = SA2 − IA2 = a − IA2 ; IB = AB − IA2 = a − IA2 ⇒ SI = IB Khi tam giác SBD vuông S Hoặc ∆ ABC = ∆ ASC = ∆ ADC ( c − c − c ) ⇒ IB = IS = ID ⇒ Tam giác SBD vng S Giả sử SD = x Ta có SB.SD = SH SD ⇔ a.x = SH SD ⇔ SH = a.x BD a.x 1 AC.BD = ax AC BD Ta có: VS ABCD = SH AC.BD = Lại có: BD = SB + SD = a + x ⇒ IB = a + x2 a + x 3a − x ⇒ IA2 = a − = 4 3a − x ⇒ AC = IA = = 3a − x 245 a x + 3a − x a ⇒ VS ABCD = ax 3a − x ≤ = 6 Vậy thể tích lớn khối chóp SABCD a3 Câu 28 Chọn B Phương pháp: Gọi thể tích tứ diện ABCD V, tính thể tích phần theo V dựa vào tỉ số đường cao, tỉ số diện tích đáy tương ứng Cách giải: Gọi E giao điểm NP BD, F giao điểm ME AD Khi đó, thiết diện (MNP) tứ diện ABCD tứ giác MNPF Áp dụng định lí Menelaus ∆BCD ta có NB PC EB EB EB = ⇔ 2.2 =1 ⇒ = ⇒ BE = BD NC PD ED ED ED Áp dụng định lí Menelaus ∆ ABD ta có: ⇒ MA EB FD FD FD =1 ⇔ = ⇒ = MB ED FA FA AD S BNE NB BE VM BNE MB S BNE = = = ⇒ = = ⇒ VM BNE = VABCD S BCD CB BD 3 VABCD AB S BCD S PDE PD DE 1 VF PDE FD S PDE 1 = = = ⇒ = = ⇒ VF PDE = VABCD S BCD CD BD 3 VABCD AD S BCD 45 45 ⇒ VMNPFBD = VM BNE − VF PDE = ⇒ V2 = 19 VABCD = V1 45 26 V 19 VABCD ⇒ = 45 V2 26 Câu 29 Chọn D Cách giải: 246 Vì mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) , ( SCA ) tạo với đáy góc 600 hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABC) nằm bên tam giác ABC nên ta có hình chiếu S xuống mặt phẳng (ABC) tâm đường tròn nội tiếp I tam giác ABC 5+6+7 =9 Gọi p nửa chu vi tam giác ABC p = Ta có: S ABC = ( − ) ( − ) ( − ) = 6 r = S 6 = = p Chiều cao hình chóp h = r tan 60 = 2 Kí hiệu BC = a, AC = b, AB = c Ta có: BE phân giác góc B nên Khi S AEF AE AF AB AC = = S ABC AC AB AB + BC AC + BC Tương tự: SCED CA CB S BC BA = , BFD = S ABC CA + CB CB + AB S ABC BC + CA BA + CA Do S DEF = S ABC − = AE BA FA CA DB AB = Tương tự: = , = CE BC FB CB DC AC ab bc ac − − ( a + c) ( b + c) ( b + a) ( c + a) ( a + b) ( c + b) ÷÷ 2abc 210 S ABC = 143 ( a + b) ( b + c) ( c + a ) 210 280 ⇒ VS DE F = 2 = cm3 ) ≈ 3, ( cm3 ) ( 143 143 Câu 30 Chọn C Cách giải: 247 Khối chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a ⇒ Khối chóp S.ABC có: SA = SB = SC = BA = BC = a tích thể tích khối chóp S.ABCD Như vậy, để thể tích khối chóp S.ABCD lớn thể tích khối chóp S.ABC lớn SD thay đổi a Gọi H trung điểm SB ∆SAB, ∆SBC tam giác cạnh a ⇒ AH = CH = 1 AH ⊥ SB, CH ⊥ SB ⇒ SB ⊥ ( AHC ) ⇒ VS ABC = SB.S AHC = a.S AHC 3 Mặt khác: S AHC 1 a 3 = AH C sin SHC = ÷ sin AHC 2 ÷ ⇒ V S ABC lớn ⇔ AHC = 900 ⇔ AH ⊥ HC ⇒ ∆AHC vuông cân H a AH a a ⇒ HO = = = = 2 2 OH đương trung bình ∆SBD ⇒ SD = 2.OH = a a = 2 Vậy, để thể tích khối chóp S.ABCD lớn độ dài cạnh SD là: a 248 249 ... – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 2+3: THÔNG HIỂU + VẬN DỤNG 17 CHUN ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 1: Hình hộp đứng đáy hình thoi có mặt phẳng đối xứng? A B C D Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình. .. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG – ĐỀ SỐ CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 25 Câu Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh a Hình chi? ??u vng góc điểm A' lên... 34: Hình bát diện có cạnh? A 10 B C D 12 Câu 35: Hình khơng phải hình đa diện? A Hình B Hình C Hình D Hình Câu 36: Hình đa diện khơng có tâm đối xứng? A Hình lăng trụ tứ giác B Hình bát diện C Hình