Chuyên đề hình học góc trong không gian có lời giải chi tiết

Chuyên đề về góc trong không gian chương trình toán họcTHPT từ cơ bản đến nâng cao lớp 12, được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng câu, từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, ôn luyện cho học sinh, học sinh tham khảo tài liệu này rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về góc trong không gian lớp 11, 12 và để ôn thi TN THPQG và ôn thi đại học.

HHKG - GĨC TRONG KHƠNG GIAN Chun đề TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI Dạng Góc đường thẳng với đường thẳng Để tính góc hai đường thẳng d1 , d khơng gian ta thực theo hai cách Cách Tìm góc hai đường thẳng d1 , d cách chọn điểm O thích hợp ( O thường nằm hai đường thẳng) ' ' d ,d Từ O dựng đường thẳng song song ( tròng O nằm hai đường d ', d ' thẳng) với d1 d Góc hai đường thẳng góc hai đường thẳng d1 , d Lưu ý 1: Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác cos A  b2  c  a 2bc ur uu r u1 , u2 hai đường thẳng d1 , d ur uu r u1.u2 cos  d1 , d   ur uu r u1 u2 d , d Khi góc hai đường thẳng xác định uruu r ur uu r r r r uu ,u ,u Lưu ý 2: Để tính 2 ta chọn ba vec tơ a, b, c khơng đồng phẳng mà tính độ dài góc ur uu r r r r u1 , u2 a chúng,sau biểu thị vec tơ qua vec tơ , b, c thực tính tốn Cách Tìm hai vec tơ phương Câu (Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA  OB  OC Gọi M trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên dưới) Góc hai đường thẳng OM AB A 45 Chọn D B 90 C 30 Lời giải 0 D 60 Đặt OA  a suy OB  OC  a AB  BC  AC  a MN  Gọi N trung điểm AC ta có MN / / AB � � OM , AB   � OM , MN   Suy góc Xét OMN Trong tam giác OMN có ON  OM  MN  a 2 a 2 nên OMN tam giác � OM , AB   � OM , MN   600 � Suy OMN  60 Vậy Câu (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ ABCD diện với �  DAB �  600 , CD  AD AD, CAB Gọi  góc hai đường thẳng AB CD Chọn khẳng định góc  AC  A cos   B 30 C 60 Lời giải D cos   Chọn D Ta có uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuuruuur AB CD  AB AD  AC  AB AD  AB AC  AB AD cos 600  AB AC.cos 600   1  AB AD cos 600  AB AD.cos 600  AB AD uuu r uuur uuu r uuur AB.CD 1 cos AB, CD   � cos  AB.CD 4   Câu B C D , biết đáy (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A���� ABCD hình vng Tính góc A� C BD A 90� B 30� C 60� Lời giải D 45� Vì ABCD hình vng nên BD  AC AA�   ABCD  � BD  AA� Mặt khác �BD  AC � BD   AA� C  � BD  A� C � Ta có �BD  AA ' C BD 90� Do góc A� Câu (Chuyên KHTN 2019) Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a Gọi M , N trung điểm AD BC Biết MN  a , góc hai đường thẳng AB CD 0 0 A 45 B 90 C 60 D 30 Lời giải Gọi P trung điểm AC , ta có PM //CD PN //AB , suy � , PN AB, CD    PM �  Dễ thấy PM  PN  a PM  PN  MN a  a  3a � cos MPN    PM PN 2.a.a Xét PMN ta có   �  1200 � � � MPN AB, CD  1800  1200  600 Câu B C D ; gọi M (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Cho hình lập phương ABCD A���� C Góc hai đường thẳng AM BC �bằng trung điểm B�� A 45� B 90� C 30� Lời giải D 60� Giả sử cạnh hình lập phương a  AM , BC �    AM , MN  Gọi N trung điểm đoạn thẳng BB� Khi đó, MN //BC �nên  B  B� M2 B M vuông B�ta có: A� M  A�� Xét tam giác A��  a2  a2 a  5a 3a  a    A� M2 M vng A�ta có: AM  AA� Xét tam giác AA� Có AN  A� M a BC � a MN   ; 2 Trong tam giác AMN ta có: 9a 2a 5a   4  2 6a MA  MN  AN 3a a    6a 2 cos � AMN 2.MA.MN 2 � Suy AMN  45� Vậy Câu  AM , BC �    AM , MN   � AMN  45� (Chun Hạ Long - 2018) Cho hình chóp S ABC có độ dài SA  SB  SC  AB  AC  a BC  a Góc hai đường thẳng AB SC là? A 45� B 90� C 60� D 30� Lời giải cạnh Ta có BC  a nên tam giác ABC vng A Vì SA  SB  SC  a nên hình chiếu vng  ABC  trùng với tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC góc S lên Tam giác ABC vuông A nên I trung điểm BC uuu r uuu r AB.SC uuu r uuu r cos  AB, SC   cos AB, SC  AB.SC Ta có r uuur uuu r uur uur uuu a2 uuu r uuu r AB SI  IC uuu r uu r   BA.BC   BA.BC.cos 45�  AB.SC   AB.SI 2 a cos  AB, SC   a  � � AB, SC   60� uuu r uuu r AB SC uuu r uuu r cos  AB, SC   cos AB, SC  AB.SC Cách 2:       uur uur uuu r a2 uuu r uuu r  SB  SA SC uur uuu r uur uuu r   SB.SC  SA.SC  SB.SC.cos 90� SA.SC.cos 60� Ta có AB.SC   a 2 cos  AB, SC    a Khi Câu  2a B C có AB  a AA� (Chuyên Đh Vinh 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A��� Góc hai đường thẳng AB�và BC � A 60� B 45� C 90� Lời giải D 30� Ta có uuur uuuu r uuu r uuur uuur uuuu r uu r uuur uuu r uuuu r uuur uuur uuur uuuu r AB� BC �  AB  BB� BC  CC � u AB.BC  AB.CC �  BB� BC  BB� CC �    a2 3a uuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuur uuur uuuu r      2a   AB.BC  AB.CC �  BB� BC  BB� CC � 2 uuur uuuu r 3a uuur uuuu r AB� BC � cos AB� , BC � uuur uuuu r �, BC �   60� AB� BC � a 3.a  �  AB� Suy  Câu  � (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC  AC  AB  a , ABC  45� Tính góc hai đường thẳng AB DC A 60� B 120� C 90� D 30� Lời giải ABC Ta có tam giác vuông cân A , tam giác BDC vuông cân D uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB.CD  DB  DA CD  DB.CD  DA.CD Ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur  DB CD cos DB, CD  DA CD cos DA, CD   a 2 uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur AB.CD AB.CD  AB CD cos AB.CD � cos AB , CD  uuur uuur   AB CD Mặt khác ta lại có uuu r uuur � AB, DC  120��  AB, CD   60�         Câu     B C D Gọi M , N lần (Chun Trần Phú - Hải Phịng - 2018) Cho hình lập phương ABCD A���� Cosin góc hợp MN AC ' lượt trung điểm AD , BB� A B C Lời giải D B C D cạnh a * Xét hình lập phương ABCD A���� r uuu r r uuur r uuur r r r rr rr rr a  AB, b  AD, c  AA� � a  b  c  a, a.b  b.c  a.c  * Đặt * Ta có: uuuu r uuur uuuu r uuu r uuur uuuu r r 1r 1r uuuu r 1 a MN  AN  AM  AB  BN  AM  a  b  c � MN  a  a  a  2 4 uuuu r uuu r uuur uuur r r r uuuu r AC �  AB  AD  AA�  a  b  c � AC � a  a  a  a uuuu r uuuu r 1 AC � MN  a  a  a  a 2 uuuu r uuuu r MN AC � uuuu r uuuu r cos  MN ; AC �   cos MN ; AC � uuuur uuuur  MN AC �  Câu 10  (Cụm Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  2a , BC  a Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm cạnh AB , góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 60 Tính cosin góc hai đường thẳng SB AC A B 35 C Lời giải D �  600  SC ,  ABCD     SC , CH   SCH cos  SB, AC   uur uuur SB AC SB AC uur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur SB AC  SH  HB AB  BC  u SH AB  SH BC  HB AB  HB.BC uuur uuu r uuur uuur  AB  2a  HB AB  HB.BC � a AC  a , CH  a  a  a , SH  CH tan SCH      2 SB  SH  HB  a  a  a uur uuur 2 SB AC  2a  cos  SB, AC   35 SB AC a 7.a Câu 11 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M , N trung điểm AE BC Góc hai đường thẳng MN BD A 90� B 60� C 45� Lời giải D 75� Gọi I trung điểm SA IMNC hình bình hành nên MN // IC BD   SAC  � BD  IC Ta có mà MN // IC � BD  MN nên góc hai đường thẳng MN BD 90� uuur uuuu r Cách khác: dùng hệ trục tọa độ lớp 12, tính tích vơ hướng BD.MN  Câu 12 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi M , N trung điểm AD SD Số đo góc hai đường thẳng MN SC A 45� B 60� C 30� Lời giải D 90� Gọi P trung điểm CD �  MN , SC    MN , NP  Ta có: NP // SC Xét tam giác MNP ta có: MN  a a a NP  MP  2, 2, a2 a2 a2 � MN  NP    4  MP � MNP vuông N 2 �  90��  MN , SC    MN , NP   90� � MNP Câu 13 B C có đáy ABC tam giác vuông A , (Sở Quảng Nam - 2018) Cho hình lăng trụ ABC A��� AB  a , AC  a Hình chiếu vng góc A�lên mặt phẳng  ABC  trung điểm H H  a Gọi  góc hai đường thẳng A� BC , A� C Tính cos  B B� A cos   B cos   cos   C Lời giải D cos   uuur uuur uuuur B Gọi E trung điểm AC ; D K điểm thỏa BD  HK  A�� �� B� K   ABC  B, B � C    B� D, B� C   DB D / / A� B �  A� C Ta có B� Ta tính BC  2a � BH  a ; B� D  A� B  a 3  a  2a CD  AC  AD  3a  4a  a ; 3a 9a   a 4 CK  CE  EK  B� C  B� K  CK  3a  3a  a 2 B� D  B� C  CD  4a  6a  7a  � � cos CB D  2.2a.a 2.B� D.B� C Câu 14 (Sở Yên Bái - 2018) Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Tính giá trị cos  AB, DM  A C B D Lời giải Giả sử cạnh tứ diện a Gọi N trung điểm AC �, DM = MN �, DM AB Khi đó: ( ) ( ) a a MN = , DM = DN = 2 Ta có: a2 2 � D = MN + M D - ND = cosNM = 2.MN MD a a 2 Vậy Câu 15 cos( AB, DM ) = B C có đáy ABC tam giác cạnh a , tam (Sở Nam Định - 2018) Cho hình lăng trụ ABC A��� BC nằm mặt phẳng vng góc với giác A� cosin góc  hai đường thẳng AA�và BM A cos  22 11 B cos  33 11  ABC  cos  C Lời giải M trung điểm cạnh CC � Tính 11 11 D cos  22 11 � a a� N� 0;  ; � � 2� M  0; 0; a  � � Gọi  góc mặt phẳng  AMN  mặt phẳng  ABC  , � � uuuur uuur  � ; 1 ; � r � � �  AMN  có vtpt n  �AM , AN � � �2 4 � r uuuur n.HM  cos   r uuuur  0;0;1  ABC n HM   có vtpt HM   , từ 1.1 Câu 14 (Chun Đh Vinh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tang góc tạo hai mặt phẳng A  AMC   SBC  B C Lời giải D A  0; 0;0  B  0;1;0  D  1; 0;0  S  0;0;  Chọn hệ trục tọa độ chuẩn hóa cho a  cho , , , �1 � � M � ; 0;1� �2 �, C  1;1;  Ta có M trung điểm SD uuuur �1 uuuu r uuur � � � � �1;1; � r AM  � ;0;1� uuur AM , AC � �� ��  AMC  có vtpt n   2; 2;1 �2 �, AC   1;1;0  , � uur uuu r uur uuu r r � �  0; 2;1 �  SBC  SB , SC SB   0;1; 2  SC   1;1; 2  � k   0; 2;1 � , , có vtpt r r n.k cos   r r  AMC SBC n.n     Gọi  góc hai mặt phẳng tan   1  cos  Do tan   nên Câu 15 (Sở Thanh Hóa 2018) Cho tứ diện ABCD có AC  AD  BC  BD  a , CD  x ,  ACD    BCD  Tìm giá trị x để  ABC    ABD  ? A x  a B x a 2 C x  a Lời giải : D x a 3 �AE  CD �� �BE  CD (Tính chất tứ diện đều) Gọi E ; F trung điểm CD AB � � BCD  � ACD   CD �  BCD  ,  ACD   BEA  90�  Đồng thời CF  AB � � � � � AB   CFD  �  ABC  ,  ABD   CF , FD DF  AB � Ta có �, FD  90� CFD � CF ABC    ABD   � trung tuyến FE tam giác CFD Vậy để         � FE  CD nửa cạnh huyền Ta có EAB vng cân E Vậy Câu 16 x � EF  AE  AC  CE a2  x2  2 a2  x2 a2  x2 a2 2 �x  �x  � xa (Chuyên Vinh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi G 59 trọng tâm tam giác SAB M , N trung điểm SC , SD (tham khảo hình vẽ bên) Tính cơsin góc hai mặt phẳng 39 A 39  GMN  B  ABCD  39 C 13 13 D 13 Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi � � �a � �a � �a � � a � S� 0;0; � � � A � ;0;0 � B � ;0;0 �C � ; a;0 � D � ; a;0 � � �; �2 �; �2 �; �2 �; �2 � � a � �a a a � � a a a � G� 0; 0; �M� � �4 ; ; � � N� � ; ; � � � � � � � � suy ; ; � r ABCD  k   0;0;1   GMN  có vectơ pháp Ta có mặt phẳng có vectơ pháp tuyến , mặt phẳng r uuur � a a � r uuuu � 0;  n� GM � ; GN � � � 24 ; � � � � tuyến  GMN   ABCD  , ta có Gọi  góc hai mặt phẳng rr n.k  cos  r r 39 39  n.k 13 24 Câu 17 B C D có cạnh a Số đo (Chuyên Thái Bình 2018) Cho hình lập phương ABCD A���� C C  BA�  DA� góc : A 90� B 60� C 30� D 45� Lời giải C  � DA� C   A� C  BA� Ta có: � � � BI  A C  BA C   DA C nên DI  A� C Kẻ Do �, DI � BA� C  ,  DA� C  � BI � � � Do đó:    a Tam giác BID có BD  a , BI  DI 2 �, DI  BI  DI  BD   �, DI  120� cos BI � BI 2.BI DI     � BA� C  ,  DA� C  � 60� � � � Vậy Câu 18 (Chuyên Trần Phú - Hải Phịng - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , AB  AD  2a , CD  a Gọi I trung điểm cạnh AD, biết hai mặt phẳng  SBI  ,  SCI  15a Tính góc vng góc với đáy thể tích khối chóp S ABCD hai mặt phẳng A 30�  SBC  ,  ABCD  B 36� C 45� Lời giải D 60� 61 Diện tích hình thang S ABCD  SI  Độ dài đường cao 1 AD  AB  CD   2a.3a  3a , CB  AC  a 2 3VS ABCD  S ABCD 3 15a 3 15a  3a � BC   SIH  � BC  SH Vẽ IH  CB H �, SH  SHI � SBC  ,  ABCD   IH � Ta có    S ICB  S ABCD  S IDC  S AIB  3a   a2 3a 3a  a2  � IH  2 � IH CB  3a 3a 15   3a �  SI tan SHI �  60� � SHI IH Câu 19 B C có AA�  AB  AC  (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� �  1200 I  ABC   AB� BAC Gọi I trung điểm cạnh CC � Cơsin góc hai mặt phẳng A 370 20 Chọn D 70 B 10 30 C 20 Lời giải 30 D 10 I  ABC   AB� Gọi  góc hai mặt phẳng AB�  , AI  BC  AB  AC  AB AC.cos A  � BC  B�� C  B� I  B�� C  C� I2  13 2 I � AB � I vuông điểm A Vì AB� AI  B� S ABC  10 AB AC sin A  S AB�I  AI AB�  I lên mặt phẳng  ABC  ABC Hình chiếu vng góc AB� Ta có Câu 20 S ABC  S AB�I cos  � cos   S ABC 30  S AB�I 10 (Sở Ninh Bình 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , độ dài cạnh AC  2a , tam giác SAB, SCB vuông A C Khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) a Giá trị cosin góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SCB ) 2 A B C Lời giải D Chọn C 63 + Gọi O, I trung điểm AC , SB có O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tam giác SAB, SCB vng A C nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC OI  ( ABC ) + Gọi D hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) ta có SD / / OI SD  2OI suy O 2a a 2 ABCD BD trung điểm Từ ta có hình vng cạnh SD  a + Gọi H , K hình chiếu D lên SC , SA ta có SD  ( ABCD ) � SD  BC đồng thời ABCD hình vng nên BC  DC từ hai ý ta có BC  ( SCD) � BC  DH , từ suy DH  ( SCB) Chứng minh tương tự ta có DK  ( SAB ) + Vì góc hai mặt phẳng ( SCB ) ( SAB) góc hai đường thẳng DK DH a DK  DH  + Xét tam giác vng SAD, SCD ta có hai đường cao HK SH SD 2a    � HK  3 , tam giác DHK có + Trong tam giác SAC ta có AC SC SC �  cos HDK Câu 21 DH  KD  KH 2  DH KD � (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh a, ABC  120 , SA vng góc với mặt phẳng A SA  a  ABCD  Biết góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  B SA  a C SA  a D SA  600 , a Lời giải Chọn A Gọi O giao điểm AC , BD Gọi H hình chiếu vng góc O SC Khi SC   HBD  SC  BD, SC  OH  SBC   SCD  góc hai đường thẳng HB, HD Vậy góc hai mặt phẳng Vì VSCD  SBC � HB  HD Đặt SA  x  x   cos 600  Ta có Ta có HB  HD  BD 2 HB.HD � HB  BD � � HB  HB  BD � � BD 2 HB  � � VCHO �CSA � OH CS  CO.SA  1 Trong tam giác ABC ta có AC  a 3, OB  a � BD  a HB  BD  a � OH  HB  OB  TH1 : nghiệm) a 2 Thay vào (1) ta có x  x  3a (vô BD a a  � OH  HB  OB  3 TH2 : a2 3a 2 a x  3a  x �x 4 Thay vào (1) ta có 12 HB   Câu 22  B C có đáy tam giác cân đỉnh A (Sở Bình Phước - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC A��� uuuu r uuuu r o �  a Gọi M điểm thỏa mãn 2CM  3CC � Biết BC  a ABC  30 , cạnh bên AA� Gọi M  góc tạo hai mặt phẳng  ABC   AB� , sin  có giá trị 66 A 22 B 481 22 C 22 D 418 22 Lời giải Chọn D Cách 1: Gọi O trung điểm BC BO  AB.cos30o � AB  BO a   a  AC o cos30 a AO  AB.sin30o  2 Ta có: Theo đề bài: uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuur uuuu r uuuur uuuu r a 2CM  3CC � � CM  CC � � CC �  C� M  CC � � C� M  CC � � C� M 2 2 65 M  ABC   AB� Gọi  góc hai mặt phẳng Theo cơng thức diện tích hình chiếu ta có: Ta có SABC SABC  S AB�C cos � cos  SABC SAB�C 1 a a2  AH BC  a   AB  BB�  a2  a2  a ; 2 ; AB�  �a � B� M  C� M  B�� C  � � a �2 �  2  a 13 �3a � a 13 AM  AC  CM  a  � �  ; �2 � a 13 a 13 a 2  AB�  B� M  AM 2  a  a 13 p  2 Khi M ta có: Áp dụng cơng thức Hê-rông vào AB� SAB�M  p  p  AB� M   p  AM     p  B� cos  S ABC SAB�C a 22 a2 3 19 418  24  � sin   cos 2   22 22 22 a 22 Vậy Cách 2: Gọi O trung điểm BC BO  AB.cos30o � AB  BO a   a  AC o cos30 a AO  AB.sin30o  2 Ta có: Theo đề bài: uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuur uuuu r uuuur uuuu r a 2CM  3CC � � CM  CC � � CC �  C� M  CC � � C� M  CC � � C� M 2 2 Coi a  � � � � � B� ;0;0 � C�  ;0;0 � A� 0; ;0 � � � � � � O  0;0;0  �, � � Gắn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với , � � , � , �3 � � 3� B� ;0;1  ;0; � � � �2 �M � � 2� � �, � �  ABC  � Oxy  : z  �  ABC  Khi có véc-tơ pháp tuyến r k   0;0;1 uuur � � uuuu r � 3� uuuuuur uuur uuuu r AB� � ;  ;1 AM � � �2 � � ;  ; � �� n AB�M  � � 1;5 3; � AB , AM   � �, � � � � Ta có: M  ABC   AB� Gọi  góc hai mặt phẳng r uuuuuur k n AB�M  3 19 418 cos  r uuuuuur   � sin   cos 2   22 22 22 k n AB�M  1.2 22 Vậy  Câu 23  (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA a SA   ABC  Góc mặt phẳng  SBC  mặt phẳng  ABC  vng góc với mặt phẳng A 45� B 90� C 30� D 60� Lời giải Chọn C Gọi I trung điểm BC Ta có AI  BC (tam giác ABC đều) (1) SA   ABC   Lại có SA  BC  BC   SAI  � BC  SI Suy (2) BC   SBC  � ABC  (3) Từ (1), (2) (3) suy �   SBC  ,  ABC     SI , AI   SIA a SA �  tan SIA   AI a 3 Xét tam giác SAI vng A ta có 67 � Suy SIA  30�  SBC  ,  ABC    30� Vậy  Câu 24 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A , AB  2a , SA vng góc với mặt đáy góc SB mặt đáy 60� Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  Giá trị cos 15 A B C D Lời giải Chọn C Gọi M trung điểm BC � AM  BC (1) BC  SA � BC  SM Có BC  AM (2) �   SBC  , ABC    SMA � Từ (1) (2) suy � Do SA   ABC  � SA  AB AB hình chiếu vng góc SB lên  ABC  � SBA  60� �  2a.tan60� 3a SAB có SA  AB.tan SBA 2 1 AM  BC  AB  AC   2a    2a   a ABC có 2  cos  SAM vng A có Câu 25 AM AM   SM SA  AM a  3a   a  2  (Chuyên KHTN - Hà Nội - Lần 3) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , cạnh bên SA  a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm SB  AMN   SBD  SD Tính sin  với  góc hợp A Lời giải Chọn B 2 B C D A �O, B  a;0;0  , D  0; a;0  , S  0;0; a  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn: (như minh họa hình a� �a � a a� M � ;0; � N � 0; ; � �và � 2 � �2 vẽ), suy uuuu r �a a � uuur � a a � AM  � ;0; � AN  � 0; ; � 2 2 � nên mặt phẳng � � � Ta có , ur uuuu r uuur � a a a � n1  � AM , AN � � � ;  ; � uur uuu r SB   a;0; a  , SD   0; a;  a  uu r uur uuu r �  a ; a ; a  n2  � SB , SD � � ur uu r n1.n2 cos   ur uu r  n1 n2 Khi Câu 26  AMN  có vectơ pháp tuyến � � � nên  mặt a4 a4 a4   4 a4  a4  a4  SBD  phẳng 4 a a a   16 16 16  có vectơ pháp � sin    cos   tuyến 2 (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có o � đáy ABC tam giác cân với AB  AC  a góc BAC  120 cạnh bên BB '  a Gọi I  ABC   AB ' I  trung điểm CC ' Tính cosin góc hai mặt phẳng A 10 30 B 10 30 C 30 Lời giải 10 D 30 Chọn B 69  Trong  BCB ' C ' , B ' I �BC   D  ABC  , dựng AH  AD H Trong Vì AD  CH nên AD  IH �  90�   AB ' I  ,  ABC     IH , CH   IHC Do đó: � � � �  ABC cân A , BAC  120�� ABC  ACB  30�� ACD  150�  Áp dụng định lý Cosin ABC : �  a  a  2.a a cos120o  3a BC  AB  AC  AB AC.cos BAC � BC  B ' C '  CD  a  Tương tự ACD : �  a  3a  a a 3.cos150 o  7a AD  AC  CD  AC CD cos ACD � AD  a �  CH AD S ACD  CA CD sin ACD 2  Ta có CA CD sin � ACD a a sin150o a 21 � CH    AD 14 a  ICH vuông C � cos IHC  � IH  IC  CH  a 3a a 70   28 14 CH 30  IH 10 cos   AB ' I  ,( ABC )    Vậy Cách 2: 30 10  Gọi O trung điểm BC Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có: OB = AB sin60�= a a OA = AB cos60�= ; � � � � � 1� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � B 0; ;0 C 0; ;0 I 0; ; B 0; ;1 � � � � � A� ;0 ;0 � � � � � � � � � � � � � � 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � �,  Giả sử a = suy � , , , � �3 � ur uuur uuur uu r uuuu r uur 3� � 3� � � � � � � � � � � n1 = � AB, AC � =� ;0 ; n = AB , AI = ; ; � � � � � � � � � � � � � 2� 4 2� � � � � � � � Ta có: ur uu r n1.n2 30 cosa = ur uu = r = 10 10 n1 n2 ABC ) AB � I) ( (  Gọi a góc Suy ra: Câu 27 B C D Cosin góc hai (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Cho hình lập phương ABCD A���� mặt phẳng A BC   A�  ABC �  B C Lời giải D Chọn D BC   A�  ABC �  Gọi  góc hai mặt phẳng C �AC � Gọi O  A� Gọi H hình chiếu A lên BO , AH  BO � CH  BO BC  � ABC � �  A�   BO � �AH  BO � � CH  BO �   A� BC  ;  ABC � AH , CH     � Ta có � BC có Xét tam giác vng A� BO  a A� C 2 71 Ta có S BCH  1 a2 S A�BC  a 2.a  2 a2 a a  CH BO  � CH   a 2 S BCH Mặt khác 2 �a � �a � � � � � a 2 2 3 AH  CH  AC � � � � cos � AHC   2 AH CH �a � � � �3 � Xét tam giác AHC có cos   cos � AHD     ... đáy Bước 2: từ hình chi? ??u vng góc đỉnh, dựng AH  d � Bước 3: góc cần tìm góc SHA Với S đỉnh, A hình chi? ??u vng góc đỉnh mặt đáy Ví dụ điển hình: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC).Hãy... Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Góc SC mặt phẳng (ABCD) A 45 B 60 C 30 D 90 Lời giải Chọn C � � Ta có SA... Tính góc SC  ABCD  B 60� C 75� SA  D 45� Lời giải Chọn A Ta có AC  a ABCD  ABCD  Vì AC hình chi? ??u SC lên  nên góc SC  góc SC AC a �   tan SCA �  300 Suy SCA a Xét SAC vuông A, ta có: