Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp chuyên đề về phép biến hình trong trong toán học từ cơ bản và nâng cao được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết, đồng thời có các bài tập tự luyện ở phía dưới có hướng dẫn giải và đáp án của các phần bài tập tự luyện. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức về môn toán học lớp 12 và để ôn thi THPQG.
Chương 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH A) TĨM TẮT KIẾN THỨC I) ĐỊNH NGHĨA: Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M’ mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng F M M ' M ' F M Ta thường kí hiệu phép biến hình F viết hay , điểm M’ gọi ảnh điểm M qua phép biến hình F Nếu H hình mặt phẳng ta kí hiệu H’ = F(H) tập điểm M ' F M , với điểm M thuộc H Khi ta nói F biến hình H thành hình H’, hay hình H’ ảnh hình H qua phép biến hình F Để chứng minh hình H’ ảnh hình H qua phép biến hình F ta chứng minh: Với điểm M tùy ý M �H � M ' F M �H’ Phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành gọi phép đồng II) PHÉP DỜI HÌNH 1) ĐỊNH NGHĨA: Phép dời hình phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điểm 2) CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm b) Biến đường thẳng thành đường thẳng c) Biến tia thành tia d) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho e) Biến tam giác thành tam giác tam giác cho f) Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính với đường trịn ban đầu g) Biến góc thành góc góc ban đầu B) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình sau đây: A) Phép biến hình F1 biến điểm M(x;y) thành điểm M’(y;-x) B) Phép biến hình F2 biến điểm M(x;y) thành điểm M’(2x;y) Trong phép biến hình trên, phép phép dời hình? BÀI 2: PHÉP TỊNH TIẾN A) TĨM TẮT KIẾN THỨC I) ĐỊNH NGHĨA u r uuuuur u r v MM ' v Trong mặt phẳng cho véctơ Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho ur gọi phép tịnh tiến theo vectơ v ur Tur Phép tịnh tiến theo vec tơ v thường kí hiệu v uuuuur u r M ' Tuvr M � MM ' v Như Nhận xét Phép tịnh tiến theo vec tơ – khơng phép đồng II) BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TỊNH TIẾN: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm ur M x;y , v a;b Gọi M ' x';y' Tuvr M � x' x a � y' y b Khi � III) TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TỊNH TIẾN Phép tịnh tiến 1) Bảo toàn khoảng cách hai điểm 2) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho 3) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho 4) Biến tam giác thành tam giác tam giác cho 5) Biến đường tròn thành đường trịn có bán kính B) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN DẠNG 1: Xác định ảnh hình qua phép tịnh tiến PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Dùng định nghĩa biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A) A Tvur (M ) B) M ur v (2,1) , đểm M( 3; 2) Tìm tọa độ điểm A cho: Tvur (A ) LỜI GIẢI �x 3 �x xM a A Tvur (M ) � � A � �A � A 5;3 �yA yM b �yA A) �x xA a �x M Tvur (A ) � � M � �A � A 1;1 yM yA b �yA � B) Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : 2x 3y 12 Tìm ảnh d qua phép tịnh tiến ur v 4; 3 LỜI GIẢI Cách 1: Gọi M x;y �d � 2x 3y 12 Gọi M ' x';y' Do ảnh M x;y (1) qua 1 � 2 x' 4 3 y' 3 12 � 2x' 3y' � M ' �d' : 2x' 3y' T ur v , nên có � x' x � x x' �� � �y' y �y y' Vậy Cách 2: Tvur d d' : 2x 3y Chọn M 3;2 �d M ' x';y' Gọi ảnh M qua Tvur , nên có � x' x � x' 3 �� � M ' 1; 1 � �y' y �y' 1 Gọi Vì Tuvr d d' � d' Pd nên d’ có dạng 2x 3y m M ' 1; 1 �d' � 2.1 3.(1) m � m 5 Vậy d' : 2x 3y Cách 3: Chọn Gọi M 3;2 �d N 0;4 �d � x' x � x' 3 M ' x';y' Tvur M � � �� � M ' 1; 1 �y' y �y' 1 �x' x �x' N' x';y' Tvur N � � �� � N ' 4;1 y' y �y' � Gọi Tuvr d d' � M ',N ' �d' Gọi nên d’ có vec tơ phương d' : 2 x 4 3 y 1 � 2x 3y Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy, xét phép tịnh tiến C : x 4 y 3 2 6 qua Tvur uuuuuur ur M 'N ' 3;2 � nd' 2; 3 Tvur với ur v 3;2 Tìm ảnh đường trịn LỜI GIẢI Cách 1: M x;y � C � x 4 y 3 Gọi (1) � � x' x x x' �� � T M ' x';y' M x;y y' y � y y' Gọi ảnh qua , nên có � ur v 1 � x' 3 4 y' 3 Do 6 � x' 7 y' 1 2 � M ' � C ' : x' 7 y' 1 2 Tuvr C C ' : x 7 y 1 Vậy Cách 2: Đường trịn (C) có tâm C' T C � ur v bán kính R � x' x a I ' x';y' Tuvr I � � � y' y b � Gọi Gọi I 4; 3 � x' � I ' 7; 1 � y' 3 1 � đường trịn (C’) có tâm x 7 y 1 Do (C’) có phương trình: I ' 7; 1 6 , phương trình bán kính R ' R C : x m y 2 Câu 4: Cho phép tịnh tiến biến đường tròn C' : x y 2 m 2 y 6x 12 m 2 5 thành đường tròn Đường tròn (C) có tâm I m;2 bán kính R I ' 3; m 2 Đường tròn (C’) có tâm Hãy xác định phép tịnh tiến LỜI GIẢI bán kính R ' 1 4m với m C' T C � R' R � 1 4m � 1 4m � m 1 ur uur u II ' 2;1 Vậy phép tịnh tiến biến (C) thành (C’) có vec tơ tịnh tiến ur v Do Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy cho hàm số y x 3x có đồ thị (C), tịnh tiến (C) qua phải hai đơn vị, tịnh tiến xuống đơn vị Tìm ảnh (C) qua phép tịnh tiến LỜI GIẢI Tịnh tiến (C) qua phải hai đơn vị, tịnh tiến xuống đơn vị hệ trục Oxy, ta xác định ur v 2; 1 vec tơ tịnh tiến M x;y � C � y x2 3x Gọi (1) � x' x � x x' �� � Tur M ' x';y' M x;y y' y �y y' Gọi ảnh qua v , nên có � Do 1 � y' x' 2 3 x' 2 � y' x'2 7x' 14 � M ' � C' : y x'2 7x' 14 Tvur C C ' : y x 7x 14 Vậy ur v Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy cho (2;1) , đường thẳng d có phương trình 2x 3y , đường thẳng d có phương trình 2x 3y A) Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua Tvur ur Tur B) Tìm tọa độ u có giá vng góc với đường thẳng d để d1 ảnh d qua u LỜI GIẢI d' A) Có Tuvr (d) �x xM ' �x xM a M ' Tvur (M ) � � M ' � �M y y b M �M' �yM yM ' Gọi Nếu M �d � M ' �d' M �d � 2xM 3yM � 2 xM ' 2 3 yM ' 1 � 2xM ' 3yM ' 10 Phương trình đường thẳng d' : 2x 3y 10 B) Gọi ur u a;b ur ur ur ur ur Vì u có giá vng góc với đường thẳng d � u ud � u.ud � 3a 2b (1) � �xM xM a M Tuur (M) � � y yM b d Tur (d) � � M1 Có u Gọi Nếu M �d � M �d1 M �d � 2xM 3yM � 2xM 3yM 3 M �d1 � 2xM 3yM � 2 xM a 3 yM b 1 � 2xM 3yM 2a 3b � 3 2a 3b � 2a 3b (2) � 16 a � �16 24 � �3a 2b � � � 13 � u � ; � � 2a 3b 24 �13 13 � � �b � 13 Từ (1) (2) có hệ Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 3x y Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’ qua góc tọa độ viết phương trình đường thẳng d’ LỜI GIẢI Gọi Có ur u a;b ur r ur u Pi 1;0 � b u véctơ tịnh tiến cần tìm Do phương với Ox nên d' Tuur (d) � d' Pd � d' : 3x y m Do O(0;0) �d' � m Vậy d' : 3x y Có d' Tuur (d) �x xM a M ' Tuur (M ) � � M ' �yM ' yM b Gọi Nếu M �d � M ' �d' M �d � 3xM yM � 3xM yM M ' �d' � 3xM ' yM ' � 3 xM a yM b � 3xM yM 3a b � 3a b � 3a b 9 , b � a 3 ur u 3;0 Vậy Bài tương tự: ur Trong mp tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 3x y Tìm phép tịnh tiến theo véctơ v có giá song song với trục Oy biến d thành d’ qua điểm A 1;1 2 Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x y 2x 4y Tìm ảnh (C) qua phép tịnh ur v tiến theo vectơ (2;5) LỜI GIẢI Đường trịn (C) có tâm I 1; 2 bán kính R 12 (2)2 ur v Gọi I’, R’ tâm bán kính đường trịn (C’) ảnh (C) qua phép tịnh tiến �x 1 1 �x xI a I ' TVuur (I) � � I ' � �I ' � I ' 1;1 y y b I � I' �yI ' 2 Có , R' R C ' : x 1 Phương trình đường trịn y 1 32 ur v (1;2),A(3;5),B(1;1) Câu 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vec tơ ,đường thẳng d có phương trình x 2y , đường tròn (C): (x 2) (y 3) 25 u r A) Tìm tọa độ điểm A’, B’ theo thứ tự ảnh A, B qua phép tịnh tiến vectơ v u r v B) Tìm tọa độ điểm C cho A ảnh C qua phép tịnh tiến ur c) Tìm phương trình đường thẳng d’, đường trịn (C’) ảnh d, (C) qua phép tịnh tiến v LỜI GIẢI A) �x 3 �x xA a A ' Tvur A � � A ' � �A ' � A ' 2;7 �yA ' yA b �yA ' 5 �x xB a � x 1 2 B' Tvur B � � B' � � B' � B' 2;3 �yB' yB b �yB' 1 � x 3 �x xC a A Tvur C � � A � �C � C 4;3 �yA yC b �yC B) C) Có d' Tvur (d) � x xM ' �x xM a M ' Tvur (M) � � M ' � �M �yM ' yM b �yM yM ' Gọi Nếu M �d � M ' �d' M �d � xM 2yM � xM ' 1 2 yM ' 2 � xM ' 2yM ' Phương trình đường thẳng d' : x 2y Đường trịn (C) có tâm I 2; 3 bán kính R ur Gọi I’, R’ tâm bán kính đường trịn (C’) ảnh (C) qua phép tịnh tiến v �x xI a �x I ' Tvur (I) � � I' � �I ' � I ' 1; 1 yI ' yI b �yI ' 3 1 � Có , R' R Phương trình đường trịn C ' : x 1 y 1 52 Câu 10: Trong mp tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d : 3x 5y d' : 3x 5y 24 Tìm tọa độ u r ur v 13 Tur d d' vec tơ v , biết v Gọi ur v a;b Theo đề Gọi LỜI GIẢI u r v 13 � a2 b2 13 � a2 b2 13 M x;y �d � 3x 5y � 3x 5y 3 (I) (1) � x' x a M ' x';y' Tvur M � � �y' y b Gọi Ngoài M ' x';y' �d � 3x' 5y' 24 � 3 x a 5 y b 24 � 3x 5y 3a 5b 24 (2) Thay (1) vào (2) 3 3a 5b 24 � a được: �5b 21� 2 �� � b 13 � 34b 210b 324 � � � 5b 21 , thay vào (I) � 54 29 b �a � 17 � 17 b � a 2 � u r � 29 54 � ur v� ; � ur v � 17 17 �hoặc 2;3 Kết luận có hai vec tơ v cần tìm là: Câu 11: Cho hai đường thẳng a b song song với Hãy phép tịnh tiến biến a thành b Có phép tịnh tiến thế? LỜI GIẢI uuur Lấy A �a B �b , phép tịnh tiến vec tơ AB biến a thành b Vì có vê số cách chọn A �a B �b , nên có vơ số phép tịnh tiến biến a thành b x2 y2 ur 1 Câu 12: Tìm phương trình ảnh đường elip (E): qua phép tịnh tiến theo vectơ u (3,4) LỜI GIẢI x2 y2 1 M(x; y) (E) (1) �x' x � T y' y M'(x'; y') ảnh M qua � ur u � x x' � �y y' (x' 3)2 (y' 4)2 1 Do (1) Vậy ảnh (E) qua Tuur (x 3)2 (y 4)2 1 (E'): Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A 2; 4 ; B 1;1 , hai đường thẳng d; d’ có phương trình: 2x y 0; 3x y A) Viết phương trình đương thẳng d1 uuur ảnh d qua phép tịnh tiến véc tơ BA B) Tìm tọa độ điểm M �d, M ' �d' để tứ giác ABMM’ hình bình hành A) Có Gọi uuur BA 1; 5 M ' x';y' LỜI GIẢI ảnh điểm �x' x � x x' �� � �y' y �y y' I M x;y �d uuur qua phép tịnh tiến véc tơ BA Khi có: Ta có M x;y �d � 2x y � 2(x' 1) (y' 5) � 2x' y' � M ' thuộc đường thẳng d1 có phương trình: 2x y uuur d : 2x y Vậy ảnh d qua phép tịnh tiến BA có phương trình B) uuur uuuuur Để ABMM’ hình bình hành � BA MM ' � M ' ảnh M qua phép uuur d tịnh tiến BA Do M’ giao điểm d’ , tọa độ điểm M’ nghiệm hệ: � 3x y � x �� � M ' 3;0 � 2x y �y � Thay tọa độ điểm M vào hệ (I) � x � M 2;5 � �y Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy với ,a,b số cho trước, xét phép biến hinh F biến điểm �x' xcos ysin a � �y' xsin ycos b M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) đó: A) Cho điểm M(x1;y1), N(x2;y2) gọi M’, N’ ảnh M, N qua phép F Hãy tìm tọa độ M’, N’ B) Tính khoảng cách d M N, khoảng cách d’ M’ N’ c) Phép F có phải phép dời hình khơng? d) Khi ,chứng tỏ F phép tịnh tiến? LỜI GIẢI A) Có Có B) M ' x1 cos y1 sin a;x1 sin y1 cos b N' x2 cos y2 sin a;x2 sin y2 cos b MN M 'N ' x2 x1 y2 y1 (x2 cos y2 sin a) (x1 cos y1 sin a) (x2 sin y2 cos b) (x1 sin y1 cos b) � M 'N ' cos(x2 x1) sin (y2 y1) sin (x2 x1) cos(y2 y1) � M 'N ' x2 x1 y2 y1 2 c) F phép dời hình bảo tồn khoảng cách �x' xcos0 ysin0 a � x' x a 0� � �� y' y b �y' xsin0 ycos0 b � d) Khi Do F phép tịnh tiến Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép biến hình F biến điểm M(x; y) thành điểm M’(x’; y’) � x' ax by � 2 2 y' cx dy cho: � , a c b d a.b c d Chứng tỏ F phép dời hình LỜI GIẢI �x' ax by F M(x;y) �� � M '(x';y') � � �y' cx dy x ' ax1 by1 � F N(x1;y1) �� � N '(x1 ';y1 ') � �1 �y1 ' cx1 dy1 MN (x1 x)2 (y1 y)2 M 'N ' (x'1 x')2 (y'1 y')2 (x1 x)2(.a2 c2 ) (y1 y)2.(b2 d ) 2(x1 x)(y1 y)(ab cd) (x1 x)2 (y1 y)2 MN vec tơ , gọi M2 ảnh ur v phép tịnh tiến theo vec tơ M1 ảnh M qua phép tịnh tiến theo qua phép tịnh tiến theo vec tơ M Tìm v để ảnh M qua C C thành C Câu 17: Cho hai đường tròn Gọi uur u2 ur uuuuuur uuuuuur uuuuuuu r uur uur ur MM MM M 1M u1 u2 v � M Tvur M Theo quy tắc chén điểm có tịnh tiến biến LỜI GIẢI uuuuuu r uur M Tuuur M � MM u1 Theo đề có uuuuuuu r uur M Tuuuur M � M 1M u2 uur u2 M1 Câu 16: Trong mặt phẳng Oxy cho hai vectơ uur u1 uur u1 C có tâm O1 ,O Với uur uur u r u1 u2 v có bán kính R Tìm phép LỜI GIẢI C M M 1 Lấy điểm tùy ý thuộc gọi ảnh uuuuuuur uuuuuu r uuuuuur uuuuuur M 1M O1O2 � O1M O2M � O 2M R � M � C M C Ngược lại: Lấy điểm tùy ý thuộc gọi uuuuuuur uuuuuur uuuuuur uuuuuur M 1M O1O � O1M O 2M � O1M R � M � C1 M1 M1 ảnh qua phép tịnh tiến M2 qua phép tịnh tiến TOuuuuOuuur , ta có: TOuuuuOuuur , ta có: Tuuuuuuur C C Vậy ảnh qua phép tịnh tiến O1O2 DẠNG 2: Dùng phép tịnh tiến để giải số tốn tìm tập hợp điểm PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Nếu tốn có vec tơ nhau, có hình bình hành,…thì dấu hiệu để sử dụng phép tịnh tiến Để tìm tập hợp điểm M ta xác định phép tịnh tiến biết qua T ur v H ' T H Tvur cho M ảnh điểm N Giả sử ta biết tập hợp điểm N thuộc hình (H) ta có tập hợp điểm M ur v Câu 1: Cho đường tròn (O) hai điểm A, B Một điểm M thay đổi đường trịn (O) Tìm quỹ tích điểm uuuuur uuuur uuuu r M’ cho MM ' MA MB uuuuur uuuur uuuu r Ta có: MM ' MA MB LỜI GIẢI uuuuur uuuu r uuuur uuuuur uuur � MM ' MB MA � MM ' A B xác định Như M’ ảnh M uuur phép tịnh tiến AB Vì điểm M chạy đường trịn tâm O bán kính R suy M’ chạy đường trịn tâm O’ bán kính R ảnh đường trịn (O) qua phép uuur tịnh tiến AB Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh A cố định, BD có độ dài khơng đổi 2a, ba điểm A, B, D nằm đường tròn cố định tâm O, bán kính R Tìm quỹ tích điểm C LỜI GIẢI AO kéo dài cắt đường tròn điểm thứ hai K, nên K cố định Gọi H trực tâm tam giác ABD, I trung điểm đoạn BD Từ suy ra: AH 2OI R a2 không đổi, nên suy H nằm đường tròn tâm 2 A, bán kính R a � � Do ABK ADK 90 , mà AB P DC,AD PBC � BK DC DK BC nên K trực tâm tam giác BDC � CK BD � CK PAH Trong ACK có OI đường trung bình nên KC 2OI � KC A H � AHCK hình bình hành uuur uuuu r uuuu r � HC AK xác định Phép tịnh tiến theo vec tơ AK biến H thành C, biến A thành K 2 Kết luận quỹ tích điểm C đường trịn tâm K bán kính R a Câu 3: Cho hai điểm A, B cố định thuộc đường tròn hợp điểm: O;R điểm M di động đường trịn Tìm tập a) Trực tâm H tam giác ABM b) Điểm P cho tam giác MHP LỜI GIẢI a) Gọi I trung điểm AB D điểm đối xứng M qua tâm O Dễ dàng chứng minh tứ giác ADBH hình bình hành nên hai đường chéo AB DH cắt trung điểm I đường uuuur uur Do MH 2OI xác định Vậy tập hợp điểm H đường tròn uuuur uur O' , bán kính R với OO' 2OI uuu r uur uur b) Gọi J trung điểm MH nên có MJ OI Do J ảnh M qua phép tịnh tiến vectơ OI , nên J chạy uur đường tròn (C) tâm I bán kính R ảnh đường trịn (O) phép tịnh tiến vectơ OI MHP có PJ MH uur ur OI JP MH � JP P AB không đổi Do JP v xác định Kết luận tập hợp điểm P chạy đường trịn (C’) bán kính R ảnh đường tròn (C) phép tịnh ur tiến v Câu 4: Cho đoạn thẳng AB đường trịn (C) tâm O bán kính R nằm phía đường thẳng AB Lấy điểm M (C), dựng hình bình hành ABMM’ Tìm tập hợp điểm M’ M di động (C) LỜI GIẢI Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép biến hình T biến điểm M x;y thành M ' x';y' xác định � x' 3x � �y' 3y biểu thức tọa độ sau đây: a) Chứng minh T phép vị tự C : x y 1 b) Tìm ảnh (C’) đường tròn LỜI GIẢI 1 qua phép biến hình T Gọi I điểm biến hình qua phép biến hình cho Ta có �x' x � �y' y nên �x 3x �x �� � y 3y � �y Vậy điểm Ta có I 2;1 biến thành tâm vị tự uuu r uuuu r IM x 2;y 1 ;IM ' x' 2;y' 1 3x 6;3y 3 3 x 2;y 1 uuuu r uuu r � IM ' 3IM Vậy T phép vị tự tâm I 2;1 tỉ số k � x x' 4 � x' 3x � � � � � �y' 3y �y y 2 C : x2 y 1 � b) Từ , thay vào ta được: 2 2 �1 1� x' 4 � y' � � x' 4 y' 1 3� �3 C ' : x 4 y 1 Vậy phương trình 2 9 DẠNG 2: Tìm quỹ tích: Câu 7: Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, cịn đỉnh A chạy đường trịn (O; R) Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC LỜI GIẢI Gọi I trung điểm BC, BC cố định nên I cố định Vì G trọng tâm uur uur ABC � IG IA � G V� 1�(A ) I; � � � 3� Vì A di động đường trịn tâm O bán R kính R suy tập hợp điểm G nằm đường trịn tâm O’ bán kính O' V� 1�(O) với I; � � � 3� Câu 2: Cho đường tròn cắt O điểm P nằm đường trịn Một đường thẳng thay đổi qua P, O hai điểm A B Tìm quỹ tích điểm M cho uuuu r uuur uuu r PM PA PB LỜI GIẢI uuur uuu r uur PA PB uuuu r uuur uuu r uu r PI , Gọi I trung điểm AB PM PA PB 2PI Gọi V phép vị tự tâm P tỉ số k V biến điểm I thành điểm M Vì I trung điểm AB nên OI AB Suy quỹ tích điểm I đường trịn đường kính PO Vậy quỹ tích điểm M đường trịn ' uuuu r uuur qua phép vị tự V Nếu ta lấy O’ cho PO' 2PO ' ảnh đường trịn đường kính PO’ DẠNG 3: DỰNG HÌNH PHƯƠNG PHÁP: Để dựng điểm M, ta xem M ảnh điểm biết qua phép vị tự, xem M giao đường cố định với ảnh đường biết qua phép vị tự Câu 1: Cho tam giác ABC có hai góc B C nhọn Dựng hình chữ nhật DEFG có với hai đỉnh D, E nằm BC hai đỉnh F, G nằm AC, AB LỜI GIẢI Giả sử dựng hình chữ nhật DEFG thỏa mãn điều kiện đề (hình 1) Khi từ điểm G’ tùy ý đoạn thẳng AB ta dựng hình chữ nhật D’E’F’G’ có , hai đỉnh D’, E’ nằm BC Ta có: Do B, F’, F thẳng hàng Từ xem hình chữ nhật DEFG ảnh hình chữ nhật D’E’F’G’ theo phép vị tự tâm B tỉ số Từ ta có cách dựng: Lấy điểm G’ tùy ý cạnh AB Dựng hình chữ nhật D’E’F’G’ có hai đỉnh D’, E’ nằm BC Đường thẳng BF’ cắt cạnh AC F Đường thẳng qua F song song với BC cắt cạnh AB G Gọi D, E hình chiếu vng góc F, G đường thẳng BC Ta chứng minh DEFG hình chữ nhật cần dựng: Thật vậy, nên Từ suy Do hình chữ nhật DEFG hình cần dựng Câu 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Hãy dựng hình vng MNPQ, cho M, N nằm cạnh AB, AC P, Q nằm cạnh BC LỜI GIẢI Giả sử dựng hình vng MNPQ thỏa mãn u cầu đề Xét phép vị tự tâm A tỉ số Qua phép vị tự tâm A tỉ số k điểm M, N, P, Q biến thành B, C, P’, Q’ (hình 2) Ta có: , mà Tương tự ta có Do tứ giác BCP’Q’ hình vng Ta dựng BCP’Q’ nên dựng hai điểm P, Q Vậy dựng hình vng MNPQ Cách dựng: Dựng hình vng BCP’Q’ phía ngồi tam giác ABC Dựng với Ta tứ giác MNPQ hình vng cần dựng Chứng minh Ta có tứ giác MNPQ ảnh tứ giác BCP’Q’ qua , mà tứ giác BCP’Q’ hình vng nên tứ giác MNPQ hình vng Bài tốn có nghiệm hình Câu 3: Cho đường trịn đường kính AB Hãy dựng hình vng có hai đỉnh nằm đường trịn, hai đỉnh cịn lại nằm đường kính AB LỜI GIẢI Gọi O trung điểm AB Giả sử dựng hình vng MNPQ với M, N thuộc đường kính AB; P, Q thuộc đường trịn Khi O phải trung điểm MN Nếu lấy hh́nh vuông M’N’P’Q’ cho M’, N’ thuộc AB, O trung OM ON OP OQ OM ' ON ' OP' OQ' điểm M’N’, dễ thấy Từ suy hình vng MNPQ ảnh hình vuông M’N’P’Q’ qua phép vị tự tâm O, suy O, P, P’ O, Q, Q’ thẳng hàng Vậy ta có cách dựng: Dựng hình vng M’N’P’Q’ nằm hình trịn cho M’N’ thuộc AB O trung điểm M’N’ Tia OP’ cắt đường tròn P; tia OQ’ cắt đường tròn Q Khi dễ thấy tứ giác MNPQ hình vuông cần dựng Câu 4: Cho điểm A cố định đường tròn (O) điểm B cố định nằm đường thẳng d không qua A Hãy xác định d điểm C, cho tam giác ABC có trọng tâm nằm đường trịn (O) LỜI GIẢI Giả sử điểm C dựng Gọi I trung điểm AB, ta có I cố định Vì G trọng tâm tam giác ABC nên qua phép vị tự tâm I tỉ số Vậy C ảnh G Mà tâp hợp điểm G đường tròn (O) nên điểm C nằm đường tròn (O’) ảnh (O) qua phép vị tự tâm I tỉ số Mặt khác , C giao điểm (O’) d Cách dựng: Dựng trung điểm I AB Dựng đường tròn (O’) ảnh (O) qua phép vị tự tâm I tỉ số Dựng điểm C giao điểm d đường trịn (O’) Khi C điểm cần dựng Chứng minh Trong tam giác ABC có CI đường trung tuyến Nếu gọi G trọng tâm biến C thành G nên qua đường tròn (O’) biến thành (O) hay Vậy C điểm cần dựng Biện luận (d) cắt (O’) tốn có hai nghiệm hình (d) tiếp xúc với (O’) tốn có nghiệm hình (d) (O’) khơng có giao điểm tốn khơng có nghiệm hình O Câu 5: Cho đường tròn với dây cung PQ Dựng hình vng ABCD có hai đỉnh A, B nằm đường thẳng PQ hai đỉnh C, D nằm đường tròn LỜI GIẢI Giả sử dựng hình vng ABCD thỏa mãn điều kiện toán Gọi I trung điểm đoạn thẳng PQ OI đường trung trực PQ nên đường trung trực DC đường trung trực AB Từ suy ra, dựng hình vng PQMN có phép vị tự tâm I biến hình vng PQMN thành hình vng ABCD Cách dựng Dựng hình vng PQMN Lấy giao điểm C C’ đường thẳng IM đường tròn, lấy giao điểm D D’ IN đường tròn( ta kí hiệu cho hai điểm C, D nằm phía đường thẳng PQ) Gọi điểm B, A, B’, A’ hình chiếu điểm C, D, C’, D’ đường thẳng PQ Ta hình vng ABCD A’B’C’D’ thỏa mãn điều kiện toán DẠNG 4: CHỨNG MINH TÍNH CHẤT HÌNH HỌC PHƯƠNG PHÁP Tìm phép vị tự với tâm tỉ số thích hợp Sử dụng tính chất phép vị tự để chứng minh tính chất mà tốn u cầu Câu 1: Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ trung điểm cạnh BC, CA, AB Gọi I, G, H tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm trực tâm tam giác ABC a) Chứng minh I trực tâm tam giác A’B’C’ b) Tìm ảnh A’B’C’ qua phép vị tự tâm G tỉ số c) Chứng minh (Như ba điểm G, H, I khơng trùng chúng nằm đường thẳng, đường thẳng gọi đường thẳng Ơ – le) d) Gọi I’ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ Chứng minh I’ trung điểm IH LỜI GIẢI a) Ta có (1) Tương tự ta có (2) Từ (1) (2) suy I trực tâm tam giác A’B’C’ b) Ta có: Vậy c) Theo câu b) , mà I H trực tâm , nên d) Theo câu b) , mà I’ I , nên tâm đường tròn ngoại tiếp Mà trung điểm IH Câu 2: Cho đường trịn (O) có đường kính AB Gọi C điểm đối xứng Aqua B, PQ đường kính thay đổi (O) Đường thẳng CQ cắt PA PB M, N a) Chứng minh Q trung điểm CM; N trung điểm CQ b) Tìm quỹ tích điểm M N đường kính PQ thay đổi LỜI GIẢI a) Có AB PQ hai đường kính đường trịn (O) nên APBQ hình chữ nhật, AP PBQ AQ PBP Trong ACM có BQ đường trung bình nên suy Q trung điểm MC, BN đường trung bình tam giác ACQ suy N trung điểm CQ uuuu r uuur CM 2CQ � M V C;2 (Q) b) Có Vì Q di động đường trịn tâm O bán kính R suy tập hợp điểm M nằm đường trịn tâm O’ bán kính 2R với Có uuur uuur CN CQ � N V� 1�(Q) C; � � � 2� O' V C;2 (O) Vì Q di động đường trịn tâm O bán kính R suy tập hợp điểm N R O'' V� 1�(O) C; � � � 2� nằm đường trịn tâm O’’ bán kính với Câu 3: Cho đường tròn O;R điểm A cố định Một dây cung BC thay đổi uuuu r uuur uuur r đổi BC Tìm tập hợp điểm G cho GA GB GC O;R có độ dài khơng LỜI GIẢI uuuu r uuur uuur r Ta có GA GB GC � G trọng tâm ABC uuuur uuuu r AM AG Gọi M trung điểm BC , suy M ảnh G qua phép vị tự V tâm A, tỉ số k 2 Vì BC khơng đổi nên OM R (không đổi) Do tập hợp điểm M đường trịn O;R ' bán kính R' OM R Vậy tập hợp điểm G đường O;R ' qua phép vị tự tâm A, tỉ số tròn (I) ảnh đường tròn k DẠNG 5: XÁC ĐỊNH TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Xác định tâm vị tự tâm vị tự ngồi hai đường trịn trường hợp sau: a) Hai đường trịn tiếp xúc ngồi b) Hai đường tròn tiếp xúc c) Một đường tròn chứa đường tròn LỜI GIẢI Gọi I tâm vị tự I’ tâm vị tự hai đường tròn (O) (O’) a) Nếu (O) (O’) tiếp xúc ngồi tiếp điểm I’ tâm vị tự trong, giao điểm OO’ với tiếp tiếp tuyến chung (O) (O’) có tâm vị tự ngồi b) Nếu (O) (O’) tiếp xúc tiếp điểm I tâm vị tự ngoài, tâm vị tự I’ giao điểm OO’ MM’ hai vec tơ bán kính ngược hướng (O) (O’) c) Giả sử nằm Ta làm sau: Lấy điểm M thuộc (O) Dựng đường thẳng qua O’ song song với OM, cắt (O’) M’ M’’ (hai điểm M M’ phía đường thẳng OO’) Dựng Đặc biệt, O trùng O’ I I’ trùng với O BÀI 8: PHÉP ĐỒNG DẠNG A) TĨM TẮT LÝ THUYẾT I) ĐỊNH NGHĨA Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k tương ứng chúng, ta có với hai điểm M, N ảnh M’, N’ Nhận xét: Phép dời hình phép đồng dạng với tỉ số Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng với tỉ số Nếu thực liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k phép đồng dạng tỉ số p ta phép đồng dạng tỉ số pk II) CÁC TÍNH CHẤT 1) Định lí: Mọi phép đồng dạng tỉ số k hợp thành phép vị tự tỉ số k phép dời hình 2) Hệ Phép đồng dạng tỉ số k a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng (và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó) b) Biến đường thẳng thành đường thẳng c) Biến tia thành tia d) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên với k e) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng k f) Biến đường tròn thành đường trịn có bán kính Kr g) Biến góc thành góc Chú ý: Phép dời hình nói chung khơng có tính chất biến đường thẳng thành đường thẳng song song hay trùng với Phép đồng dạng hợp thành phép vị tự phép dời hình, nên phép đồng dạng nói chung khơng có tính chất biến đường thẳng thành đường thẳng song song hay trùng với III) HAI HÌNH ĐỒNG DẠNG Định nghĩa: Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình B) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN DẠNG 1: Tìm ảnh hình qua phép đồng dạng tỉ số k PHƯƠNG PHÁP GIẢI Giả sử F phép đồng dạng có cách thực liên tiếp hai phép biến hình Cho điểm M x;y Tìm tọa độ ảnh M1 M có ảnh qua F M ' x';y' f1 ,f2 Để tìm ảnh M’ ta thực bước sau: điểm M qua phép biến hình f1 f Tìm ảnh M’ qua phép biến hình Khi ta tọa độ ảnh M’ M qua F Để tìm ảnh đường thẳng ta tìm ảnh hai điểm đường thẳng Từ suy phương trình đường thẳng ảnh qua hai điểm ảnh Để tìm ảnh đường trịn, ta tìm ảnh tâm đường trịn tìm bán kính đường trịn ảnh Từ suy phương trình đường trịn ảnh BÀI TẬP Câu 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD I Gọi H, K, L J trung điểm AD,BC,KC IC Chứng minh hai hình thang JLKI IHAB đồng dạng với LỜI GIẢI Gọi d đường trung trực HK Qua phép đối xứng trục d hình thang JLKI có ảnh hình thang J’L’HI( J’, L’ trung điểm ID, HD) Qua phép vị tự tâm D, tỉ số hình thang J’L’HI có ảnh hình thang IHAB Do phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép đối xứng trực d phép vị tự tâm D, tỉ số biến hình thang IJKI thành hình thang IHAB Vậy hình thang JLHI hình thang IHAB đồng dạng với Câu 2: Chứng minh hai tam giác có đường cao tương ứng LỜI GIẢI Giả sử tam giác ABC có đường cao AH, BI, CK tam giác A’B’C’ có đường cao A’H’, B’I’, C’K’ thỏa mãn: AH = A’H’, BI = B’I’, CK = C’K’ Trong tam giác ABC ta có AB.CK = BC.AH = CA.BI Cũng vậy, tam giác A’B’C’ ta có A’B’.C’K’ = B’C’.A’H’ = C’A’.B’I’ AB BC CA k A 'B' B'C' C'A ' Từ đó, suy Như vậy, hai tam giác ABC A’B’C’ đồng dạng Do đó, có phép đồng dạng F tỉ số k biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ Nhưng F biến đường cao AH thành đường cao A’H’ với A’H’ = AH nên k =1 Do F phép dời hình Vậy tam giác ABC tam giác A’B’C’ u r r Câu 3: Cho phép vị tự V tâm O, tỉ số k �1 phép tịnh tiến T theo vectơ v �0 Gọi F phép hợp thành V T a) Tìm điểm I cho F biến thành b) Chứng minh F phép vị tự tâm I tỉ số k LỜI GIẢI a) Với điểm M bất kì, V biến M thành M’ T biến M’ thành M’’ F biến M thành M’’ Bởi F biến uur uur uur uu r điểm I thành điểm I V biến I thành I’ T biến I’ thành I, OI kOI I 'I v u r uur uuur u r uur uur u r uur v OI OI ' v � OI kOI v � OI 1 k Từ đó, suy Vậy điểm I hoàn toàn xác định uuuur uuuur uuuuuuur u r OM kOM M 'M '' v b) Với điểm M bất kì, V biến M thành M’ , T biến M’ thành M’’ Từ uuuur uuuur đó, suy OM kOM uuuu r uur uuu r uur � IM ' IO k IM IO uuuu r uur uuu r � IM ' OI 1 k kIM * uur u r OI 1 k v Nhưng từ biểu thức xác định I ta có uuuuuuur u r uuuur uuuu r u r uuuu r uuuur u r Ngồi ra, M 'M '' v nên IM '' IM ' v hay IM ' IM '' v uuuur uuu r * trở thành IM '' kIM Vậy đẳng thức Do đó, phép F biến M thành M’’ phép vị tự tâm I tỉ số k Câu 4: Chứng minh rằng: Nếu phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ F biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ LỜI GIẢI Gọi M trung điểm BC qua F điểm M biến thành điểm M’ trung điểm B’C’ Vậy qua F trung tuyến AM tam giác ABC biến thành trung tuyến A’M’ tam giác A’B’C’ Tương tự F biến trung tuyến BN, CP ABC thành trung tuyến B'N ',C'P' A 'B'C ' Do F biến trọng tâm G ABC thành trọng tâm A 'B'C' H �BC Ta có F biến AH thành A’H’, AH BC nên A 'H ' B'C' , Gọi AH đường cao ABC suy A’H’ đường cao A 'B'C' Như F biến đường cao ABC thành đường cao A 'B'C' Suy F biến trực tâm ABC thành trực tâm A 'B'C ' Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , nên IA IB IC Ta có F biến IA ,IB,IC thành I 'A ',I 'B',I 'C' Khi I 'A ' kOA ,I'B' kIB,I'C' kIC nên I 'A ' I 'B' I 'C ' Vậy I’là tâm đường tròn ngoại tiếp A 'B'C ' Câu 5: Cho điểm A cố định nằm đường trịn vng ABCD Tìm quỹ tích điểm B điểm D O điểm C thay đổi đường trịn Dựng hình LỜI GIẢI Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M cho AM AB AD AM AB A C AC Khi đó, ta có AM ,AB 45 Ngoài AM ,AD 45 k 2 biến điểm C thành điểm M phép quay Q tâm A góc quay 45 Suy ra, phép vị tự V tâm A tỉ số biến điểm M thành điểm B Vậy gọi F phép hợp thành V Q F biến C thành B Vì quỹ tích O C đường trịn , nên quỹ tích B ảnh đường trịn qua phép đồng dạng F Đường trịn quỹ tích B xác định sau: Gọi AR đường kính O PQ đường kính O vng góc với AR( ta kí hiệu điểm P, Q AR,AP 45 ) cho Khi dễ thấy phép đồng dạng F biến AR thành AP Vậy quỹ tích B đường trịn đường kính AP Tương tự, ta quỹ tích D đường trịn đường kính AQ BÀI TẬP ƠN TẬP Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng , đường tròn a) Viết phương trình đường thẳng b) Viết phương trình đường trịn ảnh d qua phép tịnh tiến theo véctơ ảnh (C) qua phép quay tâm O góc quay c) Tìm phép tịnh tiến theo véc tơ có phương song song với trục Ox biến d thành d’ cắt trục Ox điểm có hồnh độ viết phương trình đường thẳng d’ LỜI GIẢI a) Gọi , Phương trình cần tìm b) Đường trịn (C) có tâm bán kính Gọi Do góc quay Phương trình đường trịn có tâm bán kính , nên có phương trình: c) Gọi cần tìm Vì , nên phương trình đường thẳng Vì d’ cắt trục Ox điểm có hồnh độ nên có phương trình: Phương trình Gọi , (1) (2) Thay (2) vào (1) được: Kết luận tọa độ véc tơ cần tìm: Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng Hãy viết phương trình: , đường tròn a) Đường tròn ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo b) Đường tròn ảnh (C) qua phép vị tự tâm , tỉ số c) Đường thẳng d’ ảnh d qua phép quay tâm O, góc quay LỜI GIẢI Đường trịn (C) có tâm bán kính a) Gọi Phương trình đường trịn b) Gọi với Ta có: đường trịn có tâm bán kính Do đó: c) Vì Gọi nên d’ có dạng: Gọi M’ ảnh M qua phép quay tâm O góc quay , Ngồi Vậy phương trình Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm đường tròn , đường thẳng a) Tìm phương trình đường thẳng d’, biết d’ ảnh d qua phép đối xứng trục Oy b) Tìm phương trình đường trịn (C) cho (C’) ảnh (C) qua phép tịnh tiến véc tơ c) Tìm phép đối xứng tâm I biến trục Ox thành biến đường thẳng AB thành đường thẳng qua O song song với đường thẳng AB LỜI GIẢI a) Gọi (1) Gọi Đ Do Vậy phương trình d’ cần tìm b) Đường trịn (C’) có tâm bán kính Gọi Đường trịn (C) có tâm Do c) Gọi bán kính Vì phép đối xứng tâm I biến trục Ox thành Ox Đường thẳng AB qua có vec tơ phương nên có phương trình: Gọi d’ ảnh đường thẳng AB nên d’ có dạng d’ có phương trình Gọi Gọi (1) Đ Ngoài (2) Thay (2) vào (1) được: Kết luận Ngồi có Câu 4: Cho đường thẳng Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm phép tịnh tiến theo , tỉ số vị tự LỜI GIẢI Gọi (1) Gọi Do Vậy ảnh d qua phép vị tự tâm I, tỉ số Gọi Gọi Do Vậy phương trình d’ cần tìm Câu 5: Gọi F phép biến hình có tính chất sau: Với cặp điểm M, N ảnh M’, N’ tương ứng uuuuuur uuuur chúng, ta có M 'N ' kMN , k số không đổi khác Hãy chứng minh F phép tịnh tiến phép vị tự LỜI GIẢI uuuuuur uuuur uuuuur uuuuu r uuuuur r �Với k 1: Ta có M 'N ' MN � MM ' NN ' Cố định M M’ MM ' a khơng đổi Khi F phép r tịnh tiến theo vectơ a uuuuuur uuuur �Với k �1: Chọn M, N cố định cho MM’ cắt NN’ I M 'N ' kMN , suy F phép vị tự tâm I, tỉ số k u r M Câu 6: Cho vectơ u điểm O Với điểm M ta gọi điểm đối xứng M qua O M’ điểm cho uuuuuur ur M 1M ' u Gọi F phép biến hình biến M thành M’ a) F phép hợp thành hai phép biến hình nào? F có phải phép dời hình hay khơng? b) Chứng tỏ F phép đối xứng tâm LỜI GIẢI a) Phép biến hình F biến M thành M’ nên F hợp thành phép u r đối xứng tâm O phép tịnh tiến theo vectơ u Vì phép đối xứng tâm phép tịnh tiến phép dời hình nên F phép dời hình b) Cố định điểm M, gọi I trung điểm MM’ Với điểm N bất kì, ảnh N qua qua phép đối xứng ĐO N’ ảnh ur theo vectơ u N1 N1 qua phép tịnh tiến Ta có MN song song M’N’ nên I trung điểm NN’, hay N’ đối xứng với N qua I Vậy F phép đối xứng tâm I Câu 7: Cho tam giác ABC vuông A đường cao AD Gọi V phép vị tự tâm D tỉ số phép quay tâm D góc quay DB,DA ,F k DA DB Q là hợp thành V Q a) Phép F biên tam giác ABD thành tam giác nào? BM A N b) Lấy hai điểm M N nằm hai cạnh BA AC cho MA NC Chứng minh DMN tam giác vuông LỜI GIẢI DA DC k a) Chú ý DB DA Bởi F biến tam giác ABD thành tam giác CAD b) Vì F biến đoạn thẳng BA thành AC M, N chia BA AC theo tỉ số nên F biến M thành N, tức góc DM ,DN góc quay Vậy tam giác DMN vuông D Câu 8: Cho tam giác ABC vuông A đường cao AD Gọi c phân giac góc C, xứng qua c, V phép vị tâm C tỉ số k Đc phép đối CA CB F hợp thành Đc V a) F biến tam giác ABC thành tam giác nào? AM DN b) Lấy hai điểm M, N nằm hai đoạn thẳng AB DA cho MB NA Chứng minh c phân giác góc MCN LỜI GIẢI CA CD k a) Dễ thấy CB CA Bởi F biến A thành D biến B thành A Do F biến tam giác ABC thành tam giác DAC b) Vì F biến đoạn thẳng AB thành DA nên biến M thành N Bỏi vậy, phép Đc biến CM thành CN, suy c phân giác góc MCN Chương 2: ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Bước làm quen với Hình học không gian, bạn bạn phải nhớ kỹ khái niệm tính chất sau sau: I KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Mặt phẳng: Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng, mặt sàn nhà, cho ta hình ảnh phần mặt phẳng Mặt phẳng khơng có bề dày khơng có giới hạn Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay miền góc ghi tên mặt phẳng vào góc hình biểu diễn (như hình 1) Để kí hiệu mặt phẳng , ta thường dùng chữ in hoa chữ Hi Lạp đặt dấu ( ) Ví dụ: mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q), mặt phẳng , mặt phẳng viết tắt mp(P), mp(Q), mp , mp , (P), (Q), Điểm thuộc mặt phẳng: Cho điểm A mặt phẳng , ... qua phép quay Q nói BÀI 6: KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU A) TĨM TẮT LÝ THUYẾT I) ĐỊNH NGHĨA Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình II) TÍNH CHẤT Nếu hình hình hình. .. cho Phép biến hình biến điểm M thành điểm gọi phép vị tự tâm O tỉ số k kí hiệu (O gọi tâm vị tự) Nhận xét: Phép vị tự biến tâm vị tự thành Phép vị tự tỉ số phép đồng Phép vị tự tâm I tỉ số phép. .. thẳng d biến thành Qua phép đối xứng trục Đ d đường trịn có tâm nằm d biến thành Câu 10: Tìm trục đối xứng hình sau đây: tam giác cân, tam giác đều, hình thang cân, hình chữ nhật, hình thoi, hình