CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI CHI TIẾT số 02

Chuyên đề về hình học không gian chương trình THPT cơ bản và nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết, đồng thời có các bài tập tự luyện ở phía dưới có hướng dẫn giải và đáp án của các phần bài tập tự luyện. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức về về hình học không gian lớp 11, 12 và để ôn thi THPQG.

CHUN ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN SỐ 02 I 40 BÀI TỐN VỀ TRỤ, NĨN, CẦU - CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT - ĐỀ SỐ Câu 1: Cho mặt cầu (S1) có bán kính R1, mặt cầu (S2) có bán kính R2 = 2R1 Tính tỷ số diện tích mặt cầu (S1) (S2)? A B C D Câu 2: Tính thể tích V khối trụ có bán kính đáy chiều cao A V  4 B V  12 C V  16 D V  8 Câu 3: Tính diện tích xung quanh khối trụ có bán kính đáy r = a độ dài đường sinh l  A 5 C  B 5 D 5 Câu 4: Cho hình nón có bán kính đáy r  độ dài đường sinh l  Tính diệm tích xung quanh S hình nón cho A S 3 B S  24 C S  16 3 D S 3 Câu 5: Trong khơng gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = AD = Gọi M, N trung điểm AB CD Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN, ta hình trụ Tính thể tích V khối trụ tạo hình trụ A  B  C  D  Câu 6: Trong không gian mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt hình lập phương cạnh a, thể tích khối cầu (S) A V  a3 B V  a3 Câu 7: Cho mặt cầu có diện tích A a B C V  4a3 D V  a3 24 8a2 Bán kính mặt cầu a C a D a Câu 8: Cơng thức tính thể tích khối trụ có bán kính đáy R chiều cao h là: A V  Rh B V  Rh2 C V  R2h   D V  R h Câu 9: Cho mặt cầu có diện tích 72 cm Bán kính khối cầu bằng: A R   cm B R   cm C R  6 cm D R  3 cm Câu 10: Người ta bỏ ba bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn lớn bóng bàn Gọi Sb tổng diện tích ba bóng bàn, St diện tích xung quanh hình trụ Tính tỉ số A 1,2 St Sb B C 1,5 D Câu 11: Tính thể tích khối trụ có bán kính đáy R = 3, chiều cao h = A V  45 B V = 45 C V  15 D V  90 Câu 12: Gọi l, r độ dài đường sinh bán kính hình nón Tính diện tích tồn phần hình nón B 2rl  r A rl C rl  r D rl  2r Câu 13: Tính thể tích khối trụ biết bán kính đáy r = 4(cm) chiều cao h = 2(cm) A   32 cm2   B 32 cm   C 8 cm   D 16 cm Câu 14: Cho hình trụ có chiều cao 2a, bán kính a Tính diện tích xung quanh hình trụ A a2 C 2a2 B 2a2 D 4a2 Câu 15: Cho địa cầu có độ dài đường kinh tuyến 300 Đông 40  cm Độ dài đường xích đạo là: A 40 3cm B 40cm C 80cm D 80 cm Câu 16: Cho hình nón có diện tích xung quanh 3a2 bán kính đáy a Độ dài đường sinh hình nón cho A 2a B 3a C 2a D 3a Câu 17: Tính thể tích khối nón có bán kính đáy 3cm có độ dài đường sinh 5cm   A 15 cm   B 45 cm     C 12 cm D 36 cm C 4R2 D 2R2 Câu 18: Diện tích mặt cầu có bán kính R bằng: A 2R B R2 Câu 19: Một trục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy cm, chiều dài 25cm (hình bên) Sau lăn trọn vịng trục lăn tạo nên tường phẳng diện tích là:   C 1800  cm  A 300 cm   D 450  cm  B 900 cm Câu 20: Cho hình nón S có bán kính R  a 2, góc đỉnh 600 Diện tích xung quanh hình nón bằng: A a2 B a2 C a2 D a2 Câu 21: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h = 15cm đường kính đường trịn đáy 40 cm Tính thể tích V khối nón   A V  2000 cm   B V  240 cm   C V  1500 cm   D V  500 cm Câu 22: Tập hợp tâm mặt cầu qua hai điểm cố định A B cho trước A đường thẳng B mặt phẳng C điểm D đoạn thẳng Câu 23: Nếu điểm M khơng gian ln nhìn đoạn thẳng AB cố định góc vng M thuộc A mặt cầu cố định B khối cầu cố định C đường trịn cố định D hình trịn cố định Câu 24: Tính diện tích tồn phần hình trụ có bán kính a đường cao a A a   31 B 2a   3 C 2a   3 D a2 Câu 25: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A, AB  a, AC  a Tính độ dài đường sinh l hình nón có quay quanh tam giác ABC xung quanh trục AB A l = 2a B l  2a D l  3a C l = a Câu 26: Tính thể tích V khối nón trịn xoay có chiều cao h đáy hình trịn bán kính r A V  rh B V  rh C V  r h D V  r 2h Câu 27: Cho hình nón có bán kính đáy chiều cao Tính diện tích xung quanh hình nón A.12 B  C 30  D 15  Câu 28: Cho mặt cầu S(O;R) mặt phẳng (P) cách O khoảng R Khi (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn có bán kính bằng: A R B 2R 3 C R D R Câu 29: Cho hình chữ nhật ABCD cạnh AB = 4, AD = Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh MN ta hình trụ trịn xoay tích bằng: A V  96 B V = 12  C V = 36  D V = 24  Câu 30: Khi quay tam giác cạnh a (bao gồm điểm tam giác) quanh cạnh ta khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay theo a A a3 B 3a3 C  3a3 24 D  3a3 Câu 31: Cho mặt cầu (S) tâm O Mặt phẳng (P) cách O khoảng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kính Thể tích khối cầu A 400 B 125 3 C 500 D 125 5 Câu 32: Hình trụ có chiều cao h = 8, chu vi đường tròn đáy 4 Thể tích khối trụ A.56  B 48  C 32  D 16  Câu 33: Cho hình trụ có diện tích xung quanh 4a2 bán kính đáy 2a Độ dài đường sinh hình trụ cho A a B 2a C 3a D 4a Câu 34: Thể tích khối trụ có chiều cao h bán kính đáy R A V  R2h B V  Rh C V  2Rh D V  R2h Câu 35: Cho hình nón có bán kính đáy 4a chiều cao 3a Diện tích xung quanh hình nón bằng: A 18a2 B 12 a2 C 15 a2 D 20 a2 Câu 36: Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay có độ dài đường sinh l bán kính đáy r tính cơng thức đây? A Sxq  rl B Sxq  2rl C Sxq  r 2l D Sxq  4rl Câu 37: Một hình trụ có diện tích xung quanh 4a2 độ dài đường cao 2a Tính bán kính đáy hình trụ A 3a B a C 4a D 2a Câu 38: Cho khối nón có bán kính đáy 9cm, góc đường sinh mặt đáy 300 Tính diện tích thiết diện khối nón cắt mặt phẳng qua hai đường sinh vng góc với A 162cm2 B 27 cm2 C 27 cm D 54 cm2 Câu 39: Một hình trụ có chiều cao 6cm diện tích đáy 4cm2 Thể tích khối trụ bằng:   A cm   B 12 cm   C 24 cm   D 72 cm Câu 40: Cho hình nón có bán kính đáy a độ dài đường sinh 2a Diện tích xung quanh hình nón A 3a2 B 2a2 C a2 D a2 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-A 2-D 3-A 4-D 5-A 6-B 7-C 8-C 9-B 10-B 11-A 12-C 13-B 14-D 15-C 16-B 17-C 18-C 19-B 20-D 21-A 22-B 23-A 24-B 25-A 26-C 27-D 28-D 29-D 30-A 31-C 32-C 33-A 34-A 35-D 36-B 37-B 38-D 39-C 40-D Câu 1: Chọn A Phương pháp: Cơng thức tính diện tích mặt cầu S  4R2 Cách giải: 2 S 4R22 �R2 � �2R1 � Ta có:   � �  � �  S1 4R12 �R1 � �R1 � Câu 2: Chọn D Phương pháp Thể tích khối trụ có chiều cao h bán kính đáy r V  r 2h Cách giải: V  r 2h  22.2  8 Câu 3: Chọn A Phương pháp: Cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ S  2Rh với R bán kính đường trịn đáy h độ dài đường cao hình trụ hay độ dài đường sinh Cách giải: Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ: Sxq  2rl  2.2.2  8 Câu 4: Chọn D Phương pháp: Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón: Sxq  Rl Cách giải: Áp dụng cơng thức ta có: S  3.4  3 (đvdt) Câu 5: Chọn A Phương pháp: Cơng thức tính thể tích khối trụ V  r 2h h chiều cao hình trụ, r bán kính đáy Cách giải: Ta có: chiều cao h khối trụ AD BC nên h = Bán kính đáy r  AB  2  Khi ta tích khối trụ cần tìm V  r h   .2  Câu 6: Chọn B Phương pháp: - Mặt cầu tiếp xúc với mặt hình lập phương cạnh a có bán kính - Áp dụng cơng thức thể tích khối cầu: V  a R 3 4 �a � a3 V  R   � �  3 �2 � Câu 7: Chọn C Phương pháp: Cơng thức tính diện tích mặt cầu, bán kính R: Smc  4R2 Cách giải: 8a2 6a 2a Smc  4R  �R  � R 3 Câu 8: Chọn C Phương pháp: Thể tích khối trụ V  r2h Cách giải: Thể tích khối trụ V  r2h Câu 9: Chọn B Phương pháp: Cơng thức tính diện tích mặt cầu S  4R2 Cách giải: Áp dụng công thức S  4S2 ta có: 72  4R2 � R2  18 � R   cm Câu 10: Chọn B Phương pháp: Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: Sxq  2rl với r bán kính đáy, l đường sinh hình trụ Cơng thức diện tích hình cầu S  4r với r bán kính hình cầu Cách giải: Gọi bán kính bóng bàn r r bán kính đáy hình trụ Vì hình trụ có chiều cao ba lần đường kính bóng bàn nên chiều cao hình trụ 3.2r = 6r Vì hình trụ có chiều cao đường sinh nên diện tích xung quanh hình trụ St  2rl  2r.6r  12r S 12r2  Diện tích ba bóng bàn Sb  3.4r  12r � b  St 12r2 Câu 11: Chọn A Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính thể tích khối trụ V  r 2h với h chiều cao hình trụ r bán kính đáy Cách giải: Ta tích khối trụ V  r2h  .32.5  45 Câu 12: Chọn C Phương pháp: Stp  Sxq  Sd  rl  r2 Cách giải: Stp  Sxq  Sd  rl  r2 Câu 13: Chọn B Cách giải:   V  Sh  r2.h  .42.2  32 cm2 (Trong đó, S: diện tích đáy, h: độ dài đường cao) Câu 14: Chọn D Phương pháp: +) Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq  2rh Cách giải: Áp dụng cơng thức tính xung quanh hình trụ ta có: Sxq  2rh  2a.2a  4a2 Câu 15: Chọn C Phương pháp: Độ dài đường kinh tuyến nửa chu vi đường trịn lớn hình cầu Độ dài đường xích đạo chu vi đường trịn lớn hình cầu Cách giải: Độ dài đường kinh tuyến đông nửa độ dài đường xích đạo � độ dài đường xích đạo 80cm Câu 16: Chọn B Phương pháp: Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón Sxq  rl Cách giải: Sxq  rl  .al  3a2 � l  3a Vậy l = 3a Câu 17: Chọn C Phương pháp: +) Với hình nón có bán kính đáy r, đường sinh l chiều cao là: h  l  r +) Cơng thức tính thể tích khối nón là: V  r h Cách giải: Ta có chiều cao khối nón cho là: h  l  r2  52  32  4cm � Thể tích khối nón là:   1 V  r2h  .32.4  12 cm3 3 Câu 18: Chọn C Phương pháp: Diện tích mặt cầu bán kính R có cơng thức là: S  4R2 Cách giải: Diện tích mặt cầu bán kính R có cơng thức là: S  4R2 Câu 19: Chọn B Phương pháp: Lăn vòng diện tích diện tích xung quanh hình trụ Cách giải: Sau lăn trọn vịng trục lăn tạo nên tường phẳng diện tích là:   6.Sxq  6.2Rh  6.2.3.25  900 cm2 Câu 20: Chọn D Phương pháp: Diện tích xung quanh Sxq  rl r, l bán kính độ dài đường sinh hình nón Cách giải: Vì góc đỉnh 600 nên thiết diện qua trục tam giác cạnh 2R, độ dài đường sinh: l  2R  2a � Sxq  Rl  .a 2.2a  4a2 Câu 21: Chọn A Phương pháp: Thể tích khối nón tính công thức: V  R h Cách giải: Bán kính đáy là: 40 : = 20 cm Thể tích khối nón là: V  .20 15  2000cm Câu 22: Chọn B Phương pháp: Dựa vào lý thuyết khối tròn xoay không gian Cách giải: Tập hợp tâm mặt cầu qua hai điểm cố định A B cho trước mặt phẳng trung trực AB Câu 23: Chọn A Phương pháp: Dựng hình, xác định tập hợp điểm M không gian Cách giải: Điểm M khơng gian ln nhìn đoạn thẳng AB góc vng điểm M ln thuộc mặt cầu đường kính AB Câu 24: Chọn B Phương pháp: +) Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay tích độ dài đường tròn đáy độ dài đường sinh: Sxq  2Rl  2Rh +) Diện tích tồn phần hình trụ trịn xoay tổng diện tích xung quanh diện tích đáy: Stp  Sxq  S2day  2Rl  2R2  2Rh 2R2 Cách giải: Stp  2Rh  2R2  2.aa  2a2  3a2  2a2  2a2   3 Câu 25: Chọn A Phương pháp: - Nhận xét: Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB ( cạnh góc vng tam giác) ta hình nón có đường cao AB, bán kính đáy đoạn AC, đường sinh BC - Độ dài đường sinh hình nón: l  r  h2 Trong đó: l: độ dài đường sinh, r: bán kính đáy, h: độ dài đường cao Cách giải:   Độ dài đường sinh: BC  AB2  AC2  a2  a  2a Câu 26: Chọn C Phương pháp: Công thức tính thể tích khối nón V  r h với r, h bán kính đáy chiều cao khối nón Cách giải: Thể tích khối nón trịn xoay cần tính V  r h Câu 27: Chọn D Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón S xq rl với r, l bán kính đáy độ dài dường sinh khối nón Mối quan hệ độ dài đường sinh, bán kính đáy chiều cao hình nón: l  r  h2 Cách giải: Ta có: l  r  h2 Diện tích xung quanh hình nón Sxq  rl  r r  h2  15 Câu 28: Chọn D Phương pháp: Sử dụng định lí Pi – ta – go Cách giải: r  R2  R2 R  Câu 29: Chọn D Phương pháp: Thể tích khối trụ V  R2h Cách giải: Quay hình chữ nhật ABCD quanh MN ta hình trụ có đường cao AD = bán kính đáy AB 2 10 Với khối lăng trụ đứng, khối đa diện có mặt cầu ngoại tiếp với khối lăng trụ áp dụng cơng thức tính nhanh để xác định bán kính mặt cầu Cách giải: Khối cầu ngoại tiếp tứ diện AB' A'C khối cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A' B'C ' Bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A' B'C ' R  R2ABC  AA  a Vậy thể tích khối cầu cần tính V  4 R  a 3 Câu 19: Chọn B Cách giải: Gọi I trung điểm BC Kẻ : HJ  BC, J �BC  ;OM  AC, M �AC  ; ON  AB, N �AB ;OK  SJ , K �SJ  �HJ  BC � BC   SHJ  � BC  OK Ta có: � �SH  BC Mà OK  SJ � OK   SBC  � d O, SBC    OK Theo đề bài, ta có: OM  ON  2OK  Dễ dàng chứng minh được: OMH  ONH  ch  cgv � HM  HN AHM  AHN  ch  cgv � MAH  NAH � AH phân giác góc A Do I trung điểm BC, tam giác ABC � AI phân giác góc A Suy ra, A, H, I thẳng hàng H �đoạn thẳng AI ( H nằm tam giác ABC) Ta có: �AI  BC � BC   SAI  � �SH  BC �   SBC  , ABC     SI , AI   SIA  600 Tam giác SHI vuông H � SH  tan600 � SH  3HI HI AI BC  tan600 � AI  3IC   3SH IC � AI  3HI � H trọng tâm tam giác ABC � M,N trung điểm AC, AB � S.ABC hình chóp Mà O �SH � OM  ON  OI  Tam giác AIC vuông I � 68 Tam giác IOK vuông K: OK    sin KIO � KIO  300 � HIO  600  300  300 OI Tam giác HIO vuông H: HI  OI cos300  3 3 HI Tam giác SHI vuông H: SH  HI tan600    h, SI    2 cos60 Tam giác SCI vuông I: SC  SI  IC2  SI  SH    � 3� 21 � � a �2 � � 21 � 21 � � � � Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là: R  a  � �   2h 2 4 �7 � 343 Thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là: V  R3  .� �  3 �4 � 48 Câu 20: Chọn B Phương pháp: Sử dụng phương tích, xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ (thơng qua dựng hình) Cách giải: Do lăng trụ nội tiếp mặt cầu nên gọi (K;r) đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD � IA.IC  IB.ID  r  IK (phương tích) Suy r2  h2  IK Gọi (O;R) mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Ta có R2  � KA  OK Vậy Rmin  r2 h2 h IK h R h h , I tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD Câu 21: Chọn B Phương pháp: Xác định bán kính mặt cầu thơng qua kiện khoảng cách Cách giải: Gọi M đỉnh hình lập phương có cạnh nằm đường chéo AC’ nằm khối lại sau cắt Gọi I tâm khối cầu tích lớn thỏa mãn u cầu tốn 69 Ta có d I ; A' B'C ' D '   d I ; BCC ' B'   d I ; DCC ' D'  Suy I thuộc đoạn thẳng CM’ mặt cầu tâm I cần tìm qua điểm M Đặt d I ; DCC ' D '   a, ta có IC '  a AC '  3, AM  Suy IM   a mặt khác d I ; DCC ' D '   IM � a   a � a  3 Câu 22: Chọn A Phương pháp: Áp dụng công thức tính nhanh tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp dạng mặt bên vng góc với đáy Cách giải: Cách 1: Bán kính đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD RABCD  a Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC RABC  a 3  a Áp dụng cơng thức tính nhanh, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD   a AB2 R  RABCD  R2ABC   a2 a2  4  a 2 �a � Vậy diện tích mặt cầu cần tính S  4R  4.� �  5a2 �2 � � � Cách : Gọi H trung điểm AB � SH   ABCD Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD � O tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD Qua O kẻ đường thẳng d1 / / SH � d1   ABCD O Gọi G tâm tam giác ABC, qua G kẻ d2 / / HI � d2   ABC  G Gọi I  d1 �d2 � I tâm đường trịn ngoại tiếp chóp S.ABCD 1 a 3 a Ta có IO  GH  SH   ; AC  AB2  AD2  2a � AO  AC  a 3 2 a �a � Xét tam giác vuông AIO có IA  IO2  OA2  � �2 a2  �2 � 70 �a � Vậy diện tích mặt cầu cần tính S  4R  4.� �  5a2 �2 � � � Câu 23: Chọn C Phương pháp: Tâm mặt cầu nội tiếp hình lập phương (hình cầu tiếp xúc với mặt) tâm hình lập phương Cách giải: a Hình cầu tiếp xúc với tất mặt hình lập phương có bán kính R  Câu 24: Chọn C Phương pháp: Xác định tâm đường trịn ngoại tiếp hình chóp - Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Vẽ đường thẳng (d) qua O vng góc đáy - Vẽ mặt phẳng trung trực cạnh bên cắt (d) I tâm mặt cầu ngoại tiếp cần tìm bán kính R = IA = IB = IC =… Cách giải: ABCD hình thang cân � ABCD tứ giác nội tiếp � Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD trùng với đường trịn ngoại tiếp hình thang ABCD Gọi I trung điểm AD Do AB = CD = BC = a, AD = 2a, ta dễ dàng chứng minh I tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD � I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Gọi M, N trung điểm SD, SA � MI , MN đường trung bình tam giác SAD � MI / / SA, MN / / AD �MI   ABCD � MB  MC  MD  MA, MN trung trực SA Mà SA   ABCD � � �MN  SA � MB  MC  MD  MS  MA � M tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD 71 Bán kính R  MS  SD  Thể tích mặt cầu: V   2a   2a SA2  AD2  2 a 8a3 4 R   a  3   Câu 25: Chọn C Phương pháp: Dựng hình vng ABCD, xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD tính diện tích mặt cầu S  4R2 Cách giải: Dựng hình vng ABCD � SD  mp ABCD Khi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Kẻ DH  SC  H �SC  mà BC   SCD � DH   SBC  Mặt khác AD / / BC � d A; SBC    d  D; DBC    DH  a Tam giác SCD vng D, có DH  SD2  CD2 � SD  a RABCD  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD R    Vậy diện tích mặt cầu cần tính S  4R2  4 a 2 �a � �a � SD2  � �2 � � � �4 � �a � � � �  12a2 Câu 26: Chọn A Phương pháp: Dựng hình, tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ tính bán kính dựa vào tam giác vng Cách giải: Xét lăng trụ tam giác ABC.A' B'C ' có cạnh a Gọi O tâm tam giác ABC, M trung điểm AA' Qua O kẻ d1   ABC  , qua M kẻ d2  AA' d1 �d 2 I Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A ' B'C ' Tam giác IAO vng O, có IA  IO2  OA2  R2ABC  AA' 72 �a � a2 a 21  � �3 � � � � Mà AA'  a; RABC  a � IA  �a 21 � 7a2 Vậy diện tích cần tính Smc  4R  4.� � � � � � Câu 27: Chọn D Phương pháp: Áp dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp Cách giải: �  P    Q �  P  � Q   � AC   Q Ta có: � �  P  �AC   � Gọi I trung điểm AD, ABD vuông B nên M tâm đường tròn ngoại tiếp ABD Gọi N trung điểm AC Qua M kẻ đường thẳng d song song với AC � d   ABD Qua N kẻ đường thẳng d’ song song với AD � d'  AC Gọi I  d �d' � I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính R = IA 2 Ta có: AM  AD  a2  a2  a ; AN  a � AI  a  a  a 2 2 4 Câu 28: Chọn C Phương pháp: +) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN SMN +) Dựng trục hai mặt phẳng (CMN) (SMN), giao điểm hai trục tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.CMN Cách giải: Gọi H trung điểm AB ta có SH   ABCD Gọi F trung điểm MN, CMN vng C nên F tâm đường trịn ngoại tiếp CMN Qua F kẻ d1 / / SH � d1   ABCD Ta có: 73 a HN  AC  � SN  2 MN  2 �a � �a � a � � �2 � � � � � � � �2 � a BD  2 �a � a SM  SH  HM  � �2 � � a  � � 2 � SN  MN  SM � SMN vuông N Gọi E trung điểm SM, qua E kẻ d2   SMN  cho d2 �d1  I � I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.CMN Dễ thấy HMN vuông cân N �MN  HN �� � MN   SHN  � MN  SN �MN  SH �   SMN  ; ANCD    SH; HN   SNH d1  ABCD � � �  d1;d2     SMN  ; ABCD   SNH  EIF  900 Ta có � d2   SMN  � a SH    tan EIF Ta có: tanSNH  SN a 2 a EF SN a 30    Có EI   SMN  � EI  EF � EIF vuông E � IE  tan EIF 2tan EIF 12 2 Xét tam giác vng SIE có IS  IE  SE2  IE  SM  a 93  R 12 Câu 29: Chọn A Phương pháp: +) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN SMN +) Dựng trục hai mặt phẳng (CMN) (SMN), giao điểm hai trục tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.CMN 74 Cách giải: Gọi H trung điểm AB ta có SH   ABCD Gọi F trung điểm MN, CMN vuông C nên F tâm đường tròn ngoại tiếp CMN Qua F kẻ d1 / / SH � d1   ABCD Ta có: a HN  AC  � SN  2 MN  2 �a � �a � a � � �2 � � � � � � � �2 � a BD  2 �a � a SM  SH  HM  � �2 � � a  � � 2 � SN  MN  SM � SMN vuông N Gọi E trung điểm SM, qua E kẻ d2   SMN  cho d2 �d1  I � I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.CMN Dễ thấy HMN vuông cân N �MN  HN ޮ ޮ ��  �MN  SH MN  SHN  MN SN �  SMN  ; ABCD   SH; HN   SNH � d1   ABCD � �  d1;d2     SMN  ; ABCD   SNH  EIF  900 Ta có � d2   SMN  � a SH    tanEIF Ta có: tan SNH  SN a 2 a EF SN a 30    Có EI   SMN  � EI  EF � EIF vuông E � IE  tan EIF 2tan EIF 12 75 Xét tam giác vng SIE có IS  IE  SE2  IE  SM  a 93  R 12 Câu 30: Chọn A Phương pháp: Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, tính bán kính mặt cầu, từ tính thể tích mặt cầu Vmc  R Cách giải: Gọi SA cạnh bên hình chóp, M trung điểm SA,    mặt phẳng chứa đa giác đáy, H chân đường vng góc đỉnh S mặt đáy Vì hình chóp đa giác � H tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy  SA;      SA; AH   SAH  300 Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp OM trung trực đoạn SA SAH vuông H � SH  SA.sin A  a.sin30  a a SO SM SO �  �   1� SO  a � R  a Ta có: SOM đồng dạng SAH  gg SA SH a a Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: Vmc  4 R  a 3 Câu 31: Chọn B Phương pháp: Diện tích mặt cầu bán kính R: S  4R2 Cách giải: Gọi H, H’ trung điểm BC B’C’ � HH '   ABC  HH '   A ' B 'C ' Gọi I trung điểm HH’ Mặt khác ABC vuông A, �IA  IB  IC I �HH ' � � �IA'  IB'  IC ' 76  � IB  IB' Dễ dàng chứng minh BHI  B' H ' I  c.gc � IA  IB  IC  IA'  IB'  IC ' hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ Kẻ AK  BC ta có AK   BCC ' B' �  AC '; BCC ' B'    AC '; KC '  AC ' K  300 Có AC  A'C '  4a2  3a2  a Ta có AK  � AC '  AC.AB a.a a   BC 2a AK a  a � AA '  AC '2 A'C '2  3a2  a2  a  HH ' � HI  HH '  sin30 2 �a � a2 a � BI  a    R � Smatcau  4 �  6a2 � � � 2 �2 � Câu 32: Chọn C Phương pháp: Gọi O tâm hình lập phương ta có O tâm mặt cầu tiếp xúc với cạnh hình lập phương Gọi H trung điểm C’D’ � OH  R Cách giải: Gọi O tâm hình lập phương ta có O tâm mặt cầu tiếp xúc với cạnh hình lập phương Gọi H trung điểm C’D’ ta có: OC ' D ' cân O � OH  C ' D ' � OH  R Ta có OC '  AC '   2 � OH  OC '2 HC '2  2 2 Câu 33: Chọn B Phương pháp: Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp, tính bán kính mặt cầu Tính thể tích khối cầu V  R Cách giải: Gọi O tâm đáy ABCD, I, J trung điểm NC, AN CD  AD � � CD   SAD � CD  AP Ta có: � CD  SA � Mà AP  SC (do SC     ) � AP   SCD � AP  PN � A, P,N nằm đường tròn đường kính AN Tương tự, A,M,N nằm đường trịn đường kính AN � A 77 thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác PMN, hay tứ giác APNM tứ giác ngoại tiếp đường trịn tâm J Do đó, điểm A nằm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện C.MNP OJ đường trung bình tam giác ANC � J O / /NC � J O   AMNP  (vì NC   AMNP  ) Mà J tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNP � OA  OM  ON  OP(1) Mặt khác OI đường trung bình tam giác ANC � OI / / AN � OI  NC (do AN  NC) � OI đường trung trực NC � ON  OC (2) Từ (1), (2) suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp C.AMNP, bán kính R  OC  AC AB 2 2    (do ABCD hình vng) 2 Thể tích khối cầu V  4 32 R  .2  3 Câu 34: Chọn A Phương pháp: Dựng hình tìm tâm bán kính mặt cầu áp dụng cơng thức tính nhanh Cách giải: Gọi I trung điểm SC Ta có: SAC vng A � IA  IS  IC (tính chất đường trung tuyến) �BC  SA � BC   SAB � BC  SB � SBC vng Có: � �BC  AB B � IS  IB  IC (tính chất đường trung tuyến) � IS  IA  IB  IC Hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC Tam giác ABC vng B, có AC  AB2  BC2  2a Tam giác SAC vng C, có SC  SA2  AC2  a2  4a2  a Vậy bán kính mặt cầu cần tìm R  SI  SC a  2 Câu 35: Chọn D Phương pháp: Gọi O tâm hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ I trung điểm AB, R = OI Cách giải: Gọi O tâm hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ I trung điểm AB ta có OA  OB � OAB cân O � OI  AB 78 Tương tự ta chứng minh O tâm hình cầu tiếp xúc với tất cạnh hình lập phương bán kính hình cầu R  OI 2 � � a� a Ta có OA  AC '  a � OI  �a �  �  � � � � �2 � 2 � � Câu 36: Chọn D Phương pháp: AMB  900 � M thuộc mặt cầu (S2), đường kính AB Cách giải: AMB  900 � M thuộc mặt cầu (S2) đường kính AB Tương tự AMD  900 � M thuộc mặt cầu (S2) đường kính AD Do M � S1 � S2  đường trịn Quan sát hình vẽ ta thấy M thuộc đường trịn đường kính AE  Bán kính đường trịn a � a Câu 37: Chọn C Phương pháp: +) Chứng minh tam giác ABC vuông B +) Xác định trục d mặt phẳng (ABC) +) Gọi I giao điểm d trung trực SB, I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC Cách giải: Ta có OA  OB  OC � Hình chiếu vng góc O (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có OAB cạnh a � AB  a OBC vuông cân O � BC  a Dễ dàng tính AC  a � ABC vuông B Gọi H trung điểm AC � OH   ABC  Gọi K trung điểm BS Qua K kẻ KI \bot SB\,\,\left( {I \in OH} \right) Khi I tâm đường trịn ngoại tiếp chóp S.ABC � Ta dễ dàng chứng minh OKI : OHB gg KI OK  HB OH 79 Tam giác ABC vuông B � BH  a AC  2 a 3a 3 Tính OH  ;OK  � KI  4 Xét tam giác vng SIK có IS  IK 2 KS2  a Câu 38: Chọn B Phương pháp: Gọi a’ hình chiếu vng góc a mặt phẳng (P) Góc đường thẳng a mặt phẳng (P) góc đường thẳng a a’ Cách giải: Gọi O tâm hình vng ABCD Vì S.ABCD hình chóp � SO   ABCD �  SB; ABCD    SB;OB  SBO  450  SDO � SBD vuông cân S � O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBD � OS  OB  OD Mà OA  OB  OC  OD � O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Mà OA  OB  OC  OD � O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bán kính mặt cầu: R  OB  a 2  a (do ABCD hình vng có cạnh 2a) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp : S = 4\pi {R^2} = 4\pi {a^2} Câu 39: Chọn A Phương pháp: 80 Gọi I trung điểm SC, sử dụng định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông, chứng minh I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD Cách giải: Gọi I trung điểm SC Ta có BC   SAB nên BC  SB Chứng minh tương tự ta có CD  SD Ba tam giác SAC, SBC, SDC ba tam giác vng có chung cạnh huyền SC nên ta có AI  BI  DI  SC  SI  CI Do I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD R  IS  IA  IB  IC  ID  SC 6a2  2a2   a 2  Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD S  4R2  4 a   8a2 Câu 40: Chọn C Phương pháp: 2 Sử dụng cơng thức tính nhanh R  a  b  c Cách giải: Do hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi vng góc nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Là R  SA2  SB2  SC2 a2  4a2  9a2 a 14   2 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S  4r  4 14a2  14a2 81 82 ... đáy chi? ??u cao khối nón Cách giải: 1  h.r  3a.a2  a3 Thể tích khối nón: Vnon  hS 3 30 BÀI TẬP BÀI TOÁN VỀ TRỤ, NÓN, CẦU - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT 19 MỨC ĐỘ 2: THÔNG HIỂU - ĐỀ SỐ CHUYÊN ĐỀ: HÌNH... 205,89cm3 32 30 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ TRỤ, NÓN, CẦU - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 3: VẬN DỤNG - ĐỀ SỐ CHUN ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 1: Cho hình nón có góc đỉnh 600, diện tích xung quanh 6a2 Tính... Sxq  Rl  .a.2a  2 a2 20 BÀI TỐN VỀ TRỤ, NĨN, CẦU - CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ 1: NHẬN BIẾT - ĐỀ SỐ CHUN ĐỀ: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Câu 1: Một bóng bàn có mặt ngồi mặt cầu bán kính 2cm Diện