D11_C3_B1_Phương-pháp-quy-nạp-toán-học_Ngô-Thị-Lâm_đã chỉnh sửa

Chủ đề: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Thời lượng dự kiến:2 tiết I MỤC TIÊU Kiến thức -Hiểu phương pháp bước chứng minh quy nạp - Biết dùng phương pháp quy nạp Kĩ - Vận dụng thành thạo phương pháp quy nạp giải toán 3.Về tư duy, thái độ - Tự giác, tích cực học tập - Tư vấn đề toán học cách lôgic hệ thống -Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ quen, có tinh thần hợp tác xâydựng cao 4.Định hướng lực hình thành phát triển: - Năng lực tự học:Học sinh xác định đắn động thái độ học tập; tự đánh giá điềuchỉnh kế hoạch học tập; tự nhận sai sót cách khắc phục sai sót - Năng lực giải vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, tập có vấn đề đặt câu hỏi Phân tích tình học tập - Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc thân q trình học tập vào sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân cơng nhiệm vụ cụ thể cho thành viên nhóm, thành viên tự ý thức nhiệm vụ hồn thành nhiệm vụ giao - Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thơng qua hoạt động nhóm; có thái độ tơn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực giao tiếp - Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ nhóm, trách nhiệm thân đưa ý kiến đóng góp hồn thành nhiệm vụ chủ đề - Năng lực sử dụng ngơn ngữ: Học sinh nói viết xác ngơn ngữ Tốn học II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH Giáo viên +Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, Học sinh + Đọc trước + Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng … III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG A Mục tiêu:- Biết phối hợp hoạt động nhóm sử dụng tốt kỹ ngôn ngữ - Tạo ý cho học sinh để vào Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh hoạt động Bài toán Thầy giáo kiểm tra cũ lớp 11A1 (có 35 học sinh), thầy gọi Kết 1: Thầy kết luận chưa hợp lí theo sổ điểm bạn: bạn từ số thứ tự đến số  Trần Thị Hoa thứ tự 35 chưa học  Cao Nói Để thu kết luận đúng, thầy cần  Hồ Tình kiểm tra lớp( cách kiểm tra 15 phút chẳng hạn)  Văn Thanh Diệu  Đỗ Thị Lan Cả bạn học Thầy kết luận: “Cả lớp 11C1 học bài” Thầy kết luận có hợp lí khơng? Nếu khơng làm để có kết luận đúng? Kết 2: Bài toán Người ta kiểm tra quần thể ruồi giấm thấy hệ đầu Kết luận chưa chưa kiểm tra xem hệ khác có tiên có tính trạng mắt đỏ Kết luận: “Tất ruồi giấm hệ quần thể mắt đỏ” Kết luận có khơng? Nếu khơng làm để có kết luận đúng? mắt đỏ khơng? Ta khơng thể làm tốn số lượng ruồi giấm hệ quẩn thể vô số, việc kiểm tra cá thể hệ thực Để thu kết luận đúng, ta làm sau: + Kiểm tra với hệ thứ (đời F1); + Chứng minh di truyền tính trạng mắt đỏ Tức chứng minh đời bố mẹ mắt đỏ đời mắt đỏ Khi đó, chắn tất cá thể hệ mắt đỏ hệ trước di truyền lại cho hệ sau GV treo bảng phụ GV phân nhóm: Nhóm 1, thảo luận câu 1; Nhóm 3, thảo luận câu HS quan sát bảng phụ tiến hành trao đổi, thảo luận theo nhóm Câu Cho mệnh đề P  n  :"3n  n  100" Với n  1:   100 Đúng n  : 32   100 Đúng n  : 33   100 Đúng n  : 34   100 Đúng P  n Với n  mệnh đề hay sai? Vậy với n số * P  n Kết 3: Với n �� P  5 sai sai P  n nguyên dương mệnh đề hay sai? n Q  n  :"2  n " Câu Cho mệnh đề Với n  1:  Đúng Q  5 Kết 4: Ta có với * Q  n n �� n  : 22  Đúng n  : 23  Đúng n  : 24  Đúng Q  n Với n  mệnh đề hay sai? Vậy với n số nguyên dương mệnh đề Q  n hay sai? HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC B Mục tiêu: - Nhớ hiểu nội dung phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước (bắt buộc) theo trình tự quy định - Biết cách lựa chọn sử dụng phương pháp quy nạp toán học để giải tốn cách hợp lí Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt học sinh động I Phương pháp quy nạp toán học Nắm phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự gồm hai bước (bắt buộc) theo trình tự * nhiên n �� với n mà thử trực quy định tiếp làm sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n  Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n  k �1 (giả thiết quy nạp), chứng minh mệnh đề với n  k  Đó phương pháp quy nạp tốn học II Ví dụ áp dụng * Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để * chứng minh mệnh đề phụ thuộc vào số tự VD1: Chứng minh với n �� , ta có: * nhiên n ��    �   2n –1  n  * Kết 1: * Với n  VT = = VP Vậy hệ thức với n  * Giả sử (*) n  k (k �1) , tức     (2k  1)  k Ta CM với n  k  (*) đúng, nghĩa     (2k  1)  �  k  1  1� � �  k  1 Ta có     (2k  1)  �  k  1  1� � �  k2  �  k  1  1� � � k  2k    k  1 * VD2: Chứng minh với n �� chia hết cho An  n3 – n  * Do (*) với n  k  * Vậy (*) với n �� Kết 2: * Với n  ta có A1  M3 Vậy (*) với n  * Giả sử (*) với n  k (k �1) , tức Ak   k  k  M3 Ta CM với n  k  (*) đúng, nghĩa � Ak 1  � M  3  k  1 –  k  1 � � Thật vậy, ta có Ak 1   k  1 –  k  1 3 Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động  k  3k  3k   k    k  k    k  k   Ak   k  k  Chú ý:Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n �p ( p ��) thì: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n  p Theo giả thiết, Ak   k  k  M3  k  k  M3 nên Ak 1 M3 Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên Do (*) với n  k  n  k �p , chứng minh mệnh đề với n  k  * Vậy (*) với n �� n * VD3: Cho hai số 8n , n �� a) So sánh hai số với n  1, 2,3, 4,5 * Nắm phương pháp quy nạp chứng b) Dự đoán kết tổng quát chứng minh minh mệnh đề với số tự nhiên phương pháp quy nạp n �p ( p ��) Kết 3: n * CM:  8n với n �3 , n �� (*) * Với n  ta có 27 > 24 Vậy (*) với n  * Giả sử (*) với n  k (k �3) , tức 3k  8k Ta CM với n  k  (*) đúng, nghĩa k 1  8( k  1) Thật vậy, ta có 3k  8k � 3k  8k  8k  � 3k 1  8(k  1) Do (*) với n  k  * Vậy (*) với n �3 , n �� HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP C Mục tiêu:Thực dạng tập SGK Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt học sinh động * Kết 1: Chứng minh với n �� , ta có: a)*Với n  VT = = VP n  3n  1     3n   Vậy hệ thức với n  a) * Giả sử (a) n  k (k �1) , tức 1 1 2n      n  n k  3k  1 2     3k   b) n(n  1)(2n  1) 12  2  32   n  Ta CM với n  k  (a) đúng, nghĩa c)      k  1   Ta có      k  1   k  1  3k         3k  1   3k   k  3k  1   3k   3k  k   k  1  3k     2 Do (a) với n  k  * Vậy (a) với n �� b) * Với n  VT = = VP Vậy hệ thức với n  * Giả sử (b) n  k (k �1) , tức 1 1 2k      k  k 2 Ta CM với n  k  (b) đúng, nghĩa 1 1 k 1      k 1  k 1 2 Ta có 1 1     k 1 k 1 2k 1   k  k 1  k 1 2 Do (b) với n  k  * Vậy (b) với n �� * HS tự chứng minh c) Kết 2: * HS tính S1, S2, S3 n Sn  n  với n ��* (*) CM:  Cho tổng 1 Sn     1.2 2.3 n(n  1) với n ��* a) Tính S1, S2, S3 b) Dự đốn cơng thức tính S n chứng minh qui nạp * Với n  VT = = VP Vậy hệ thức với n  * Giả sử (*) n  k (k �1) , tức 1 k     1.2 2.3 k (k  1) k  Ta CM với n  k  (*) đúng, nghĩa 1 1 k 1      1.2 2.3 k ( k  1) (k  1)  k   k  1 1     1.2 2.3 k (k  1) (k  1)  k   Ta có k k 1    k  (k  1)  k   k  Do (*) với n  k  * Vậy (*) với n �� HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TỊI MỞ RỘNG D,E Mục tiêu:Giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải vấn đề thực tế sống, toán thực tế… Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động học sinh Câu hỏi 1: Kết 1: Bán kính đường trịn số Fibonacci( Quy nạp kiểu Fibonacci) Em dự đốn xem, tâm đường trịn nằm vị trí nào, bán kính Câu hỏi 2: Chứng minh số đường chéo n  n  3 Cn  , n �4 đa giác lồi Kết 2:Khẳng định với n 4 tứ giác có hai đường chéo Giả sử khẳng định với n  k �4 , tức Ck  k  k  3 Ta cần chứng minh khẳng định n  k  , có nghĩa phải chứng minh Ck 1   k  1  k   Câu hỏi 3: i 2017 , i 2018 , i n Thật Khi ta vẽ thêm đỉnh Ak 1 cạnh Ak A1 trở thành đường chéo Biết số phức i  1 Khi tính Ngồi từ đỉnh Ak 1 ta kẻ tới k  đỉnh lại để tạo thành đường chéo Nên số đường chéo tạo thành ta thêm đỉnh Ak 1 k    k  Câu hỏi 4: Tìm quy luật Vậy ta có Ck 1  Ck  k   k  k  3  k  1  k    k 1  2 Kết 3: i 2017  i.i 2016  i  i  1008 i i 2018  i i 2016   1  i  1008  1 Kết 4: Đáp án có chữ số đầu chữ số cuối 1, xếp số tịnh tiến, mang tính đối xứng IV CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC NHẬN BIẾT A n Câu Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến với số tự nhiên n �p ( p số tự nhiên) Ở bước (bước sở) chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng: A n  B n  p C n  p D n �p Lời giải Chọn B Câu Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A n với số tự nhiên n �p ( p số A n tự nhiên) Ở bước ta giả thiết mệnh đề với n  k Khẳng định sau đúng? A k  p B k �p C k  p D k  p Lời giải Chọn B A n Câu Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến với số tự nhiên n �p ( p số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: �Bước 1, kiểm tra mệnh đề A  n  với n  p �Bước 2, giả thiết mệnh đề A  n  với số tự nhiên n  k �p phải chứng minh với n  k  Trong hai bước trên: A Chỉ có bước C Cả hai bước B Chỉ có bước D Cả hai bước sai Lời giải Chọn C 1 1     1� 2� 3� n  n  1 Sn  1 1     1� 2� 3� n  n  1 THÔNG HIỂU Sn  * với n �N Mệnh đề sau đúng? 1 S3  S2  S2  S3  12 A B C D 1 �� �  n  n  1   1 � S n  n Lời giải Nhìn vào đuôi cho , ta 1 S2    1� 2� 3 Chọn C Do với n  , ta có Câu Cho * với n �N Mệnh đề sau đúng? n n 1 n2 Sn  Sn  Sn  n 1 n2 n3 B C D S1  , S  , S3  Từ ta thấy quy luật từ nhỏ Lời giải Cách trắc nghiệm: Ta tính mẫu đơn vị Chọn B n S1  , S2  , S3  �� � Sn  n 1 Cách tự luận Ta có dự đốn Câu Cho n 1 Sn  n A �Với n  , ta S1  1  1.2  : �Giả sử mệnh đề n  k  k �1 , tức 1 k     1.2 2.3 k  k  1 k  1 k     1.2 2.3 k  k  1 k  �Ta có 1 1 k �       1.2 2.3 k  k  1  k  1  k   k   k  1  k   1 1 k  2k  �      1.2 2.3 k  k  1  k  1  k    k  1  k   � 1 1 k 1      1.2 2.3 k  k  1  k  1  k   k  Sn  Câu Cho A Sn  Suy mệnh đề với n  k  1    1� 3�  2n  1 �  2n  1 n 1 n Sn  2n  B 2n  * với n �N Mệnh đề sau đúng? n n2 Sn  Sn  3n  2n  C D � � S1  �n  �� � � � S2  �n  �� 15 � � � S3  �n  �� Kiểm tra đáp án cho B thỏa Chọn B Lời giải Cho � � � � �� � Pn  � 1 � 1 � � 1 � � n �với n �2 n �� Mệnh đề sau đúng? � � � � � Câu Cho A P n 1 n2 B P n 1 2n C P n 1 n D P n 1 2n � � 1� n  �� � P2  �  � � � � � � � �� � � n  �� � P3  � 1 � �  � � � � � � � n � Lời giải Vì nên ta cho Kiểm tra đáp án cho D thỏa Chọn D * Câu Với n �� , hệ thức sau sai? n  n  1    n       2n  1  n 2 A B C 12  22   n2  n  n  1  2n  1 2    L   2n   D 2n  n  1  2n  1 Lời giải Bằng cách thử với n  , n  , n  ta kết luận Chọn D VẬN DỤNG * Câu 10 Chứng minh với n �� n  2n chia hết cho Hướng dẫn giải Đặt P (n)  n  2n - Khi n  , ta có P (1)  3M3 Suy mệnh đề với n  3 - Giả sử mệnh đề n  k �1 , tức là: P(k )  k  2k M - Ta cần chứng minh mệnh đề n  k  , tức chứng minh: P(k  1)  (k  1)  2(k  1)M3 Thật vậy: P( k  1)  k  3k  3k   2k   k  3k  5k    k  2k   3( k  k  1)  P (k )  3( k  k  1) � mệnh đề n  k  Mà P (k )M3 3(k  k  1)M3 nên P(k  1) M * - Vậy theo ngun lý quy nạp tốn học ta có mệnh đề với n �� * Câu 11 Chứng minh với n �� n  11n chia hết cho Hướng dẫn giải Đặt P (n)  n  11n - Khi n  , ta có P (1)  12M6 Suy mệnh đề với n  - Giả sử mệnh đề n  k �1 , tức là: P (k )  k  11k M6 - Ta cần chứng minh mệnh đề n  k  , tức chứng minh: P (k  1)  (k  1)  11(k  1) M6 Thật vậy: P(k  1)  k  3k  3k   11k  11  k  3k  14k  12   k  11k   3( k  k )  12  P(k )  3k (k  1)  12 Mà P (k )M6 , 3k ( k  1)M6 (do k k  số tự nhiên liên tiếp nên k (k  1)M2 ) 12M6 nên P (k  1)M6 � mệnh đề n  k  * - Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học ta có mệnh đề với n �� VẬN DỤNG CAO 1.4  2.7  � � �  n  3n  1  n  n  1 Câu 12 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: Hướng dẫn giải 1.4  2.7  � � �  n  3n  1  n  n  1 (1) Với n = 1: Vế trái (1)  1.4  ; Vế phải (1)  1(1  1)  Suy Vế trái (1) = Vế phải (1) Vậy (1) với n = 1.4  2.7  � � �  k  3k  1  k  k  1 Giả sử (1) với n  k Có nghĩa ta có: Ta phải chứng minh (1) với n  k  Có nghĩa ta phải chứng minh: 1.4  2.7  � � �  k  3k  1   k  1  3k     k  1  k    2 1.4  2.7  � � �  k  3k  1   k  1  3k    k  k  1   k  1  3k     k  1  k   4 44 4 43 Thật  k  k 1 2 (đpcm) Vậy (1) n  k  Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên dương n Câu 13 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: n  n  3 1  � � �   1.2.3 2.3.4 n  n  1  n    n  1  n   Hướng dẫn giải n  n  3 1  � � �   , (1) 1.2.3 2.3.4 n  n  1  n    n  1  n   1(1  3) 1    Với n = 1: Vế trái (1) 1.2.3 ; Vế phải (1) 4(1  1)(1  2) Suy Vế trái (1) = Vế phải (1) Vậy (1) với n =  k  k  3 1  � � �   1.2.3 2.3.4 k  k  1  k    k  1  k   Giả sử (1) với n  k Có nghĩa ta có: Ta phải chứng minh (1) với n  k  Có nghĩa ta phải chứng minh:  k  1  k   1 1  � � �    1.2.3 2.3.4 k  k  1  k    k  1  k    k  3  k    k   1 1  � � �   1.2.3 2.3.4 k  k  1  k    k  1  k    k   4 4 4 4 4 43 Thật  k  k  3 4 k 1  k   10  2  2  k  k  3 1    k  1  k    k  1  k    k  3  k  1  k   � � k  k  3  � � k 3� �  k  1  k     k  1  k   k  6k  k     k  1  k    k  3  k  1  k    k  3  k    k   (đpcm) Vậy (1) n  k  Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên dương n V PHỤ LỤC PHIẾU HỌC TẬP PHIẾU HỌC TẬP SỐ PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 Nhận thức Phát biểu Phương phương pháp chứng pháp quy minh quy nạp nạp toán mệnh đề phụ thuộc học vào số tự nhiên n N MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ Nội dung Thông hiểu Vận dụng Hiểu Chứng minh quy nạp bước chứng minh mệnh đề phụ phương pháp thuộc vào số tự nhiên quy nạp n  N đơn giản 11 Vận dụng cao Chứng minh quy nạp mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n  N phức tạp