Sổ tay công thức Toán ôn thi THPT Quốc Gia 2020 và Đại học.1. Công thức Toán lớp 10, gồm Đại Số và Hình Học.2. Công thức Toán lớp 11, gồm Đại Số và Giải Tích và Hình Học.3. Công thức Toán lớp 12, gồm Giải Tích và Hình Học.
ĐẠI SỐ a>b≥0 * n N* an < bn *a>b≥0 A A c/ x 1 a x < -a x > a |a| - |b| < |a+b| < |a| + |b| (a,b R) A Tam thức bậc 2: Cho tam thức bậc f(x) = ax2 + bx + c (a≠0; α, β R; α < β; S = - a ; ∆=b2 - 4ac) b ∆≤0 a/ f(x) ≥0, x R α>0 ∆≤0 b/ f(x) ≤0, x R αb Bất đẳng thức Cauchy (cho số không âm): a+b ≥ ab (dấu “=” xảy a = b) a+b+c * ≥ abc (dấu “=” xảy a=b=c) * Bất đẳng thức Bunyakovsky (cho số thực): * ab + cd ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) (dấu “=” xảy ad = bc) * a1b1 + a2b2 + c3b3 ≤ (a12+a22+a32)(b12+b22+b32) (dấu “=” xảy a1 a2 a3 = = ) b1 b2 b3 Cấp số cộng: a/ Định nghĩa: Dãy số u1, u2, , un, Gọi cấp số cộng có công sai d un = un-1 + d b/ Số hạng thứ n: un = u1 + (n - 1)d c/ Tổng n số hạng đầu tiên: Sn = n (u1 + un) = n [2u1 + (n - 1)d] 2 Cấp số nhân: a/ Định nghĩa: Dãy số u1, u2, , un, Gọi cấp số nhân có cơng bội q un = un-1 q b/ Số hạng thứ n: un = u1 qn - c/ Tổng n số hạng đầu tiên: n Sn = u1 1-q (q ≠ 1) 1-q u Nếu -1 < q < nlim S = +∞ n 1-q Phương trình bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối * |A| = |B| A = ±|B| * |A| = |B| B≥0 A = ±|B| * |A| < B A -B| [ * |A| > B A>B A < -B Phương trình bất phương trình chứa thức: A≥0 * A= B A=B B≥0 * A=B A = B2 A≥0 * A< B AB [ B B2 0 g(x) > (a-1)[f(x) - g(x)] > Phương trình bất phương trình mũ: * α f(x) = α g(x) [ * α f(x) > α g(x) 00 (α - x) - g(x) > Lũy thừa: * aα aβ aγ = aα + β + γ aα * β = aα - β a * (a α) β = a αβ α * β a α = aβ aα a * α= b b () α * a b = (a.b) α α α aα k a k = n.m a k = an.m * a -α = *n m ( ) * logaα N = αlogaN logbN * logaN = logba * logab = Phương trình bất phương trình logarit: 0 (g(x) > 0) f(x) = g(x) * logαf(x) = logαg(x) * logaN = M N = aM M * logaa = M *alogaN = N log N log N *N a = N a * loga(N 1N 2) = logaN + logaN N * loga = logaN - logaN N2 * logaN α = αlogaN logba LƯỢNG GIÁC A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Hệ thức bản: sin2 x + cos2 x = tg x = sin x cos x cotg x = cos x sin x tg x cotg x = 1 + tg2 x = cos x + cotg x = 12 sin x Cung liên kết: Cung đối cos (-x) = cos x sin (-x) = - sin x tg (-x) = - tg x cotg (-x) = - cotg x Cung đối sin (π - x) = sin x cos (π - x) = - cos x tg (π - x) = - tg x cotg (π - x) = - tg x Cung phụ sin ( π - x) = cos x cos ( π - x) = sin x tg ( π - x) = cotg x cotg ( π - x) = tg x Cung π: sin (π + x) = - sin x cos (π + x) = - cos x tg (π + x) = tg x cotg (π + x) = cotg x tg x + tg y = sin (x + y) cos x cos y tg x - tg y = sin (x - y) cos x cos y cotg x + cotg y = sin (x + y) sin x sin y cotg x - cotg y = sin (x - y) sin x sin y Cung π : sin ( π + x) = cos x cos ( π + x) = - sin x tg ( π + x) = - cotg x cotg ( π + x) = - tg x B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Công thức cộng: sin (x ± y) = sin x cos y ± sin y cos y cos (x ± y) = cos x cos y sin x sin y tg x ± tg y tg (x ± y) = tg x tg y ± 10 Logarit: < N1, N2, N < a,b ≠ ta có A2 < B2 ± * |A| < |B| Công thức nhân đôi: sin (2x) = 2sin x cos y cos (2x) = 2cos2 x - = - 2sin2 x = cos2 x - sin2 x 2tg x tg (2x) = - tg2 x + cos 2x cos2 x = - cos 2x sin2 x = Công thức nhân ba: sin (3x) = 3sin x - 4sinv3 x cos (3x) = 4cos3 x - 3cos x 3tg x - tg3 x tg (3x) = - 3tg2 x 3cos x + cos 3x cos3 x = 3sin x - sin 3x sin x = Công thức biểu diễn sin x, cos x theo t = tg x : 2t sin x = 1+t - t2 + t2 2t tg x = - t2 cos x = Công thức biến đổi: x+y x-y cos 2 x + y x cos x - cos y = -2 sin sin y 2 x+y x-y sin x + sin y = sin cos 2 sin x - sin y = cos x + y sin x - y 2 cos x + cos y = cos Phương trình bản: x = u + k2π a/ sin x = sin u (k Z ) x = π - x + k2π sin x = x = π + k2π sin x = -1 x = - π + k2π sin x = x = kπ x = u + k2π b/ cos x = cos u (k Z ) x = -u + k2π cos x = x = +k2π cos x = -1 x = π + k2π cos x = x = π kπ c/ tg x = tg u x = u + kπ (k Z ) d/ cotg x = cotg u x = u + kπ (k Z ) [ [ Phương trình bậc n theo hàm số lượng giác: Cách giải: Ta đặt t = sin x (hoặc cos x, tg x, cotg x) ta chuyển phương trình: antn + an-1tn-1 + + a0 = Chú ý: ta đặt t = sin x cos x ý điều kiện -1 ≤ t ≤ Phương trình bậc theo sinx cosx: a.sin x + b.cos x = c Điều kiện để có nghiệm: a2+b2 ≥ c2 Cách giải: Chia vế cho a2+b2 sau đưa phương trình lượng giác Phương trình đẳng cấp bậc hai sin x cos x: a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x + d = Cách giải: * Xét cos x = x = π + kπ có nghiệm hay không? * Xét cos x ≠ chia vế cho cos2 x đặt t = tg x Chú ý: d = d (1 + tg2 x) cos2 x Phương trình dạng: a (sin x ± cos x) + b sin x cos x + c = Cách giải: Đặt t = sin x ± cos x = sin (x ± π ) - ≤ t ≤ t2 - 1 - t2 sin x cos x = (sin x cos x = ) 2 Và giải phương trình bậc theo t C HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Định lý cosin: a2 = b2 + c2 - 2bc cos A b2 = a2 + c2 - 2ac cos B c2 = a2 + b2 - 2ab cos C 2 cos A = b + c - a 2bc 2 cos B = a + c - b 2ac 2 cos C = a + b - c 2ab Định lý hàm số sin: a = b = c = 2R sin B sin C sin A Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến: 2 ma2 = b + c - a 2 mb2 = a + c - b 2 mc2 = a + b - c 4 Công thức tính độ dài đường phân giác trong: 2bc cos A la = b+c 2ac cos B lb = a+c 2ab cos C lc = a+b Cơng thức tính diện tích tam giác: S = a.ha = b.hb = c.hc 2 S = bc.sin A = ab.sin C = ac.sin B 2 S = p.r = abc 4R S = p (p - a) (p - b) (p - c) ĐẠO HÀM & TÍCH PHÂN HÌNH HỌC PHÉP DỜI HÌNH Đạo hàm hàm số thường gặp: 1/ (x )’ = α.x 3/ ( x )’ = x ’ 5/ =- x x 7/ (sin x)’ = cos x 9/ (cos x)’ = -sin x 11/ (tg x)’ = 12 cos x α α-1 () 13/ (cotg x)’ = - sin2 x 15/ (ex)’ = ex 17/ (ax)’ = ax ln a 19/ (ln x)’ = x 21/ (loga x)’ = x ln a 2/ (u )’ = α.u u‘ 4/ ( u )’ = u’ u ’ u’ 6/ =- u u 8/ (sin u)’ = u‘ cos u 10/ (cos u)’ = -u‘ sin u 12/ (tg u)’ = u’2 cos u 14/ (cotg u)’ = - u’2 sin u 16/ (eu)’ = u‘ eu 18/ (au)’ = u‘ au ln a 20/ (ln u)’ = u’ u 22/ (loga u)’ = u u ln a α α-1 () Nguyên hàm hàm số thường gặp: dx = x + C α+1 xα dx = x +C α+1 dx = ln |x| + C x dx = + C x x2 ex dx = ex + C ax dx = a + C ln a cos x dx = sin x + C x sin x dx = -cos x + C dx = tg x + C cos x dx = -cotg x + C sin x Phép biến hình: Phép biến hình (trong mặt phẳng) quy tắc để với điểm M thuộc mặt phẳng, xác định điểm M’ thuộc mặt phẳng Điểm M’ gọi ảnh điểm M qua phép biến hình PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH Định nghĩa phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vectơ u phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho (MM') = u Phép tịnh tiến theo vectơ u thường ký hiệu T Tu Vectơ u gọi vectơ tịnh tiến Tính chất phép tịnh tiến: Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M N thành hai điểm M’ N’ M’N = MN Định lý 2: Phép tịnh tiến biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự điểm Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác tam giác thành tam giác nó, biến đường tròn thành đường tròn có bán kính, biến góc thành góc Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến: f(ax + b)dx = F(ax + b) + C a Trong mặt phẳng với hện trục tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ u Diện tích hình phẳng – Thể tích vật thể tròn xoay: Biết tọa độ u (a,b) Giả sử điểm M(x; y) biến thành điểm M’(x’; y’) Khi ta có: x’ = x +a y’ = y + b Chú ý: - Viết phương trình đương giới hạn hình phẳng - Chọn cơng thức tính diện tích: a S = |f(x) - g(x)| dx b a S = |f(y) - g(y)| dy Phép dời hình: Phép dời hình phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách hay điểm b - Chọn cơng thức tính thể tích: * Hình phẳng quay quanh trụ Ox: a V = π |f2(x) - g2(x)| dx b - Biến x cận x =a; x=b hồnh độ giao điểm - Biến y cận y = a; y = b tung độ giao điểm Định lý: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến đường tròn thành đường tròn có bán kính, biến góc thành góc PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Định nghĩa phép đối xứng trục: Phép đối xứng qua đường thẳng a phép biến hình điểm M thành M’ đối xứng với M qua a Định lý: Phép đối xứng trục phép dời hình Biểu thức tọa độ: Biểu thức tọa độ phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành M’(x’; y’) ta có: x’ = x y’ = -y Biểu thức tọa độ phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M(x; y) thành M’(x’; y’) ta có: x’ = x y’ = -y Trục đối xứng hình: Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình H phép đối Đd biến H thành nó, tức Đd(H) = H PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Định nghĩa phép quay: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định góc lượng φ khơng đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm điểm O, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho OM = OM’ (OM, OM’) = φ gọi Phép quay tâm O góc quay φ Định lý: Phép quay phép dời hình Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng qua điểm O phép biến hình điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghĩa OM + OM’ = Biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng tâm I(a; b) Giả sử điểm M(x; y) biến thành điểm M’(x’; y’) Khi ta có: x’ = 2a - x y’ = 2b -y Tâm đối xứng hình: Điểm O gọi tâm đối xứng hình H phép đối xứng tâm Đ0 biến hình H thành nó, tức Đ0 biến hình H thành nó, tức Đ0 (H) = H HAI HÌNH BẰNG NHAU Định lý: Nếu ABC A’B’C’ hai tam giác có phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH I/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG: 1/ Tọa độ vectơ: Các công thức cần nhớ * AB = (xB - xA, yB - yA) * Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k: MA = k (k ≠ 1) MB Tọa độ điểm M xác định bởi: x - kxB xM = A 1-k M y - kyB yM = A 1-k Điểm I trung điểm AB: Tọa độ điểm I xác định bởi: x +x xI = A B I y +y yI = A B Điểm G trọng tâm tam giác ABC: Tọa độ điểm G xác định bởi: x +x +x xG = A B C G y +y +y yG = A B C * Cho tam giác ABC có: AB = (a1; a2), AC = (b1; b2) SΔABC= |a1b2 - a2b1| 2/ Đường thẳng: c/ Khoảng cách từ điểm M (x0; y0) đến đường thẳng: |Ax0 + By0 + C| dM/Δ = A2 + B2 d/ Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng: Ax + By + C = ± A’x + B’y + C’ A2 + B2 A’2 + B’2 e/ Xác định phương trình đường phân giác phân giác ngoài: Hai điểm M(x1; y1) M’(x2; y2) nằm phía so với ∆ t1.t2 > Hai điểm M(x1; y1) M’(x2;y2) nằm khác phía so với ∆ t1.t2 < Ax1 + By1 + C A’x + B’y2 + C (t1 = ; t2 = ) A2 + B2 A’2 + B’2 3/ Đường tròn: Phương trình đường tròn: - Dạng 1: Phương trình đường tròn có I(a; b) bán kính R (x-a)2 + (y-b)2 = R2 - Dạng 2: Phương trình có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = Với điều kiện a2 + b2 - c > phương trình đường tròn tâm (C) có tâm I(a; b) bán kính R = a2 + b2 -c - Phương tích điểm M0 (x0; y0) đường tròn: PM/(C) = x02 + y02 -2ax0 - 2by0 + c a/ Phương trình đường thẳng Δ: - Phương trình tổng quát: Ax + By + C = Vectơ pháp tuyến n = (A;B); A2 + B2 ≠ x = x + at t R y = y + bt Vectơ phương u = (a; b) giao điểm M(x0; y0) x - x0 x - x0 - Phương trình tắc: = a a - Phương trình đoạn chắn: x + y = a b Δ qua A (a; 0) ; B ( 0; b) - Phương trình tham số: b/ Góc tạo hai đường thẳng: Ax + By + C =0 A’x + B’y + C’ = |A.A’ + B.B’| cos φ = A2 + B2 A’2 + B’2 Từ định lý ta phát biểu: Hai tam giác có phép dời hình biến tam giác thành tam giác 4/ Elip: - Phương trình tắc Elip (E) x + y = (a > b); a b c2 = a2 + b2 - Tiêu điểm: F1 (-c; 0), F2 (c; 0) - Định trực lớn: A1 (-a; 0) , A2 (a; 0) - Định trực nhỏ: B1 (0; -b) , B2 (0; b) - Tâm sai: e = c < a - Phương trình đường chuẩn: x = ± a e - Bán kính qua tiêu: MF1 = a + exM MF2 = a - exM - Phương trình tiếp tuyến (E) M0 (x0; y0) (E) x 0x yy + 02 = a2 b y2 - Điều kiện tiếp xúc (E): x + = a b ∆: Ax + By + C = A2a2 + B2b2 = C2 2 II/ Phương trình tọa độ khơng gian: 1/ Tính có hướng hai vectơ: a/ Định nghĩa: cho hai vectơ u = (x; y; z) v = (x’; y’; z’) [ u, v ] = y z ; z x ; x y y’ z’ z’ x’ x’ y’ Cách ứng dụng: - u ,v phương [ u, v ] = - u ,v ,w đồng phẳng [ u, v ] w = (| || || |) - S∆ABC= |[ AB, AC ]| - ABCD tứ diện [ AB, AC ] AD = m ≠ - VABCD = |m| b/ Mặt phẳng: - Phương trình tổng quát mặt phẳng: Dạng 1: Ax + By + Cz + D = n = ( A; B; C ) (A2 + B2 + C2 ≠ 0) Dạng 2: A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = n = (A; B; C), M0 (x0; y0; z0) - Phương trình mặt phẳng chắn: x + y + z = b c a (α qua A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)) - Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến mặt phẳng khác: (α): Ax + By + Cz + D = (β): A' x + B' y + C' z + D' = λ (Ax + By + Cz + D) + μ (A' x + B' y + C' z + D') = Trong λ2 + μ2 ≠ - Vị trí tương đối hai mặt phẳng: cho hai mặt phẳng: (α): Ax + By + Cz + D = (β): A' x + B' y + C' z + D' = a/ (α) (β) = d A : B : C ≠ A’ : B’ : C’ b/ (α) Ξ (β) c/ (α) // (β) A = B = C ≠D A’ B’ C’ D’ A = B =C ≠D A’ B’ C’ D’ 2/ Phương trình đường thẳng: a/Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = A'x + B'y + C'z + D' = b/ Phương trình tham số: x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct Trong (x0; y0; z0) có vectơ phương u = (a ; b; c) b/ Phương trình tắc đường thẳng: y - y0 z - z0 x - x0 = = (a2 + b2 + c2 ≠ 0) a b c 4/ Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian: Giả sử đường thẳng d qua M0 (x0; y0; z0) có vectơ phương u = (a; b; c) đường thẳng d’ qua M’0 (x’0; y’0; z’0) vectơ phương u’(a’; b’; c’) a/ d, d’ α [u.u’] M0M0’ = [u.u’] M0M0’ b/ d d’ = I a : b : c ≠ a’ : b’ : c’ c/ d Ξ d’ a : b : c = a’ : b’ : c’ ≠ (x - x0) : (y - y0) : (z - z0) e/ d, d’ α [u.u’] M0M0’ ≠ 5/ Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng không gian: không gian cho: x - x0 y - y0 z - z0 d: = = a b c (α): Ax + By + Cz + D = a/ d (α) = I b/ d (α) aA + bB + cC ≠ aA + bB + cC = Ax0 + By0 + Cz0 + D = 6/ Các cơng thức tính khoảng cách: - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: M0 = (x0; y0; z0) (α): Ax + By + Cz + D = d(M/α) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| A2 + B2 + C2 - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Trong không gian cho điểm M1 = (x1; y1; z1) x - x0 y - y0 z - z0 d: = = a b c |[M0M u]| d(M/α) = |u| - Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: x - x0 y - y0 z - z0 ∆: = = a b c x - x’0 y - y’0 z - z’0 ∆’: = = a’ b’ c’ |[u u’] M0M’0| d(∆/∆’) = |[u u’]| 7/ Góc: - Góc hai đường thẳng: Gọi φ góc hai đường thẳng d d’ ta có: d : u = (a; b; c) d' : u'=(a', b', c') |aa’ + bb’ + cc’| | u u’| cos φ = = |u| |u’| a2 + b2 + c2 a’2 + b’2 + c’2 - Góc đường thẳng mặt phẳng: Gọi φ góc đường thẳng mặt phẳng: d : u = (a; b; c) (α): n = (A; B; C) 00 < φ < 900 |Aa + Bb + Cc| sin φ = A2 + B2 + C2 a2 + b2 + c2 - Góc hai mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = (β): A'x + B'y + C'z + D' = |AA’ + BB’ +CC’| cos φ = A2 + B2 + C2 A’2 + B’2 + C’2 8/ Phương trình mặt cầu: Dạng 1: có tâm I (a; b; c) bán kính R (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Dạng 2: x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = Trong tâm I (a; b; c), bán kính R = a2 + b2 + c2 - d HÌNH HỌC KHƠNG GIAN - Đường thẳng mặt phẳng: Quan hệ song song: 1/ Hai đường thẳng song song chúng nằm mặt phẳng khơng có điểm chung 2/ Nếu đường thẳng d song song với đường thẳng d’ thuộc mặt phẳng α d song song với mặt phẳng α 3/ Nếu d // α, mặt phẳng chứa đường thẳng cắt α theo giao tuyến chúng song song với d 6/ Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng (P) vng góc với (P) 7/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng vng góc với mặt phẳng thứ vng góc với mặt phẳng thứ hai 8/ Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với 4/ Hai mặt phẳng song song với đường thẳng d cắt giao tuyến chúng song song với d 10/ Một đường thẳng mặt phẳng không chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng song song 10/ Góc hai mặt phẳng góc nhọn tạo hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng 5/ Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song d d’ giao tuyến chúng (nếu có) song song với d d’ 11/ Có đường thẳng mặt phẳng song song, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với mặt phẳng 11/ Góc phẳng nhị diện góc tạo bở đường thẳng nằm mặt phẳng nhị diện vng góc với giao tuyến 6/ Có đường thẳng song song, mặt phẳng song song với đường thẳng song song chứa đường thẳng 12/ Nếu hai mặt phẳng vng góc, đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng 12/ Đoạn vng góc chung hai đường thẳng d1 d2: 7/ Nếu mặt phẳng song song với giao tuyến hai mặt phẳng cắt mặt phẳng giao tuyến song song 13/ Hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba • Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có đường thẳng mà 9/ Nếu α chứa hai đường thẳng cắt song song với β α // β • Tiên để 2: Qua điểm khơng thẳng hàng có mặt phẳng mà thơi 10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng cắt mặt phẳng thứ cắt cắt mặt phẳng thứ hai hai giao tuyến song song 15/ Định lí ba đường vng góc Quan hệ vng góc: A d nằm (α) 1/ Một đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng Ta có OA Cách xác định đường thẳng, mặt phẳng: 1/ Một điểm xác định đường thẳng cắt A = a b 2/ Một mặt phẳng xác định bới điều kiện sau: a/ Ba điểm không thẳng hàng (α) = (ABC) b/ Một đường thẳng điểm đường (α) = (a, A) c/ Một đường thẳng cắt (α) = (a, b) d/ Hai đường thẳng song song: a // a' (α) = ( a, a') 8/ Góc đường thẳng d mặt phẳng α góc tạo d hình chiếu d’ xuống α 9/ Góc hai đường thẳng chéo góc nhọn tạo hai đường thẳng song song với hai đường thẳng vẽ từ điểm Các tiên đề: • Tiên đề 4: Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung có chung đường thẳng qua điểm chung 7/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng 9/ Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song 8/ Nếu α // β α song song với đường thẳng nằm β • Tiên đề 3: Một đường thẳng có điểm phân biệt thuộc mặt phẳng đường thẳng thuộc mặt phẳng 6/ Khoảng cách α // β khoảng cách từ điểm α đến β 2/ Nếu đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) 3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ vng góc với đường thẳng thứ hai 4/ Hai đường thẳng vuông góc cắt chéo 5/ Hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song 14/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng cắt mặt phẳng thứ cắt mặt phẳng thứ hai hai giao tuyến song song Giả sử: OH (α) Dựng mặt phẳng α chứa d2 song song với d1 Tìm hình chiếu d’ d1 lên α, d’ cắt d2 N Từ N vẽ đường vng góc với α cắt d1 M Suy MN đoạn vng góc chung d1 d2 GIẢI TÍCH TỔ HỢP OA đường xiên D HA D Khoảng cách – góc – đường vng góc chung hai đường thẳng chéo 1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d đoạn OH d 2/ Khoảng cách từ O đến d ngắn so với khoảng cách từ O đến điểm d 3/ Khoảng cách từ O đến mặt phẳng α đoạn OH α 4/ Khoảng cách từ O đến mặt phẳng α ngắn so với khoảng cách từ O đến điểm α 5/ Khoảng cách d // α khoảng cách từ điểm d đến α - Hoán vị: Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) - Chỉnh hợp: Ank = n! (0 ≤ k ≤ n) (n - k)! n! - Tổ hợp: Cnk = (n - k)! k! - Các hệ thức cần nhớ: n! = (n - 1)! n Cnk = Cnn - k (0 < k < n) Cnk = Cnn - k + Cn-1n-k (0 < k < n) - Nhị thức Newton: (a + b)n = Cn0anb0+Cn1an-1b+ +Cnkan-kbk + + Cnnbn = ∑nk=0 Cnkan-kbk - Các công thức cần nhớ: Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = 2n Cn0 - Cn1 + Cn2 - + (-1)k Cnk + + (-1)n Cnn = ... x + cos 3x cos3 x = 3sin x - sin 3x sin x = Công thức biểu diễn sin x, cos x theo t = tg x : 2t sin x = 1+t - t2 + t2 2t tg x = - t2 cos x = Công thức biến đổi: x+y x-y cos 2 x + y x cos x -... ± * |A| < |B| Công thức nhân đôi: sin (2x) = 2sin x cos y cos (2x) = 2cos2 x - = - 2sin2 x = cos2 x - sin2 x 2tg x tg (2x) = - tg2 x + cos 2x cos2 x = - cos 2x sin2 x = Công thức nhân ba: sin... 2) = logaN + logaN N * loga = logaN - logaN N2 * logaN α = αlogaN logba LƯỢNG GIÁC A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Hệ thức bản: sin2 x + cos2 x = tg x = sin x cos x cotg x = cos x sin x tg x cotg x = 1