ĐỀ tài PHỔ FOURIER và GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH HCMC University of Technology and Education KHOA ĐIỆN - ĐIỆN TỬ MÔN HỌC: XỬ LÝ ẢNH BÁO CÁO ĐỀ TÀI: PHỔ FOURIER VÀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH GVHD: ThS.Nguyễn Duy Thảo [ngduythao76@gmail.com] LỚP: IMPR432463 - Nhóm 10 – Thứ tiết 13-15 SVTH: Nguyễn Đức Ngọc Cảnh [17119059@student.hcmute.edu.vn] Nguyễn Văn Sỹ [17119099@student.hcmute.edu.vn] Trần Nguyễn Thanh Duy [17119064@student.hcmute.edu.vn] Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01, năm 2020 MỤC LỤC LÝ THUYẾT 1.1 Chuỗi Fourier 1.2 Biến đổi Fourier rời rạc THỰC HÀNH LÝ THUYẾT I.1 Cho Chuỗi Fourier hàm liên tục với biến có chu kỳ biểu diễn dạng tổng hàm sine cosine với hệ số xấp xỉ Và tổng này, biết chuỗi Fourier có dạng sau: (1.1) với (1.2) hệ số Thật biểu thức (1.1) dạng triển khai hàm sine cosine theo cơng thức Euler Trong xử lý tín hiệu, xung đơn vị định nghĩa sau: (1.3) có đáp ứng (1.4) Xung đơn vị quan sát thời điểm với biên độ vô cực, đó, có đặc trưng chọn lọc thơng tin với tích phân sau: (1.5) Biểu thức (1.5) đơn giản giữ lại thành phần đây, việc trích xuất thành phần tín hiệu vị trí xung đơn vị thời điểm thời điểm Từ đơn giản thay đổi Trong trường hợp này, với đặc trưng chọn lọc: (1.6) Ví dụ, hàm , sử dụng xung đơn vị cho kết biểu thức (1.6) Hình 1.1 Xung đơn vị rời rạc vị trí Biến rời rạc điểm mà Còn biến rời rạc , trường hợp này, ta có xung đơn vị rời rạc tương ứng thực nhiệm vụ tương ứng với hệ thống liên tục Cụ thể, định nghĩa sau: (1.7) Từ đó, biểu thức (1.6) tương ứng dạng rời rạc viết lại sau: (1.8) Với hàm liên tục miền thời gian, biểu thức biến đổi Fourier viết gọn sau: (1.9) Sử dụng công thức Euler, ta có (1.10) Ngược lại, cho , hàm đạt phép biến đổi ngược Fourier: (1.11) Nếu thực biến đổi Fourier có dạng phức Do biến tần số tồn sau tích phân nên thơng thường người ta gọi biến đổi Fourier biến đổi tần số Xem biết, tích chập hai tín hiệu viết theo sau: (1.12) Khi biến đổi Fourier tích chập hai tín hiệu có dạng: (1.13) Có thể thấy biến đổi Fourier tích chập hai tín hiệu tích Fourier hai tín hiệu riêng lẻ Hay nói cách khác, cặp biến đổi Fourier Kết phần lý thuyết tích chập viết sau: (1.14a) Cần lưu ý vế phải đạt phép biến đổi Fourier vế trái, đó, vế trái thu phép biến đổi Fourier ngược vế phải Phần cịn lại lý thuyết tích chập biểu diễn dạng biểu thức sau: (1.14b) I.2 Biến đổi Fourier rời rạc Gọi Fourier hàm liên tục lấy mẫu với khoảng đồng nhất, biến đổi có dạng (1.15) Trong Thế vào (1.15), ta có (1.16) Mặc dù với chu kỳ hàm rời rạc Fourier Và cần xét đặc trưng Giả sử ta lấy M mẫu khoảng thời gian liên tục tuần hồn chu kỳ Khi ta hồn tồn suy luận bao gồm giá trị: (1.17) Thay kết (1.16) vào (1.17) thu (1.18) Đây dạng mở rộng biến đổi Fourier rời rạc, lấy từ hàm liên tục gồm gồm Do đó, kết biến đổi Fourier rời rạc, tập mẫu , giá trị rời rạc dạng phức Một cách ngược lại, hồn tồn thu tập mẫu với phép biến đổi Fourier rời rạc (1.19) Trong môi trường đa chiều, cụ thể chiều ảnh số, hàm biến đổi Fourier phải thỏa mãn hai biến số tương ứng với chiều ngang dọc ảnh Cụ thể, biến đổi Fourier rời rạc 2-D thực theo biểu thức sau: (1.20) Với ảnh số có kích thước thỏa mãn tồn biến Từ dạng Fourier Như dạng 1-D, biểu thức (1.20) khoảng , thu hàm hàm biến đổi ngược Fourier rời rạc: (1.21) Với Hai biểu thức (1.20) (1.21) tạo thành cặp biến đổi Fourier rời rạc 2-D Giá trị biểu thức (1.20) đơi cịn xem hệ số Fourier dạng triển khai Giá trị biến đổi gốc miền tần số (nghĩa hệ số ) gọi thành phần chiều DC biến đổi Fourier Thuật ngữ gọi thành phần có tần số khơng Khơng khó để chứng minh trung bình Ngay hàm lần giá trị dạng số thực biến đổi Fourier dạng phức Phương pháp việc phân tích hàm biến đổi cách trực quan tính tốn phổ (nghĩa biên độ hàm F biểu diễn ảnh độc lập Bằng việc giả sử diễn thành phần thực phần ảo biểu , phổ Fourier định nghĩa sau: (1.22) Góc pha của biến đổi xác định sau: (1.23) Hai hàm sử dụng để biểu diễn dạng hệ tọa độc cực thông thường cho đại lượng: (1.24) Phổ công suất định nghĩa bình phương độ lớn (1.25) THỰC HÀNH Dựa công thức (1.20), biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian thực thơng qua phép tính thơng thường Thực project thơng qua python với hình cụ thể để hiểu rõ phương pháp tính biến đổi Fourier Project 04-02 Phổ Fourier Giá trị trung bình a) Tính toán phổ Fourier (trung tâm) ảnh import cv2 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt plt.figure(figsize=(6.4*5, 4.8*5), constrained_layout=False) img_c1 = cv2.imread("tt.tif", 0) img_c2 = np.fft.fft2(img_c1) img_c3 = np.fft.fftshift(img_c2) plt.subplot(131), plt.imshow(img_c1, "gray"), plt.title("Original Image") plt.subplot(132), plt.imshow(np.log(1+np.abs(img_c2)), "gray"), plt.title("Spectrum") plt.subplot(133), plt.imshow(np.log(1+np.abs(img_c3)), "gray"), plt.title("Centered Spectrum") plt.show() Biến đổi DFT biển đổi ngược DFT thực phương pháp sử dụng thuật tốn biến đổi nhanh Fourier FFT, có sẵn hàm fft toolbox Hàm trả biến đổi Fourier với kích thước M x N, đó, gốc tọa độ nằm góc bên trái ma trận chu kỳ kết thúc trung tâm hình chữ nhật tần số Hàm abs tính biên độ (căn bậc hai tổng bình phương phần thực ảo phần tử mảng Hình 2.2 trình bày phổ Fourier, đó, điểm sáng góc có biên độ lớn tương ứng với góc phần tư chu kỳ tiếp giáp Hình 2.1 Ảnh gốc đầu vào Hình 2.2 Phổ Fourier ảnh Phân tích phổ cách biểu diễn ảnh độc lập xem khía cạnh quan trọng miền tần số Hàm fftshift Toolbox sử dụng để chuyển gốc tọa độ biến đổi đến trung tâm hình chữ nhật Với img_c2 biến đổi Fourier tính tốn hàm fft2 img_c3 biến đổi trung tâm Hàm fftshift thực hoán đổi gốc phần tư img_c2 hình 2.3, đó, việc tái xếp góc phần tư làm cho điểm sáng đặt vị trí trung tâm cho phép hiển thị trọn vẹn chu kỳ hồn chỉnh Hình 2.3 Phổ trung tâm ảnh b) Hiển thị phổ import cv2 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt img = cv2.imread('tt.jpg',0) f = np.fft.fft2(img) fshift = np.fft.fftshift(f) magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift)) plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray') plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([]) plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray') plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([]) plt.show() Hiển thị phổ câu b) câu a) làm rồi, nên câu b) ta tăng cường biểu diễn lên hàm log Trước tiên, xem cách tìm Fourier Transform Numpy Numpy có gói FFT để thực việc np.fft.fft2() cung cấp cho phép biến đổi tần số mảng phức tạp Đối số hình ảnh đầu vào, có thang độ xám Đối số thứ hai tùy chọn định kích thước mảng đầu Nếu lớn kích thước hình ảnh đầu vào, hình ảnh đầu vào đệm số trước tính FFT Nếu nhỏ hình ảnh đầu vào, hình ảnh đầu vào bị cắt Nếu khơng có đối số truyền, kích thước mảng đầu giống với đầu vào Bây bạn nhận kết quả, thành phần tần số (thành phần DC) nằm góc bên trái Nếu bạn muốn đưa vào trung tâm, bạn cần phải dịch chuyển kết theo hai hướng Điều đơn giản thực hàm np.fft.fftshift() 10 Hình 2.4 Phổ Fourier ảnh c) Tính tốn giá trị trung bình ảnh import cv2 import numpy myimg = cv2.imread("tt.tif", 0) avg_per_row = numpy.average(myimg, axis=0) avg = numpy.average(avg _per_row, axis=0) print(avg) Kết nhận từ đoạn chương trình = 207.3146992462142 11 ... tổng bình phương phần thực ảo phần tử mảng Hình 2.2 trình bày phổ Fourier, đó, điểm sáng góc có biên độ lớn tương ứng với góc phần tư chu kỳ tiếp giáp Hình 2.1 Ảnh gốc đầu vào Hình 2.2 Phổ Fourier. .. Fourier rời rạc theo thời gian thực thơng qua phép tính thơng thường Thực project thơng qua python với hình cụ thể để hiểu rõ phương pháp tính biến đổi Fourier Project 04-02 Phổ Fourier Giá trị. .. số Fourier dạng triển khai Giá trị biến đổi gốc miền tần số (nghĩa hệ số ) gọi thành phần chiều DC biến đổi Fourier Thuật ngữ gọi thành phần có tần số khơng Khơng khó để chứng minh trung bình