Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm trang bị cho học sinh một phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mang lại hiệu quả rõ nét. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy sáng tạo.
PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ln tốn có mặt hầu hết kỳ thi học sinh giỏi tuyển sinh đại học Khơng cịn tốn hay khó đề thi Trong chương trình giảng dạy học tập bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chủ đề hấp dẫn người dạy lẫn người học Việc giảng dạy để học sinh học tốt chủ đề vấn đề khó Chủ đề thường dành cho học sinh giỏi nên toán đưa thường hay khó Để chứng minh Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ có nhiều phương pháp, khơng có phương pháp vạn để giải toán mà có phương pháp giải nhóm tốn mà thơi Một phương pháp hiệu sử dụng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng khảo sát biến, cách xem biến lại tham số cố định Khơng có thuật giải chi tiết cho phương pháp mà thơng qua ví dụ để học sinh rèn luyện để tự tìm cách giải tốn cụ thể từ tìm thấy sơ đồ giải riêng cho Vì lí tơi viết chuyên đề nhằm giúp học sinh có nhìn rộng phương pháp sử dụng đạo hàm toán chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Trang bị cho học sinh phương pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mang lại hiệu rõ nét - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư sáng tạo III ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU: - Các dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa nhiều biến - Phân dạng dạng toán thường gặp phương pháp giải dạng IV PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số -1- PHẦN 2: NỘI DUNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ: 1) Phƣơng pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f(x) tập số D Phƣơng pháp chung - Lập bảng biến thiên hàm số tập số D Căn vào bảng biến thiên để kết luận Lƣu ý 1: Nếu D đoạn [a; b] làm sau: - Tính đạo hàm y’ - Tìm nghiệm y’ đoạn [a; b], giả sử nghiệm x1, x2 - Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) - KL: Số lớn (nhỏ nhất) số GTLN, (NN) f(x) [a; b] Lƣu ý 2: Khi KL GTLN, GTNN tìm phải nêu rõ đạt x nhận giá trị 2) Phƣơng pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến phép đổi biến số Bước Biểu diễn biến số biểu thức ban đầu theo biến số Bước Tìm điều kiện cho biến số (dựa điều kiện biến số ban đầu) Bước Tìm GTNN, GTLN hàm số theo biến số tương ứng với điều kiện 3) Một số bất đẳng thức sở thƣờng sử dụng: 1/ Với a, b, c bất kỳ, ta có: 1/ a b 2ab 2 /( a b ) a b / 2(a b ) (a b) 2 4/a b c 2 2 ab bc ca /( a b c ) ( a b b c c a ) / 3(a b c ) (a b c ) 2 2 2/ BĐT Côsi - Với a, b, c khơng âm, ta có: a b ab , a b c abc , a b c 27abc 3 II PHƢƠNG PHÁP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN -2- Phƣơng pháp đƣa biến toán hai, ba biến Biến đổi giả thiết biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ chúng tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức cho hàm biến để khảo sát Ví dụ Cho x, y, z số dƣơng Tìm GTNN biểu thức: P x y z 3 xyz xyz x y z Nhận xét hướng dẫn giải Dễ thấy x y z số t là: xyz P (t ) t xyz x y z 1, đặt t x y z ta biểu thức theo biến xyz t Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: x y z t Do tốn quy tìm GTNN hàm số P (t ) t t t 1 3 xyz xyz xyz khoảng 3; Vì P (t ) ' t Từ có 0, t m in P ( t ) P (3 ) 3; nên hàm số P(t) đồng biến khoảng 3; 10 , GTNN biểu thức P 1 Ví dụ 2.Tìm GTLN, GTNN H = x y x điều kiện y Biết x, y thoả mãn x y Nhận xét hướng dẫn giải 1 Ta có H = x y x Vì đặt t x x y 2 y y x ta có hàm số theo biến số t sau: H (t ) t y t Từ điều kiện ràng buộc 1 x y ta suy ra: x , ;1 t y Bài tốn trở thành: Tìm GTLN GTNN hàm số H (t ) t đoạn t 1 ;1 2 Vì ' H (t ) t t 2 0, t ;1 nên H(t) hàm số nghịch biến đoạn -3- Từ có GTLN H(t) đoạn 1 ;1 2 khi: t = , GTNN đoạn 2 H(t) khi: t = Đáp số: max(H) = x ; y 1; ; min(H) = x y (với Ví dụ ( CĐ Khối A, B – 2008 ) Cho x , y số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: x , y ) x y 2 P 2( x y ) xy 3 Hoạt động khám phá: - Từ giả thiết x y Có thể đưa tốn ẩn khơng? - Ta nghĩ tới đẳng thức x y ( x y ) x y ; x y ( x y )( x x y y ) - Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất x y để sử dụng giả thiết - Biến đổi biểu thức P vào x y ta có : 2 2 2 2 2 P ( x y )( x x y y ) x y = ( x y )( x y ) x y - Từ giả thiết (x y) 2 ( x y ) xy xy Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa P hàm biến số ta đặt : t x y Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức: x y 2 (x y) Lời giải Ta có : P ( x y )( x x y y ) x y = ( x y )( x y ) x y (x y) 2 Ta có : xy , sau đặt t x y t 2 P (t ) t ( t 2 )3 Ta có x y 2 t (x y) t 6t 2 (x y) 2 t 2 Xét hàm số thì: P (t ) t 3 t 6t với 2 t Ta có P '( t ) t t t P '( t ) t 2 Ta có bảng biến thiên sau -2 t P’(t) + 13/2 - P(t) -7 Vậy : -4- m in P ( t ) P ( ) 2 ;2 1 1 ;y x 13 2 m a x P ( t ) P (1) 2 ;2 1 1 ;y x 2 x y 1 Ví dụ ( ĐH Khối D – 2009 )Cho x , y giá trị nhỏ biểu thức sau : x y Tìm giá trị lớn nhất, S ( x y )( y x ) x y 2 Hoạt động khám phá : - Từ giả thiết x y đưa tốn ẩn khơng ? - Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất x y để sử dụng giả thiết - Chú ý đẳng thức : x y 2 ( x y ) xy x y ( x y )( x x y y ) 3 2 Sau khai triển vào x y , ta có : S x y x y - Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa S hàm biến số ta đặt : t x y - Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức : Lời giải Ta có : S ( x y )( y 2 x) xy x y 2 1 ( x xy (x y) y ) 34 xy 3 x y ( x y )( x x y y ) x y 2 2 x y 2[ ( x y ) x y ] x y , d o x y 2 16 x y xy 12 Đặt t xy Do Xét hàm số x 0; y nên f (t ) t t 2 (x y) xy với t t 4 Ta có f '( t ) t f '( t ) t 16 Bảng biến thiên t 1/16 f(t) - 1/4 + 12 25/2 f(t) 191/16 Vậy : m in f ( t ) f ( 1 0; 4 16 ) 191 16 x 2 ;y 2 -5- x 2 ;y 2 m a x f (t ) f ( 1 0; 4 ) 25 x y Ví dụ (ĐH Khối B – 2009) Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức : A ( x y x y ) ( x y ) Với x , y số thỏa mãn điều kiện : ( x y ) x y 4 2 2 Hoạt động khám phá : - Vì giả thiết biểu thức phức tạp nên ta khai thác trước cho gọn để sử dụng dễ dàng Chú ý đẳng thức : x y 2 ( x y ) xy x y ( x y )( x x y y ) 3 2 Và ( x y ) x y Khi điều kiện toán trở thành : Ta biến đổi A sau : x y 1 A 3( x y x y ) ( x y ) 2 (x y ) 2 2 2 (x y ) 2(x y ) 4 2 3( x y ) (x y ) 2 2 2 2(x y ) 2 (x y ) ( x y 2 ) Hay A (x y ) 2( x y ) 2 2 - Vì ta nghĩ đến việc đưa A hàm biến cách đặt - Tìm điều kiện biến t ta sử dụng bất đẳng thức x Lời giải Ta ln có kết : (x y) xy y (x y) t x y , từ ta có : ( x y ) xy ( x y ) ( x y ) ( x y ) xy 3 (x y) (x y) (x y ) 1 ( x y ) ( x y ) (x y) Do 1 ( x y) ( x y) ( x y) 0, x, y 2 Bài tốn đưa tìm max, : A 3( x y x y ) ( x y ) 4 2 2 Với x , y thỏa mãn x y Ta biến đổi biểu thức A sau : A 3( x y x y ) ( x y ) 4 2 2 (x y ) -6- 2 (x y ) 2(x y ) 4 2 2 3( x y ) (x y ) 2 2 2 2(x y ) 2 (x y ) ( x y 2 ) Hay A (x y ) 2( x y ) 2 2 Vì x y (x y) ( x y 1) nên x y 2 Đặt t x y 2 Ta có hàm số f (t ) t 2t với t f '( t ) t 2 f '( t ) t Ta có bảng biến thiên sau : 4/9 t 1/2 + f '( t ) f (t ) 16 Vậy m in f ( t ) f ( t ) đạt t 16 Suy A Mặt khác, ta dễ thấy x y 16 Kết luận : A m in A x y 16 16 khơng có giá trị lớn Ví dụ (ĐH Khối A- 2006) Cho hai số thực x , y thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x y ) x y x y x y Tìm giá trị lớn biểu thức: 2 A x y Hướng dẫn: A x Đặt y x ty x y x y 3 ( x y )( x x y y ) x y Từ giả thiết ta có: t t 1 2 2 Từ t 2t 1 A y x t t 1 2 x y xy t t 1 y ; x ty ( ) ( x y ) ( x y ) x y x y x y ( t 1) ty Do t t t 1 -7- ( t t 1) y 2 Xét hàm số t 2t 3t f (t ) f '( t ) t t 1 t t 1 2 Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN A là: 16 đạt x y Ví dụ (ĐH Khối B- 2011) Cho a, b số thực dƣơng thỏa mãn ( a b ) a b ( a b ) ( a b ) Tìm giá trị lớn biểu thức: 2 a a b b P 4 9 a a b b 3 2 Hướng dẫn: - Biến đổi giả thiết: ( a b ) a b ( a b )( a b ) 2 2(a b ) ab a b ab 2(a b ) 2 2 b a (a b) a b b a - Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: (a b) b a Suy ra: Đặt t a b Xét hàm số: b , 2(a b) b a b a 2 1 a b t a b a 2 2 a b b b a a 2 a a b b Ta : P (t 3t ) (t ) t t t 3 f (t ) t t t f '( t ) ( t t ) , t Suy 23 m in f ( t ) f 5 2 ; 2 Vậy m in P 23 đạt đươc a b b a ( a ; b ) ( ;1) a b 2 b a ( a ; b ) (1; ) Ví dụ Cho x, y hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: T Hướng dẫn: -8- x y 2( x y ) xy xy Tìm giá - Đặt t=xy từ giả thiết suy xy xy xy 7t 2t - Xét hàm số f (t ) 8t , t 1 ; 3 Vậy t Chú ý: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số - Biến đổi biểu diễn theo biến t ta được: x y 7t 2t 1 ; 3 ta x y xy 2 T 8t - Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên ta tìm m a x f (t ) f (0 ) 1 ; 3 1 1 m in f ( t ) f f 1 5 15 ; 3 Từ kết luận giá trị lớn giá trị nho T Ví dụ Cho x, y , z > x + y + z Tìm giá tri nhỏ biểu thức: M x y z 1 x y z Nhận xét hướng dẫn giải Rõ ràng khơng có dấu hiệu để biểu diễn biến số biểu thức cho toán theo biến số mới, ta tìm GTNN biểu thức M ban đầu thơng qua việc tìm GTNN biểu thức trung gian T, biểu thức xác định qua lập luận sau: + Trước hết theo BĐT Cô si ta có M=x+y+z x y 3 xyz z , đẳng thức xảy x = y = z (a) xyz + Để tìm GTNN biểu thức M ta tìm GTNN biểu thức T 3 xyz Đặt hàm số việc tìm GTNN biểu thức T quy việc tìm GTNN u 3 xyz T (u ) u xyz khoảng u 3 0; 2 (vì u 3 xyz x y z ) Dễ thấy hàm số T(u) nghịch biến khoảng 3 0; 2 , nên 15 m in T ( u ) T (0; ] Suy GTNN biểu thức trung gian T 15 (đạt x y z ) Tức T 3 xyz xyz 15 , đẳng thức xảy x y z (b) + Từ kết (a) (b) suy GTNN biểu thức M ban đầu 15 đạt x y z Phƣơng pháp khảo sát lần lƣợt biến toán ba biến Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta khảo sát biến cách chọn biến làm tham số biến thiên cố định biến cịn lại, -9- tốn lúc trở thành bất đẳng thức biến Ln có tâm nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng hàm số để ta sử dụng cơng cụ hiệu tốn đạo hàm Sơ đồ tổng quát Giả sử tìm cực trị biểu thức ba biến x , y , z P ( x , y , z ) với điều kiện T Bước Xem P ( x , y , z ) hàm theo biến x , y , z số Khảo sát hàm tìm cực trị với điều kiện T Ta được: P ( x , y , z ) g ( y , z ) P ( x , y , z ) g ( y , z ) Bước Xem g ( y , z ) hàm biến y , z số Khảo sát hàm với điều kiện T Ta : g ( y , z ) h ( z ) g ( y , z ) h ( z ) Bước Cuối khảo sát hàm số biến h ( z ) với điều kiện T ta tìm min, max hàm Ta đến kết luận : P ( x , y , z ) g ( y , z ) h ( z ) m P ( x , y , z ) g ( y , z ) h ( z ) M Ví dụ 10 (ĐH Khối A-2011) Cho ba số thực trị nhỏ biểu thức : x P 2x 3y x , y , z 1; y y z x y, x z Tìm giá z z x Hoạt động khám phá: - Khảo sát biến ? - Xem P hàm theo biến z, x, y số Khảo sát hàm số với điều kiện cho suy giá trị nhỏ P, tức : P ( x , y , z ) P ( x , y ) - Khảo sát hàm P ( x , y ) , đưa P ( x , y ) hàm số biến không ? - Bằng cách đặt ẩn phụ x t để đưa P ( x, y) hàm biến Tìm GTLN y hàm số biến - Vậy P ( x , y , z ) P ( x , y ) P (t ) 34 33 Lời giải Ta có : P x 2x 3y y y z Xem hàm theo biến P '( z ) y ( y z) Theo giả thiết z ; x, y số ( x y )( z x y ) ( y z) (z x) x y x y z P '( z ) z x z (z x) z nên P z xy xy - P(z) - 10 - + (do x , y , z 1; ) Từ bảng biến thiên: x P P( xy ) x 2x 3y y x y = y x y Đặt x t , x , y , z 1; Ta có x y, x z y Xét hàm f (t ) t 2t t ( t 1) ( t t ) f '( t ) Suy ( t ) (1 t ) f (t ) m in P 3 1 x y nên t 2 , t 1; giảm 1; , Đẳng thức xảy Vậy 1 t 34 z : t P P( x y ) f (t ) f ( ) 34 33 xy x x , y 1, z y x , y 1, z 33 Ví dụ 11 Cho ba số thực a,b, c 1 ;3 3 a P a b Tìm giá trị lớn biểu thức: b bc c c a Hoạt động khám phá: - Khảo sát biến nào? - Xem P hàm theo biến a, b, c số Khảo sát hàm số với điều kiện cho suy giá trị lớn P, tức : P ( a , b , c ) g ( b , c ) - Khảo sát hàm g ( b , c ) hàm theo biến c, b số Khảo sát hàm số với điều kiện cho, suy GTLN g ( b , c ) , tức g ( b , c ) h ( b ) - Tiếp theo khảo sát hàm suy h (b ) h (b ) - Vậy P ( a , b , c ) g (b , c ) h (c ) Lời giải: Đặt P (a ) a a b b bc c c a Xem hàm số theo biến , b, c a P '( a ) b (a b ) Trường hợp 1: c (a c) a b c (b c )( a bc) (a b ) (a c ) a,b, c 1 ;3 3 - 11 - số Suy P ( a ) P (3 ) g '( c ) Suy ra: Ta có: nên b c 0; a b c b (b c ) b 3b Do (c ) ( b ) ( 3b c ) (b c ) (c ) 2 3b g (c ) g ( ) h (b ) 3b 3b 1 h '( b ) (3 b ) (b 3) Do (xem (1 b )(1 b ) 1 ;3 3 tăng P (a ) (xem hàm theo biến c) g (c ) c3 c bc P '( a ) (3 b 1) ( b ) 2 g (c ) 1 ;3 3 giảm hàm số theo biến b ) h (b ) Ta có bảng biến thiên 1/3 b + h '( b ) - h (b ) Suy h ( b ) h (1) Vậy P ( a , b , c ) P (3, b , c ) P (3, b , ) P (3,1, Trường hợp : c b a ) a,b, c 1 ;3 3 Từ kết trường hợp 1, ta có: a 3; b 1; c P (a , b, c) Mặt khác : Vậy m axP P (a , b , c ) P (c , b , a ) , đạt Ví dụ 12 Cho ( a b )( b c )( a c ) ( a b )( b c )( a c ) ( a , b , c ) 3;1; P (a , b , c ) lớn biểu thức : P a 1 b 1 1 , ; 3;1 , 3; ;1 3 ba số thực thỏa mãn điều kiện a, b, c abc a c b Tìm giá trị c 1 Hoạt động khám phá: - Từ giả thiết a b c a c b đưa tốn ẩn khơng ? - Biến đổi giả thiết - Khi P a 1 a c b (1 a c ) b 2(a c) ( a 1) ( c 1) 2 2 a c ac đưa P biến ( a (0 a c 1 c c ) - Xem P hàm theo biến a c số - Khảo sát hàm biến a f (a ) với a c - 12 - suy f (a ) 2c 1 c c 1 g (c ) ) - Tiếp tục khảo sát hàm g(c) với suy c g (c ) 10 Lời giải : Theo giả thiết ta có a c b (1 a c ) b Thay vào biểu thức P ta : Xét hàm số : f ( x) x 1 2 P a 1 ( x c) 1 ( x 1)( c 1) a c ac ( a 1)( c 1) với c ( a c) a x 2 c 1 coi c , (0 a ) c tham số c c c ( x c x 1) Ta có : f '( x ) (1 x ) (1 c ) 2 x c c 0; c Ta có bảng biến thiên x 1/c x0 + f '( x ) - f ( x0 ) f (x) Từ bảng biến thiên ta có : f ( x ) P f (a ) c 1 2c c f ( x0 ) 1 c (1 c ) 1 c c 1 2 g (c ) Ta có : g '( c ) (1 c ) (3 c c c0 1c ) 2 0; Bảng biến thiên : c + g '( c ) g (c ) Vậy với c ,a 10 - g (c0 ) Từ bảng biến thiên suy : P g (c ) g (c0 ) c0 g (c ) g (c ) ,b m ax P trị nhỏ biểu thức: Ví dụ 13 Cho ba số dƣơng 10 a, b, c S thỏa mãn điều kiện a b 1a b b c c a c Hoạt động khám phá: - Hãy suy nghĩ để chuyển tốn ẩn mới? - Có thể biểu diễn để biểu thức S giả thiết đơn giản hay khơng? - 13 - Tìm giá - Nếu đặt : x 1 ,y a ,z b toàn nào? c - Có thể chuyển tốn cho ẩn không? - Từ giả thiết : - Khi đó: x y 21z 12 xyz z S x 2y - Khảo sát hàm số 2x 8y xy 12 xy 21 x 4y xem y tham số cố định Ta f (x) S f ( x ) f ( x0 ) y f (x) 2x 8y 32 y 14 4y g ( y) 2y - Tiếp tục khảo sát hàm biến g(y) - Ta đến kết luận : S f (x) g ( y) 15 Lời giải : Đặt x ,y a Từ ,z b x , y , z 0; x y 1z xyz x y 21z 12 xyz z Từ biểu thức S suy được: 2x 8y 12 xy 21 S x 2y f '( x ) x x0 32 y 14 S x y 3z c 4y 4y Bảng biến thiên: 7/4y x f’(x) x 4y 2x 8y f (x) xy 14 32 y (4 xy ) ; 4y x0 - + f (x) f ( x0 ) Khi từ bảng biến thiên , ta có: 4y (8 y ) 4y Đặt t 32 y 14 phương trình t 50t 122 t y 32 y 14 28 g’(y) - 32 y 14 g '( y ) (8 y ) y 2 Ta có bảng biến thiên: y g ( y) 2y g '( y ) 32 y 14 S f ( x ) f ( x0 ) y 5/4 - 14 - + 15/2 g ( y) Từ bảng biến thiên suy : g ( y) g ( ) S g ( y) g ( ) 15 Vậy với : y 2 , x 3, z a ,b ,c m in S 15 Ví dụ 14 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T 3(a b c ) a b c 2 Hoạt động khám phá: - Bài toán cần làm có chứa ẩn a , b , c chúng thỏa mãn nghĩ biến đổi T ( a b c ) a b c cho ẩn hơn? - Từ giả thiết abc suy abc ab 3c , mà a b c 1 c - Khi : T (3 c ) c a b ( c ) - Tích a b tổng a b c gợi cho nghĩ đến bất đẳng thức nào? 2 a b 3c ab 2 - Khi 27 3c 2 T (3 c ) c ( c ) f (c) c c 2 - Khảo sát hàm biến f(c) ta đến kết T f ( c ) f (1) Lời giải: Do vai trị bình đẳng a, b, c nên ta giả sử : Vì chu vi nên abc nên ab 3c 0 a b c mà a b c 1 c Ta biến đổi : T 3(a b c ) a b c 3(a b ) 3c a b c 2 2 2 = ( a b ) a b 3c a b c 3(3 c ) c a b ( c 3) 2 Mặt khác : c 2 2 a b 3c 3c ab a b (2 c 3) (2 c 3) 2c ( ) 2 27 3c 2 T (3 c ) c ( c ) f (c) c c 2 Do : Xét hàm số : f (c ) c 3 c 27 , đoạn f '( c ) c c ; f '( c ) c Ta có bảng biến thiên - 15 - 3 1; 2 c f’(c) + f (c ) 13 Khi từ bảng biến thiên suy ra: f ( c ) f (1) Suy T f ( c ) f (1) a b c Vậy m in T a b c Ví dụ 15 Cho số thực dƣơng Chứng minh rằng: 5 x y x Hướng dẫn Biểu thức P x y z đối xứng với ba ẩn theo x y z ; xyz ; xy yz zx nào? - Ta có 4 P x y z 4 x y z xyz thỏa mãn điều kiện x, y, z x, y, z 18 Biến đổi P (x y z ) 2(x y y z z x ) 2 2 2 2 2 ( ( x y y z z x )) ( x y y z z x ) x y z ( x y z ) 2 - Với mối quan hệ chuyển P biến nào? Đặt x y z xyz từ giả thiết t xy yz zx ta có P (t t 4 ) - Tìm điều kiện cho ẩn nào? Từ điều kiện x, y, z ta y z x; yz t x(4 x) x x - tìm điều kiện ẩn x chuyển điều kiện theo ẩn t áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương y, z ta có: ( y z ) yz (4 x ) 2 x x x ( x )( x x ) 2 x 3 x Xét hàm số t( x) x(4 x) đoạn x ( x 1)( x x 1) 3 5;2 , ta có: t '( x ) x Từ việc xét dấu t '( x ) Khảo sát hàm số đoạn 3 P (t t 4 ) 183 165 5;2 ta t 4 5 1 2 x y x - 16 - t 1 18 suy : Ví dụ 16.(Khối B - 2010) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M 3( a b b c c a ) 3( a b b c c a ) 2 2 Hướng dẫn Ta có M ( a b b c c a ) Đặt t a b b c ca 2 , ta có : Ta có f (t ) t t (a b c) 2t Dấu xảy Xét đoạn 1 0; 3 2 ; (1 t ) 11 f '( t ) f ' 2 3 Do 1 f (t ) f (0 ) , t 0; 3 Vì 1 M f (t ) , t 0; ;M 3 f '( t ) nghịch suy t 0; f ''( t ) t 0; ta có : với 3t t f '( t ) t 3( a b b c c a ) ( a b b c c a ) Xét hàm số : a b c biến , suy 0 f (t ) đồng biến ab bc ca , ab bc ca abc 1 số sau: 1; 0; , 0;1; , 0; 0;1 Do giá trị nhỏ M (a; b; c ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z 1 Tìm GTLN biểu thức : S x y y z z x Đáp số : 2 m in S đạt x 27 ; y 0; z Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x y z 2 Tìm GTLN, GTNN biểu thức : P x y z xyz Đáp số : 3 m ax P m in P Bài Cho x 0; y 0; z đạt 2 thỏa mãn điều kiện x đạt x y z 1 2; y z x 2; y z Tìm GTLN biểu thức : T xy yz zx xyz Đáp số : m in T 27 - 17 - đạt x y z Bài Tìm GTNN biểu thức : Q a b 4 b a Đáp số : 4 a b a b a b a b 2 m in Q đạt a b KÕt luËn Với đề tài: “ Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm nhiều biến ” cố gắng hệ thống số dạng Trong dạy có đưa sở lí thuyết ví dụ có hoạt động khám phá cụ thể nhằm giúp học sinh tự tìm lời giải cho mình, từ hình thành cho phương pháp giải tốn nói chung để giải toán Các tập đưa từ dễ đến khó, có tập có lời giải chi tiết có tập có hướng dẫn học sinh phải biết chiếm lĩnh tri thức, phát triển khả tư cho học sinh Hệ thống tập đề tài chủ yếu tập đề thi Đại hoc Cao đẳng năm gần nên học sinh hiểu làm tạo nên hứng thú động lực học tập tốt cho cỏc em Tuy nhiên trình giảng dạy cã rÊt nhiỊu häc sinh cßn bì ngì qóa trình giải toán cực trị, lập luận ch-a có cứ, suy diễn ch-a hợp logic đặc biệt số dạng ch-a phù hợp với học sinh trung b×nh, u Sáng kiến kinh nghiệm triển khai chuyên đề để bồi dưỡng học sinh giỏi ; dùng để giảng dạy cho em học sinh ôn tập thi đại học, nhằm giúp em học sinh vượt qua trở ngại tâm lí từ trước tới cho loại tốn XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƢỞNG Hướng Hóa, ngày 05 tháng 06 năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN (hoặc đề tài NCKH) viết, không chép nội dung người khác Ngƣời thực Trương Văn Đức - 18 - ... PHƢƠNG PHÁP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN -2- Phƣơng pháp đƣa biến toán hai, ba biến Biến đổi giả thiết biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan... đạt x nhận giá trị 2) Phƣơng pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến phép đổi biến số Bước Biểu diễn biến số biểu thức ban đầu theo biến số Bước Tìm điều kiện cho biến số... tâm nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng hàm số để ta sử dụng công cụ hiệu toán đạo hàm Sơ đồ tổng quát Giả sử tìm cực trị biểu thức ba biến x , y , z P