Đề tài giúp học sinh nâng cao chất lượng học tập môn toán tôi nhận thấy để thực hiện tốt công tác đạy học thì người giáo viên phải tốn không ít thời gian, công sức cho việc soạn nội dung và phương pháp giảng dạy của mình.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC I ……… ……… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT KHI LUYỆN TẬP CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HỆ TRỤC OXY Người thực hi ện :: Mai Thị Hà Chức vụ: Giáo viên Sáng kiến thuộc lĩnh vực: Tốn học Sáng kiến kinh nghiệm THANH HĨA NĂM 2016 GV: Mai Thị Hà Sáng kiến kinh nghiệm A. Đặt vấn đề I. Lời mở đầu Trong chương trình hình học 10, đường thẳng là một phạm trù kiến thức bản và quan trọng xun suốt trong tồn bộ chương trình. Khái niệm về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng được trình bày và xây dựng trên khái niệm vectơ, điều đó có nghĩa là vectơ và phương pháp tọa độ trong khơng gian có mối quan hệ mật thiết với nhau. Tuy nhiên học sinh khơng dễ dàng tiếp cận được khái niệm này, đa số các em đều khơng nhận thấy được mối quan hệ giữa các khái niệm trên. Các em thường gặp khó khăn trong khi giải các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất về đường thẳng trong hình học toạ độ trong mặt phẳng , đặc biệt là sử dụng các kiến thức về đường thẳng vào giải bài tốn về tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hình học tọa độ trong mặt phẳng Trong thực tế dạy học mơn tốn ở trường trung học phổ thơng, việc làm cho học sinh nắm vững các kiến thức về đường thẳng và vận dụng vào giải các bài tốn về tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hình học tọa độ trong mặt phẳng là một vấn đề quan trọng. Do đó để nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục tơi đã quyết định lấy đề tài: ‘Giải một số bài tốn về tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất về đường thăng trong mặt phẳng’ Mong rằng đề tài này sẽ giúp học sinh học tốt hơn, toạ hứng thu và say mê cho học sinh đối với việc học mơn tốn II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: 1. Thực trạng: Tốn học là mơn học khó, khi học sinh tiếp cận bài học và vận dụng lý thuyết vào giải bài tập thì địi hỏi học sinh cần phải có sự linh hoạt, hiểu rõ bản chất của kiến thức trong từng trường hợp của chương trình.Kiến thức về đường thẳng là một mảng kiến thức rộng trong tốn học nhưng các dạng tốn vận dụng kiến thức về đường thẳng vào giải các bài tốn về tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hình học tọa độ trong mặt phẳng thì khơng nhiều. Do đó sẽ khơng đáp ứng được u cầu học tập và rèn luyện của học sinh. Khi gặp các dạng tốn này học sinh khơng biết nên xoay sở thế nào để tìm ra cách giải, dẫn đến làm cho học sinh chán nản, khơng muốn tự mình tìm tịi và suy luận ra cách giải Chính vì vậy vấn đề đặt ra trong mỗi tiết dạy về tìm GTLN, GTNN lien quan đến đường thẳng hay phương pháp tọa độ trong mặt phẳng thì giáo viên cần phải khắc sâu cho học sinh các kiến thức trọng tâm, giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản và hiểu được mối quan hệ giữa đường thẳng với phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Do đó trong các tiết học giáo viên nên đưa ra nhiều dạng bài tập và định hướng phương pháp giải để học sinh có thể GV: Mai Thị Hà Sáng kiến kinh nghiệm tự tìm tịi suy luận và tìm ra cách giải các bài tốn để tiết học được phong phú và đạt hiệu quả cao hơn 2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên: Từ thực trạng trên, tơi thấy cần thiết phải giúp học sinh biết vận dụng kiến thức về đường thẳng vào giải các bài tốn về tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hình học tọa độ trong mặt phẳng. Bởi vậy tơi đã mạnh dạn đưa ra phương pháp hướng dẫn học sinh vận dụng các kiến thức đường thẳng vào giải bài tốn về tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hình học tọa độ trong mặt phẳng với mong muốn học sinh nắm được hệ thống kiến thức cơ bản vững chắc về đường thẳng, về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, biết vận dụng các kiến thức về đường thẳng vào giải tốn hình học nói chung và giải bài tốn về tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hình học tọa độ trong mặt phẳng nói riêng B. Giải quyết vấn đề I.Các biện pháp thực hiện 1. Cách thức thực hiện: Do thời gian dạy học trên lớp cịn hạn chế, nên để áp dụng nội dung này thì giáo viên cần phải: Cung cấp đầy đủ các kiến thức cơ bản cho học sinh Phải lựa chọn các kiến thức đưa ra cho học sinh, dự đốn được các tình huống xảy ra trong từng tiết học để học sinh chủ động tiếp thu kiến thức. Chọn phương pháp dạy học, phương tiện phù hợp với nội dung bài Khắc sâu kiến thức kết hợp với luyện tập, ngồi ra phải đưa ra bài tập tự giải đưa ra bài tập tự giải cho học sinh tự giác làm Tham khảo ý kiến của đồng nghiệp, của học sinh để chọn lựa phương pháp truyền đạt kiến thức phù hợp 2. Phương pháp vận dụng các kiến thức vectơ vào việc giải bài tốn về tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hình học tọa độ trong khơng gian Dạng 1: Bài tốn: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A(a; b); B(a’; b’) và đường Tìm toạ độ điểm E thuộc (d) sao cho m EA n EB thẳng (d): x y đạt giá trị nhỏ nhất Phương pháp giải: + Tìm toạ độ điểm P sao cho m PA n PB + Tìm mối liên quan giữa điểm E và điểm P vừa tìm được + Tìm toạ độ điểm E thỏa mãn điều kiện bài tốn GV: Mai Thị Hà Sáng kiến kinh nghiệm Chú ý: Bài tốn trên cịn được mở rộng với 3 điểm A, B, C hoặc 4 điểm A, B, C, D thì ta cũng có phương pháp giải tương tự như trên Bài tập áp dụng: Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1; 2), B(0; 3) và đường thẳng (d) có phương trình: x y + 1 = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho: MA MB đạt giá trị nhỏ nhất Lời giải : Gọi E (a; b) là điểm sao cho EA EB Ta có: EA (1 a; b) EB ( a; b) EA EB (2 a; b) EA EB khi Khi đó: MA MB a b ME a EA b EB E ( 2; 7) ME MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ME đạt giá trị nhỏ nhất tức M là giao điểm của đường thẳng đi qua E vng góc với đường thẳng (d) và đường thẳng (d) Gọi (d’) là đường thẳng đi qua E và vng góc với đường thẳng (d). (d’) có vectơ chỉ phương u d ' n d (1; 1) và đi qua E(2; 7) do đó (d’) có phương trình tham số: x y t t Tọa độ điểm M là giao điểm của (d) và (d’). Nên gọi M( t+2; t – 7 ). M thuộc mặt phẳng (d) nên ta có: t + 2 – ( t – 7 ) + 1 = 0 suy ra t = 5 hay M ( 3; 2) Khi đó MA MB = ME = ( 2) ( 7) Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(1; 1), B(1; 0) và đường thẳng (d) có phương trình x + y + 1 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất Lời giải: Gọi E(a; b) là điểm sao cho EA EB Ta có: EA ( a; b) GV: Mai Thị Hà Sáng kiến kinh nghiệm EB (1 a; b) EA EB (1 3a; 3b) EA EB a 3a 3b b Khi đó: MA MB = 3ME EA EB 1 E( ; ) 3 3 ME MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ME đạt giá trị nhỏ nhất tức M là giao điểm của đường thẳng đi qua E vng góc với đường thẳng (d) và đường thẳng (d) Gọi (d’) là đường thẳng đi qua điểm E và vng góc với đường thẳng (d). 1 (1;1) và đi qua điểm E ( ; ) Phương trình tham 3 x t số của đường thẳng (d’) là: y t (d’) có vectơ chỉ phương là u d ' Khi đó: M là giao điểm của (d) và (d’) nên 1 t; t ) M thuộc (d) do đó ta có: 3 1 1 t ( t) t suy ra M ( ; ) 3 6 1 Khi đó: MA MB = 3 ME = 3 ( ) ( ) 6 Gọi toạ độ M ( 2 Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(3; 1), B(1; 4), C(2; 5) và đường thẳng (d) có phương trình x 3y + 2 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất Lời giải: Gọi E(a; b) là điểm sao cho EA EB EC Ta có: EA (3 a; b) EB (1 a; b) EC ( a; b) EA EB EC (9 a;17 b) EA EB EC a 17 b 0 a b 17 E (9;17) GV: Mai Thị Hà Sáng kiến kinh nghiệm Khi đó: MA MB MC = ME EA EB EC ME MC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ME đạt MA MB giá trị nhỏ nhất tức M là giao điểm của đường thẳng đi qua E vng góc với (d) và đường thẳng (d) Gọi (d’) là đường thẳng đi qua điểm E và vng góc với đường thẳng (d). (d’) có vectơ chỉ phương là u d ' (1; 3) và đi qua điểm E (9;17) Phương trình tham số của đường thẳng (d’) là: x t y 17 3t Khi đó: M là giao điểm của (d) và (d’) nên Gọi toạ độ M (9 t ;17 3t ) M thuộc (d) do đó ta có: t 3(17 3t ) t suy ra M (13;5) Khi đó: MA MB MC = ME = (9 13) (17 5) 10 Bài tập đề nghị: Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(1; 2), B(1;6) và đường thẳng (d) có phương trình 5x – 2y + 2 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho: 3MA 5MB đạt giá trị nhỏ nhất Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(0;1), B(5;6), C(1;1)và đường thẳng (d) có phương trình: (d) sao cho: MA 3MB x y Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng MC đạt giá trị nhỏ nhất Dạng 2: Bài tốn: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 3 điểm A(a; b), B(c; d), C(u; r) và đường thẳng (d) có phương trình Ax + By + C = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (d) sao cho : mMA nMB đạt giá trị nhỏ nhất hoặc đạt giá trị lớn Phương pháp giải: + Tìm toạ độ điểm P sao cho m PA n PB + Tìm mối liên quan giữa điểm M và điểm P vừa tìm được + Tìm toạ độ điểm E thỏa mãn điều kiện bài tốn GV: Mai Thị Hà Sáng kiến kinh nghiệm Chú ý: Bài tốn trên cịn được mở rộng với 3 điểm A, B, C hoặc 4 điểm A, B, C, D thì ta cũng có phương pháp giải tương tự như trên Bài tập áp dụng: Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình: x y và 2 điểm A(3; 0), B(1; 6). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho : a) MA MB đạt giá trị nhỏ nhất b) MA 2MB đạt giá trị lớn nhất Lời giải: a) Gọi E(a; b) là điểm sao cho EA EB Khi đó E là trung điểm của AB nên tọa độ điểm E(2; 3). Ta có: MA 2ME MB 2 EA MA 2 MB EB 2 ( ME EA) 2 ME ( EA EB ) ( ME ME EB ) EA EB MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi ME đạt giá trị nhỏ nhất tức M là giao điểm của đường thẳng đi qua E vng góc với (d) và đường thẳng (d) Gọi (d’) là đường thẳng đi qua E và vng góc với (d). (d’) có vectơ chỉ phương là u d ' (1;1) Do đó (d’) có phương trình tham số là x y t t M là giao điểm của (d) và (d’) nên gọi toạ độ của M(2 + t; 3 + t), mà M thuộc (d) nên ta có phương trình: 2 + t – 3 + t – 3 =0 t = 2 hay M(4; 1) Khi đó: MA MB 2ME EA EB 2.(2 2 ) (12 ) (12 ) 36 b) Gọi E(a; b) là điểm sao cho EA EB Khi đó B là trung điểm của EA nên tọa độ điểm E( 1; 12). Khi đó: MA ME 2MB 2 MA 2 MB 2 ( ME EA) 2( ME EB ) ME EA 2 EB 2MB đạt giá trị lớn nhất khi ME đạt giá trị nhỏ nhất tức M là giao EA EB 2ME ( EA EB ) MA điểm của đường thẳng đi qua E vng góc với (d) và đường thẳng (d) Gọi (d’) là đường thẳng đi qua E và vng góc với (d). (d’) có vectơ chỉ phương là u d ' (1;1) Do đó (d’) có phương trình tham số là x t y 12 t M là giao điểm của (d) và (d’) nên gọi toạ độ của M( 1 + t; 12 + t), mà M thuộc (d) nên ta có phương trình: GV: Mai Thị Hà Sáng kiến kinh nghiệm 1 + t – 12 + t – 3 =0 t = 8 hay M(7; 4). Khi đó: MA 2MB ME EA 2 EB (8 ) (4 12 ) 2(6 2 ) 48 Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình: x 1 y và 3 điểm A(1; 2), B(1; 2), C(2;5). Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho a) MA 2MB MC đạt giá trị nhỏ nhất b) MA 3MB MC đạt giá trị lớn nhất Lời giải: a) Gọi E(a; b) là điểm sao cho EA EB EC Khi đó: EA (1 a; b) EB ( a; b) EC ( a; b) EA EB EC ( 4a;7 4b) 4a 4b Ta có: EA EB EC MA 4ME MA 2MB 2 EA MC 2 2MB MA 2 2MB 2 MC a b ( ME EA) E( ; ) 4 2( ME EB) ( ME EC ) EC ) ME EA 2 EB EC MC đạt giá trị nhỏ nhất khi ME đạt giá trị nhỏ nhất tức M là giao EB EC ME ( EA EB điểm của đường thẳng đi qua E vng góc với (d) và đường thẳng (d) Gọi (d’) là đường thẳng đi qua E và vng góc với (d). (d’) có vectơ pháp tuyến là nd ' (1;3) Do đó (d’) có phương trình tổng qt là: x t (d) có phương trình tham số là: y 3t ( x ) 3( y ) x 3y M là giao điểm của (d) và (d’) nên gọi toạ độ của M(1 + t; 1 + 3t), mà M thuộc (d) nên ta có phương trình: t 3( 3t ) Khi đó: MA 2MB MC t ME 13 33 19 hay M( ; ) 20 20 20 EA 2 EB EC GV: Mai Thị Hà Sáng kiến kinh nghiệm 12 15 ) ( )2 ( )2 ( ) 5 4 128 137 97 551 8 10 ( ) ( ( )2 ( ) ( 13 ) b) Gọi E(a; b) là điểm sao cho EA 3EB EC Khi đó: EA (1 a; b) EB ( a; b) EC ( a; b) EA 3EB EC (2 a; b) a b Ta có: EA 3EB EC MA 3MB ME MA 2 EA 3MB MC 2 MA 2 3MB 2 MC a b E ( 2;3) ( ME EA) 3( ME EB ) ( ME EC ) EC ) ME EA 3EB EC MC đạt giá trị lớn nhất khi ME đạt giá trị nhỏ nhất tức M là giao 3EB EC ME ( EA 3EB điểm của đường thẳng đi qua E vng góc với (d) và đường thẳng (d) Gọi (d’) là đường thẳng đi qua E và vng góc với (d). (d’) có vectơ pháp tuyến là nd ' (1;3) Do đó (d’) có phương trình tổng qt là: ( x 2) 3( y 3) x y (d) có phương trình tham số là: x t y 3t M là giao điểm của (d) và (d’) nên gọi toạ độ của M(1 + t; 1 + 3t), mà M thuộc (d) nên ta có phương trình: t 3( 3t ) t Khi đó: MA 3MB MC 39 13 ( )2 ( ) 10 10 19 17 hay M( ; ) 10 10 10 ME 32 EA 52 12 3EB ( 1) EC 02 22 169 10 34 151 10 Bài tập đề nghị: Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho mặt phẳng (d) có phương trình: x + y + 3 = 0 và các điểm A(3;1), B(7;3). Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho: a) MA 2MB đạt giá trị nhỏ nhất b) MA 3MB đạt giá trị lớn nhất Bài 2: GV: Mai Thị Hà 10 Sáng kiến kinh nghiệm Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình: x y và 3 điểm A(0; 2), B(1; 5), C(2;3). Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho a) MA 2MB MC đạt giá trị nhỏ nhất b) MA 3MB MC đạt giá trị lớn nhất Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình x t y 2t và 3 điểm A(2; 1), B(2; 1), C(1; 0). Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho: a) MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất b) MA 2MB MC đạt giá trị lớn nhất Dạng 3: Bài tốn: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 điểm A(a; b), B(c; d) và đường thẳng (d) có phương trình: Ax + By + C = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất Phương pháp giải: *) TH1: Nếu A, B nằm về hai phía đối với đường thẳng d A d M M’ B +) Bước 1: Chứng minh điểm M là giao điểm của AB và đường thẳng d là điểm cần tìm +) Bước 2: Tìm tọa độ điểm M *) TH2: Nếu A, B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d A B d GV: Mai Thị Hà 11 Sáng kiến kinh nghiệm H M A’ +) Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d +) Bước 2: Chứng minh điểm M là giao điểm của A’B và đường thẳng d là điểm cần tìm +) Bước 3: Tìm tọa độ điểm M Bài tập áp dụng: Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x + 3y – 1 = 0 và 2 điểm A(1; 2), B(1; 1). Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất Lời giải: Thay tọa độ A và B vào đường thẳng d ta có: (1 + 3.2 – 1)( 1 + 3( 1 ) – 1 ) = 6.( 5 ) = 30 A’B Mặt khác, A’B = MA’ + MB = MA + MB do đó M’A + M’ B > MA + MB hay M là điểm cần tìm Ta có: AB ( 4; 8) n AB (8; 4) là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AB. Do đó AB có phương trình: 8(x – 1 ) – 4(y – 2 ) = 0 2x – y + 3 = 0 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: 2x y x 3y x y M( ; ) 7 Khi đó MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 34 Bài tập đề nghị: Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình 2x + y – 9 = 0 và 2 điểm A(1; 2), B(4; 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình 2x + y – 9 = 0 và 2 điểm A(1; 2), B(2; 4). Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất Dạng 4: Bài tốn: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(a; b), B( c; d) và đường thẳng d có phương trình: Ax + By + C = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất Phương pháp giải: *) TH1: Nếu A, B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d A d B M M’ +) Bước 1: Chứng minh điểm M là giao điểm của AB và đường thẳng d là điểm cần tìm +) Bước 2: Tìm tọa độ điểm M GV: Mai Thị Hà 14 Sáng kiến kinh nghiệm *) TH2: Nếu A, B nằm về hai phía đối với đường thẳng d A’ B d H M A +) Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d +) Bước 2: Chứng minh điểm M là giao điểm của A’B và đường thẳng d là điểm cần tìm +) Bước 3: Tìm tọa độ điểm M Bài tập áp dụng: Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 2 ), B( 1; 1) và đường thẳng (d) có phương trình 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất Lời giải: A d B M M’ Thay tọa độ A và B vào đường thẳng d ta có: ( 2.1 + 2 + 3)( 2( 1) ( 1 ) + 3 ) = 7.2 = 14 > 0 do đó A, B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d Ta chứng minh M AB d là điểm cần tìm Thật vậy giả sử M’ là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d và M ' M Xét tam giác M’AB có: M ' A M ' B AB GV: Mai Thị Hà 15 Sáng kiến kinh nghiệm Mặt khác, AB MA MB do đó M ' A M ' B MA MB hay M là điểm cần tìm Ta có: AB ( 2;1) n AB (1;2) là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AB. Do đó AB có phương trình: (x – 1 ) + 2(y + 2 ) = 0 x + 2y + 3 = 0 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: x 2y 2x 3y x y 15 7 M( 15 ; ) 7 Khi đó MA MB đạt giá trị lớn nhất bằng Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 2 ), B( 2; 3) và đường thẳng (d) có phương trình x + y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất Lời giải: Thay tọa độ A và B vào đường thẳng d ta có: (1 + 2 + 3)( 2 3 + 3 ) = 6.( 2 ) = 12