PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN ANH SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, CẤP THCS - HUYỆN ANH SƠN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN THI: TỐN – LỚP Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2.5 điểm) 10x - - x �x + � : Cho biểu thức A= � � �x - x + �x +3 a/ Nêu ĐKXĐ rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị biểu thức A x = c/ Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu (2.5 điểm) a/ Giải phương trình: x - 4x + 1= x - 1 b/ Chứng minh biểu thức S = n + n - 1 - chia hết cho 24 với số nguyên n 2 c/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x + 2y + 2xy - 6x - 8y + 2024 Câu (2.0 điểm) Cho hình vng ABCD có M, N, P trung điểm cạnh BC, CD, DA Gọi H giao điểm AN DM Chứng minh rằng: a/ Tứ giác BMDP hình bình hành b/ BA = BH Câu (2 điểm) Cho ΔABC có góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF đồng quy H Chứng minh rằng: a/ AEB : AFC � ABC � b/ AEF c/ BH.BE CH.CF BC Câu (1 điểm) Cho số a, b, c �R * thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 1và 1 a b c Chứng minh có số - HẾT Cán coi thi khơng giải thích thêm! Đáp án biểu điểm chấm thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn Năm học 2013 – 2014 Bài Câu Nội dung cần đạt a ĐKXĐ: x �2; x ��3 10x - - x �x + � A= � : = � �x - x + �x +3 (10x 5) (x 3) x : = (x 3) x 3 x 3 x 4x x : = (x 3) x 3 x c 0,25đ (�ĐKXĐ) �5 � 1 9 9 Thay vào A ta có A = ( 2) : � � : �2 � 2 Với x Với x �ĐKXĐ A có giá trị nguyên � a Giải phương trình x - 4x + 1= x - 1 0,5đ 0,25đ 0,25đ � x 4x x 2x � x x 2x � x x 1 x � x 0;x 1; x 2 b 0,25đ x2 có giá trị nguyên x 3 x + Mx – nên ( x + 2) – ( x – 3) Mx – � 5Mx – � x – � 5; 1;1;5 Do x � 2;2;4;8 Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy có giá trị thỏa mãn đề x = 2; x = 4; x = 0,25đ 0,25đ (x 2) x3 x 2 � = (x 3) x 3 x x b Điểm 0,5đ S = n + n - 1 - 1= n + n n + n - 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ = n n + 1 n - 1 n + S tích bốn số nguyên liên tiếp nên S chia hết cho vá S 0,25đ 0,25đ 0,25đ chi hết cho 8, mà hai số nguyên tố nên S c chia hết cho 24 P = x + 2y + 2xy - 6x - 8y + 2024 = x + y + + 2xy - 6x - 6y + y -2y+1 + 2014 = x + y - 3 + y - 1 + 2014 �2014 P = 2014 � x = 2; y = Vậy Pmin = 2014 x = 2; y = 0,25đ 0,25đ 0,25đ M C B N H Q D A a Xét tứ giác BMDP ta có: 1 BC= AD) 2 Nên tứ giác BMDP hình bình hành Xét tam giác ADH Ta có P trung điểm AD mà PQ //DH Nên theo tính chất đường trung bình ta có Q trung điểm AH(1) Mặt khác: ABP DAN (c – g – c) � BAQ � 900 ( Do BAD � DAN � � 900 ) Nên ABP mà DAN � BAQ � 900 Vì ABP Do ABQ vng Q nên BQ AH (2) Từ (1) (2) � Tam giác ABH cân B ( Vì BQ vừa đường cao vừa trung tuyến) Nên AB = BH BM//=DP( Vì BM=DP = b P 1,0đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ A E F H B a b c D C Xét AEB ; AFC ta có � chung A � AFC � ( 900 ) AEB Do AEB : AFC (g –g) Vì AEB : AFC (g –g) AE AB � Nên kết hợp với ABC AF AC Do AEF : ABC (c- g- c) � ABC � Vì AEF CH CD � CH.CF CD.CB CB CF BH BD � BH.BE BD.CB Vì BHD : BCE (g –g) nên CB BE Do BH.BE + CH.CF = BC (CD +BD) =BC.BC =BC 1 Vì a b c a b c 1 1 Nên a b c abc Biến đổi hệ thức ta có (a + b)( b +c)(c +a) = Nên a + b = b + c = c + a = Nếu a + b = c = Nếu b + c = a = Nếu c + a = b = Vậy số a, b, c có số Vì CHD : CBF (g –g) nên 0,5đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ 0,5đ ... - 8y + 2024 = x + y + + 2xy - 6x - 6y + y -2y+1 + 2014 = x + y - 3 + y - 1 + 2014 ? ?2014 P = 2014 � x = 2; y = Vậy Pmin = 2014 x = 2; y = 0,25đ 0,25đ 0,25đ M C B N H Q D A a Xét tứ...Đáp án biểu điểm chấm thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn Năm học 2013 – 2014 Bài Câu Nội dung cần đạt a ĐKXĐ: x �2; x ��3 10x - - x �x + � A= � : = � �x