PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN NGŨ HÀNH SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC : 2013-2014 MƠN THI: TỐN – LỚP Thời gian: 150 phút (khơng tính giao đề) Bài (1,5 điểm) a) Chứng minh 22008 22009 22010 chia hết cho b) Chứng minh khơng có giá trị tự nhiên n để giá trị biểu thức 2n3 3n2 n chia hết cho giá trị biểu thức n2 n Bài (1,5 điểm) Hưởng ứng ngày chủ nhật xanh – – đẹp Học sinh khối lớp nhận làm vệ sinh đoạn đường em chăm Lớp 8/1 nhận 10 mét 1/10 phần lại, lớp 8/2 nhận 20 mét 1/10 phần lại, lớp 8/3 nhận 30 mét 1/10 phần lại … chia lớp cuối vừa đủ phần đường lớp dài Hỏi khối có lớp đoạn đường lớp nhận dài mét ? Bài (2,0 điểm) x3 x x x x x x Cho biểu thức: M x 1 x 2x x 2x a) Tìm điều kiện x để biểu thức M có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M có giá trị nguyên Bài (2,0 điểm) a) Cho a b Tính giá trị nhỏ biểu thức a b2 1 b) Cho x 14 x Hãy tính giá trị biểu thức x3 x x Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AH đường cao Gọi M, N giao điểm ba đường phân giác tam giác AHB AHC MN cắt AB, AH, AC I, E, K a) Chứng minh : BM vng góc với AN b) Chứng minh : ME.NK MI NE c) Biết diện tích tam giác ABC S Tính diện tích lớn tam giác AIK theo S ĐÁP ÁN Bài a 22008 22009 22010 22008.1 7.22008 b Chia 2n3 3n2 n cho n2 n dư Vì n2 n n n 1 số chẵn nên n n 1 Ư(3) Bài Gọi x(m) chiều dài đoạn đường khối vệ sinh ( x ) Lớp 8/1 nhận đoạn đường dài : 10 0,1 x 10 0,1x Sau lớp / nhận, đoạn đường lại: x 0,1x 0,9 x Lớp 8/2 nhận đoạn đường dài : 20 0,1. 0,9 x 20 0,09 x 17,1 Ta có phương trình : 0,1x 0,09 x 17,1 Giải : x 810 (thích hợp) Khối có lớp Mỗi lớp chăm đoạn đường dài 90m Bài a x3 x 1 x x 1 x x x 1 x 1 x 1 2x 1 x 2 x x x 1 x 1 x 1; x b x3 x x x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x3 x x x x x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x x3 x x x3 x x x x x 1 x x 1 x x x3 x x x x 1 x3 x x x x x x x2 x 1 x 1 x 1 x x x3 x x x2 x x x 1. x 1 x x 1. x 1 x2 x c) x2 x x2 x 1 M 1 x x 1 x x 1 x x 1 M có giá trị nguyên x2 x 1Ư(1) x 0(tm) x2 x x2 x x 1(ktm) x2 x 1 x x 0(VN ) Vậy x Bài 4a a b a 2ab b2 a b2 2ab (với a, b) a b a b a b2 2ab a b2 a b2 4,5 Vậy giá trị nhỏ a b2 4,5 4b 1 x x 2 x x 1 x 16 x 4 x x 1 x3 x x 1 x x x 1 Với x x 4; x3 4.14 1 52 x x 1 Với x x 4; x3 4.14 1 52 x x Bài A F I B M N P E H D K C a) Gọi F giao điểm BM AN ABH HAC (cùng phụ với BAH ) 1 ABF CAN ABF ABH ; CAN BAH 2 ABF BAF 900 (vì CAN BAF 900 ) ABF vuông F BM AN b) Gọi P giao điểm BM CN AP phân giác BAC nên AP phân giác AIK Chứng minh tương tự câu a ta có: CN AM P trực tâm AMN AP IK ; AP đường cao AIK AIK vuông cân A AI AK Áp dụng tính chất đường phân giác vào AIE AEK ta có: MI AI NK AK MI NK ; ( Do AI AK ) ME AE NE AE ME NE ME.NK MI NE c) Gọi D trung điểm BC; AD BC AMI AMH ( g.c.g ) AI AH 1 AI AK AH 2 1 S ABC AH BC AH AD AH AD 2 1 Vì AH AD S AIK S ABC S AIK S 2 Vậy diện tích lớn AIK S S AIK