Về cơ sở và thuật toán vẽ một số fractal

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM VĂN ĐỨC VỀ CƠ SỞ VÀ THUẬT TOÁN VẼ MỘT SỐ FRACTAL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM VĂN ĐỨC VỀ CƠ SỞ VÀ THUẬT TOÁN VẼ MỘT SỐ FRACTAL LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Giải tích Mã số: 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS VŨ THỊ HỒNG THANH NGHỆ AN - 2019 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn, người định hướng, giúp đỡ hướng dẫn tận tình, chu đáo suốt trình tác giả thực hoàn thành luận văn Tác giả bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cơ giáo thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên, trường Đại học Vinh giảng dạy tận tình, chu đáo suốt q trình học tập Cảm ơn tập thể lớp Tốn Giải tích Cao học, khóa 25 đồng hành suốt trình học tập nghiên cứu Cảm ơn tập thể cán bộ, giáo viên trường THPT Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh nơi công tác, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Mặc dù nỗ lực để hoàn thành luận văn chắn có nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận nhận xét, góp ý từ Thầy giáo, Cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn thiện Nghệ An, ngày 30 tháng năm 2019 Phạm Văn Đức Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Chương Sự tồn tập fractal 1.1 Mêtric Hausdorff 1.2 Sự tồn tập fractal 12 Chương 6 Cơ sở lý thuyết xây dựng thuật toán vẽ số fractal22 2.1 Cấu trúc tập fractal 23 2.2 Fractal sinh độ đo 28 2.3 Mô tả số fractal quen thuộc, thuật tốn chương trình vẽ chúng 32 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Mở đầu Lý chọn đề tài Hình học fractal đời với hỗ trợ đắc lực máy tính giúp cho mơ tả cách chân thực nhiều vật tượng sống thực quanh ta nhiều lĩnh vực khoa học địa chất, sinh học, y học, khoa học máy tính, kiến trúc Năm 1981, John E Hutchinson đưa cách xây dựng tập fractal đơn giản Ông có họ hữu hạn ánh xạ co Banach khơng gian Rn có tốn tử fractal tập fractal điểm bất động tốn tử fractal Mặc dù hình học Euclid đời sớm có nhiều lợi ích gần mơ tả hình ảnh lý tưởng, trơn tru, nhẵn, khơng gai góc Vì thế, khơng thể mơ tả cách chân thực sống thực quanh “Đám mây khơng phải hình cầu, núi khơng phải hình nón, bờ biển khơng phải hình trịn vỏ khơng trơn tru, khơng có tia sét theo đường thẳng” (Mandelbrot 1982) Ngồi ra, Tốn học có nhiều tượng tưởng nghịch lý, chẳng hạn, tồn tập có chu vi vơ hạn diện tích khơng, tồn tập khơng đếm độ đo Lebesgue không, tồn hàm liên tục miền liên tục không khả vi điểm chưa giải thích cách cụ thể Sự đời hình học fractal tập fractal giúp phần lớn giải tồn đọng Các tập fractal giúp mô tả cấu trúc AND, bờ biển, đồi núi, kiến trúc nhà, cỏ, hoa lá, bề mặt núi rừng, đo chiều dài bờ biển, chuẩn đoán mức độ bệnh Parkinson, nén ảnh Vì thế, vấn đề xây dựng tập fractal có ý nghĩa thu hút quan tâm nghiên cứu nhà Toán học Tin học Để tập duyệt với nghiên cứu khoa học tìm hiểu vấn đề này, chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Về sở thuật tốn vẽ số fractal” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu tồn cấu trúc tập fractal Qua đó, làm sở xây dựng thuật tốn xác định vẽ số hình ảnh fractal Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu cấu trúc tập fractal qua hệ hàm lặp gồm ánh xạ co không gian mêtric Nhiệm vụ nghiên cứu - Đọc hiểu tài liệu tham khảo liên quan đến việc xây dựng mêtric Hausdorff, tồn tập fractal, fractal sinh độ đo, cấu trúc tập fractal thuật toán sinh fractal - Trình bày chứng minh kết mà tài liệu tham khảo chưa chứng minh, nêu ví dụ minh họa Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc tài liệu, suy diễn logic, tương tự hóa, tổng quát hóa Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mục lục, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo nội dung luận văn trình bày thành hai chương Chương Về tồn tập fractal Chương trình bày kiến thức mêtric Hausdorff, toán tử fractal, hệ hàm lặp tồn tập fractal qua toán tử fractal Đây sở để tìm hiểu cấu trúc tập fractal, giúp cho việc vẽ fractal Chương Cơ sở xây dựng thuật toán vẽ số fractal Chương đề cập đến việc nghiên cứu cấu trúc fractal từ hệ hàm lặp Từ đó, dùng làm sở để xây dựng thuật toán xác định vẽ fractal Nghệ An, tháng năm 2019 Tác giả Phạm Văn Đức Chương Sự tồn tập fractal Chương trình bày kiến thức mêtric Hausdorff, toán tử fractal, hệ hàm lặp tồn tập fractal qua hệ hàm lặp 1.1 Mêtric Hausdorff 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric Với x ∈ X , A, B ⊂ X , ta định nghĩa i) khoảng cách từ điểm x đến tập A xác định kí hiệu d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A} = inf {d(x, a)} a∈A ii) khoảng cách từ tập A đến tập B xác định kí hiệu D(A, B) = sup{d(a, B)} = sup{inf{d(a, b) : b ∈ B}} a∈A a∈A iii) lớp tập khác rỗng, compact X kí hiệu C (X) = {A : A ⊂ X, A = ∅, A compact} 1.1.2 Nhận xét Tồn tập A, B ∈ C (X) mà D(A, B) = D(B, A) nên hàm D : C (X) × C (X) → R+ xác định Định nghĩa 1.1.1 không mêtric C (X) Chẳng hạn, R với mêtric d xác định d(x, y) = |x − y|, ta xét hai tập A = [0; 1] B = [3; 4] Khi đó, A, B ∈ C (R) D(A, B) = 2, D(B, A) = Rõ ràng D(A, B) = D(B, A) Công thức mệnh đề sau cho ta cách xác định mêtric C (X) 1.1.3 Mệnh đề ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric Xét ánh xạ dH : C (X) × C (X) → [0; +∞) (A, B) → dH (A, B) = max{D(A, B), D(B, A)} Khi đó, dH mêtric C (X) Chứng minh Ta kiểm tra điều kiện mêtric dH i) Do D(A, B) D(B, A) không âm nên dH (A, B) ≥ với A, B ∈ C (X) Nếu dH (A, B) = max{D(A, B), D(B, A)} = ⇒ D(A, B) = D(B, A) = Ta suy A = B Do A B compact nên A = A, B = B , tức A = B Ngược lại, giả sử A = B ta có D(A, B) = D(B, A) = Suy dH (A, B) = ii) Ta có dH (A, B) = max{D(A, B), D(B, A)} = max{D(B, A), D(A, B)} = dH (B, A) với A, B ∈ C (X) iii) Ta chứng minh dH (A, B) ≤ dH (A, C) + dH (C, B) với A, B, C ∈ C (X) Thật vậy, với a ∈ A ta có d(a, B) = inf d(a, b) b∈B ≤ inf (d(a, c) + d(c, b)) ∀c ∈ C b∈B = d(a, c) + inf d(c, b) ∀c ∈ C b∈B = d(a, c) + d(c, B) ∀c ∈ C ≤ d(a, c) + D(C, B) ∀c ∈ C Lấy infimum bất đẳng thức theo c ta d(a, B) ≤ d(a, C) + D(C, B) Lấy suprimum hai vế bất đẳng thức vừa có theo a ∈ A cho ta kết D(A, B) ≤ D(A, C) + D(C, B) Kết hợp điều công thức xác định dH (A, B) ta có dH (A, B) = max{D(A, B), D(B, A)} ≤ max{D(A, C) + D(C, B), D(B, C) + D(C, A)} ≤ max{D(A, C), D(C, A)} + max{D(C, B), D(B, C)} = dH (A, C) + dH (C, B) Như vậy, dH mêtric C (X) 1.1.4 Định nghĩa ([1]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ Với cách xác định dH Mệnh đề 1.1.3 dH gọi mêtric Hausdorff C (X) Sau ta xét số ví dụ mêtric Hausdorff 1.1.5 Ví dụ 1) Xét hai tập A = [0; 20] B = [22; 31] R với mêtric d xác định d(x, y) = |x − y| 25 ∞ ∗ I n, I = n=1 I ∞ = {i = i1 ip | in ∈ I, n = 1, 2, }, fu = fi1 i2 in := fi1 ◦ fi2 ◦ · · · ◦ fin với u = i1 i2 in ∈ I n Au = fu (A) gọi mảnh tập tiền fractal mức độ n A∗ Giả sử ri1 , ri2 , , rin hệ số co ánh xạ fi1 , fi2 , , fin Khi đó, với u = i1 i2 in ta có ru = ri1 · ri2 · · · rin hệ số co fu = fi1 i2 in 2.1.3 Định nghĩa ([5]) Cho (X, dX ) (Y, dY ) không gian mêtric Ánh xạ f : X → Y gọi liên tục Lipschitz X dX , dY L= dY (f (x), f (y)) < ∞ dX (x, y) x,y∈X,x=y sup Hằng số L gọi số Lipschitz f ký hiệu L = Lip(f ) 2.1.4 Bổ đề ([5]) Giả sử {fi }N i=1 hệ hàm lặp không gian mêtric đầy đủ (X, d) si1 i2 ip điểm bất động fu = fi1 i2 ip Khi đó, dãy i1 i2 ip ∈ I ∞ tồn giới hạn lim si1 i2 ip p→∞ Chứng minh Đặt λ = max d (si , sj ) R = λ(1 − r)−1 , 1≤i,j≤N với r = max{ri = Lipfi : ≤ i ≤ N } Khi đó, ta có N N B (si , rR) ⊂ i=1 B (si , R) i=1 N B(R) Nếu d (x, si ) ≤ rR Đặt C = i=1 d (x, sj ) ≤ λ + rR = λ + rλ(1 − r)−1 = λ(1 − r)−1 = R Do đó, fi (C) ⊂ C với i = 1, , N , C ⊃ fi1 (C) ⊃ fi1 i2 (C) ⊃ · · · ⊃ fi1 ip (C) ⊃ · · · , 26 nghĩa C ⊃ Ci1 ⊃ Ci1 i2 ⊃ · · · ⊃ Ci1 ip ⊃ · · · Nhưng điểm cố định fi1 ip phải nằm fi1 ip (C), đường kính d fi1 ip (C) → p → ∞ fi1 ip (C) tập đóng nên ta suy lim si1 ip tồn phần tử tập p→∞ ∞ p=1 Fi1 ip (C) 2.1.5 Định lí ([5]) Với ký hiệu trình bày A∗ tập bất biến hệ hàm lặp, ta có khẳng định sau N i) A∗i1 i2 ip A∗i1 i2 ip ip+1 với i1 i2 ip ∈ I p = ip+1 =1 ∞ ∗ ii) A ⊃ A∗i1 A∗i1 i2 ⊃ ⊃ ··· ⊃ A∗i1 i2 ip A∗i1 i2 ip gồm phần ⊃ · · · p=1 tử ký hiệu ki1 i2 ip {ki1 i2 ip | i1 i2 ip ∈ I ∞ } ⊂ A∗ iii) ki1 i2 ip = lim si1 i2 ip với si1 i2 ip nói Bổ đề 2.1.4 p→∞ iv) A∗ = {si1 i2 ip | i1 i2 ip ∈ I p } = {ki1 i2 ip | ij ∈ I, j = 1, 2, } Chứng minh i) Ta có   N A∗i1 i2 ip = fi1 i2 ip (A∗ ) = fi1 i2 ip  fip+1 (A∗ ) ip+1 =1 N N ∗ = ip+1 =1 N N ∗ A∗i1 ii) A = ip+1 =1 N A∗i2 = i1 =1 A∗i1 i2 ip ip+1 fi1 i2 ip ip+1 (A ) = i1 =1 i2 =1 = · · · Suy i2 A∗ ⊃ A∗i1 ⊃ A∗i1 i2 ⊃ · · · ⊃ A∗i1 i2 ip · · · ∞ ∗ Vì A , A∗i1 , A∗i1 i2 ip tập đóng nên theo nguyên lý Cantor, p=1 27 gồm phần tử ký hiệu ki1 i2 ip {ki1 i2 ip | i1 i2 ip ∈ I ∞ } ⊂ A∗ iii) Ta có ki1 i2 ip si1 ip ∈ A∗i1 i2 ip với p i1 ip ∈ I ∞ cho trước Mà đường kính d(A∗i1 i2 ip ) → p → ∞ nên theo Bổ đề 2.1.4 tồn lim si1 ip ki1 i2 ip = lim si1 i2 ip với si1 ip điểm bất động p→∞ p→∞ fi1 ip iv) Theo ii), ta có A∗ = A∗i1 ip i1 ip ∈I p Mặt khác, ký hiệu kˆi1ˆi2 ˆip = ki1 ip i1 ip fi1 i2 ip (kˆi1ˆi2 ˆip ) = kˆi1ˆi2 ˆip nên kˆi1ˆi2 ˆip điểm cố định fi1 i2 ip Mà si1 i2 ip điểm bất động fi1 i2 ip nên si1 i2 ip ≡ kˆi1ˆi2 ˆip Suy si1 i2 ip ∈ A∗ Điều kết hợp với iii) tính chất A∗ ta suy A∗ = {si1 i2 ip | i1 i2 ip ∈ I p } = {ki1 i2 ip | ij ∈ I, j = 1, 2, } Vậy, định lí chứng minh Từ Định lí 2.1.5, ta thu hệ sau 2.1.6 Hệ ([4]) Giả sử A∗ fractal hệ hàm lặp {fi }m i=1 Khi đó, ∞ với u = i1 i2 ∈ I ∞ A∗i1 i2 in chứa điểm Nếu ta xét ta có n=1 ánh xạ π xác định π : I ∞ → A∗ ∞ A∗i1 i2 in π(u) = n=1 π(I ∞ ) = F 28 2.1.7 Nhận xét 1) Từ Định lí 1.2.7 ta có bước để tạo fractal từ hệ hàm lặp sau Thiết lập hệ hàm lặp Vẽ tập compact (tập bị chặn chứa biên) ban đầu lên mặt phẳng (tập A) Tìm tập tiền fractal Fu = fu (A) Lặp lại bước vô hạn lần dãy F k (A) Thu A∗ = lim F k (A) k→∞ Như vậy, - tập bất biến A∗ gồm copy nhỏ Fi = fi (A∗ ), tức m ∗ A = m fi (A) = i=1 Fi i=1 m ∗ - Fi gồm copy nhỏ Fij = fi (fj (A )), Fi = m Fij = j=1 fi (fj (A)) j=1 - tiếp tục - với n ∈ N∗ , ta có A∗ = {A∗u | u ∈ I n } 2) Từ Định lí 2.1.5 Hệ 2.1.6 tập bất biến A∗ xác định A∗ = {si1 ip | i1 ip ∈ I P , p ∈ N, si1 ip điểm bất động fi1 ip } 2.2 Fractal sinh độ đo 2.2.1 Định nghĩa ([8]) Cho A σ − đại số X Hàm µ : A → [0; ∞] gọi độ đo X thỏa mãn điều kiện sau i) µ(∅) = 0, 29 ∞ ii) µ ∞ An n=1 = µ(An ) với An tập đôi rời A n=1 Khi đó, (X, A , µ) gọi không gian đo 2.2.2 Định nghĩa ([8]) Cho X không gian tô pô (X, A , µ) khơng gian đo Độ đo µ gọi độ đo Borel X B ⊆ A , nghĩa tập Borel X thuộc A 2.2.3 Định nghĩa ([7]) Cho (X, d) khơng gian mêtric giả sử µ độ đo Borel X Giá µ, ký hiệu định nghĩa suppµ = {x ∈ X : µ(B(x, ε)) > ∀ε > 0} với B(x, ε) = {y ∈ X | d(x, y) < ε} Ta hình dung suppµ tập mà độ đo tồn (khơng bị triệt tiêu) 2.2.4 Định lí ([7]) Cho (X, d) khơng gian mêtric giả sử µ độ đo Borel Khi đó, suppµ tập đóng bị chặn, tức suppµ ∈ C (X) 2.2.5 Định nghĩa ([7]) Giả sử (X, d) khơng gian mêtric µ độ đo Borel X Nếu µ(X) = µ gọi độ đo chuẩn 2.2.6 Nhận xét ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric compact Ký hiệu B σ − đại số tập Borel X Khi đó, ω : X → X hàm liên tục hàm ω −1 : B → B B → ω −1 (B) = {x ∈ X : ω(x) ∈ B} hoàn toàn xác định ν độ đo Borel chuẩn ν ◦ ω −1 30 2.2.7 Định nghĩa ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric compact, ký hiệu P(X) tập tất độ đo Borel chuẩn X với {fi }N i=1 hệ hàm lặp X kết hợp với xác suất {pi }N i=1 , nghĩa pi ∈ (0; 1), i = 1, 2, , N , N pi = Ta định nghĩa toán tử Markov kết hợp với hệ hàm lặp hàm i=1 M : P(X) → P(X) ν → M (ν) = p1 · ν ◦ f1−1 + · · · + pN · ν ◦ fN−1 2.2.8 Định lí ([7]) Toán tử Markov M xác định Định nghĩa 2.2.7 ánh xạ co P(X) (P(X), dH ) với f dµ − dH (ν, µ) = sup f dν : f : X → R liên tục co X X không gian mêtric đầy đủ nên tồn độ đo µ ∈ P(X) cho M µ = µ Độ đo µ gọi độ đo bất biến toán tử M N Chứng minh Giả sử {fi }N i=1 hệ hàm lặp X kết hợp với xác suất {pi }i=1 có hệ số co s ∈ (0; 1) Đặt L = {f : X → R : |f (x) − f (y)| ≤ d(x, y), ∀x, y ∈ X} Khi f d(M (µ)) − dH (M (ν), M (µ)) = sup X f d(M (ν)) : f ∈ L X N N pi f ◦ fi dµ − = sup X i=1 pi f ◦ fi dν : f ∈ L X i=1 N Đặt f˜ = s−1 pi f ◦ fi f˜ ∈ L i=1 N ˜= Đặt L f˜ ∈ L : f˜ = s−1 p i f ◦ fi , f ∈ L i=1 31 Khi đó, ta có ˜ f˜dν : f˜ ∈ L f˜dµ − s dH (M (ν), M (µ)) = sup s X X ˜ ⊂ L nên ta suy Vì L dH (M (ν), M (µ)) ≤ sdH (ν, µ) Vậy M ánh xạ co P(X) Do (P(X), dH ) không gian đầy đủ nên tồn độ đo µ bất biến qua M 2.2.9 Định nghĩa ([7]) Độ đo bất biến µ tốn tử Markov gọi độ đo bất biến hệ hàm lặp xác suất 2.2.10 Định lí ([7]) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ cho hệ hàm N lặp {fi }N i=1 kết hợp với xác suất {pi }i=1 Giả sử µ độ đo bất biến tốn tử Markov Khi đó, suppµ tập bất biến F hệ hàm lặp {fi }N i=1 Chứng minh Ta đặt B = suppµ Khi đó, B tập compact khác rỗng N X Gọi F tập bất biến hệ hàm lặp {fi }N i=1 X Khi {fi }i=1 hệ hàm lặp F Giả sử ν độ đo bất biến hệ hàm lặp {fi }N i=1 F ν độ đo bất biến hệ hàm lặp {fi }N i=1 X Do µ nên ν = µ Điều suy B ⊂ F Lấy a ∈ F Giả sử O tập mở chứa a Theo Định lí 2.1.5, tồn u = i1 i2 ip ∈ I ∞ cho lim si1 i2 ip = a Do đó, tồn p ∈ N cho p→∞ f (fi1 i2 ip (F )) ⊂ O Dẫn đến tồn số nguyên dương n cho φ(σ, n, F ) ⊂ O Nhưng µ(φ(σ, n, F )) ≥ pσ1 pσ2 pσn > Điều kéo theo µ(O) > Suy a nằm giá µ hay a ∈ B Như F ⊂ B Từ suy B = F 32 2.3 Mơ tả số fractal quen thuộc, thuật toán chương trình vẽ chúng Trong lập trình, để vẽ fractal ta sử dụng chương trình C++, Java, Action Script, Từ Nhận xét 2.1.7 ta đưa thuật toán vẽ số fractal quen thuộc tam giác Sierpinski, đường cong tuyết Von Koch 2.3.1 Tam giác Sierpinski Tam giác Sierpinski giới thiệu nhà toán học người Ba Lan Waclau Sierpinski vào năm 1915 Nó xây dựng cách xuất phát từ hình tam giác có cạnh Chia hình tam giác thành bốn tam giác qua đường trung bình bỏ tam giác Lặp lại trình cho tam giác cịn lại đến bước thứ k ta thu tam giác Sierpinski Bằng cách lập luận Ví dụ 1.2.9, ta tam giác Sierpinski tập bất biến qua hệ hàm lặp {fi }3i=1 , với ánh xạ xác định sau f1 (x, y) = 1 x, y , 2 1 x+ , y , 2 √ 1 x+ , y+ 4 f2 (x, y) = f3 (x, y) = Trên sở đó, kết hợp với Nhận xét 2.1.7 ta đưa thuật toán vẽ tam giác Sierpinski sau 1) Thiết lập hệ hàm lặp {fi }3i=1 2) Vẽ tam giác A ban đầu lên mặt phẳng 33 A 3) Áp dụng hệ hàm lặp với tập A để sinh tập tiền fractal A1 , A2 , A3 A3 A1 A2 4) Tiếp tục áp dụng hệ hàm lặp {fi }3i=1 với số lần định cho tập A1 , A2 , A3 (số lần áp dụng phụ thuộc vào kết thu mong muốn) 5) Tập thu sau tam giác Sierpinski (Hình 2.1) Hình 2.1: Hình ảnh tam giác Sierpinski thu qua lần áp dụng hệ hàm lặp {fi }3i=1 34 Để vẽ tam giác Sierpinski ngơn ngữ lập trình, ta sử dụng đoạn mã sau import turtle def drawTriangle( points,color,myTurtle ): myTurtle.fillcolor(color) myTurtle.up() myTurtle.goto(points[0][0],points[0][1]) myTurtle.down() myTurtle.begin_fill() myTurtle.goto(points[1][0],points[1][1]) myTurtle.goto(points[2][0],points[2][1]) myTurtle.goto(points[0][0],points[0][1]) myTurtle.end_fill() def getMidPoint( point1,point2 ): return ( (point1[0]+point2[0]) / 2, (point1[1] + point2[1]) / 2) def sierpinski( points, n, myTurtle ): colors = [’blue’] drawTriangle( points,colors[n],myTurtle ) if n > 0: sierpinski([points[0], getMid(points[0], points[1]), getMid(points[0], points[2])], 35 n-1, myTurtle) sierpinski([points[1], getMid(points[0], points[1]), getMid(points[1], points[2])], n-1, myTurtle) sierpinski([points[2], getMid(points[2], points[1]), getMid(points[0], points[2])], n-1, myTurtle) def main(): myTurtle = turtle.Turtle() myWin = turtle.Screen() myPoints = [[-100,-50],[0,100],[100,-50]] sierpinski(myPoints, 4,myTurtle) myWin.exitonclick() main() 2.3.2 Bông tuyết Von Koch Đường cong tuyết Von Koch giới thiệu vào năm 1904 Neils Fabian Helge Von Koch nhà tốn học Thụy Điển Nó xây dựng cách xuất phát từ đoạn thẳng có độ dài Chia đoạn thẳng thành ba phần bỏ đoạn thay hai đoạn thẳng tạo với đoạn bỏ tam giác Lặp lại trình đến bước thứ k cho cạnh đường gấp khúc có bước trước đó, ta thu 36 đường cong Von Koch Đường cong Von Koch tập tự đồng dạng, bất biến qua hệ hàm lặp {fi }4i=1 xác định 1 x, y , 3 1 f2 (x, y) = x+ , √ y , 3 1 1 x + ,− √ y + √ , f3 (x, y) = 2 3 f4 (x, y) = x+ , y 3 f1 (x, y) = Tương tự trên, ta xây dựng thuật tốn vẽ đường cong Von Koch Và kết thu sau ba lần áp dụng hệ hàm lặp {fi }4i=1 Hình 2.2 Hình 2.2: Đường cong Von Koch thu sau lần áp dụng hệ hàm lặp Khi ta ghép ba đường cong Von Koch với ta hình bơng tuyết Von Koch 37 Hình 2.3: Hình ảnh bơng tuyết Von Koch 38 Kết luận Luận văn đạt nội dung sau 1) Trình bày tồn tập fractal, đặc biệt trình bày kết cấu trúc tập fractal fractal xác định phương pháp khác Định lí 1.2.7, Mệnh đề 2.1.1, Định lí 2.1.5 Định lí 2.2.10 Đó sở để xây dựng thuật tốn vẽ fractal 2) Đọc tài liệu liên quan, trình bày cách hệ thống chứng minh chi tiết số kết có mà tác giả khơng trình bày chứng minh hay chứng minh vắn tắt Mệnh đề 1.1.6, Định lí 1.1.7, Bổ đề 1.2.3, Mệnh đề 1.2.5, Ví dụ 1.2.9, Bổ đề 2.1.4, Định lí 2.1.5, Định lí 2.2.10 3) Tìm, đọc hiểu trình bày lại thuật toán vẽ số fractal 39 Tài liệu tham khảo [1] Benoit Mandelbrot, Michael Frame and Nial Neger (2017), Fractal Geometry, Yale University [2] Bruce F Naylor (1985), Construction of Fractal Objects with Iterated Function Systems, ACM SIGGRAPH Computer Graphic 19, 271-278 [3] Gaurish Joshi (2016), Fractal Image Compression and its Application in Image Processing, International Journal of Science and Research 5, 14421448 [4] Gerald Edgar (2007), Measure, Topology, and Fractal Geometry, 2ed Springer [5] John E Hutchinson (1981), Fractal and Self Similarity, Indiana University Mathematics Journal 30, 713-747 [6] Magdy Mohamed Ibrahim Mahmoud and Robert J Krawczyk (2001), Generating Fractals Based on Spatial Organizations, College of Architecture, Chicago, IL USA [7] Michael F Barnsley (1988), Fractals Everywhere, Academic Press, 330-378 [8] Michael Papadimitrakis (2004), Measure Theory, Department of Mathematics University of Crete, 1-253 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM VĂN ĐỨC VỀ CƠ SỞ VÀ THUẬT TOÁN VẼ MỘT SỐ FRACTAL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG... vẽ fractal Chương Cơ sở xây dựng thuật toán vẽ số fractal Chương đề cập đến việc nghiên cứu cấu trúc fractal từ hệ hàm lặp Từ đó, dùng làm sở để xây dựng thuật toán xác định vẽ fractal Nghệ An,... Chương Về tồn tập fractal Chương trình bày kiến thức mêtric Hausdorff, toán tử fractal, hệ hàm lặp tồn tập fractal qua toán tử fractal Đây sở để tìm hiểu cấu trúc tập fractal, giúp cho việc vẽ fractal