Về sự tồn tại điểm bất động trong không gian kiểu b mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THẾ HUẾ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN KIỂU b-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Vinh, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THẾ HUẾ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN KIỂU b-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS TS ĐINH HUY HOÀNG Vinh, 2018 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Vinh, Phòng Đào tạo Sau Đại học trường Đại học Vinh, Ban lãnh đạo Viện Sư phạm Tự nhiên - Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập thực luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy, giáo tổ Giải tích thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên - Đại học Vinh giảng dạy giúp đỡ tơi q trình học tập Đặc biệt, tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Đinh Huy Hồng, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tơi q trình học tập q trình thực đề tài Cuối cùng, tơi xin cảm ơn ba mẹ, anh chị em người thân bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên suốt thời gian học tập nghiên cứu Nghệ An, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thế Huế Mục lục Lời mở đầu Chương1 Không gian kiểu b-mêtric 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian kiểu b-mêtric Một số kết tồn điểm bất động không gian kiểu b-mêtric Chương2 11 2.1 Về tồn điểm bất động ánh xạ tựa co T -co yếu 11 2.2 Về tồn điểm bất động ánh xạ ψ − ϕ − co 25 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Nguyên lý Banach tồn điểm bất động ánh xạ co không gian b-mêtric đầy đủ (1992), có nhiều ứng dụng giải tích nhiều ngành khác tốn học kỹ thuật Vì việc mở rộng nguyên lý Banach nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu Người ta thường mở rộng nguyên lý theo hướng sau Thứ xây dựng lớp không gian rộng lớp không gian mêtric chứng minh nguyên lý Banach lớp không gian Thứ hai giảm nhẹ điều kiện co để lớp ánh xạ rộng lớp ánh xạ co chứng minh nguyên lý Banach cho lớp ánh xạ Thứ ba kết hợp hai hướng nói Lớp không gian b-mêtric tồn điểm bất động lớp không gian đưa nghiên cứu S.Czerwik [7] Sau đó, nhiều nhà tốn học tìm cách mở rộng kết tồn điểm bất động không gian mêtric cho không gian b-mêtric Vào năm (2014), Z.Mustafa cộng [9] mở rộng kết Kannan [9], Chatterjea [3], Choudhury [5], Moradi [8] Razami, Parvaneh [12] tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan, Chatterjea, T-co yếu suy rộng kiểu Kannan, Chatterjea không gian mêtric cho không gian b-mêtric Vào năm 2012, A.Harandi [9], giới thiệu khái niệm không gian kiểu mêtric số kết điểm bất động trơng khơng gian Sau đó, vào năm 2013, M.A.Alghamdi cộng [2] tổng qt hóa khái niệm khơng gian kiểu mêtric không gian b-mêtric cách đưa khái niệm không gian kiểu b-mêtric số kết tồn điểm bất động không gian kiểu b-mêtric Sau đó, vấn đề tồn điểm bất động không gian kiểu b-mêtric nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết ([2, 4, 9, 12]) Vấn đề đặt số kết điểm bất động khơng gian mêtric, b-mêtric mở rộng cho không gian kiểu b-mêtric hay không? Để giải vấn đề này, tiếp cận lý thuyết điểm bất động, tìm hiểu khơng gian kiểu b-mêtric tồn điểm bất động không gian Với mục đích đó, chúng tơi chọn đề tài luận văn “Về tồn điểm bất động khơng gian kiểu b-mêtric” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ không gian kiểu b-mêtric Xem xét số kết tồn điểm bất động ánh xạ T -co khơng gian mêtric b-mêtric có mở rộng cho không gian kiểu b-mêtric hay không? Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn không gian kiểu b-mêtric tồn điểm bất động ánh xạ co, ánh xạ T -co, ánh xạ T -co suy rộng không gian kiểu b-mêtric Phương pháp nghiên cứu Dựa vào số kết có tồn điểm bất động không gian mêtric b-mêtric, dùng phương pháp tương tự hóa, khái qt hóa để tìm kết cho khơng gian kiểu b-mêtric Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương Chương trình bày lại số kiến thức có tài liệu tham khảo không gian mêtric, giới hạn trên, giới hạn dưới, khơng gian kiểu bmêtric, ví dụ số tính chất khơng gian kiểu b-mêtric Chương kết luận văn Trong chương này, đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ tựa co, T -co yếu ánh xạ ψ − ϕ − co khơng gian kiểu b-mêtric đầy đủ, Định lý 2.1.3, 2.1.5, 2.2.1 Hệ 2.1.6, 2.1.7, 2.1.8, 2.1.9, 2.1.10, 2.2.2, Hệ 2.1.6 Định lý 2.1 tài liệu [4], Hệ 2.2.2 Định lý tài liệu [11] Xin chân thành cảm ơn! Chương Không gian kiểu b-mêtric Chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian kiểu b-mêtric làm sở cho việc trình bày chương 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, giới hạn trên, giới hạn dưới, mà chúng dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử E tập hợp khác rỗng d : E × E → R Hàm d gọi mêtric E 1) d(a, b) ≥ với a, b ∈ E ; 2) d(a, b) = ⇔ a = b; 3) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b) với a, b, c ∈ E ; 4) d(a, b) = d(b, a) với a, b ∈ E Tập E mà xác định mêtric d gọi không gian mêtric kí hiệu (E, d) E 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Giả sử {an } dãy số thực bị chặn, tồn inf sup {an+i : i = 0, } ∈ R n sup inf {an+i : i = 0, } ∈ R n Ta gọi inf sup {an+i : i = 0, } , sup inf {an+i : i = 0, } n n thứ tự giới hạn trên, giới hạn của dãy {an } n → ∞ kí hiệu lim sup an , lim inf an n→∞ n→∞ Nếu dãy {an } không bị chặn (tương ứng không bị chặn dưới) ta đặt lim sup an = +∞ (tương ứng lim inf an = −∞) n→∞ n→∞ Chú ý Trong tài liệu ta viết ∞ thay cho +∞ 1.1.3 Bổ đề ([1]) Với dãy số thực {an }, ta có: 1) lim inf an ≤ lim sup an n→∞ n→∞ 2) Tồn lim an = a ∈ R tồn lim inf an = a n→∞ n→∞ lim sup an = a n→∞ 1.1.4 Bổ đề ([1]) Giả sử {an } , {bn } dãy số bị chặn, đó: 1) lim sup(an + bn ) ≤ lim sup an + lim sup bn n→∞ n→∞ n→∞ 2) lim inf (an + bn ) ≥ lim inf an + lim inf bn n→∞ n→∞ n→∞ 1.1.5 Bổ đề Giả sử f : R −→ R hàm đơn điệu tăng liên tục, {an } dãy bị chặn R, đó: 1) lim sup f (an ) ≤ f lim sup an n→∞ n→∞ 2) lim inf f (an ) ≥ f lim inf an n→∞ n→∞ Chứng minh 1) Đặt un = sup {an+i : i = 0, 1, }, lim sup an = inf un = lim un := α n→∞ n n→∞ an ≤ un với n = 1, 2, Vì f đơn điệu tăng nên f (an ) ≤ f (un ) với n = 1, 2, Từ đẳng thức ta suy lim sup f (an ) ≤ lim sup f (un ) n→∞ n→∞ (1.1) Mặt khác, f liên tục lim un = α nên n→∞ f lim sup an n→∞ = f (α) = lim f (un ) = lim sup f (un ) n→∞ n→∞ Kết hợp với (1.1), suy lim sup f (an ) ≤ f n→∞ lim sup an n→∞ Khẳng định 2) chứng minh tương tự 1.2 Không gian kiểu b-mêtric Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian kiểu b-mêtric 1.2.1 Định nghĩa ([7]) Giả sử E tập hợp khác rỗng số thực k ≥ Hàm d: E × E −→ R gọi b-mêtric E 1) d(a, b) ≥ với a, b ∈ E ; 2) d(a, b) = ⇔ a = b; 3) d(a, b) ≤ k[d(a, c) + d(c, b)] với a, b, c ∈ E (bất đẳng thức tam giác); 4) d(a, b) = d(b, a) với a, b ∈ E Tập E với b-mêtric gọi khơng gian b-mêtric với tham số k , nói gọn khơng gian b-mêtric kí hiệu (E, d) E Chú ý Ta dễ dàng thấy rằng, không gian mêtric trường hợp đặc biệt không gian b-mêtric k = Lớp không gian b-mêtric thực rộng lớp khơng gian mêtric Ví dụ sau chứng minh điều 1.2.2 Ví dụ ([7]) 1) Giả sử (E, ρ) không gian mêtric Ta xác định hàm d : E × E −→ [0, ∞) d(a, b) = (ρ(a, b))2 , ∀a, b ∈ E Khi đó, d b-mêtric với k = 2) Giả sử E = R R ta xét mêtric thông thường Ta xác định hàm d : R × R −→ [0, ∞) d(a, b) = |a − b|2 , ∀a, b ∈ R Khi đó, d b-mêtric với k = (theo 1)) d khơng mêtric R d(3, −7) = 100 > 68 = + 64 = d(3, 1) + d(1, −7) 1.2.3 Định nghĩa ([2]) Giả sử E tập khác rỗng Hàm D : E × E −→ R gọi kiểu b-mêtric E tồn tham số k ≥ cho với a, b, c ∈ E , điều kiện sau thỏa mãn: (i) D(a, b) ≥ 0; (ii) D(a, b) = ⇒ a = b; (iii) D(a, b) ≤ k[D(a, c) + D(c, b)] (Bất đẳng thúc tam giác); (iv) D(a, b) = D(b, a) Khi đó, cặp (E, D) gọi không gian kiểu b-mêtric với tham số k Nếu (E, D) không gian kiểu b-mêtric với k = gọi khơng gian kiểu mêtric 1.2.4 Ví dụ ([2]) Giả sử E = [0, ∞) Hàm D : E −→ [0, ∞) xác định D(a, b) = (a + b)2 ∀a, b ∈ E Khi (E, D) khơng gian kiểu b-mêtric với tham số k = Mặt khác (E, D) không gian b-mêtric hay kiểu mêtric Thật vậy, với a, b, c ∈ E , ta có D(a, b) = (a + b)2 ≤ (a + c + c + b)2 = (a + c)2 + (c + b)2 + 2(a + c)(c + b) ≤ (a + c)2 + (c + b)2 = [D(a, c) + D(c, b)] λ, r1 , r2 , r3 thảo mãn (2.4), (2.5), (2.6) với a, b ∈ E , ta có D(T f a, T f b) ≤ r1 kD(T a, T b) + r2 [D(T a, T f b) + D(T b, T f a)] + r3 k[D(T a, T f a) + D(T b, T f b)] − ϕ(λD(T a, T b)) (2.12) Khi đó: 1) Với a0 ∈ E , dãy {T f n a0 } hội tụ 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với a0 ∈ E , dãy {f n a0 } hội tụ tới điểm bất động f (Φ1 = {ϕ : [0, ∞) −→ [0, ∞), ϕ liên tục, không giảm, ϕ(t) = ⇔ t = 0}) Chứng minh Ta xác định hàm ϕ1 : [0, ∞) −→ [0, ∞) ϕ1 (t) = ϕ(λt) ∀t ∈ [0, ∞) Vì λ > nên dễ dàng kiểm tra ϕ1 ∈ Φ1 Sử dụng tính chất hàm ϕ1 (2.12) ta suy D(T f a, T f b) ≤ r1 kD(T a, T b) + r2 [D(T a, T f b) + D(T b, T f a)] + r3 k[D(T a, T f a) + D(T b, T f b)] − ϕ(λD(T a, T b)) = r1 kD(T a, T b) + r2 [D(T a, T f b) + D(T b, T f a)] + r3 k[D(T a, T f a) + D(T b, T f b)] − ϕ1 (D(T a, T b)) với a, b ∈ E Kết hợp với ϕ1 ∈ Φ1 , sử dụng Định lý 2.1.5 ta có khẳng định cần chứng minh 2.1.8 Hệ Giả sử (E, D) không gian kiểu b-mêtric đầy đủ, f : E −→ E ánh xạ cho tồn số không âm s1 , s2 , s3 thỏa mãn: s1 + 4s2 + 2s3 < , (2.13) k s2 + s3 < , (2.14) k s1 + 2s2 < (2.15) k 21 với a, b ∈ E ta có D(T f a, T f b) ≤ s1 kD(T a, T b) + s2 [D(T a, T f b) + D(T b, T f a)] + s3 k[D(T a, T f a) + D(T b, T f b)] (2.16) Khi đó: 1) Với a0 ∈ E , dãy {T f n a0 } hội tụ 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với a0 ∈ E , dãy {f n a0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Sử dụng (2.13), (2.14), (2.15) ta tìm r1 , r2 , r3 cho ≤ si < ri , với i = 1, 2, 3, bất đẳng thức (2.4), (2.5), (2.6) thỏa mãn Ta xác định hàm ϕ : [0, ∞) −→ [0, ∞) ϕ(t) = t ∀t ∈ [0, ∞) Khi đó, ϕ ∈ Φ1 Từ (2.16) suy D(T f a, T f b) ≤ s1 kD(T a, T b) + s2 [D(T a, T f b) + D(T b, T f a)] + s3 k[D(T a, T f a) + D(T b, T f b)] = r1 kD(T a, T b) + r2 [D(T a, T f b) + D(T b, T f a)] + r3 k[D(T a, T f a) + D(T b, T f b)] − ϕ((r1 − s1 )kD(T a, T b) + (r2 − s2 )[D(T a, T f b) + D(T b, T f a)] + (r3 − s3 )k[D(T a, T f a) + D(T b, T f b)]) ≤ r1 kD(T a, T b) + r2 [D(T a, T f b) + D(T b, T f a)] + r3 k[D(T a, T f a) + D(T b, T f b)] − ϕ((r1 − s1 )kD(T a, T b)) với a, b ∈ E Vì với (r1 − s1 )k > nên điều kiện Hệ 2.1.7 thỏa mãn Sử dung Hệ 2.1.7 ta có điều cần phải chứng minh 22 2.1.9 Hệ Giả sử (E, D) không gian kiểu b-mêtric đầy đủ, f : E → E ánh xạ cho tồn số r1 , r2 , , r5 ∈ [0, 1) thỏa mãn r1 + 2(r2 + r3 ) + r4 + r5 < k D(T f a, T f b) ≤ kr1 D(T a, T b) + r2 D(T a, T f b) + r3 D(T b, T f b) + kr4 D(T a, T f a) + kr5 D(T b, T f b) (2.17) với a, b ∈ E Khi đó: 1) Với a0 ∈ E , dãy {T f n a0 } hội tụ 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với a0 ∈ E , dãy {f n a0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Từ (2.17) ta có D(T f b, T f a) ≤ kr1 D(T b, T a) + r2 D(T b, T f a) + r3 D(T a, T f b) + kr4 D(T b, T f b) + r5 kD(T a, T f a) (2.18) với a, b ∈ E Từ (2.17) (2.18) suy r2 + r3 D(T a, T f b) r4 + r5 r3 + r2 D(T b, T f a) + k D(T a, T f a) + 2 r5 + r4 +k D(T b, T f b) D(T f a, T f b) ≤ kr1 D(T a, T b) + với a, b ∈ E r2 + r3 r4 + r5 Đặt s1 = r1 , s2 = , s3 = Khi đó, (2.19) trở thành 2 D(T f a, T f b) ≤ ks1 D(T a, T b) + s2 [D(T a, T f b) + D(T b, T f a)] + ks3 [D(T a, T f a) + D(T b, T f b)] 23 (2.19) với a, b ∈ E Mặt khác, ta có s1 + 4s2 + 2s3 = r1 + 2(r2 + r3 ) + r4 + r5 < 1 ≤ k2 k Do 1 s + 2s < k2 k2 Như vậy, điều kiện (2.13), (2.14), (2.15), (2.16) Hệ 2.1.8 thỏa mãn Do điều phải chứng minh suy từ việc sử dụng Hệ 2.1.8 s2 + s3 < 2.1.10 Hệ Giả sử (E, D) không gian kiểu mêtric đầy đủ, f : E → E ánh xạ cho tồn số không âm r1 , r2 , , r5 thỏa mãn r1 + 2(r2 + r3 ) + r4 + r5 < D(T f a, T f b) ≤ r1 D(T a, T b) + r2 D(T a, T f b) + r3 D(T b, T f b) + r4 D(T a, T f a) + r5 D(T b, T f b) (2.20) với a, b ∈ E Khi đó: 1) Với a0 ∈ E , dãy {T f n a0 } hội tụ 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với a0 ∈ E , dãy {f n a0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Vì khơng gian kiểu mêtric đầy đủ không gian kiểu b-mêtric đầy đủ với tham số k = Do đó, Hệ trường hợp đặc biệt Hệ 2.1.9 24 Về tồn điểm bất động ánh xạ ψ − ϕ − co 2.2 Mục đưa vài kết tồn điểm bất động ánh xạ ψ − ϕ − co không gian kiểu b-mêtric Hàm ψ : [0, ∞) −→ [0, ∞) gọi hàm chuyển đổi khoảng cách ψ liên tục, tăng chặt ψ(0) = Ta kí hiệu: Φ = {ψ : [0, ∞) −→ [0, ∞)|ψ hàm chuyển đổi khoảng cách}, F1 = ϕ : [0, ∞)2 −→ [0, ∞)|ϕ(a, b) = ⇔ a = b = ϕ lim inf an , lim inf bn ≤ lim inf ϕ(an , bn ) n→∞ n→∞ n→∞ 2.2.1 Định lí Giả sử (E, D) không gian kiểu b-mêtric đầy đủ với tham số k ≥ 1, T f : E −→ E hai ánh xạ thỏa mãn: i) T đơn ánh liên tục; ii) Tồn ψ ∈ L, ϕ ∈ F1 số không âm r1 , r2 , r3 , r4 ∈ 0, cho max {r1 , r2 + r3 , r4 } ≤ k2 1 , r1 < 2k k ψ(D(T f a, T f b)) ≤ ψ(max{r1 kD(T a, T b), r2 D(T a, T f b) + r3 D(T b, T f a), r4 k[D(T a, T f a) + D(T b, T f b)]}) − ϕ(r2 D(T a, T f b) + r4 D(T a, T f a), r3 D(T b, T f a) + r4 D(T b, T f b)) (2.21) với a, b ∈ E Khi khẳng định sau đúng: 1) Với a0 ∈ E , dãy {T f n a0 } hội tụ 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động E 25 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với a0 ∈ E , dãy {f n a0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Lấy a0 ∈ E xây dựng dãy {an } an+1 = f an = f n+1 a0 ∀n = 0, 1, Đặt T an = bn , n = 0, 1, Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có D(bn , bn ) ≤ 2kD(bn−1 , bn ), D(bn , bn ) ≤ 2kD(bn , bn+1 ) ∀n = 1, 2, Từ suy D(bn , bn ) ≤ k[D(bn−1 , bn ) + D(bn , bn+1 )] ∀n = 1, Đầu tiên ta chứng minh lim D(bn , bn+1 ) = n→∞ Sử dụng điều kiện (2.21), với n = 1, 2, ta có ψ(D(bn+1 , bn )) = ψ(D(T f an , T f an−1 )) ≤ ψ(max{r1 kD(bn , bn−1 ), r2 D(bn , bn ) + r3 D(bn−1 , bn+1 ), r4 k[D(bn , bn+1 ) + D(bn−1 , bn )]}) − ϕ(r2 D(bn , bn ) + r4 D(bn , bn+1 ), r3 D(bn−1 , bn+1 ) + r4 D(bn−1 , bn )) ≤ ψ(max{r1 kD(bn , bn−1 ), (r2 + r3 )k[D(bn−1 , bn ) + D(bn , bn+1 )], r4 k[D(bn , bn+1 ) + D(bn−1 , bn )]}) − ϕ(r2 D(bn , bn ) + r4 D(bn , bn+1 ), r3 D(bn−1 , bn+1 ) + r4 D(bn−1 , bn )) ≤ ψ(rk[D(bn−1 , bn ) + D(bn , bn+1 )]) − ϕ(r2 D(bn , bn ) + r4 D(bn , bn+1 ), r3 D(bn−1 , bn+1 ) + r4 D(bn−1 , bn )), 26 (2.22) 2k Từ ϕ hàm không âm ϕ hàm tăng (2.22) suy r := max{r1 , r2 + r3 , r4 } ≤ D(bn+1 , bn ) ≤ rk[D(bn−1 , bn ) + D(bn , bn+1 )] ∀n = 1, 2, Do D(bn+1 , bn ) ≤ Vì rk ≤ rk D(bn−1 , bn ) ∀n = 1, 2, − rk rk nên ≤ Do − rk D(bn+1 , bn ) ≤ D(bn , bn−1 ) ∀n = 1, 2, Như {D(bn+1 , bn )} dãy số khơng âm giảm Do tồn lim D(bn , bn+1 ) := c ≥ n→∞ Từ (2.22) sử dụng tính chất hai hàm ψ, ϕ cho n → ∞ ta ψ (c) ≤ ψ(2rkc)−ϕ r2 lim inf D (bn , bn ) + r4 c, r4 c + r3 lim inf D (bn−1 , bn+1 ) n→∞ n→∞ Kết hợp với c ≤ 2rkc suy ϕ r2 lim inf D (bn , bn ) + r4 c, r4 c + r3 lim inf D (bn−1 , bn+1 ) = n→∞ n→∞ Do đó, sử dụng tính chất ϕ ta có r4 c = r2 lim inf D (bn , bn ) = r3 lim inf D (bn−1 , bn+1 ) = n→∞ n→∞ (2.23) Nếu r4 = c = Nếu r4 = 0, r2 = r3 = từ (2.23) suy lim inf D(bn , bn ) = lim inf D(bn−1 , bn+1 ) = n→∞ n→∞ Mặt khác, từ bất đẳng thức (2.22) suy D(bn+1 , bn ) ≤ max{r1 kD(bn , bn−1 ), r2 D(bn , bn ) + r3 D(bn−1 , bn+1 )} ≤ max{r1 kD(bn , bn−1 ), 2kr2 D(bn−1 , bn ) + r3 D(bn−1 , bn+1 )}, 27 với n = 1, 2, Cho n → ∞ ta c ≤ max{r1 kc, 2kr2 c} + lim inf r3 D(bn−1 , bn+1 ) n→∞ (2.24) = max{r1 kc, 2kr2 c} nên r1 kc < c Do r2 + r3 ≤ k3 r2 ≤ − r3 < 2k Từ 2kr2 c < Như Vì r1 < nên 2k (vì r3 > 0) 2k max{r1 kc, 2r2 kc} < c Kết hợp với (2.24) ta có c = Nếu r4 = r2 = 0, r3 = (2.24) trở thành c ≤ r1 kc Kết hợp với r1 < suy c = k Nếu r4 = r3 = 0, r2 = từ D(bn+1 , bn ) ≤ max{r1 kD(bn , bn−1 ), r2 D(bn , bn )}, với n = 1, 2, suy c ≤ max r1 kc, r2 lim inf D(bn , bn ) = r1 ck n→∞ Do c = Nếu r4 = r2 = r3 = tương tự ta có c ≤ r1 kc Do c = Như lim D(bn , bn+1 ) = n→∞ Tiếp theo, ta chứng minh {bn } dãy Cauchy Với n m ∈ N∗ ta có ψ(D(bn , bm )) = ψ(D(T f an−1 , T f am−1 )) ≤ ψ(max{r1 kD(bn−1 , bm−1 ), r2 D(bn−1 , bm ) + r3 D(bm−1 , bn )}, r4 k[D(bn−1 , bn ) + D(bm−1 , bm )]) − ϕ(r2 D(bn−1 , bm ) + r4 D(bn−1 , bn ), r3 D(bm−1 , bn ) + r4 D(bm−1 , bm )) 28 Do đó, với n, m ∈ N∗ ta có D(bn , bm ) ≤ max{r1 kD(bn−1 , bm−1 ), r2 D(bn−1 , bm ) + r3 D(bm−1 , bn ), r4 k[D(bn−1 , bn ) + D(bm−1 , bm )]} ≤ max{r1 [k D(bn−1 , bn ) + k D(bn , bm ) + k D(bm , bm−1 )], r2 k[D(bn−1 , bn ) + D(bn , bm )] + r3 k[D(bm−1 , bm ) + D(bm , bn )], r4 k[D(bn−1 , bn ) + D(bm−1 , bm )]} ≤ k rD(bn−1 , bn ) + k rD(bm , bm−1 ) + max{r1 k , (r2 + r3 )k}D(bn , bm ) (2.25) Từ suy D(bn , bm ) ≤ k2r [D(bn−1 , bn ) + kD(bm , bm−1 )], − max{r1 k , (r2 + r3 )k} với n, m ∈ N∗ 1 (từ r1 < r2 + r ≤ < ta có − max r1 k , (r2 + r3 )k > 0) k 2k k Kết hợp với lim D(bn−1 , bn ) = lim D(bm−1 , bm ) = n→∞ m→∞ suy lim D(bn , bm ) = n,m→∞ Do {bn } dãy Cauchy Vì (E, D) khơng gian kiểu b-mêtric đầy đủ nên tồn b ∈ E cho D(b, b) = lim D(bn , b) = n→∞ lim D(bn , bm ) = 0, n,m→∞ tức T f n a0 = T an = bn → b 2) Giả sử T ánh xạ hội tụ dãy Ta chứng minh f có điểm bất động Vì T ánh xạ hội tụ dãy {T f an } = {bn+1 } dãy hội tụ nên tồn dãy {ani } {an } cho ani → a D(T a, T a) = Khi D(ani , a) → D(a, a) Vì T liên tục nên D(T ani , T a) → D(T a, T a) = hay D(bni , T a) → ni → ∞ 29 Mặt khác, từ D(bn , b) → n → ∞ suy D(bni , b) → ni → ∞ Sử dụng Bổ đề 1.2.7, suy b = T a Do T f an = bn+1 → T a Lại sử dụng Bổ đề 1.2.7, ta có D(T a, T f a) ≤ lim inf D(T f an , T f a) n→∞ k Do ψ D(T a, T f a) k ≤ ψ lim inf D(T f a, T f an ) n→∞ ≤ lim inf ψ (D(T f a, T f an )) ≤ lim sup ψ (D(T f a, T f an )) n→∞ n→∞ ≤ lim sup ψ(max{r1 kD(T a, bn ), r2 D(T a, bn+1 ) n→∞ + r3 D(bn , T f a), r4 k[D(T a, T f a) + D(bn , bn+1 )]}) ≤ψ lim sup max{r1 kD(b, bn ), r2 D(b, bn+1 ) n→∞ + r3 D(bn , T f a), r4 k[D(b, T f a) + D(bn , bn+1 )]} ≤ ψ(max{r3 kD(b, T f a), r4 kD(b, T f a)}) ≤ ψ(k max{r3 , r4 }D(b, T f a)) suy D(b, T f a) = Do k2 b = T f a hay T a = T f a Kết hợp với max{r3 , r4 } < Vì T đơn ánh nên a = f a Vậy a điểm bất động f Cuối cùng, ta chứng minh điểm bất động f Giả sử t điểm bất động f E Khi đó, ψ(D(T t, T t)) = ψ(D(T f t, T f t)) ≤ ψ(max{r1 kD(T t, T t), (r2 + r3 )D(T t, T t), 2r4 kD(T t, T t)}) − ϕ((r2 + r4 )D(T t, T t), (r3 + r4 )D(T t, T t)) ≤ ψ(D(T t, T t)) − ϕ((r2 + r4 )D(T t, T t), (r3 + r4 )D(T t, T t)) 30 Từ suy ϕ ((r2 + r4 )D(T t, T t), (r3 + r4 )D(T t, T t)) = Do (r2 + r4 )D(T t, T t) = (r3 + r4 )D(T t, T t) = Nếu giá trị r2 , r3 , r4 mà khác ta có D(T t, T t) = Nếu r2 = r3 = r4 = ψ(D(T t, T t)) ≤ ψ(r1 kD(T t, T t)) Kết hợp với ≤ r1 < suy D(T t, T t) = Như ta có k3 D(T t, T t) = Do ψ(D(T a, T t)) = ψ(D(T f a, T f t)) ≤ ψ(max{r1 kD(T a, T t), (r2 + r3 )D(T a, T t), r4 k[D(T a, T a) + D(T t, T t)]}) = ψ(max{r1 kD(T a, T t), (r2 + r3 )D(T a, T t)}) Kết hợp với r1 k < r2 + r3 < suy D(T a, T t) = Do T a = T t Vì T đơn ánh nên t = a Vậy điểm bất động f 3) Giả sử T ánh xạ hội tụ dãy Khi đó, chứng minh 2) trên, thay dãy {ani } {an } ta có f an → a, tức f n+1 a0 → a Do f n a0 → a a điểm bất động f Sau Hệ Định lý 2.2.1 2.2.2 Hệ ([11], Theorem 5) Giả sử (E, D) không gian kiểu b-mêtric đầy đủ, T f : E −→ E hai ánh xạ thỏa mãn: i) T đơn ánh liên tục; ii) Tồn ψ ∈ L, ϕ ∈ Φ cho với a, b ∈ E, ta có D(T a, T f a) + D(T b, T f b) k+1 − ϕ(D(T a, T f a), D(T b, T f b)) ψ(D(T f a, T f b)) ≤ ψ 31 (2.26) Khi đó, khẳng định sau đúng: 1) Với a0 ∈ E , dãy {T f n a0 } hội tụ 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động E 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với a0 ∈ E , dãy {f n a0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Ta xác định hàm ψ1 : [0, ∞) −→ [0, ∞), ϕ1 : [0, ∞)2 −→ [0, ∞) công thức ψ1 (t) = ψ(t), ∀t ∈ [0, ∞), ϕ1 (t, u) = ϕ(kt(k + 1), ku(k + 1)), ∀(t, u) ∈ [0, ∞)2 Khi đó, từ ψ ∈ L ϕ ∈ F1 suy ψ1 ∈ L ϕ1 ∈ F1 Sử dụng điều kiện (2.26), ta có ψ1 (D(T f a, T f b)) = ψ(D(T f a, T f b)) D(T a, T f a) + D(T b, T f b) ≤ψ k+1 − ϕ(D(T a, T f a), D(T b, T f b)) = ψ(rk[D(T a, T f a) + D(T b, T f b)]) − ϕ1 (rD(T a, T f a), rD(T b, T f b)) với a, b ∈ E , r= k(k + 1) Từ suy điều kiện Định lý 2.1.5 thỏa mãn với r1 = r2 = r3 = 0, r4 = k(k + 1) Do sử dụng Định lý 2.1.5 ta có điều cần chứng minh 32 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau đây: - Trình bày lại định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian kiểu b-mêtric có tài liệu tham khảo - Đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ tựa co T -co khơng gian kiểu b-mêtric đầy đủ, Định lý 2.1.3, 2.1.5, Hệ 2.1.6, 2.1.7, 2.1.8, 2.1.9, 2.1.10, Hệ 2.1.6 Định lý 2.1 tài liệu [4] - Đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ ψ − ϕ − co khơng gian kiểu b-mêtric đầy đủ, Định lý 2.2.1 Hệ 2.2.2, Hệ 2.2.2 Định lý tài liệu [11] 33 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mẫu Hải (2002), Giải tích tốn học, Tập 1, Nhà xuất Đại học sư phạm [2] M.A.Alghamdi, N.Hussain and P.Salimi (2013), “Fixed point and coupled fixed point theorems on b-metric-like spaces”, Journal of inequalities and Applications 2013, 2013.402 http//www.journaloffinequaltesandapplication.com/content/2013/1/402 [3] S.K.Chatterjea (1972), “Fixed point theorems”, C.R.Acad Bulgare Sci 25, 727-730 [4] C.Chen, J.Dong and C.Zhu (2015), “Some fixed point theoremsin bmetric-like spaces”, Fixed Point Theory and Application (2015), 2015:122 DOI 10.1886/s 13663-015-0369-3, 10page [5] B.S.Choudhury (2009), “Unique fixed point theorem for weak Ccontractive mappings”, Kathmandu Univ J.Sci Eng Technol 5(1), 6-13 [6] M.Cvetkovic, E.Karapinar and V.Rakocevic (2015), “Some fixed point results on quasi-b-metric-like spaces”, Journal of inequalities and Applications, 2015:374 DOI 10.1186/s13660-015-0897-8 [7] S.Czerwik (1993), “Contraction mappings in b-metric spaces”, Acta Math Inform Univ Ostrav 1, 5-11 [8] A.A.Harandi (2012), “Metric-like spaces, partial metric spaces and fixed point”, Fixed Point Theory Appl 2012, Article ID 204 (2012) 34 [9] R.Kannan (1968), “Some results on fixed point”, Bull Calcutta Math Soc 60, 71-76 [10] N.Hussain, J.R.Roshan, V.Parvaneh and Z.Kadelburg (2014), “Fixed Point of Contractive Mappings in b-metric-Like Spaces”, Hindawi Publishing Corporation, The Scientific World Lournal, Volume 2014, Article ID 471827, 15 pages htt://dx.doi.org/10.1155/2014/471827 [11] Z.Mustafa, J R Roshan, V Parvaneh and Z Kadelburg (2014), “Fixed point theorems for weakly T-Chatterjea and weakly T-Kannan contractions in b-metric spaces”, Journal of Inequalities and Applications, 2014:46 [12] A.Razani, V.Parvanch (2013), “Some fixed point theorems for weakly T-Chatterjea and weakly T-Kannan contractive mappings in complete metric spaces”, Russ Math (Izv VUZ) 53(3), 38-45 35 ... 1.2 Không gian kiểu b-mêtric Một số kết tồn điểm bất động không gian kiểu b-mêtric Chương2 11 2.1 Về tồn điểm bất động ánh xạ tựa co T -co yếu 11 2.2 Về tồn điểm bất động. .. kết tồn điểm bất động không gian kiểu b-mêtric Trong chương này, đưa chứng minh số định lý tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian kiểu b-mêtric Từ sau ta giả thiết (E, D) không gian kiểu. .. kết điểm bất động khơng gian mêtric, b-mêtric mở rộng cho không gian kiểu b-mêtric hay không? Để giải vấn đề này, tiếp cận lý thuyết điểm bất động, tìm hiểu khơng gian kiểu b-mêtric tồn điểm bất