Về sự tồn tại điểm bất động chung trong không gian kiểu b mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN TUẤN NGỌC VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN KIỂU b-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An-2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN TUẤN NGỌC VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG KHÔNG GIAN KIỂU b-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học PGS TS ĐINH HUY HOÀNG Nghệ An-2019 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn khoa học PGS.TS.Đinh Huy Hoàng Trước hết tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy - PGS.TS.Đinh Huy Hoàng, người đặt móng hướng nghiên cứu cho tác giả Tác giả học nhiều kiến thức, nhận chia sẻ yêu thương từ thầy trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Vinh, Phòng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh, Ban lãnh đạo Viện sư phạm tự nhiên - Trường Đại học Vinh quan tâm tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập thực luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn quý thầy giáo mơn Giải tích Viện sư phạm tự nhiên - Trường Đại học Vinh giảng dạy giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập thực luận văn Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Quang Trung - Quảng Bình, nơi tác giả cơng tác anh chị em đồng nghiệp, gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên tác giả suốt thời gian học tập Nghệ An, tháng năm 2019 Tác giả Nguyễn Tuấn Ngọc Mục lục Lời mở đầu Chương1 Không gian kiểu b-mêtric 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian kiểu b-mêtric 5 Một vài kết tồn điểm bất động chung ánh xạ không gian kiểu b-mêtric 12 Chương2 2.1 Sự tồn điểm bất động chung ánh xạ tương thích yếu khơng gian kiểu b-mêtric 12 2.2 Sự tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ (ψ -ϕ)-co không gian kiểu b-mêtric 22 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lí thuyết điểm bất động chủ đề quan tâm nghiên cứu giải tích có nhiều ứng dụng việc chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân, tích phân số nghành khoa học kĩ thuật khác Định lí Banach (1922) tồn điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ mở rộng theo nhiều cách khác Một cách xây dựng lớp khơng gian rộng lớp không gian mêtric chứng minh số kết tồn điểm bất động lớp không gian mêtric lớp không gian vừa xậy dựng Theo hướng này, vào năm 1993 S.Czerwik [6] xây dựng khái niệm không gian b-mêtric chứng minh số kết tồn điểm bất động không gian Khái niệm không gian kiểu mêtric A.A.Harandi [7] xây dựng vào năm 2012 Vào năm 2013, M.A.Alaghamdi cộng [3] đưa khái niệm không gian kiểu b-mêtric, khái qt hóa khái niệm khơng gian kiểu mêtric khơng gian b-mêtric Sau đó, vấn đề tồn điểm bất động điểm bất động chung lớp không gian kiểu b-mêtric quan tâm nghiên cứu đạt nhiều kết (Xem [2], [3], [4], [7], [8], [9], [10]) Một câu hỏi đặt cách tự nhiên là, số kết tồn điểm bất động bất động chung không gian mêtric khơng gian b-mêtric có mở rộng cho không gian kiểu b-mêtric hay không? Để trả lời câu hỏi này, hướng dẫn PGS.TS Đinh Huy Hồng chúng tơi tiếp cận tìm hiểu lí thuyết điểm bất động chọn đề tài nghiên cứu luận văn : “Về tồn điểm bất động chung khơng gian kiểu b-mêtric” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu tồn điểm bất động điểm bất động chung ánh xạ không gian kiểu b-mêtric Xem xét số kết tồn điểm bất động điểm bất động chung khơng gian mêtric khơng gian b-mêtric có mở rộng cho không gian kiểu b-mêtric hay không? Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn không gian kiểu b-mêtric, tồn điểm bất động chung ánh xạ không gian kiểu b-mêtric Phương pháp nghiên cứu Dựa vào số kết có tồn điểm bất động chung không gian mêtric không gian b-mêtric, dùng phương pháp tương tự hóa, khái qt hóa để tìm kết cho không gian kiểu b-mêtric Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương Trong chương dành để trình bày lại số kiến thức có tài liệu tham khảo khơng gian mêtric, giới hạn trên, giới hạn dưới, không gian b-mêtric, khơng gian kiểu b-mêtric, ví dụ số tính chất không gian kiểu b-mêtric Chương kết luận văn Trong chương này, thiết lập chứng minh số kết tồn điểm bất động chung ánh xạ tương thích yếu tồn điểm bất động chung ánh xạ (ψ -ϕ)-co khơng gian kiểu b-mêtric, Định lý 2.1.2, 2.2.1 Hệ 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6, 2.1.7, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.6 Hệ 2.2.3 Định lý tài liệu [9] Vì thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Chương Không gian kiểu b-mêtric Chương dành để trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian kiểu b-mêtric nhằm làm sở cho việc nghiên cứu chương 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trong mục này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, không gian b-mêtric, không gian kiểu b-mêtric, giới hạn trên, giới hạn dưới, kết sử dụng luận văn Trước hết đến với định nghĩa sau 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho X tập hợp khác rỗng, ánh xạ d : X × X −→ R Hàm d gọi mêtric X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn 1) d(x, y) ≥ 2) d(x, y) = ⇔ x = y 3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ( Bất đẳng thức tam giác) 4) d(x, y) = d(y, x) Tập X với mêtric d gọi khơng gian mêtric kí hiệu (X, d) X 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho {bn } dãy số thực bị chặn, tồn inf sup {bn+k : k = 0, 1, 2, } ∈ R n sup inf {bn+k : k = 0, 1, 2, } ∈ R n Ta gọi inf sup {bn+k : k = 0, 1, 2, } , sup inf {bn+k : k = 0, 1, 2, } n n theo thứ tự giới hạn trên, giới hạn của dãy {bn } n → ∞ kí hiệu lim sup bn , lim inf bn n→∞ n→∞ Nếu dãy {bn } không bị chặn (tương ứng khơng bị chặn dưới) ta đặt lim sup bn = +∞ (tương ứng lim inf bn = −∞) n→∞ n→∞ Chú ý Trong luận văn dùng kí hiệu ∞ thay cho +∞ 1.1.3 Bổ đề ([1]) Với dãy số thực {bn }, ta có: 1) lim inf bn ≤ lim sup bn n→∞ n→∞ 2) Tồn lim bn = b ∈ R tồn lim inf bn = b lim sup bn = n→∞ n→∞ n→∞ b 1.1.4 Bổ đề ([1]) Cho {an } , {bn } dãy số bị chặn Khi đó, ta có: 1) lim sup(an + bn ) ≤ lim sup an + lim sup bn n→∞ n→∞ n→∞ 2) lim inf (an + bn ) ≥ lim inf an + lim inf bn n→∞ n→∞ n→∞ 1.1.5 Bổ đề Giả sử f : R −→ R hàm đơn điệu tăng liên tục, {bn } dãy bị chặn R, đó: 1) lim sup f (bn ) ≤ f lim sup bn n→∞ n→∞ 2) lim inf f (bn ) ≥ f lim inf bn n→∞ n→∞ Chứng minh 1) Đặt un = sup {bn+k : k = 0, 1, 2, }, lim sup bn = inf un = lim un := α n→∞ n n→∞ bn ≤ un với n = 1, 2, Vì f đơn điệu tăng nên f (bn ) ≤ f (un ) với n = 1, 2, Từ đẳng thức ta suy lim sup f (bn ) ≤ lim sup f (un ) n→∞ (1.1) n→∞ Mặt khác, f liên tục lim un = α nên n→∞ f lim sup bn n→∞ = f (α) = lim f (un ) = lim sup f (un ) n→∞ n→∞ Kết hợp với (1.1), suy lim sup f (bn ) ≤ f n→∞ lim sup bn n→∞ Khẳng định 2) chứng minh tương tự 1.2 Không gian kiểu b-mêtric Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian b-mêtric kiểu b-mêtric 1.2.1 Định nghĩa ([6]) Cho X tập hợp khác rỗng số thực s ≥ Hàm d: X × X −→ R gọi b-mêtric X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn 1) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X 2) d(x, y) = ⇔ x = y 3) d(x, z) ≤ s[d(x, y) + d(y, z)] ( Bất đẳng thức tam giác) 4) d(x, y) = d(y, x) Tập X với b-mêtric gọi khơng gian b-mêtric với tham số s, nói gọn khơng gian b-mêtric kí hiệu (X, d) X Chú ý Qua định nghĩa không gian mêtric không gian b-mêtric ta nhận thấy rằng, không gian mêtric trường hợp đặc biệt không gian b-mêtric lấy s = Lớp không gian b-mêtric thực rộng lớp khơng gian mêtric Ví dụ sau chứng minh điều 1.2.2 Ví dụ ([6]) 1) Giả sử (X, ρ) không gian mêtric Ta xác định hàm d : X × X −→ [0, ∞) d(x, y) = (ρ(x, y))2 , ∀x, y ∈ X Khi đó, d b-mêtric với s = 2) Giả sử X = R R ta xét mêtric thông thường Ta xác định hàm d : R × R −→ [0, ∞) d(x, y) = |x − y|2 , ∀x, y ∈ R Khi đó, d b-mêtric với s = (theo 1) d khơng mêtric R d(3, −7) = 100 > 68 = + 64 = d(3, 1) + d(1, −7) 3) Cho X = {0, 1, 2} hàm d : X × X −→ [0, ∞) xác định sau: d(2, 2) = d(1, 1) = d(0, 0) = 0; d(1, 2) = d(2, 1) = d(0, 1) = d(1, 0) = 1; d(0, 2) = d(2, 0) = m ≥ m [d(x, y) + d(y, z)] với x, y, z ∈ X Do đó, (X, d) khơng m gian b-mêtric với tham số s = ≥ Tuy nhiên, m > bất đẳng thức tam giác thơng thường khơng cịn nên (X, d) khơng phải khơng gian mêtric Khi đó, d(x, z) ≤ 1.2.3 Định nghĩa ([3]) Giả sử X tập khác rỗng Hàm d : X × X −→ R gọi kiểu b-mêtric X tồn tham số s ≥ cho với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn (i) d(x, y) ≥ (ii) d(x, y) = ⇒ x = y (iii) d(x, z) ≤ s.[d(x, y) + d(y, z)] (Bất đẳng thức tam giác) Vì α.s ≤ α.s nên ≤ Do − α.s d(b2n+1 , b2n+2 ) ≤ d(b2n , b2n+1 ) ∀n = 1, 2, (2.10) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh d(b2n+2 , b2n+3 ) ≤ d(b2n+1 , b2n+2 ) ∀n = 1, 2, Kết hợp với (2.10) ta có d(bn+1 , bn+2 ) ≤ d(bn , bn+1 ) ∀n = 1, 2, Như {d(bn , bn+1 )} dãy số không âm giảm Do tồn lim d(bn , bn+1 ) := β ≥ n→∞ Từ (2.9) sử dụng tính chất hai hàm ψ, ϕ cho n → ∞ ta ψ(β) ≤ ψ(2αsβ) − ϕ(α1 β, α2 lim inf d(b2n , b2n+2 ), n→∞ α3 lim inf d(b2n+1 , b2n+1 ), α4 β, α4 β) n→∞ (2.11) Vì β ≥ 2α.s.β nên từ (2.11) suy ϕ(α1 β, α2 lim inf d(b2n , b2n+2 ), α3 lim inf d(b2n+1 , b2n+1 ), α4 β, α4 β) = n→∞ n→∞ Do đó, sử dụng tính chất ϕ ta có α1 β = α4 β = α2 lim inf d(b2n , b2n+2 ) = α3 lim inf d(b2n+1 , b2n+1 ) n→∞ n→∞ (2.12) Nếu α1 = α4 = từ (2.12) suy β = Nếu α1 = α4 = Khi đó, α2 = α3 = từ (2.12) suy β = Giả sử α2 = α3 = 0, chẳng hạn α2 = Khi từ (2.12) suy lim inf d(b2n , b2n+2 ) = Mặt khác, từ bất đẳng thức (2.9) suy n→∞ d(b2n+1 , b2n+2 ) ≤ α2 d(b2n , b2n+2 ) + α3 d(b2n+1 , b2n+1 ) ≤ α2 d(b2n , b2n+2 ) + α3 [sd(b2n+1 , b2n ) + sd(b2n , b2n+1 ))] 25 với n = 1, 2, Cho n → ∞ ta β ≤ α2 lim inf d(b2n , b2n+2 ) + 2α3 s.β = 2α3 s.β n→∞ 1 nên α3 ≤ − α2 < (vì α2 > 0) Do β ≤ 2α3 s.β suy Vì α2 + α3 ≤ 2s 2s 2s β = Nếu α3 = tương tự ta chứng minh β = Như lim d(bn , bn+1 ) = β = n→∞ (2.13) Tiếp theo, ta chứng minh {bn } dãy Cauchy Do lim d(bn , bn+1 ) = nên ta n→∞ cần chứng minh lim d(b2n , b2m ) = Giả sử khẳng định không m,n→∞ Khi đó, tồn ε > cho tìm hai dãy {b2nk } {b2mk } {b2n } cho nk số tự nhiên bé thỏa mãn nk > mk > k d(b2mk , b2nk ) ≥ ε (2.14) d(b2mk , b2nk −2 ) ≤ ε (2.15) Do Sử dụng bất đẳng thức tam giác (2.15) ta có d(b2nk −2 , b2mk −1 ) ≤ sd(b2nk −2 , b2mk ) + sd(b2mk , b2mk −1 ) ≤ sε + sd(b2mk , b2mk −1 ) Cho k → ∞ ta lim sup d(b2nk −2 , b2mk −1 ) ≤ sε k→∞ (2.16) Tương tự ta có d(b2nk −1 , b2mk −1 ) ≤ sd(b2nk −1 , b2nk −2 ) + sd(b2nk −2 , b2mk −1 ) Cho k → ∞ từ (2.16) ta lim sup d(b2nk −1 , b2mk −1 ) ≤ s2 ε k→∞ 26 (2.17) Sử dụng (2.14) bất đẳng thức tam giác ta có ε ≤ d(b2mk , b2nk ) ≤ sd(b2mk , b2mk −1 ) + s2 d(b2mk −1 , b2nk −1 ) + s2 d(b2nk −1 , b2nk ) Cho k → ∞ ta ε ≤ lim inf d(b2mk −1 , b2nk −1 ) s2 k→∞ (2.18) Tiếp tục sử dụng (2.14) bất đẳng thức tam giác ta có ε ≤ d(b2mk , b2nk ) ≤ sd(b2nk , b2nk −1 ) + sd(b2nk −1 , b2mk ) Do ψ hàm tăng nên từ bất đẳng thức ta suy ε ψ( − d(b2nk , b2nk −1 )) ≤ ψ(d(T f a2nk −2 , T ga2mk −1 )) s ≤ ψ(max{α1 sd(b2nk −2 , b2mk −1 ), α2 d(b2nk −2 , b2mk ) + α3 d(b2mk −1 , b2nk −1 ), α4 s(d(b2nk −2 , b2nk −1 ) + d(b2mk −1 , b2mk ))}) − ϕ(α1 d(b2nk −2 , b2mk −1 ), α2 d(b2nk −2 , b2mk ), α3 d(b2mk −1 , b2nk −1 ), α4 d(b2nk −2 , b2nk −1 ), α4 d(b2mk −1 , b2mk )) Cho k → ∞ sử dụng tính chất hàm ψ, ϕ bất đẳng thức (2.15),(2.16),(2.17) ta có ε ψ( ) ≤ ψ(max{α1 s2 ε, α2 ε + α3 s2 ε}) s − ϕ(α1 lim inf d(b2nk −2 , b2mk −1 ), α2 lim inf d(b2nk −2 , b2mk ), k→∞ k→∞ (2.19) α3 lim inf d(b2mk −1 , b2nk −1 ), 0, 0) k→∞ Vì max{α1 s2 ε, α2 ε + α3 s2 ε} ≤ ε nên từ (2.19) tính chất hàm ϕ suy s α1 lim inf d(b2nk −2 , b2mk −1 ) = α2 lim inf d(b2nk −2 , b2mk ) k→∞ k→∞ = α3 lim inf d(b2mk −1 , b2nk −1 ) = k→∞ (2.20) ε Nếu α1 = α2 = α3 = từ (2.19) ta suy ψ( ) ≤ ψ(0) s Vậy ta thấy bất đẳng thức mâu thuẩn với ε > Giả sử α3 = Khi đó, từ đẳng thức (2.20) suy lim inf d(b2mk −1 , b2nk −1 ) = k→∞ 27 đẳng thức mâu thuẩn với bất đẳng thức (2.18) Giả sử α2 = Khi đó, từ bất đẳng thức (2.14) bất đẳng thức tam giác ta có ε ≤ d(b2nk , b2mk ) ≤ sd(b2nk , b2nk −2 ) + sd(b2nk −2 , b2mk ) s2 d(b2nk , b2nk −1 ) + s2 d(b2nk −1 , b2nk −2 ) + sd(b2nk −2 , b2mk ) Cho k → ∞ ta ε ≤ lim inf d(b2nk −2 , b2mk ) s k→∞ (2.21) Vì α2 = nên từ (2.20) suy lim inf d(b2nk −2 , b2mk ) = Điều mâu thuẩn k→∞ với (2.21) Giả sử α1 = Khi đó, từ (2.20) suy lim inf d(b2nk −2 , b2mk −1 ) = Mặt khác, k→∞ ta có d(b2nk −2 , b2mk ) ≤ sd(b2nk −2 , b2mk −1 ) + sd(b2mk −1 , b2mk ) Cho k → ∞ (2.21)ta ε ≤ lim inf d(b2nk −2 , b2mk −1 ) s2 k→∞ Ta lại gặp điều mâu thuẩn Từ ta suy {b2n } dãy Cauchy Từ suy lim d(b2n , b2m ) = Do m,n→∞ lim d(bn , bm ) = tức {bn } dãy m,n→∞ Cauchy Vì (X, d) không gian kiểu b-mêtric đầy đủ nên tồn b ∈ X cho d(b, b) = lim d(bn , b) = n→∞ lim d(bn , bm ) = 0, n,m→∞ (2.22) tức d(b, b) = lim d(T an , b) = n→∞ lim d(T an , T am ) = n,m→∞ 1) Giả sử T ánh xạ liên tục hội tụ dãy Khi đó, T an = bn → b ∞ n → ∞ nên theo Định nghĩa 1.2.11 2) tồn dãy {ani }∞ i=1 {an }n=1 cho ani → a ∈ X ni → ∞ d(T a, T a) = Kết hợp với tính liên tục T ta có d(T ani , T a) → d(T a, T a) = khi ni → ∞ hay d(bni , T a) → ni → ∞ Mặt khác, từ d(bn , b) → n → ∞ suy 28 d(bni , b) → ni → ∞ Sử dụng Bổ đề 1.2.7 1), suy b = T a 2) Giả sử T tồn ánh, từ b ∈ X nên tồn a ∈ X cho b = T a Ta chứng minh a điểm bất động chung f g tức a = f a = ga Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có d(b, T ga) ≤ sd(b, b2n+1 ) + sd(b2n+1 , T ga) = sd(b, b2n+1 ) + sd(f a2n , T ga) ∀n = 0, 1, Do ψ( d(b, T ga) − d(b, b2n+1 )) ≤ ψ(d(T f a2n , T ga)) s ≤ψ(max{α1 sd(b2n , b), α2 d(b2n , T ga) + α3 d(b, b2n+1 ), α4 s(d(b2n , b2n+1 ) + d(b, T ga)}) −ϕ(α1 d(b2n , b), α2 d(b2n , T ga)), α3 d(b, b2n+1 ), α4 d(b2n , b2n+1 ), α4 d(b, T ga)) ≤ψ(max{α1 sd(b2n , b), α2 s[d(b2n , b) + d(b, T ga)] + α3 d(b, b2n+1 ), α4 s(d(b2n , b2n+1 ) + d(b, T ga)}) −ϕ(α1 d(b2n , b), α2 d(b2n , T ga)), α3 d(b, b2n+1 ), α4 d(b2n , b2n+1 ), α4 d(b, T ga)) ∀n = 0, 1, Cho n → ∞, sử dụng tính chất hàm ψ, ϕ (2.22) ta có ψ( d(b, T ga)) ≤ ψ(max{α2 s, α4 s}d(b, T ga)) s − ϕ(0, α2 lim inf d(b2n , T ga), 0, 0, α4 d(b, T ga)) n→∞ Vì max{α2 s, α4 s} ≤ (2.23) nên chứng tỏ s ϕ(0, α2 lim inf d(b2n , T ga), 0, 0, α4 d(b, T ga)) = n→∞ Do α2 lim inf d(b2n , T ga) = α4 d(b, T ga)) = n→∞ Nếu α4 = d(b, T ga) = Nếu α4 = 0, α2 = lim inf d(b2n , T ga) = Khi lim d(b2n , b) = nên n→∞ n→∞ 29 theo Bổ đề 1.2.7 2) ta có d(b, T ga) ≤ lim inf d(b2n , T ga) = n→∞ s Do d(b, T ga) = d(b, T ga) ≤ ψ(0) Do d(b, T ga) = s Như ta ln có d(b, T ga) = 0, tức b = T ga hay T a = T ga Vì T đơn ánh nên a = ga Chứng minh tương tự ta có a = f a Vậy a điểm bất chung f g Tiếp theo, ta chứng minh điểm bất động chung f g Giả sử u ∈ X điểm bất động chung f g , tức u = f u = gu Khi đó, ta có Nếu α2 = α4 = (2.23) trở thành ψ(d(T u, T u)) = ψ(d(T f u, T gu)) ≤ψ(max{α1 sd(T u, T u), α2 d(T u, T gu) + α3 d(T u, T f u), α4 s[d(T u, T f u) + d(T u, T f u)]}) −ϕ(α1 d(T u, T u), α2 d(T u, T gu), α3 d(T u, T f u), α4 d(T u, T f u), α4 d(T u, T gu)) =ψ(max{α1 sd(T u, T u), α2 d(T u, T u) + α3 d(T u, T u), α4 s[d(T u, T u) + d(T u, T u)]}) −ϕ(α1 d(T u, T u), α2 d(T u, T u), α3 d(T u, T u), α4 d(T u, T u), α4 d(T u, T u)) =ψ(max{α1 s, α2 + α3 , 2α4 s}d(T u, T u)) −ϕ(α1 d(T u, T u), α2 d(T u, T u), α3 d(T u, T u), α4 d(T u, T u), α4 d(T u, T u)) (2.24) Kết hợp với max{α1 s, α2 + α3 , 2α4 s} ≤ suy ϕ(α1 d(T u, T u), α2 d(T u, T u), α3 d(T u, T u), α4 d(T u, T u), α4 d(T u, T u)) = Do α1 d(T u, T u) = α2 d(T u, T u), α3 d(T u, T u) = α4 d(T u, T u) = Nếu tồn αj = với j = 1, 2, 3, d(T u, T u) = Nếu α1 = α2 = α3 = α4 = từ (2.24) suy ψ(d(T u, T u)) ≤ ψ(0) 30 kết hợp với tính khơng giảm ψ suy d(T u, T u) = Từ d(T a, T a) = d(T u, T u) = ta có ψ(d(T a, T u)) =ψ(d(T f a, T gu)) ≤ψ(max{α1 sd(T a, T u), α2 d(T a, T u) + α3 d(T u, T a), −ϕ(α1 d(T a, T u), α2 d(T a, T u), α3 d(T a, T u), 0, 0) =ψ(max{α1 s, α2 + α3 }d(T a, T u)) −ϕ(α1 d(T a, T u), α2 d(T a, T u), α3 d(T a, T u), 0, 0) (2.25) Kết hợp với max{α1 s, α2 + α3 } ≤ ta suy ϕ(α1 d(T a, T u), α2 d(T a, T u), α3 d(T a, T u), 0, 0) = Do α1 d(T a, T u) = α2 d(T a, T u) = α3 d(T a, T u) = Nếu tồn αj = với j = 1, 2, 3, d(T a, T u) = Giả sử α1 = α2 = α3 = Khi đó, từ (2.25) suy ψ(d(T a, T u)) ≤ ψ(0) kết hợp với tính khơng giảm ψ suy d(T a, T u) = Như ta ln có d(T a, T u) = tức T a = T u Vì T đơn ánh nên u = a Vậy điểm bất động chung f g Cuối cùng, giả sử T f a = f T a, T ga = gT a Khi ta có T a = f T a, T a = T ga Do đó, T a = f T a = gT a Như T a điểm bất động chung f g Vì điểm bất động chung f g nên T a = a = f a = ga Vậy a điểm bất động chung T, f, g 31 Sau số hệ Định lý 2.2.1 2.2.2 Hệ Giả sử (X, d) không gian kiểu b-mêtric đầy đủ với tham số s ≥ 1, T f : X −→ X hai ánh xạ thỏa mãn: i) Tồn ψ ∈ Ψ, ϕ ∈ Φ số không âm α1 , α2 , α3 , α4 ∈ 0, s2 cho max {α1 , α2 + α3 , α4 } ≤ 1 , α1 < , α2 + α3 s2 ≤ 2s s s ψ(d(T f a, T f b)) ≤ ψ(max{α1 sd(T a, T b), α2 d(T a, T f b) + α3 d(T b, T f a), α4 s[d(T a, T f a) + d(T b, T f b)]}) − ϕ(α1 d(T a, T b), α2 d(T a, T f b), α3 d(T b, T f a), α4 d(T a, T f a), α4 d(T b, T f b)) (2.26) với a, b ∈ X ii) T đơn ánh liên tục Khi 1) Với a0 ∈ X , dãy {T f n a0 } hội tụ 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động X 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với a0 ∈ X , dãy {f n a0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Trong Định lí 2.2.1, thay g f điều kiện (i) Định lí 2.2.1 điều kiện (i) Hệ 2.2.2 trùng Do đó, từ Định lí 2.2.1, ta có kết luận 1) 2) Hệ 2.2.2 Nếu có thêm giả thiết T ánh xạ hội tụ dãy chứng minh Định lí 2.2.1, ta thay dãy {ank } hội tụ tới a {an } hội tụ tới a ta có f n a0 → a, tức ta có khẳng định 3) Hệ 2.2.2 Ta kí hiệu Φ1 = ϕ : [0, ∞)2 −→ [0, ∞)|ϕ(a, b) = ⇔ a = b = ϕ lim inf an , lim inf bn ≤ lim inf ϕ(an , bn ) n→∞ n→∞ 32 n→∞ 2.2.3 Hệ ([9], Theorem 5) Giả sử (X, d) không gian kiểu b-mêtric đầy đủ với hệ số s ≥ 1, T f : X −→ X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: i) T đơn ánh liên tục ii) Tồn ψ ∈ Ψ, ϕ1 ∈ Φ1 cho với a, b ∈ X, ta có d(T a, T f a) + d(T b, T f b) s+1 − ϕ1 (d(T a, T f a), d(T b, T f b)) ψ(d(T f a, T f b)) ≤ ψ (2.27) Khi đó, khẳng định sau đúng: 1) Với a0 ∈ X , dãy {T f n a0 } hội tụ 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động X 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với a0 ∈ X , dãy {f n a0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Đặt α1 = α2 = α3 = 0, α4 = 1 Khi đó, α4 ≤ , α4 ≤ s(s + 1) 2s s max α1 sd(T a, T b), α2 d(T a, T gb) + α3 d(T b, T f a), α4 s[d(T a, T f a) + d(T b, T f b)] d(T a, T f a) + d(T b, T f b) ∀a, b ∈ X (2.28) = s+1 Ta xác định ánh xạ ϕ : [0, +∞)5 → [0, +∞) công thức ϕ(r, t, u, x, y) = ϕ1 (max{r, t, u, 1 x}, y) α4 α4 với (r, t, u, x, y) ∈ [0, +∞)5 Khi đó, từ tính chất ϕ1 suy ϕ(r, t, u, x, y) = ⇔ r = t = u = x = y = 33 lim inf ϕ(rn , tn , un , xn , yn ) = lim inf ϕ1 (max{rn , tn , un , n→∞ n→∞ 1 xn }, yn ) α4 α4 1 xn }, lim inf yn ) n→∞ n→∞ α4 α4 1 lim inf xn }, lim inf yn ) = ϕ1 (max{lim inf rn , lim inf tn , lim inf un , n→∞ n→∞ n→∞ α4 n→∞ α4 n→∞ = ϕ(lim inf rn , lim inf tn , lim inf un , lim inf xn , lim inf yn ) ≥ ϕ1 (lim inf max{rn , tn , un , n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Do ϕ ∈ Φ Từ (2.27) (2.28) ta có ψ(d(T f a, T f b)) ≤ ψ(max{α1 sd(T a, T b), α2 d(T a, T f b) + α3 d(T b, T f a), α4 s[d(T a, T f a) + d(T b, T f b)]}) − ϕ(α1 d(T a, T b), α2 d(T a, T f b), α3 d(T b, T f a), α4 d(T a, T f a), α4 d(T b, T f b)) với a, b ∈ X Từ suy điều kiện i) Hệ 2.2.2 thỏa mãn Do khẳng định cần chứng minh suy từ Hệ 2.2.2 Trong Định lý 2.2.1 ta lấy (X, d) khơng gian mêtric, tức s = ta nhận hệ sau 2.2.4 Hệ Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, T f, g : X −→ X ba ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: i) Tồn ψ ∈ Ψ, ϕ ∈ Φ số không âm α1 , α2 , α3 , α4 cho max α1 , α2 + α3 , α4 ≤ ψ(d(T f a, T gb)) ≤ ψ(max{α1 sd(T a, T b), α2 d(T a, T gb) + α3 d(T b, T f a), α4 s[d(T a, T f a) + d(T b, T f b)]}) − ϕ(α1 d(T a, T b), α2 d(T a, T gb), α3 d(T b, T f a), α4 d(T a, T f a), α4 d(T b, T gb)) với a, b ∈ X ii) T đơn ánh có tính chất: 34 1) T liên tục hội tụ dãy 2) T tồn ánh Khi đó, f g có điểm bất động chung X Hơn nữa, thêm giả thiết T f a = f T a, T ga = gT a với a điểm bất động chung f g T , f , g có điểm bất động chung X 2.2.5 Định nghĩa ([10]) Giả sử (X,d) không gian mêtric f : X −→ X i) Ánh xạ f gọi co yếu kiểu Kannan, nói gọn K -co yếu tồn ϕ ∈ Φ1 cho với x, y ∈ X ta có d(f x, f y) ≤ d(x, f x) + d(y, f y) − ϕ d(x, f x), d(y, f y) ii) Ánh xạ f : X −→ X gọi T-co yếu suy rộng kiểu Kannan tồn ψ ∈ Ψ ϕ ∈ Φ1 cho với x, y ∈ X ta có ψ(d(T f x, T f y)) ≤ ψ d(T x, T f x) + d(T y, T f y) −ϕ d(T x, T f x), d(T y, T f y) Ta thấy rằng, ánh xạ co yếu kiểu Kannan trường hợp đặc biệt ánh xạ T -co yếu suy rộng kiểu Kannan ψ T ánh xạ đồng 2.2.6 Hệ ([10]) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, T f : X −→ X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau: i) f ánh xạ T -co yếu suy rộng kiểu Kannan ii) T đơn ánh liên tục Khi đó, khẳng định sau đúng: 1) Với a0 ∈ X , dãy {T f n a0 } hội tụ 2) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động X 35 3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với a0 ∈ X , dãy {f n a0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Vì f ánh xạ T -co yếu suy rộng kiểu Kannan nên tồn ψ ∈ Ψ ϕ ∈ Φ1 cho với x, y ∈ X ta có ψ(d(T f x, T f y)) ≤ ψ d(T x, T f x) + d(T y, T f y) −ϕ d(T x, T f x), d(T y, T f y) Do đó, từ Hệ 2.2.3 ta lấy s = ta suy điều cần chứng minh 36 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau đây: - Trình bày lại định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian kiểu b-mêtric có tài liệu tham khảo - Thiết lập chứng minh số kết tồn điểm bất động chung ánh xạ tương thích yếu khơng gian kiểu b-mêtric, Định lý 2.1.2 Hệ 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.1.6, 2.1.7 - Thiết lập chứng minh số kết tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ (ϕ-ψ )-co không gian kiểu b-mêtric đầy đủ, Định lý 2.2.1 Hệ 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.6, Hệ 2.2.3 Định lý tài liệu [9] 37 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Giải tích tốn học, Tập 1, Nhà xuất Đại học sư phạm [2] A.Aghajani, M.Abbas, J.R.Roshan (2014), "Common fixed point of generalized weak contractive mapping in partially ordered b-metric spaces", Math Slovaca 64(2014), No 4, 941-960 [3] M.A.Alghamdi, N.Hussain and P.Salimi (2013), “Fixed point and coupled fixed point theorems on b-metric-like spaces”, J Inequalities Appl, 2013, 2013.402 [4] H.Aydi, A.Felhi, S.Sahmim (2017), “Common fixed points via implicit contractions on b-metric-like spaces” J Nonlinear Sci Appl, 10(2017), 1524-1537 [5] M.Cvetkovic, E.Karapinar and V.Rakocevic (2015), “Some fixed point results on quasi-b-metric-like spaces”, J Inequalities Appl, 2015:374 [6] S.Czerwik (1993), “Contraction mappings in b-metric spaces”, Acta Math Inform Univ Ostrav 1, 5-11 [7] A.A.Harandi (2012), “Metric-like spaces, partial metric spaces and fixed point”, Fixed Point Theory Appl, 2012, Article ID 204 (2012) [8] N.Hussain, J.R.Roshan, V.Parvaneh and Z.Kadelburg (2014), “Fixed Point of Contractive Mappings in b-metric-Like Spaces”, Sci World J, Volume 2014, 15 pages 38 [9] Z.Mustafa, J.R.Roshan, V.Parvaneh and Z Kadelburg (2014), “Fixed point theorems for weakly T-Chatterjea and weakly T-Kannan contractions in b-metric spaces”, J Inequalities Appl, 2014:46 [10] A.Razani, V.Parvanch (2013), “Some fixed point theorems for weakly TChatterjea and weakly T-Kannan contractive mappings in complete metric spaces”, Russ Math (Izv VUZ) 53(3), 38-45 39 ... luận văn không gian kiểu b- mêtric, tồn điểm b? ??t động chung ánh xạ không gian kiểu b- mêtric Phương pháp nghiên cứu Dựa vào số kết có tồn điểm b? ??t động chung không gian mêtric không gian b- mêtric, ... thuyết điểm b? ??t động chọn đề tài nghiên cứu luận văn : ? ?Về tồn điểm b? ??t động chung không gian kiểu b- mêtric? ?? Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu tồn điểm b? ??t động điểm b? ??t động chung. .. động chung ánh xạ không gian kiểu b- mêtric Xem xét số kết tồn điểm b? ??t động điểm b? ??t động chung không gian mêtric khơng gian b- mêtric có mở rộng cho khơng gian kiểu b- mêtric hay không? Đối tượng