Đa thức duy nhất cho họ các hàm hữu tỷ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ THƠM ĐA THỨC DUY NHẤT CHO HỌ CÁC HÀM HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An- 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ THƠM ĐA THỨC DUY NHẤT CHO HỌ CÁC HÀM HỮU TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP Nghệ An -2018 MỤC LỤC Trang MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN VĂN MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Trường định chuẩn 1.2 Đa tạp đại số không gian afin không gian xạ ảnh 1.3 Đường cong mặt phẳng afin 14 CHƯƠNG ĐA THỨC DUY NHẤT CHO HỌ CÁC HÀM HỮU TỶ 18 2.1 Điểm kỳ dị đường cong phẳng G( X ,Y ) 18 2.2 Đa thức cho họ hàm hữu tỷ 22 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN VĂN k : Trường n (k ) : Không gian afin n chiều trường k n (k ) : Không gian xạ ảnh n chiều trường k k[ x1, x2 , , xn ] : Vành đa thức n biến trường k Z ( M ) : Tập nghiệm hệ đa thức M  : Tập rỗng I (V ) : Iđêan V deg( f ) : Bậc đa thức f MỞ ĐẦU Trong khoảng thời gian gần đây, vấn đề nghiên cứu đa thức thu hút quan tâm nhiều nhà toán học.Việc nghiên cứu đa thức có liên quan chặt chẽ với việc nghiên cứu tập xác định Một số tác giả đưa điều kiện để đa thức đa thức cho họ đa thức, họ hàm nguyên, họ hàm phân hình, A Boutabaa, A Escassut, L Haddad, W Cherry, C C Yang, H Fujimoto, … Trong luận văn tập trung nghiên cứu đa thức cho họ hàm hữu tỷ Nội dung luận văn tìm hiểu trình bày cách chi tiết số kết báo “Uniqueness polynomials and bi- unique range sets for rational functions and non-Archimedean meromorphic functions” tạp chí Acta Arithmetica tác giả Julie Tzu-Yueh Wang [10] Trong luận văn này, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương Chương Kiến thức sở Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở Hình học đại số nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung chương Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương Đa thức cho họ hàm hữu tỷ Trong chương chúng tơi trình bày cách chi tiết số kết báo [10] tác giả Julie Tzu-Yueh Wang Cụ thể chúng tơi trình bày điểm kỳ dị đường cong phẳng xác định phương trình G( X ,Y )  P( X )  P(Y ) 0 X Y với P đa thức biến trường k đóng đại số, đầy đủ với giá trị tuyệt đối không Acsimet Đồng thời chúng tơi trình bày đặc điểm để nhận biết đa thức biến trường k đa thức cho họ hàm hữu tỷ Luận văn thực hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình TS Nguyễn Thị Ngọc Diệp Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cơ, người tận tình giúp đỡ để em hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy giáo, cô giáo, người trực tiếp giảng dạy thời gian em học trường Đại học kinh tế công nghiệp Long An Long An, tháng năm 2018 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, chúng tơi trình bày (khơng chứng minh) số kiến thức nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung chương sau Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Các khái niệm tính chất chủ yếu tham khảo tài liệu [1], [2], [3] [8] 1.1 Trường định chuẩn 1.1.1 Định nghĩa Trường K với ánh xạ  : K  gọi trường định chuẩn điều kiện sau thỏa mãn: (1)  ( )  0,   K ,  ( )     0, (2)  (   )   ( )   (  ),  ,   K , (3)  (  )   ( )  (  ),  ,   K , Nếu thay điều kiện (2) điều kiện mạnh sau đây: (4)  (   )  max{  ( ),  (  )},  ,   K , trường định chuẩn ( K ,  ) gọi trường định chuẩn khơng Acsimet 1.1.2 Ví dụ (1) Các trường số hữu tỷ , trường số thực trường định chuẩn với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường (2) Trường số phức trường định chuẩn với chuẩn môđun:  (a  bi)  | a  bi |  a  b2 ,  a  bi  1.1.3 Định nghĩa Cho p số nguyên tố cố định Với số hữu tỷ   ta viết cách nhất:  a n p ; a, b, n  b , với a, b không chia hết cho p Ta định nghĩa chuẩn p -adic | | p trường số hữu tỷ  p (0)  | | p  ;  p ( )  |  | p  p  n Ta có  p chuẩn khơng Acsimet trường số hữu tỷ 1.1.4 Tính chất Cho ( K ,  ) trường định chuẩn Khi (i )  (1)   (1)  (ii )  (a)   ( a),  a  K (iii ) |  (a)   (b) |   ( a  b), a, b  K n (iv)  ( )  i 1 n  (a ) i 1 (v)  (a 1 )   (a) 1  (vi )  (ab 1 )  i , a  K , a   (a)  (a) , a, b  K , b   (b) 1.1.5 Định nghĩa Giả sử ( K ,  ) trường định chuẩn Một dãy { n }n phần tử K , gọi hội tụ phần tử   K theo chuẩn  , với số thực   tùy ý, tồn số tự nhiên n0 cho  ( n   )   ,  n  n0 Ta ký hiệu: lim  n   n Dãy { n }n phần tử K , gọi dãy không ( theo chuẩn  ) lim  n  n Một dãy { n }n phần tử K , gọi dãy hay dãy Cauchy ( theo chuẩn  ) với số thực   tùy ý, tồn số tự nhiên n0 cho  ( n   m )   ,  n, m  n0 Trường định chuẩn ( K ,  ) gọi trường định chuẩn đầy đủ theo chuẩn  dãy K dãy hội tụ theo chuẩn  1.1.6 Mệnh đề Mọi dãy hội tụ trường định chuẩn ( K ,  ) dãy Điều ngược lại không 1.1.7 Định lý Chuẩn  trường K chuẩn không Acsimet  (n)  , với số tự nhiên n  1.1.8 Định nghĩa Các chuẩn   trường K gọi tương đương với ký hiệu   chúng xác định K tính hội tụ, nghĩa  ( xn  x)   ( xn  x)  theo chuẩn giá trị tuyệt đối trường số thực 1.1.9 Mệnh đề Giả sử   chuẩn trường K Khi đó,   tương đương với khi:  x  K (  ( x)    ( x)  1) 1.1.10 Định lý Trên trường hữu hạn có chuẩn tầm thường 1.1.11 Mệnh đề Cho  chuẩn không Acsimet K Nếu giá trị thực  ( )  (  ) khác  (a  b)  max { (a),  (b)}, a, b  K 1.2 Đa tạp đại số không gian afin không gian xạ ảnh 1.2.1 Định nghĩa Cho k trường tùy ý H ( x1, x2 , , xn )  k [ x1, x2 , , xn ] Một điểm U  (u1, u2 , , un )  không điểm H H (U )  H (u1, u2 , , un )  n (k ) gọi Nếu H khác tập hợp khơng điểm H gọi siêu mặt xác định H kí hiệu Z ( H ) Một siêu mặt (k ) gọi đường cong phẳng Nếu deg( H )  Z ( H ) gọi siêu phẳng 1.2.2 n (k ) Định nghĩa Nếu M tập hợp đa thức vành đa thức k[ x1, x2 , , xn ] , Z (M )  {U  n (k ) | H (U )  với H  M } gọi tập đại số 1.2.3 Ví dụ n (k ) (1) Tập rỗng  tập đại số tập nghiệm phương trình f  với f  k , f  (2) Một điểm U  (u1, u2 , , un ) không gian afin n (k ) tập đại số tập nghiệm hệ phương trình sau  x1  u1  x  u   2    xn  un  ta viết (u1, u2 , , un )  Z ( x1  u1, x2  u2 , , xn  un ) (3) Tập hợp nghiệm hệ phương trình tuyến tính gọi đa tạp tuyến tính (4) n (k ) tập đại số không gian afin n (k ) tập nghiệm phương trình  1.2.4 Mệnh đề (i) Cho M1 , M hệ đa thức vành đa thức k[ x1, x2 , , xn ] Nếu M  M1 Z (M1 )  Z (M ) 10 C  C1 C2 Cm , đường cong C có phân tích thành thành phần bất khả quy tương ứng C  C1 1.3.1 C2 Cm Định nghĩa Cho đường cong phẳng C không gian afin (k ) xác định phương trình H ( x, y)  P  (a, b)  C Điểm P gọi điểm đơn đường cong C H ( P)  x H ( P)  Khi đường thẳng xác định phương trình y H H ( x  a)  ( y  b)  x p y p gọi đường tiếp tuyến với đường cong C P Một điểm khơng phải điểm đơn gọi điểm kỳ dị Một đường cong gọi trơn điểm đường cong điểm đơn 1.3.2 Định nghĩa Cho đường cong phẳng C không gian afin (k ) xác định đa thức H ( x, y) , P  (0, 0) Ta viết H  H m  H m1   H n , H i đa thức bậc i vành đa thức k [ x, y], H m  Ta gọi m số bội đường cong C P  (0, 0) viết m  mP ( H )  mP (C ) Vì H m đa thức hai biến trường đóng đại số nên ta viết H m   Giri Gi nhân tử tuyến tính Các Gi gọi đường tiếp tuyến đường cong C P  (0, 0) ; ri số bội tiếp tuyến Gi gọi tiếp tuyến đơn ( kép, ) ri  (2, ) Nếu đường cong C có m tiếp tuyến đơn phân biệt P P gọi điểm kỳ dị tắc đường cong C 16 Giả sử H   H iei phân tích H thành thành phần bất khả quy Khi mP ( H )   ei mp ( H i ) Nếu G đường tiếp tuyến H i với số bội ri G tiếp tuyến H với số bội e r i i 1.3.3 Nhận xét Để mở rộng định nghĩa cho điểm P  (a, b )  (0, 0) , ta thực phép tịnh tiến T ( x, y)  ( x  a, y  b) biến (0,0) thành P Khi H T  H ( x  a, y  b) Ta định nghĩa m p ( H ) m(0,0) ( H T ) 1.3.4 Định lý ( Định lý Bezout ) Cho F G đường cong phẳng xạ ảnh có bậc tương ứng m n Giả sử F G khơng có thành phần chung Khi  I ( P, F G)  mn p 1.3.5 Định lý Nếu F đường cong bất khả quy bậc n m p số bội F P  m p ( m p  1) 17  (n  1) (n  2) CHƯƠNG ĐA THỨC DUY NHẤT CHO HỌ CÁC HÀM HỮU TỶ Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu điểm kỳ dị đường cong phẳng xác định phương trình G( X ,Y )  P( X )  P(Y ) 0 X Y P đa thức biến trường đóng đại số k , đầy đủ với giá trị tuyệt đối không Acsimet P thỏa mãn Giả thiết I Fujimoto Đồng thời chúng tơi trình bày đặc điểm để nhận biết đa thức biến trường đóng đại số k đa thức cho họ hàm hữu tỷ Nội dung chương tham khảo báo [10] tác giả Julie Tzu-Yueh Wang 2.1 Điểm kỳ dị đường cong phẳng G( X ,Y ) Trong suốt chương này, ta giả sử P( X ) đa thức biến bậc n trường đóng đại số k , đầy đủ với giá trị tuyệt đối khơng Acsimet Khơng tính tổng qt, ta giả sử đa thức P( X ) có hệ tử cao Ta ký hiệu hệ số P sau: P( X )  a0  a1 X  a2 X   an X n  k , an  18 Ký hiệu u1 , u2 , , ul nghiệm phân biệt P '( X ) p1 , p2 , , pl bội nghiệm P '( X ) Khi n  X  u1 p1  X  u l pl  P 'X   p1 pl  a X  u X  u      n  1 l  G( X ,Y )  Ta đặt nÕu p  p p \n p  vµ p / n P( X )  P(Y ) X Y Trong mục này, trình bày điểm kỳ dị đường cong phẳng xác định phương trình G( X ,Y )  , số kết cần cho việc chứng minh mục sau 2.1.1 Định nghĩa Đa thức P( X ) gọi thỏa mãn Giả thiết I P(ui )  P(u j ) với i  j , i, j  1, , , l Hay nói cách khác, P đơn ánh tập không điểm đạo hàm bậc P Để đơn giản, ta ký hiệu G( X ,Y )  đường cong đại số không gian xạ ảnh (k ) thu cách hóa đa thức G( X ,Y ) thành đa thức ba biến bậc với đa thức ban đầu Ta có G ( X  Y ) P '( X )  ( P( X )  P(Y ) )  , X ( X  Y )2 G  ( X  Y ) P '(Y )  ( P( X )  P(Y ) )  Y ( X  Y )2 Một điểm ( x, y ) với x  y thuộc đường cong phẳng xác định phương trình G( X ,Y )  P( x)  P( y) , ( x, y) điểm kỳ dị P '( x)  P '( y)  Do đó, với P( X ) thỏa mãn Giả thiết I điểm ( x, y) với x  y không điểm kỳ dị 19 Một điểm ( x, x) thuộc đường cong phẳng xác định phương trình G( X ,Y )  P '( x)  Nếu điểm ( x, x) thuộc đường cong phẳng xác định phương trình G( X ,Y )  , ta giả thiết x  P '(0)  sau thay đổi biến Khi G ( X , Y )  am1 ( X m  X m1 Y   X Y m1  Y m )  am2 ( X m1  )  am1  X m  X m1 Y   X Y m1  Y m phân tích thành m nhân tử tuyến tính Điều chứng tỏ (0,0) điểm kỳ dị tắc Như ta có mệnh đề sau 2.1.2 Mệnh đề Giả sử P( X ) thỏa mãn Giả thiết I Khi tập hợp điểm kỳ dị đường cong phẳng xác định phương trình G( X ,Y )  {( X , X ) | X nghiệm bội phương trình P '( X )  } Hơn nữa, điểm kỳ dị ( X , X ) đường cong phẳng xác định phương trình G( X ,Y )  điểm kỳ dị tắc với số bội số bội X P '( X ) Ta cần mệnh đề sau cho tính tốn mục sau 2.1.3 Mệnh đề Giả sử d  ei  số nguyên, h (d  1)(d  2)   ei (ei  1)  g , i 1 g  g 1 Nếu h  h  e  d  h   g; i 1 i h  g  e1  d  Chứng minh Ta có 20 h  i 1 h  h  ei (ei  1)    ei    ei   ei e j 1i , j  h  i 1  i 1 Mặt khác  1i , j h ei ej  h 1 min{ei }  ei  (h  1)  ei i 1 i  h 1 i  h Vì h  i 1 h  h  ei (ei 1)    ei    ei  2( h 1)  ei i 1 1 i  h  i 1  h  h     ei   (2h  1)  ei i 1  i 1  (2.1) Vì giả thiết cho ta h (d  1)(d  2)   ei ( ei  1)  g , i 1 nên kết hợp với (2.1) ta có h  h  (d  1) (d  2)    ei   (2h  1) ei  g i 1  i 1  Với g  h  , g  h  , ta có h  h  (d  1)(d  2)    ei   (2h  1) ei  h(h  1) i 1  i 1    h  h    ei  h  1   ei  h   i 1  i 1  Từ suy h e i 1 i  d  h 2 Với g  h  bất đẳng thức khơng xẩy dấu Trong trường hợp ta có h e i 1 i  d  h 1 21 Vì h e i 1 i  d  h 1 g h  Khi h  g  , ta có e1  d  2.2 Đa thức cho họ hàm hữu tỷ Trong mục này, chúng tơi tìm hiểu đặc điểm để nhận biết đa thức biến trường đóng đại số k đa thức cho họ hàm hữu tỷ Cụ thể, chúng tơi trình bày cách chi tiết số kết báo “Uniqueness polynomials and bi- unique range sets for rational functions and non-Archimedean meromorphic functions” tác giả Julie Tzu – Yueh Wang ([ 10]) 2.2.1 Định nghĩa Giả sử F họ hàm hữu tỷ trường k Đa thức biến P trường k gọi đa thức cho họ hàm F với hàm khác f , g  F thỏa mãn P( f )  P( g ) f  g Giả sử H ( X , Y ) đa thức hai biến trường k Bằng cách hóa đa thức H ( X , Y ), ta đa thức H ( X , Y , Z ) bậc với đa thức H ( X , Y ) Để đơn giản ký hiệu, ta thường dùng phương trình H ( X , Y )  để ký hiệu đường cong phẳng xác định phương trình H ( X , Y , Z )  22 2.2.2 Định nghĩa Số khuyết đường cong phẳng xác định phương trình H ( X , Y , Z )  , ký hiệu  H , xác định sau H  1 ( deg H  ) ( deg H  )  2 m p ( mp  ) , p tổng lấy tất điểm thuộc đường cong phẳng xác định phương trình H ( X , Y , Z )  m p số bội đường cong phẳng xác định phương trình H ( X , Y , Z )  p Định lý sau đưa đặc điểm để nhận biết đa thức biến trường k đa thức cho họ hàm hữu tỷ 2.2.3 Định lý Giả sử k trường đóng đại số có đặc số p  , đầy đủ với giá trị tuyệt đối không Acsimet Cho P( X ) đa thức biến có bậc n k[ X ] P '( X )   ( X  u1 ) p1 ( X  ul ) pl ,  số khác Giả sử đa thức P( X ) thỏa mãn Giả thiết I Hơn nữa, với p  , giả sử số bội X  ui P ( X )  P( ui ) pi  , với  i  l ; đồng thời n chia hết cho p hệ số X n1 P( X ) khác Khi điều kiện sau tương đương (i) P( X ) đa thức cho họ hàm phân hình k , (ii) P( X ) đa thức cho họ hàm hữu tỷ k , l ( n2 ) ( n3 ) p ( pi  )  i  0, (iii) 2 i 1 (iv) l  n chia hết cho p ; l  l  min{ p1, p2 }  p  p \ n Để chứng minh Định lý 2.2.3 cần sử dụng bổ đề sau 23 2.2.4 Bổ đề Giả sử đa thức P( X ) thỏa mãn tất điều kiện Định lý 2.2.3 Khi G ( X , Y ) có nhân tử bất khả quy xác định đường cong phẳng có giống (n  ) (n  ) l pi ( pi  ) G    2 i 1 Chứng minh Từ Mệnh đề 2.1.2 ta có điểm kỳ dị đường cong phẳng xác định phương trình G ( X , Y )  (u1, u2 ), ,(ul , ul ) tất điểm điểm kỳ dị tắc Nếu G ( X , Y ) bất khả quy  G giống đường cong xác định phương trình G ( X , Y )  Giả sử G ( X , Y ) khả quy Gọi U ( X , Y )  k [ X ,Y ] nhân tử bất khả quy G ( X , Y ) Ta có G( X , Y )  U ( X , Y ) V ( X , Y ) với V ( X , Y )  k [ X ,Y ] Khi V ( X , Y ) không chia hết cho U ( X , Y ) đường cong xác định phương trình G ( X , Y )  có hữu hạn điểm kỳ dị Trong trường hợp ( ui , ui ) với  i  l , điểm kỳ dị đường cong phẳng xác định phương trình U ( X , Y )  đường cong phẳng xác định phương trình V ( X , Y )  , đồng thời chúng điểm thuộc phần giao hai đường cong Ta gọi piV piU số bội tương ứng điểm ( ui , ui ) thuộc nhánh đường cong xác định phương trình G ( X , Y )  nhánh đường cong xác định phương trình U ( X , Y )  Khi giống đường cong xác định phương trình U ( X , Y )  số khuyết U Giả sử d bậc U ( X , Y ) Vì 24 P '( X )  G ( X , X )  V ( X , X ) U ( X , X ) nên ta có l  i 1 piU  d , pi  d  Khơng tính tổng qt, ta giả sử piU xếp theo thứ tự giảm dần Theo Mệnh đề 2.1.3 ta có U  i) d  p1U  1, piU  với  i  l ii) d  p1U  d  1, p2U  1, piU  với  i  l Theo Định lý Bezout, ta có l d (n  d  1)   piU piV i 1 Nếu trường hợp (i) xẩy ra, tức d  p1U  1, piU  với  i  l p1V  n  d   degV , V  Nếu trường hợp (ii) xẩy ra, tức d  p1U  d  1, p2U  1, piU  với  i  l d (n  d  1)  (d  1) p1V  p2V  (d  1) ( p1V  p2V )  (d  1) (n  d  1) Điều vô lý Như U  V  Theo Định lý Bezout suy  G  U  V  Do , U  V  j Giả sử G ( X , Y )  U i ( X , Y ) , U i ( X , Y ) đa i 1 j thức bất khả quy phân biệt Khi  G   Ui  j  Nếu  G  , i 1 có U i phải Do G ( X , Y ) có nhân tử bất khả quy có giống 25 Chứng minh Định lý 2.2.3 Ta có P( X ) đa thức cho họ hàm phân hình trường k P( X ) đa thức cho họ hàm hữu tỷ k Vì (i) kéo theo (ii) Ngược lại, giả sử P( X ) đa thức cho họ hàm hữu tỷ Nếu f g hai hàm phân hình khác thỏa mãn P( f )  P( g ) G ( f , g )  Giả sử U ( X , Y ) nhân tử bất khả quy G ( X , Y ) cho U ( f , g )  Vì f g khác nên đường cong xác định phương trình U ( X , Y )  đường cong có giống Do k trường đóng đại số nên đường cong xác định phương trình U ( X , Y )  có tham số hóa hữu tỷ, nghĩa tồn hàm hữu tỷ khác r ( t ) , s ( t ) R ( X , Y ) cho t  R ( X , Y ) U ( r ( t ) , s ( t ) )  Giả sử h  R ( X , Y ) f  r ( h ) g  s ( h ) Vì P( X ) đa thức cho họ hàm hữu tỷ nên f  r ( h )  s(h)  g Vậy P( X ) đa thức cho họ hàm phân hình Ta có P( X ) đa thức cho họ hàm hữu tỷ G ( X , Y ) khơng có nhân tử bất khả quy xác định đường cong phẳng có giống Vì vậy, theo Bổ đề 2.2.4 ta có điều kiện (ii) (iii) tương đương với Khơng tính tổng qt, ta giả sử số bội pi xếp theo thứ tự giảm dần Nếu p  p  p \ n , l p i 1 i  n  Theo Mệnh đề 2.1.3 ta có  G  (a) p1  n  pi  với i  (b) p1  n  , p2  pi  với i  26 Tương tự, ta có  G  p1  n  pi  với i  Do (iii) tương đương với (iv) 27 KẾT LUẬN Căn vào tài liệu tham khảo, luận văn tập trung tìm hiểu trình bày nội dung sau đây: Tập đại số không gian afin không gian xạ ảnh , đường cong mặt phẳng afin, trường định chuẩn với giá trị tuyệt đối không Acsimet Các điểm kỳ dị đường cong phẳng xác định phương trình G( X ,Y )  P( X )  P(Y ) 0 X Y P đa thức biến trường k đóng đại số, đầy đủ với giá trị tuyệt đối không Acsimet Đặc điểm để nhận biết đa thức biến trường k đa thức cho họ hàm hữu tỷ 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Phạm Thị Hải ( 2017 ), Điều kiện đủ để phương trình hàm trường khơng Acsimet khơng có nghiệm hàm phân hình khác hằng, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh [2 ] Giả Sơn ( 2015) , Đa thức cho họ hàm phân hình phức, Luận văn thạc sĩ tốn học, Trường Đại học Vinh [3 ] Ngơ Việt Trung (2012), Nhập mơn Đại số giao hốn Hình học đại số, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ TIẾNG ANH [4] A Boutabaa and A Escassut (1998), On uniqueness of p-adic meromorphic functions, Proc Amer Math Soc , 126 , 2557– 2568 [5] A Boutabaa, A Escassut and L Haddad (1997), On uniqueness of p-adic entire functions, Indag Math., , 145–155 [6] W Cherry and C C Yang (1999), Uniqueness of nonArchimedean entire functions sharing sets of values counting multiplicity, Proc Amer Math Soc , 127, 967–971 [7] H Fujimoto (2000), On uniqueness of meromorphic functions sharing finite sets, Amer J Math., 122 , 1175–1203 [8] W Fulton (1969) , Algebraic Curves, Benjamin, New York 29 [9] H H Khoai and T T H An (2001) , On uniqueness polynomials and bi-URS for p-adic meromorphic functions, J Number Theory., 87, 211–221 [10] J.T.Y Wang (2002) , Uniqueness polynomials and bi- unique range sets for rational functions and non-Archimedean meromorphic functions, Acta Arithmetica., 104, 183-200 30 ... có P( X ) đa thức cho họ hàm phân hình trường k P( X ) đa thức cho họ hàm hữu tỷ k Vì (i) kéo theo (ii) Ngược lại, giả sử P( X ) đa thức cho họ hàm hữu tỷ Nếu f g hai hàm phân hình khác thỏa... F họ hàm hữu tỷ trường k Đa thức biến P trường k gọi đa thức cho họ hàm F với hàm khác f , g  F thỏa mãn P( f )  P( g ) f  g Giả sử H ( X , Y ) đa thức hai biến trường k Bằng cách hóa đa. .. nhiều nhà toán học.Việc nghiên cứu đa thức có liên quan chặt chẽ với việc nghiên cứu tập xác định Một số tác giả đưa điều kiện để đa thức đa thức cho họ đa thức, họ hàm nguyên, họ hàm phân hình,