Dạng toán phương và lý thuyết giống trong nghiên cứu các số nguyên tố dạng x2 + ny2

-1- -2- B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Cơng trình đư c hồn thành t i Đ I H C ĐÀ N NG Đ I H C ĐÀ N NG ĐINH TH THÙY LINH D NG TOÀN PHƯƠNG VÀ LÝ THUY T GI NG TRONG Ngư i hư ng d n khoa h c: PGS.TS NGUY N GIA Đ NH Ph n bi n 1: TS CAO VĂN NUÔI NGHIÊN C U CÁC S NGUYÊN T D NG x2 +ny2 Ph n bi n 2: TS NGUY N Đ C LIÊM Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ c p Mã s : 60.46.40 Lu n văn ñư c b o v t i H i ñ ng b o v ch m Lu n văn t t nghi p Th c sĩ Khoa h c h p t i Đ i h c Đà N ng vào ngày 01 TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Đà N ng, Năm 2012 tháng 12 năm 2012 Có th tìm hi u lu n văn t i: - Trung tâm Thông tin - H c li u, Đ i h c Đà N ng - Thư vi n Trư ng Đ i h c Sư Ph m,Đ i h c Đà N ng -3- M -4- gi ng, sau tính tương h b c ba trùng phương, ta có th x lý Đ U nhi u trư ng h p Đ gi i quy t tr n v n toán, ngư i ta c n Lý ch n ñ tài ph i ñưa vào lý thuy t trư ng l p lý thuy t hàm modular Tuy H u h t giáo trình đ u tiên lý thuy t s ho c nhiên, l i gi i t ng quát ch tiêu chu n lý thuy t Các khía c nh ñ i s tr u tư ng ñ u có ch ng minh m t ñ nh lý c a Fermat phát thu t tốn c a cho đ n v n chưa ñ y ñ V n ñ hi n v n bi u ñ i v i m t s nguyên t l p, ñư c mang tên Đ nh lý Fermat ñư c nhi u nhà toán h c quan tâm, ch ng h n David A Cox, Marios v t ng c a hai s phương Magioladitis, p=x2+y2, x, y∈Z ⇔ p≡1 mod Xu t phát t nhu c u phát tri n tính th i s c a vi c nghiên Đây ñ nh lý ñ u tiên nhi u k t qu liên quan c u s nguyên t d ng p=x2+ny2, chúng tơi quy t đ nh ch n đ cơng trình c a Fermat Ch ng h n, Fermat phát bi u r ng n u p tài v i tên g i: D ng toàn phương lý thuy t gi ng nghiên m t s nguyên t l c u s nguyên t d ng x2+ny2 ñ ti n hành nghiên c u Chúng tơi hy v ng t o đư c m t tài li u tham kh o t t cho nh ng ngư i p=x2+2y2, x, y∈Z ⇔ p≡1, mod mu n tìm hi u v d ng toàn phương hai bi n nguyên, lý thuy t h p p=x2+3y2, x, y∈Z ⇔ p=3 ho c p≡1 mod thành d ng toàn phương, lý thuy t gi ng ng d ng chúng Các ñi u làm cho ngư i ta mong mu n đư c bi t r ng u x y cho s nguyên t d ng x2+4y2, x2+5y2, x2+6y2, Chúng d n ñ n câu h i b n sau ñây c a Euler: M c tiêu nghiên c u M c tiêu c a ñ tài nh m t ng quan k t qu c a tác V n ñ b n 0.1 Cho m t s nguyên dương n, s nguyên t lý thuy t s gi ñã nghiên c u liên quan ñ n d ng toàn phương lý thuy t gi ng p có th đư c bi u di n dư i d ng p=x +ny , x y nghiên c u s nguyên t d ng x2+ny2 nh m xây d ng m t s nguyên? tài li u tham kh o cho nh ng mu n nghiên c u v d ng tồn Bư c đ u tiên đưa vào tính tương h b c hai lý thuy t sơ c p v d ng toàn phương theo hai bi n Z Các phương pháp gi i quy t t t ñ p trư ng h p ñ c bi t ñư c xét b i Fermat S d ng lý thuy t h p thành d ng toàn phương lý thuy t phương hai bi n nguyên, lý thuy t h p thành d ng toàn phương, lý thuy t gi ng ng d ng chúng lý thuy t s -5- -6- Ch ng minh chi ti t làm rõ m t s m nh ñ , đưa m t s ví d minh ho ñ c s c nh m làm cho ngư i ñ c d dàng ti p c n v n ñ ñư c ñ c p CHƯƠNG TÍNH TƯƠNG H B C HAI FERMAT VÀ EULER Trong ph n này, s bàn v s nguyên t có d ng Đ i tư ng, ph m vi nghiên c u x + ny , n m t s ngun dương c ñ nh Đi m xu t Đ tài nh m t ng quan k t qu c a Fermat, Euler, Lagrange, Legend, Gauss, … vi c nghiên c u V n ñ b n phát c a s ba ñ nh lý c a Fermat: 0.1 c a Euler p = x2 + y2, x, y ∈ Z ⇔ p ≡ mod 4 Phương pháp nghiên c u p = x2 + 2y2, x, y ∈ Z ⇔ p ≡ ho c mod (1.1) p = x2 + 3y2, x, y ∈ Z ⇔ p = ho c p ≡ mod Thu th p báo khoa h c c a tác gi nghiên c u liên quan ñ n d ng toàn phương hai bi n nguyên, lý thuy t h p thành ñư c ñ c p ph n M ñ u Các m c tiêu c a Chương d ng toàn phương, lý thuy t gi ng, lý thuy t s ñ i s ng ch ng minh (1.1) quan tr ng hơn, ñ có ñư c s hi u bi t v d ng chúng ñ gi i quy t V n ñ b n 0.1 nh ng liên quan ñ n vi c nghiên c u phương trình Tham gia bu i seminar h ng tu n ñ trao ñ i k t qu ñang nghiên c u p = x + ny2 , n > tùy ý Câu h i cu i ñã ñư c tr l i t t nh t b i Euler, ngư i ñã tr i qua 40 năm ch ng minh ñ nh lý Fermat B c c ñ tài suy nghĩ cách khái quát chúng Gi i trình c a s d a vào Ngồi ph n m đ u k t lu n lu n văn g m chương: m t vài báo liên quan c a Euler, v a ñ nh lý ñư c Chương 1: Tính tương h b c hai Fermat Euler ch ng minh v a qua Chúng ta s th y r ng chi n lư c c a Euler cho Chương 2: D ng toàn phương Lagrange Legend vi c ch ng minh minh h a (1.1) m t nh ng u Chương 3: H p thành lý thuy t gi ng Gauss d n ơng đ n khám phá tính tương h b c hai s bàn Chương 4: Tính tương h b c ba trùng phương v m t s d đốn c a ông liên quan ñ n p = x + ny2 cho n > Các d đốn đáng ý liên quan đ n tính tương h b c hai, lý thuy t gi ng, tương h b c hai song b c hai -7- 1.1 FERMAT VÀ CÁC S x + 2y , VÀ x + 3y 2 NGUYÊN T -8- CÓ D NG x + y , 2 B ñ 1.4 Gi s r ng N m t t ng c a hai bình phương s nguyên t q = x + y m t c s nguyên t c a N Khi N / q m t t ng c a hai bình phương nguyên t Fermat phát bi u k t qu dư i d ng ñ nh lý: M i s nguyên t l n b i c a m t ñơn v ñư c phân 2 1.3 p = x + ny VÀ TƯƠNG H B C HAI tích thành t ng c a hai bình phương Ví d 5, 13, 17, 29, 37, B ñ 1.7 Cho n m t s nguyên khác không, v i p m t s 41 nguyên M i s nguyên t l n b i c a m t ñơn v ñư c phân t l khơng chia h t n Khi đó:  −n  p| x + ny , UCLN ( x , y ) = ⇔   =1  p  tích thành t ng c a m t bình phương ba l n m t bình phương D đốn 1.9 N u p q s nguyên t l phân bi t khác Ví d 7, 13, 19, 31, 37, 43, M i s nguyên t l n b i c a m t ho c ba ñơn v ñư c phân tích thành t ng c a m t bình phương hai l n m t bình  p   = ⇔ p = ± β mod 4q v i β m t s nguyên l q  M nh đ 1.10 N u p q s nguyên t l khác d đốn 1.9 phương khác Ví d 3, 11, 17, 19, 41, 43, tương ñương v i: Fermat phát bi u d đốn v x + 5y2 : N u hai s nguyên t , k t thúc ho c l n b i c a  p  q  ( p −1)( q −1) /     = ( −1) q  p   ba đơn v , tích c a hai s s đư c phân tích thành t ng c a B ñ 1.14 N u D ≡ 0,1 mod m t s ngun khác khơng có m t bình phương năm l n m t bình phương khác 1.2 EULER VÀ CÁC S x + 2y , VÀ x + 3y 2 NGUYÊN T CÓ D NG x + y , 2 m t ñ ng c u nh t χ : ( Z / DZ ) * → {± 1} cho χ ([P])=(D / p) ñ i v i p nguyên t l không chia D Hơn n a, Đ nh lý 1.2 M t s nguyên t l p có th phân tích thành x + y2 ch p ≡ mod  D >0 -1 D < χ ( [ −1]) =  -9- H qu 1.19 Cho n m t s - 10 - nguyên khác không cho χ : ( Z / 4nZ )* → {± 1} m t ñ ng c u t B ñ 1.14 D =-4n N u CHƯƠNG LAGRANGE, LEGENDRE VÀ D NG TOÀN PHƯƠNG p m t nguyên t l , không chia h t n u sau tương Vi c nghiên c u d ng toàn phương nguyên hai bi n ñương: (i) p | x2 + ny2, ƯCLN (x, y) = (ii) (-n / p) = (iii) a, b, c ∈ Z B t ñ u v i Lagrange, ngư i ñã ñưa khái ni m bi t s , d ng [ p ]∈ Ker ( χ ) ⊂ ( Z / 4nZ ) * 1.4 NGOÀI TƯƠNG H f (x, y) = ax2 + bxy + cy2 B C HAI tương ñương d ng thu g n Khi ñ nh nghĩa v i khái ni m c a Gauss v tương đương th c s , ta có t t c y u t c n thi t ñ phát tri n lý thuy t b n v d ng toàn phương Chúng ta s quan tâm ñ n trư ng h p ñ c bi t d ng xác ñ nh dương Ph n s bàn v m t s d đốn Euler liên quan đ n s ngun t có d ng x2 + ny2 v i n > ñây, lý thuy t Lagrange v d ng thu g n ñ c bi t h u d ng, c th ta s có m t l i gi i đ y ñ c a Bư c Giãm Chương L i gi i v i l i gi i c a Bư c Tương h ñư c cho b i tương h b c hai ta s có ch ng minh c a ñ nh lý Fermat (1.1) nhi u k t qu m i Khi đó, s mơ t m t d ng sơ c p c a lý thuy t gi ng theo Lagrange, đ nh lí cho phép ta ch ng minh m t s d đốn c a Euler t Chương 1, ñ ng th i giúp ñưa l i gi i cho v n ñ b n p = x2 + ny2 Ph n s k t thúc v i m t s nh n xét mang tính l ch s liên quan ñ n Lagrange Legendre 2.1 CÁC D NG TỒN PHƯƠNG B đ 2.3 M t d ng f (x, y) bi u di n th c s m t s nguyên m ch f ( x, y ) tương ñương th c s v i d ng mx2 + bxy + cy2 v i b, c ∈ Z - 11 - B ñ 2.5 Cho D ≡ 0,1 mod m t s nguyên m m t s nguyên l nguyên t v i D Khi m đư c bi u di n th c s b i m t d ng nguyên th y c a bi t th c D ch D m t th ng dư b c hai modulo m - 12 - 2.3.LÝ THUY T GI NG SƠ C P B ñ ker ( χ ) ⊂ 2.24 Cho m t s nguyên âm D ≡ 0,1 mod v i ( Z / DZ ) * Đ nh lý 2.16 cho f (x, y) m t d ng có bi t th c D H qu 2.6 Cho n m t s nguyên p m t s nguyên t l không chia h t n Khi (-n / p) = ch p ñư c bi u di n (i) Các giá tr (Z / DZ)* ñư c bi u di n b i d ng có bi t b i m t d ng nguyên th y có bi t th c (-4n) th c D t o thành m t nhóm H ⊂ ker ( χ ) Đ nh lý 2.8 M i d ng xác ñ nh dương nguyên th y ñ u tương ñương (ii) Các giá tr (Z / DZ)* ñư c bi u di n b i f (x, y) t o thành th c s v i m t d ng thu g n nh t m t l p k c a H ker ( χ ) Đ nh lý 2.13 Gi s D < đư c c đ nh Khi s h(D) l p B ñ 2.25 Cho m t d ng f (x, y) m t s ngun M Khi f (x, y) d ng xác ñ nh dương nguyên th y có bi t th c D h u h n, n a ñư c bi u di n th c s cho s nguyên t v i M h(D) b ng s d ng thu g n có bi t th c D Đ nh lý 2.26 Cho D ≡ 0,1 mod âm cho H ⊂ Ker(χ ) 2.2 p = x + ny VÀ CÁC D NG TỒN PHƯƠNG B đ 2.24 N u H’ m t l p k c a H Ker(χ ) p M nh ñ 2.15 G i n m t s nguyên dương p m t nguyên t m t ngun t l khơng chia h t D, [p] ∈ H ch p ñư c l khơng chia h t n Khi (-n / p) = ch p ñư c bi u bi u di n b i m t d ng rút g n có bi t th c D gi ng c a H' di n b i m t h(-4n) d ng thu g n có bi t th c -4n H qu 2.27 Cho n m t s nguyên dương p m t nguyên t l Đ nh lí 2.16 Gi s D ≡ 0,1 mod âm χ: (Z / DZ) * → {± 1} không chia h t n Khi p đư c bi u di n b i m t d ng có bi t th c - ñ ng c u theo B ñ 1.14 Khi v i m t s ngun t l p khơng 4n gi ng ch v i s ngun β 2 chia h t D, [ p ] ∈ Ker( χ ) ch p ñư c bi u di n b i m t h(D) d ng thu g n có bi t th c D Đ nh lý 2.18 Cho n m t s ngun dương Khi h (-4n) = ⇔ n = 1, 2, 3, ho c p ≡ β ho c β + n mod 4n 2.4.D NG TOÀN PHƯƠNG LAGRANGE VÀ LEGENDRE - 13 - - 14 - B ≡ b mod 2a CHƯƠNG B ≡ b ' mod 2a ' PHÉP H P THÀNH VÀ LÝ THUY T GI NG GAUSS Trong lý thuy t v gi ng phép h p thành n nghiên c u c a Lagrange khái ni m v n liên quan ch y u đ n Gauss m t lý chính: ơng khơng ph i ngư i ñ u tiên B ≡ D mod 4aa’ B ñ 3.5 Cho k t qu c a Gauss v phép h p thành lý thuy t gi ng cho pi B ≡ qi mod m, s mà i = 1, r có m t nghi m nh t modulop m ch ∀ i, j= 1, ,r , có trư ng h p ñ c bi t c a d ng xác đ nh dương Khi đó, s UCLN ( p1 , , p r , m ) = Khi đó, đ ng dư s d ng chúng, ơng ngư i đ u tiên hi u sâu xa m i liên h ñáng ng c nhiên Trong ph n này, s ch ng minh p1 , q1 , , p r , q r , m p j q j = p j q j mod m ng d ng lý thuy t cho v n ñ c a liên quan ñ n nguyên t c a d ng x2 + ny2, bàn ñ n s thu n M nh ñ 3.8 Cho f(x,y) g(x,y) trên, phép h p thành Dirichlet l i c a Euler Nh ng ñi u ñưa ñ ñư c s n mà ñ i v i F(x,y) ñư c ñ nh nghĩa chúng m i gi ng ch a l p nh t ta v n chưa bi t xác th y có bi t th c D F(x,y) m t h p thành tr c ti p c a f(x,y) có s n Cu i ph n nh ng th o lu n v b n nghiên g(x,y) theo nghĩa c a (3.1) c u v s h c c a Gauss Đ nh lý 3.9 Cho D ≡ 0,1 mod s âm C(D) t p h p l p 3.1.PHÉP H P THÀNH VÀ NHĨM l P B đ 3.2 g ( x, y ) = a’x + b’xy + c’y d ng xác ñ nh dương nguyên th y có bi t th c D Khi ñó h p s Gi có f ( x, y ) = ax + bxy + cy bi t th c D th a UCLN ( a, a’, ( b + b’) / ) = (vì b b’ có tính ch n l , (b + b’)/2 m t s nguyên) Khi có nh t s modulo 2aa’ cho (3.7) m t d ng xác ñ nh dương nguyên nguyên B thành Dirichlet c m sinh m t phép tốn hai ngơi xác đ nh t t C(D) mà làm cho C(D) thành m t nhóm Abelian h u h n mà c p c a s l p h(D) B đ 3.10 M t d ng thu g n f(x,y) = ax2 + bxy+ cy2 có bi t th c D có c p ≤ nhóm l p C(D) ch b = 0, a = b ho c a = c - 15 - - 16 - (i) Có 2µ-1 gi ng c a d ng có bi t th c D, v i µ s M nh ñ 3.11 Cho D ≡ 0, mod s âm r s s nguyên t l chia h t D Đ nh nghĩa s µ sau: n u D ≡ mod µ = r đư c xác đ nh n u D ≡ mod D = -4n v i n > µ đư c xác ñ nh theo b ng sau: M nh ñ 3.11 (ii) Gi ng (gi ng ch a d ng chính) ch a l p C(D) , nhóm bình phương nhóm l p C(D) Vì v y m i n µ d ng gi ng xu t hi n b ng s l p l i B ñ 3.17 Đ ng c u Ψ : ( Z / DZ ) * → {±1} c a (3.16) tồn ánh µ n ≡ mod r h t nhân c a nhóm H giá tr ñư c bi u di n b i n ≡ 1,2 mod r+1 n ≡ mod r+1 n ≡ mod r+2 d ng Vì v y Ψ c m sinh m t ñ ng c u: (Z/DZ)*/H → {±1}µ B đ 3.20 Đ c trưng ñ y ñ ch ph thu c vào d ng f(x,y) hai d ng có bi t th c D n m m t gi ng (như đ nh nghĩa Khi nhóm l p C(D) có 2µ-1 ph n t c p ≤ Chương 2) ch chúng có đ c trưng ñ y ñ 3.2.LÝ THUY T GI NG Đ nh lí 3.21 Cho f(x,y) g(x,y) d ng nguyên th y có bi t B ñ 3.13 Ánh x Φ bi n m t l p C(D) thành l p k giá tr ñư c bi u di n ker(χ)/H m t đ ng c u nhóm H qu 3.14 Cho D≡ 0,1 mod s âm Khi : th c D ≠ 0, xác ñ nh dương n u D < Khi đó, phát bi u sau tương ñương: (i) f(x,y) g(x,y) thu c m t gi ng, t c chúng bi u di n giá tr (Z/DZ)* (i) T t c gi ng c a d ng có bi t th c D ch a s l p (ii) f(x,y) g(x,y) bi u di n giá tr (Z/mZ)* v i m i s nguyên khác không m (ii) S gi ng c a d ng có bi t th c D m t lũy th a (iii) Đ nh lí 3.15 Cho D ≡ 0,1 mod s âm, đó: f(x,y) g(x,y) tương ñương modulo m v i m i s nguyên khác không m - 17 - (iv) f(x,y) g(x,y) tương ñương s nguyên p- adic Zp v i m i s nguyên t p (v) - 18 - M nh ñ 3.24 M t s nguyên dương n m t s thu n l i ch f(x,y) g(x,y) tương ñương Q qua m t ma trân GL (2, Q) mà ph n t c a có m u nguyên t v i 2D v i d ng có bi t th c -4n, m i gi ng ñ u ch a m t l p ñơn B ñ 3.25 Cho m m t s dương l nguyên t v i n > Khi đó, s cách mà m đư c bi u di n th c s b i m t d ng thu g n (vi) f(x,y) g(x,y) tương đương Q khơng c n tính ch t m u s , t c m t s m khác không cho trư c, m t ma tr n GL (2,Q) có th đư c tìm th y b ng cách bi n m t d ng thành có bi t th c -4n là:   −n   2∏ 1 +    p/ m   p  m t d ng khác ph n t c a có m u s nguyên t v i m 3.3 p = x + ny H qu 3.26 Cho m ñư c bi u di n th c s b i m t d ng xác ñ nh VÀ CÁC S THU N L I EULER dương nguyên th y f(x,y) có bi t th c -4n, n>1, gi s m m t s Đ nh lý 3.22 Cho n m t s nguyên dương Khi phát bi u l , ngun t v i n N u r ký hi u cho s c nguyên sau tương ñương: t c a m m ñư c bi u di n th c s b ng ñúng 2r+1 cách b i m t M i gi ng d ng có bi t th c -4n ch a mơt l p đơn N u ax2+ bxy+ cy2 m t d ng thu g n có bi t th c -4n ho c b = 0, a = b ho c a = c (i) Hai d ng có bi t th c -4n tương đương ch chúng tương ñương th c s (ii) Nhóm l p C (-4n) đ ng c u v i (Z/DZ)m v i s nguyên m (iii) S l p h (-4n) b ng 2µ-1 , v i µ đư c xác đ nh M nh ñ 3.11 d ng thu g n gi ng c a f(x,y) - 19 - CHƯƠNG TƯƠNG H - 20 - H qu 4.4 Z[ω] m t PID (mi n ideal chính) đ ng th i m t B C BA VÀ TRÙNG PHƯƠNG Trong chương s nghiên c u tương h b c ba trùng phương dùng chúng ñ ch ng minh nh ng d ñoán c a Euler cho p = x + 27y p = x2 +64y2 (xem (1.22) (1.23) M t ñi u thú v c a lý thuy t tương h m i tương h địi h i m r ng khái ni m s nguyên: ñ i v i tương h b c UFD (mi n nhân t hóa nh t) B ñ 4.5 (i) M t ph n t α ∈ Z[ω] m t ph n t kh ngh ch ch N (α ) = (ii) Các ph n t kh ngh ch c a Z[ω] Z [ω ]* = {±1, ±ω , ±ω } Bư c ti p theo mô t nguyên t c a Z[ω] B ñ sau s ñư c dùng vành: Z[ω] = {a + bω: a,b ∈ Z }, ω = e 2πi/3 = (-1+ −3 )/ ng d ng hi u qu (4.1) ñ i v i tương h trùng phương s dùng s nguyên Gauss: Z[i] = {a + bi: a,b∈ Z}, i = −1 (4.2) C Z[ω] Z[i] ñ u vành c a vành s ph c Vi c ñ u tiên c a mơ t tính ch t s h c c a vành B ñ 4.6 N u α ∈ Z [ω ] N (α ) m t nguyên t Z α nguyên t Z (ω ) M nh ñ 4.7 Cho p m t s nguyên t Z Khi đó: N u p = = ω nguyên t (i) = −ω Z[ω] (1− ω ) xác ñ nh ñơn v nguyên t c a vành Khi đ nh nghĩa kí hi u Legendre suy r ng (α/π)3 (α/π)4 phát bi u lu t tương h b c ba trùng phương Cu i chương ta s bàn v thành qu c a Gauss v tương h ñưa nh n xét (ii) N u p ≡ mod t n t i s nguyên t π ∈ Z [ω ] cho p = π π , nguyên t π π không k t h p Z[ω] (iii) N u p ≡ mod p v n nguyên t Z[ω] v ngu n g c c a lý thuy t trư ng l p 4.1 Z [ω ] VÀ TƯƠNG H Hơn n a, m i nguyên t Z[ω] k t h p v i m t s B C BA M nh ñ 4.3 Cho α, β∈ Z[ω], β ≠ t n t i γ, δ∈ Z[ω] cho α = γ β + δ N(δ) < N(β) Khi Z[ω] m t vành Euclide nguyên t ñư c ñưa (i)-(iii) - 21 - - 22 - B ñ 4.8 N u π m t nguyên t c a Z[ω], trư ng thương N u p ≡ mod có m t ngun t π ∈ Z[i] cho (ii) Z[ω]/πZ[ω] m t trư ng h u h n v i N(π) ph n t Hơn n a, N(π) p = π π nguyên t π = p ho c p2 v i p ngun t ngun và: π không liên k t Z[i] (i) N u p = ho c p ≡1 mod N(π)= p (ii) N u p ≡ mod p cịn ngun t Z[i] (iii) Z / pZ Z [ω ] / π Z [ω ] N u p ≡ mod N(π) = p2 Z/pZ trư ng Hơn n a m i nguyên t Z[i] liên k t v i m t nguyên t ñã ch (i)-(iii) nh t c p p c a trư ng Z[ω]/πZ[ω] có p2 ph n t Chúng ta có phiên b n sau c a ñ nh lý Fermat Nh : N u π H qu 4.9 N u π nguyên t Z[ω] không chia h t α ∈ Z [ω ] ngun t Z[i] khơng chia h t α ∈ Z[i] thì: αN(π)-1 ≡ mod π α N (π ) −1 ≡ 1mod π Đ nh lý 4.21 N u π θ nguyên t nguyên sơ phân bi t Đ nh lý 4.12 N u π θ nguyên sơ Z[ω] c a chu n Z[i], thì:  θ  π    =   π 3  θ 3 khơng b ng thì: ( N(θ ) −1)( N(π ) −1) /16 θ  π    =   ( −1)  π   θ 4 Đ nh lí 4.15 Cho p m t ngun t Khi p= x2 +27y2 ch p ≡1 mod m t th ng dư b c ba modulo p 4.2 Z [ i ] VÀ TƯƠNG H (4.19) Đ nh lí 4.23 (i) N u π = a+bi m t nguyên t nguyên sơ Z[i] 2 ab /   = i  π 4 TRÙNG PHƯƠNG M nh ñ 4.18 Cho p m t nguyên t Z Khi đó: (ii) (i) N u p = + i nguyên t = i (1 + i ) Z[i] N u p nguyên t p=x2+64y2 ch p ≡ mod th ng dư trùng phương modulo p 4.3.TƯƠNG H GAUSS VÀ B C CAO - 23 - K T LU N Qua m t th i gian tìm hi u, ti p c n nghiên c u v d ng toàn phương lý thuy t gi ng nghiên c u s nguyên t d ng x2 + ny2, lu n văn hồn thành đ t đư c m c tiêu nghiên c u c a ñ tài v i nh ng k t qu c th sau: T ng quan h th ng m t cách ñ y ñ khái ni m k t qu v tương h b c hai c a Fermat Lagrange liên quan ñ n s nguyên t d ng x + ny 2 Trình bày m t cách ñ y ñ chi ti t khái ni m k t qu quan tr ng v d ng toàn phương Lagrange, Legendre lý thuy t gi ng sơ c p liên quan ñ n s nguyên t d ng x2 + ny2 Tìm hi u nghiên c u lu t h p thành lý thuy t gi ng m r ng c a Gauss liên quan ñ n s nguyên t d ng x2 + ny2 s thu n l i Euler T ng quan v tương h b c ba tương h trùng phương xét mi n Euclid Ζ(i ) Ζ(ω ) , ñ ng th i tìm hi u v tương h Gauss tương h b c cao V i nh ng kh o sát đư c, lu n văn s m t tài li u tham kh o h u ích cho b n thân ti p t c ñi sâu nghiên c u sau hy v ng ngu n tư li u t t cho nh ng quan tâm nghiên c u v d ng toàn phương, lý thuy t gi ng s nguyên t d ng x2 + ny2 - 24 - Trong ñi u ki n th i gian khuôn kh c a lu n văn nên chúng tơi chưa sâu nghiên c u v ng d ng c a lý thuy t trư ng l p vi c tìm hi u s nguyên t d ng x2 + ny2 Đó hư ng phát tri n c a lu n văn Trong trình làm lu n văn, m c dù ñã có r t nhi u c g ng song ñi u ki n khách quan l c có h n c a b n thân nên lu n văn khó tránh kh i nh ng thi u sót, tác gi r t mong nh n đư c nh ng góp ý chân thành c a quý th y b n đ c đ có th ti p t c tìm hi u, nghiên c u phát tri n lu n văn sau  ... s nguyên t lý thuy t s gi ñã nghiên c u liên quan đ n d ng tồn phương lý thuy t gi ng p có th đư c bi u di n dư i d ng p=x +ny , x y nghiên c u s nguyên t d ng x 2+ ny2 nh m xây d ng m t s nguyên? ... … vi c nghiên c u V n ñ b n phát c a s ba ñ nh lý c a Fermat: 0.1 c a Euler p = x2 + y2, x, y ∈ Z ⇔ p ≡ mod 4 Phương pháp nghiên c u p = x2 + 2y2, x, y ∈ Z ⇔ p ≡ ho c mod (1.1) p = x2 + 3y2,... x + 2y , VÀ x + 3y 2 NGUYÊN T -8- CÓ D NG x + y , 2 B ñ 1.4 Gi s r ng N m t t ng c a hai bình phương s nguyên t q = x + y m t c s nguyên t c a N Khi N / q m t t ng c a hai bình phương nguyên t