Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

1 Trờng Đại học Vinh khoa toán - - NguyÔn nh đức rèn luyện kỹ giải toán thông qua việc trình bày số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân s phạm toán VInh - 2006 Mục lục Trang Mở đầu Chơng I Yêu cầu việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.1 Vấn đề rèn luyện kỹ giải toán 1.2 Phơng pháp tìm lời giải toán 5 1.3 Cách thức dạy học tìm lời giải toán Chơng II Xây dựng số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh A Kiến thức sở kiến thức phục vụ giải phơng trình vô tỷ B Các phơng pháp giải phơng trình vô tỷ Chơng III Kiểm chứng s phạm Tài liệu tham khảo 12 14 14 25 74 79 Mở đầu I Lý chọn đề tài Bài tập toán học có vai trò quan trọng môn toán, có vai trò giá mang hoạt động học sinh thông qua giải tập, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lý, quy tắc, phơng pháp, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến toán học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngôn ngữ Vì vậy, rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh vấn đề quan trọng dạy học, phải đợc tiến hành có kế hoạch, thờng xuyên, hệ thống, bền bỉ, liên tục qua tất lớp Việc giải toán trình mò mẫm, tìm tòi dựa hiểu biết ngời giải toán Có ngời phải mò mẫm lâu, thử hết cách đến cách khác, có ngời lại tìm đợc cách giải nhanh Vậy đâu bí cho kỹ giải toán nhanh gọn xác? Cách rèn luyện chúng nh nào? Những đờng mà ngời giải toán trải qua để đến lời giải thoả đáng gì? Trong giai đoạn nay, việc đổi phơng pháp dạy học chủ yếu theo hớng hoạt động hoá ngời học với phơng châm "Học tập hoạt động hoạt động" Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh yêu cầu việc đổi phơng pháp dạy học Trong chơng trình môn toán, phơng trình vô tỷ đợc đa vào từ lớp xuyên suốt chơng trình môn toán trờng phổ thông Nó có vai trò quan trọng làm sở để nghiên cứu kiến thức toán học có liên quan Trong chơng trình toán THPT, phơng trình vô tỷ đợc thể dới hình thức chủ yếu: Các phơng trình vô tỷ thông thờng, phơng trình vô tỷ chứa hàm lợng giác, phơng trình vô tỷ chứa hàm lôgarit Việc giải thành thạo phơng trình vô tỷ thể khả lựa chọn công cụ, linh hoạt sáng tạo suy luận phân tích toán Từ lý đà nói với mong muốn góp phần nâng cao chất lợng dạy học toán, chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: "Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ" II Mục đích nghiên cứu Xác định nội dung phơng pháp rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh sở trình bày phơng pháp giải phơng trình vô tỷ, nhằm góp phần nâng cao hiệu việc dạy học môn toán III Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1 Làm rõ khâu tìm lời giải giải toán nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 3.2 Xây dựng phơng pháp giải phơng trình vô tỷ theo hớng rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 3.3 Xây dựng vÝ dơ vµ bµi tËp vËn dơng nh»m rÌn lun kỹ giải toán cho học sinh IV Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng đợc hệ thống phơng pháp giải phơng trình vô tỷ theo hớng rèn luyện kỹ giải toán sử dụng có hiệu hệ thống phơng pháp phát triển kỹ giải toán cho học sinh, đồng thời góp phần nâng cao chất lợng dạy học toán trờng phổ thông V phơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu lý luận dạy học, phơng pháp dạy học để hiểu rõ tầm quan trọng việc giải tập toán Nghiên cứu SGK, sách tham khảo phơng trình vô tỷ để thấy đợc vị trí tầm quan trọng phơng trình vô tỷ, vấn đề nội dung phơng pháp giảng dạy phơng trình vô tỷ 5.2 Điều tra quan sát + Thực tiễn dạy học giải phơng trình vô tỷ trờng THPT + Những khó khăn sai lầm học sinh giải phơng trình vô tỷ VI Cấu trúc luận văn - Mở đầu - Chơng I: Yêu cầu việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh - Chơng II: Xây dựng phơng pháp giải phơng trình vô tỷ nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh - Chơng III: Kiểm chứng s phạm Chơng I Yêu cầu việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.1 Vấn đề rèn luyện kỹ giải toán * Theo tâm lý học kỹ khả vận dụng kiến thức (Khái niệm, cách thức, phơng pháp ) để giải nhiệm vụ Thực) để giải nhiệm vụ Thực chất hình thành kỹ hình thành cho học sinh nắm vững hệ thống phức tạp thao tác nhằm làm biến đổi sáng tỏ thông tin chứa đựng tập, nhiệm vụ đối chiếu chúng với hành động cụ thể Muốn vậy, hình thành kỹ (chủ yếu kỹ học tập) cho học sinh cần: - Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm yếu tố đà cho, yếu tố phải tìm mối quan hệ chúng - Giúp học sinh hình thành mô hình khái quát để giải tập, đối tợng loại - Xác lập đợc mối liên quan tập mô hình khái quát kiến thức tơng ứng * Việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh bao gồm hai nội dung chủ yếu là: Rèn luyện việc tìm lời giải toán rèn luyện việc giải toán Trong trình rèn luyện, hai nội dung có tiến hành đồng thời nhng có tách thành hai trình riêng biệt Tuy mặt nhận thức cần phân biệt hai nội dung hoàn toàn khác nhau, độc lập với nhng chúng có mối quan hệ hỗ trợ lẫn Mỗi nội dung đảm nhận yêu cầu riêng biệt công việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Trong trình dạy học ngời giáo viên cần làm cho học sinh nhận thức rõ ý nghĩa, tác dụng nội dung mối quan hệ hai nội dung 1.1.1 Vấn đề giải toán Đây vấn đề quan trọng trình rèn luyện kỹ giải toán Vì rằng, từ chỗ tìm đợc phơng hớng giải toán đến việc giải hoàn chỉnh toán trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: Từ việc nắm vững kiến thức nội dung lý thuyết phơng pháp thực hành đến việc luyện tập thành thạo quy trình thao t¸c cã tÝnh chÊt kü thuËt Nãi mét c¸ch ngắn gọn lời giải phải tốt Điều đòi hỏi ngời giải toán phải học tập nghiêm túc, chăm hiệu Để phát huy tác dụng việc giải toán trớc hết cần nắm vững yêu cầu lời giải Theo [6], tác giả Nguyễn Bá Kim, để thuận tiện cho việc thực yêu cầu lời giải trình dạy học đánh giá học sinh, cụ thể hoá yêu cầu sau: (i) Kết đúng, kể bớc trung gian; Kết cuối phải đáp số thoả mÃn yêu cầu đề Kết bớc trung gian phải Nh vậy, lời giải chứa sai lầm tính toán, suy luận, biến đổi biểu thức ) để gi¶i qut mét nhiƯm vơ míi Thùc (ii) LËp ln chặt chẽ; (iii) Lời giải đầy đủ; Yêu cầu có nghĩa lời giải không đợc bỏ sót trờng hợp nào, khả năng, chi tiết cần thiết Cụ thể giải phơng trình không đợc thiếu nghiệm, phân chia trờng hợp không đợc thiếu khả ) để giải nhiệm vụ Thực (iv) Ngôn ngữ xác; Đây yêu cầu giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt cho tất môn Việc dạy học môn toán phải tuân thủ yêu cầu (v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật; Yêu cầu đặt lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách xếp yếu tố (chữ, số, hình, ký hiệu, ) để giải nhiệm vụ Thực) lời giải (vi) Tìm nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất; Ngoài yêu cầu (i) - (v), cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho toán, phân tích, so sánh cách giải khác để tìm lời giải ngắn gọn, hợp lý số lời giải đà tìm đợc hay nói cách khác nhìn nhận toán dới nhiều góc độ (vii) Nghiên cứu giải toán tơng tự, mở rộng hay lật ngợc vấn đề Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii) (iv) yêu cầu bản, (v) yêu cầu mặt trình bày (vi) (vii) yêu cầu đề cao Quá trình phân tích chứng tỏ tính chất quan trọng việc rèn luỵện giải toán (khi đà có đờng lèi gi¶i) Nhng dï vÉn ph¶i xem viƯc rèn luyện khả tìm lời giải toán khâu có tính chất định toàn công việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.1.2 Vấn đề rèn luyện khả tìm lời giải toán Đây khâu quan trọng có tính chất định việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Vì vậy, trình dạy học giải tập toán, giáo viên cần tổ chức cho học sinh tập luyện khâu thật kỹ lỡng, làm cho họ ý thức đợc vai trò đặc biệt quan trọng khâu này, thể chỗ: - Khi giải tập toán, dù có kỹ thuật cao, có thành thạo thực thao tác, phép tính hay phép biến đổi nhng cha có phơng hớng giải cha có phơng hớng giải tốt cha thể có lời giải lời giải tốt - Khi đà có phơng hớng giải việc thực thao tác trình bày lời giải có tính chất kỹ thuật, có sáng tạo, phân tích quan trọng lớn nh tìm phơng hớng giải - Mặt khác, ý thức đợc tầm quan trọng khâu rèn luỵên phơng pháp tìm lời giải toán sở quan trọng cho việc rèn luyện khả làm việc độc lập sáng tạo, khả thiếu đợc ngời giải toán Nh vậy, từ hai vấn đề đà nêu trên, ta khẳng định: Trong trình rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh khâu giải toán quan trọng nhng định khâu tìm lời giải toán 1.2 Phơng pháp tìm lời giải toán Chúng ta có thuật giải tổng quát để giải toán Ngay lớp toán riêng biệt có trờng hợp có, có trờng hợp thuật giải Tuy nhiên, trang bị hớng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát cách giải toán lại cần thiết Sau ta nêu phơng pháp chung để tìm lời giải toán: Bớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích nghiên cứu đề Với toán công việc ngời giải toán cần đặt tìm hiểu nội dung toán: phân biệt đà cho bao gồm giả thiết, điều kiện cho toán để từ xác định đợc dạng toán, tìm đợc phơng hớng giải toán lựa chọn công cụ thích hợp Bớc yêu cầu quan trọng định việc tìm lời giải toán Năng lực ngời giải toán thể rõ bớc Nhiều ngời giải toán, không tìm hiểu kỹ nội dung đề ra, không phân tích giả thiết hay tìm mối liên hệ quan trọng toán mà ghi chép, nháp lia lịa, cha biết giải Đó cách tìm lời giải máy móc không hiệu Có thể nói bớc thớc đo lực ngời giải toán, đánh giá kỹ giải toán tốt mà thể khâu tiếp thu vận dụng tốt Bớc 2: Tìm cách giải Tìm tòi, phát cách giải nhờ suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Dựa vào việc phân tích giả thiết, điều kiện toán hay liên hệ giả thiết, điều kiện đà cho với tri thức đà biết, liên hệ toán cần giải với toán cũ tơng tự, trờng hợp riêng, toán tổng quát hay toán có liên quan Bớc nhằm rèn luyện kỹ sâu vào toán: Việc phân tích giả thiết, điều kiện toán kết giúp cho ngời giải toán hiểu rõ trình xảy có tính quy luật toán Nghĩa là, ngời giải toán biết đợc với giả thiết, điều kiện đà cho nh tất yếu kết phải diễn nh nào? Làm tốt bớc ngời giải toán có đủ lòng tin vào đờng lối đà tiến hành hy vọng tính đắn thao tác, biến đổi Ngoài ra, giúp ích nhiều cho ngời giải toán việc tìm kiếm toán liên quan, sáng tạo toán Bớc 3: Trình bày cách giải Từ cách giải đà đợc phát hiện, xếp việc phải làm thành chơng trình gồm bớc theo trình tự định thực bớc Bớc nhằm rèn luyện cho ngời giải toán khả trình bày lời giải xác, chặt chẽ, lôgic thẩm mỹ Bớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải Nghiên cứu khả ứng dụng kết lời giải, nghiên cứu giải toán tơng tự, mở rộng hay lật ngợc vấn đề, từ sáng tạo toán Để làm tốt việc trớc hết ngời giải toán phải phân tích kỹ để nắm đợc đặc điểm chất toán, yếu tố tạo nên toán Nh thấy đợc mối liên hệ toán loại toán loại toán khác Ví dụ: Giải phơng trình: (1) 5x 14x   x  x  20 5 x  §KX§: x  Bíc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích nghiên cứu đề Phơng trình phức tạp, bình phơng hai vế (1) thu đợc phơng trình phức tạp hớng giải tiếp Tuy nhiên biến đổi phơng trình dạng tơng đơng: 5x 14x  x  x  20  x Do hai vế không âm, cách bình phơng hai vế, rút gọn ta thu đợc: 2x2 - 5x + = x  x  20 x (2) Nếu bình phơng hai vế lần ta thu đợc phơng trình tơng đơng nhng có bậc nên việc giải chắn khó khăn Bớc 2: Tìm cách giải Việc giải toán dễ dàng ta xác định đợc mối liên hệ biểu thức có mặt hai vế phơng trình (2) Ta có: x2 - x - 20 = (x + 4) (x -5) (x2 - x - 20)(x+ 1) = (x + 4) (x -5) (x + 1) = (x + 4) (x2 -4x - 5) vµ 2x2 - 5x + = 2(x2 - 4x - 5) + (x+4) ViƯc ph¸t hiƯn đợc mối liên hệ cho phép ta thu đợc phơng trình: 2(x2 - 4x - 5) + (x+4) = x  4x  x Để giải phơng trình này, ta chuyển phơng trình bậc hai hay phơng trình Bớc 3: Trình bày cách giải Ta có (1)  5x  14x   x  x  20  x  Do hai vế không âm, bình phơng hai vế ta thu ®ỵc: 10 (1)  2x2 - 5x + = x  2x2 - 5x + =  x    x  5  x  1  2x2 - 5x + =  x  4  x  x  20   x  1  4x    2(x2 - 4x - 5) + (x+4) = x  4x  x  (Chó ý 2x2 - 5x + > 0,  x  5) Do x  nªn x + > 0, chia hai vÕ cho (x + 4) ta đợc: 2 x 4x  x  4x   5 x 4 x 4 x  4x  0, ta đợc: x 2t2 - 5t + = 0, t Đặt t =  t = hc t = Víi t =  x  4x  =1 x 4 x  4x   =1 x 4  x2- 4x - = x +4  x2 - 5x - =  x = 61 Đối chiếu điều kiện x 5, chØ cã x =  61 tho¶ m·n Víi t =  x  4x  = x 4 x  4x   = x 4  4x2 - 25x - 56 = ... "Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày số phơng pháp giải phơng trình vô tỷ" II Mục đích nghiên cứu Xác định nội dung phơng pháp rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh sở trình. .. công việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.1.2 Vấn đề rèn luyện khả tìm lời giải toán Đây khâu quan trọng có tính chất định việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Vì vậy, trình dạy học giải. .. Xây dựng phơng pháp giải phơng trình vô tỷ theo hớng rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 3.3 Xây dựng ví dụ tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh IV Giả thuyết khoa học Nếu xây dựng