Một tương tự của định lí mason

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh ______________________________ Cao trờng Một tơng tự của định lý mason Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2005 1 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh ---------------------------------------- Cao trờng Một tơng tự của định lý mason Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số M số : 604605ã Luận văn thạc sỹ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Thành Quang 2 Vinh 2005 Lời cảm ơn Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh, dới sự hớng dẫn tận tình của PGS. TS Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn PGS. TS Nguyễn Thành Quang, ngời đã đặt ra phơng hớng nghiên cứu và hớng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả đã nhận đợc sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của GS. TS. Nguyễn Quốc Thi, PGS. TS. Nguyễn Quý Dy, PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS. TS. Lê Quốc Hán, TS. Mai Văn T, TS. Chu Trọng Thanh và các thầy giáo trong chuyên ngành Đại số & Lí thuyết số, Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau đại học Trờng Đại học Vinh. Tác giả xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả xin chân thành cảm ơn học viên Phan cao học Phan Việt Bắc về những trao đổi bổ ích trong nhiều chứng minh chi tiết của luận văn. 3 mục lục Trang Mục lục . 3 Mở đầu . 4 Chơng 1. Một tơng tự của Định lý Mason 6 1.1. Định lý Mason 6 1.2. Một tơng tự của Định lý Mason 10 Chơng 2. Định lý kiểu Hu Yang 19 2.1. Một số kiến thức chuẩn bị . 19 2.2. Định lý Mason p adic . 27 2.3. Định lý kiểu Hu Yang 29 2.3. Định lý kiểu Hu Yang 29 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 4 Mở đầu Một trong những định lý cơ bản nhất của Giải tích phức, Định lý Picard, nói rằng đờng cong chỉnh hình trong P 1 (C) bỏ đi 3 điểm là hằng số. Trong thuật ngữ hyperbolic phức, điều đó có nghĩa là mặt phẳng xạ ảnh trừ đi 3 điểm là không gian hyperbolic Brody. Mặt khác, Định lý Picard cũng có thể phát biểu nh sau Định lý. Phơng trình 1=+ vu không tồn tại nghiệm trong tập hợp các hàm nguyên khả nghịch khác hằng số. Định lý Picard có một tơng tự số học, đó là Bổ đề Sigel nói rằng phơng trình 1 =+ vu chỉ có hữu hạn nghiệm trong vành các số nguyên khả nghịch của một trờng số. Cùng với sự phát triển của Giải tích phức và Số học, sự tơng tự nêu trên ngày càng thể hiện rõ hơn. Mở rộng của Định lý Picard là Bổ đề Borel. Bổ đề Borel. Giả sử )2(,, ., 11 + nff n là các hàm nguyên không có không điểm chung trên C thoả mãn .0 121 =+++ + n fff Khi đó, n fff , ,., 21 phụ thuộc tuyến tính. Phơng trình Borel là dạng tổng quát của phơng trình Diophant đa thức. Gần đây, ngời ta thờng nghiên cứu sự tơng tự của lý thuyết Nevanlinna và xấp xỉ Diophant. Sự tơng tự của lý thuyết Nevanlinna và xấp xỉ Diophant không chỉ thể hiện ở kết quả mà còn ở phơng pháp chứng minh. Chỉ cần một từ điển thích hợp, ngời ta có thể phiên dịch các kết quả của lý thuyết Nevanlinna thành các kết quả số học. Chính nhờ một từ điển nh vậy mà Vojta đã chứng minh đợc nhiều kết quả đặc sắc trong số học (xem [18]). Một trờng hợp đặc biệt của phơng trình Borel, đó là phơng trình abc : cba =+ , cùng với giả thuyết abc . Sự tơng tự của giả thuyết abc trên trờng hàm đã đợc xây dựng trong công trình của Mason (xem [15]), sau đó đợc mở rộng trên phơng trình Borel trong các công trình của Volch, Brownawell, Masser, Wang [13]. Gần đây, giả thuyết abc trên trờng cơ sở không Acsimet đã đợc xây dựng và chứng minh bởi Hu - Yang [14]. Giả sử F là một trờng đóng đại số, có đặc số 0 và giả sử ( ) zf là đa thức với hệ tử trong trờng F . Kí hiệu f n 1 là số nghiệm phân biệt của đa thức ( ) zf . Năm 1983, R.C. Mason đã chứng minh định lý sau về các đa thức 5 Định lý Mason. (xem [15]) Giả sử ( ) ( ) tctbta ),(, là các đa thức với hệ số trong ,F không đồng thời là hằng số, nguyên tố cùng nhau sao cho cba =+ , khi đó ( ) ( ) ( )( ) . cba ncdeg,bdeg,adegmax 1 1 Chú ý rằng, từ Định lý Mason ta suy ra đợc Định lý Fermat trên đa thức. Sử dụng công cụ đạo hàm của đa thức và kỹ thuật Wronskian, chúng tôi tiếp tục tìm một kết quả mới (Định lý 2.9), tơng tự của Định lý Mason (xem công trình [6]). Với mục đích và phơng pháp nghiên cứu nh trên, chúng tôi quyết định lựa chọn đề tài nghiên cứu "Một tơng tự của Định lý Mason". Luận văn đợc chia thành 2 chơng cùng với phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chơng 1, luận văn nhắc lại Định lý Mason và giả thuyết "abc". Tiếp đó, chúng tôi đã diễn đạt và chứng minh đợc một tơng tự của Định lý Mason. Chơng 2, chúng tôi phát biểu và chứng minh Định lý Mason p - adic. Nội dung chính của chơng này là phát biểu và chứng minh Định lý kiểu Hu - Yang. Từ định lý này, chúng tôi đã đa ra đợc một số ứng dụng. Kết quả chính của luận văn đã đợc nhận đăng trong bài báo "Một tơng tự của Định lý Mason", Tạp chí Khoa học Trờng Đại học Vinh, 2005 (xem [6]). Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh, dới sự hớng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và kính trọng tới thầy giáo hớng dẫn. Trong quá trình học tập và viết luận văn, tác giả đã đợc sự dạy bảo tận tình của GS. TS. Nguyễn Quốc Thi, PGS. TS. Nguyễn Quý Dy, PGS. TS. Ngô Sĩ Tùng, PGS. TS. Lê Quốc Hán, TS. Mai Văn T, TS. Chu Trọng Thanh và các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số, Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau đại học - Trờng Đại học Vinh. Tác giả xin trân trọng cảm ơn về những giúp đỡ, chỉ bảo của các nhà giáo và nhà khoa học đã dành cho tác giả. Tác giả xin chân thành cảm ơn học viên cao học Phan Viết Bắc về những trao đổi bổ ích trong nhiều chứng minh chi tiết. Luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong muốn nhận đợc sự giúp đỡ chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Vinh, ngày 01 tháng 12 năm 2005 Tác giả 6 Chơng 1 Một tơng tự của định lý mason 1.1. Định lý Mason 1.1.1. Định nghĩa. Cho a là một số nguyên, ta định nghĩa căn của ,a ký hiệu là ),( 0 aN là tích các ớc nguyên tố phân biệt của :a .)( / 0 = ap paN Ví dụ. .305.3.2)5.3.2()720( 24 00 === NN 1.1.2. Định nghĩa. Giả sử ( ) n n xa .xaaxff +++== 10 là một đa thức trên trờng F. Ta gọi đạo hàm của ,f ký hiệu là ,'f là đa thức sau .xna .xaa'f n n 1 21 2 +++= Cũng nh phép lấy đạo hàm của hàm số, phép lấy đạo hàm các đa thức cũng có các tính chất sau: Giả sử gf , là các đa thức trên F, khi đó: (i) ( ) '.g'f'gf +=+ (ii) ( ) '.fgg'f'fg += (iii) ( ) '.fnf'f nn 1 = Ta nói ( ) k f là đạo hàm cấp k của đa thức ,f với ( ) ( ) ( ) .ff ' kk 1 = Giả sử F là một trờng đóng đại số, có đặc số 0 và giả sử ( ) zf là một đa thức với hệ tử trong trờng F. Ký hiệu f n 1 là số nghiệm phân biệt của đa thức ( ) .zf Năm 1983, R.C. Mason đã chứng minh định lý sau đây về đa thức 1.1.3. Định lý Mason. Giả sử )(),(),( tctbta là các đa thức với hệ số trong F, không đồng thời là hằng số, nguyên tố cùng nhau sao cho .cba =+ Khi đó ( ) . abc n))cdeg(),bdeg(),amax(deg( 1 1 Chứng minh. Đặt ,/,/ cbgcaf == từ phơng trình ,cba =+ ta có .1 =+ gf 7 Lấy đạo hàm hình thức hai vế phơng trình này, ta đợc ,'g'f 0 =+ hay .g g 'g f f 'f 0 =+ Do đó . /' /' a b f g gg ff == Mặt khác, giả sử )(tR là một hàm hữu tỷ có phân tích sau đây .)()()( 1 = = p i i q i ZqgttR i Tính toán đơn giản, ta có . )( )(' 1 = = p i i i gt q tR tR Bây giờ giả sử cba ,, tơng ứng có các nghiệm phân biệt .,, kji Ta có .)()(,)()(,)()( === k j i l k n j m i ttcttbtta Nh vậy . ' = k k k i i i t l t m f f Tơng tự . ' = k k k j j j t l t n g g Vì vậy ta có . /' /' == j k k k j j i k k k i i t l t n t l t m gg ff a b Thơng sau cùng có mẫu số chung của tử số và mẫu số là .)()()( 0 = kji tttN 8 Ta thấy 0 N là một đa thức có bậc là ( ) . abc n 1 Do đó ffN /' 0 và ggN /' 0 là các đa thức có bậc không vợt quá ( ) .1 1 abc n Mặt khác, ta có ggN ffN a b /' /' 0 0 = hay )./'()/'( 00 ggNbffNa = Vì ba, nguyên tố cùng nhau nên từ đẳng thức này ta suy ra bậc của a và bậc của b đều không vợt quá ( ) .1 1 abc n Điều tơng tự cũng đúng với c do vai trò bình đẳng của cba ,, trong phơng trình xuất phát .cba =+ Vậy { } ( ) . abc ncdeg,bdeg,adegmax 1 1 1.1.4. Hệ quả (Định lý cuối cùng của Fermat trên đa thức). Không tồn tại các đa thức cba ,, với hệ tử trong một trờng đóng đại số đặc số không F, khác hằng số, nguyên tố cùng nhau và thoả mãn phơng trình nnn cba =+ với .3 n Chứng minh. Giả sử ngợc lại, tồn tại các đa thức cba ,, thoả mãn phơng trình nói trên. Rõ ràng số nghiệm phân biệt của đa thức nnn cba không vợt quá .cdegbdegadeg ++ Sử dụng định lý Mason, ta có ,cdegbdegadegadegnadeg n 1 ++= ,cdegbdegadegbdegnbdeg n 1 ++= .cdegbdegadegcdegncdeg n 1 ++= Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, ta có .)cdegbdega(deg)cdegbdega(degn 33 ++++ Ta có mâu thuẫn vì .3 n 1.1.5. Giả thuyết "abc" (Oesterlé, 1986). Giả sử cba ,, là các số nguyên, nguyên tố cùng nhau và thoả mãn hệ thức .cba =+ Khi đó, với mọi ,0 > tồn tại số C sao cho 9 { } ,CNc,b,amax + < 1 trong đó = abcp pN / là căn của .abc Từ giả thuyết "abc" có thể suy ra định lý Fermat tiệm cận 1.1.6. Định lý. Với n đủ lớn, phơng trình Fermat không có nghiệm nguyên khác tầm thờng. Chứng minh. Giả sử ngợc lại, tồn tại các số nguyên cba ,, không đồng thời bằng không thoả mãn phơng trình Fermat. Rõ ràng số các ớc của nnn cba không vợt quá .cba ++ áp dụng giả thiết "abc", với mọi 0> , ta có ,)())(( 11 0 ++ ++<= cbaCcbaNCaa nnn n n ,)())(( 11 0 ++ ++<= cbaCcbaNCbb nnn n n .)())(( 11 0 ++ ++<= cbaCcbaNCcc nnn n n Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, ta có .)(3)( 1 + ++<++ cbaCcba nnn Do trờng số thực sắp thứ tự Acsimet nên ta gặp phải mâu thuẫn khi n đủ lớn. 10 . của luận văn. 3 mục lục Trang Mục lục . 3 Mở đầu . 4 Chơng 1. Một tơng tự của Định lý Mason 6 1.1. Định lý Mason 6 1.2. Một tơng tự của Định lý Mason. chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Vinh, ngày 01 tháng 12 năm 2005 Tác giả 6 Chơng 1 Một tơng tự của định lý mason 1.1. Định lý Mason