Một tương tự của giả thuyết abc trên trường hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO THỊ BÍCH HỒI MỘT TƯƠNG TỰ CỦA GIẢ THUYẾT ABC TRÊN TRƯỜNG HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO THỊ BÍCH HỒI MỘT TƯƠNG TỰ CỦA GIẢ THUYẾT ABC TRÊN TRƯỜNG HÀM Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGUYỄN THÀNH QUANG Nghệ An - 2012 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Trường định chuẩn không Acsimet 1.2 Hàm phân hình trường định chuẩn không Acsimet Giả thuyết abc trường hàm 2.1 Các hàm đặc trưng Nevanlinna 11 11 2.2 Một tương tự Giả thuyết ABC trường hàm 18 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 MỞ ĐẦU Định lý lớn Fermat, câu hỏi lớn Toán học nhận câu trả lời thời gian gần Năm 1993, A.Wiles chứng minh Định lí Fermat, với việc sử dụng kiến thức cao nhiều ngành Tốn học khác Trước thời điểm cơng bố chứng minh Định lý lớn Fermat A.Wiles khoảng 10 năm, vào năm 1983, R.C Mason chứng minh định lý sau đa thức trường K đóng đại số đặc số 0, cách sử dụng vai trò tương tự số nguyên đa thức Định lý Mason [1] Giả sử a, b, c đa thức biến x, với hệ tử trường K, khác số, nguyên tố cho a + b = c Khi đó, ký hiệu n0 (abc) số nghiệm phân biệt đa thức tích abc, max (deg a, deg b, deg c) ≤ n0 (abc) − Từ đó, tương tự Định lý cuối Fermat đa thức suy từ Định lý Mason: Không tồn đa thức khác số, nguyên tố trường K thỏa mãn phương trình xn + y n = z n , n ≥ Như là, vào thời điểm nói trên, Định lý Mason gợi ý đường có nhiều hy vọng đến chứng minh cuối Định lý lớn Fermat Định lý Mason tương tự số nguyên đa thức gợi ý cho giả thuyết sau Giả thuyết ABC [1] (Oesterlé, 1986) Giả sử a, b, c số nguyên, nguyên tố thoả mãn hệ thức a + b = c Khi đó, với số ε > tuỳ ý, tồn số C (ε) phụ thuộc ε cho max(|a| , |b| , |c|) ≤ C(ε)N 1+ε , N abc Từ giả thuyết ABC suy định lý Fermat tiệm cận số nguyên: Với n đủ lớn, phương trình an + bn = cn khơng có nghiệm ngun dương Dựa vào cơng trình [9] [10] luận văn đưa tương tự Giả thuyết ABC trường hàm Nội dung luận văn sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số kiến thức hàm phân hình trường không Acsimet Chương Giả thuyết ABC trường hàm Trong chương này, diễn đạt chứng minh tương tự Giả thuyết abc trường hàm Nội dung luận văn giới thiệu báo: Một ý Giả thuyết abc trường hàm, nhận đăng Tạp chí Khoa học Trường Đại học Vinh Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Thành Quang Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Khoa Tốn học Phịng Đào tạo Sau Đại học, Trường Đại học Vinh tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè quan tâm động viên thời gian học tập hồn thành luận văn Luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận góp ý thầy cơ, bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trường định chuẩn không Acsimet 1.1.1 Định nghĩa Cho F trường Một chuẩn F hàm |.| : F −→ R≥0 , thỏa mãn (i) |x| = ⇔ x = 0, (ii) |xy| = |x| |y| , (iii) |x + y| ≤ |x| + |y| , ∀x, y ∈ F Chuẩn F gọi chuẩn không Acsimet thỏa mãn điều kiện (iv) |x + y| ≤ max{|x| , |y|} Một chuẩn |.| F cảm sinh mêtric d d (x, y) = |x − y| , ∀x, y ∈ F Kí hiệu F (a, r) = {x ∈ F : d (x, a) < r} , F [a, r] = {x ∈ F : d (x, a) ≤ r} hình cầu mở, hình cầu đóng tâm a, bán kính r Mêtric cảm sinh chuẩn không Acsimet gọi siêu mêtric Mêtric thỏa mãn tính chất d (x, y) ≤ max {d (x, z) , d (z, y)} , ∀x, y, z ∈ F 1.1.2 Ví dụ (a) Mỗi trường F ln có định chuẩn tầm thường |.| :F −→ R≥0 −→ x −→ 1, với = x (b) Trường số hữu tỷ Q trường số thực R định chuẩn hàm giá trị tuyệt đối thông thường (c) Trường số phức C định chuẩn hàm môđun |a + ib| = √ a2 + b (d) Chuẩn p − adic Trong trường số hữu tỷ Q cố định số nguyên tố p Khi số hữu tỷ x biểu diễn dạng a x = pn , b n ∈ Z a, b số nguyên không chia hết cho p Xác định hàm số |.|p :Q −→ R≥0 x −→ p−n Hàm |.|p chuẩn không Acsimet trường Q gọi chuẩn p − adic 1.1.3 Mệnh đề Cho F trường định chuẩn khơng Acsimet Khi (i) Nếu b ∈ F (a, r) F (a, r) = F (b, r), (ii) Mỗi hình cầu mở F (a, r) vừa tập mở vừa tập đóng, (iii) Hai hình cầu mở (hình cầu đóng) rời chứa 1.1.4 Định lý (Định lý Ostrowski) [3] Mọi chuẩn không tầm thường Q tương đương với hai chuẩn sau (i) Giá trị tuyệt đối thông thường, (ii) Chuẩn p − adic, với p số nguyên tố Từ Định lý Ostrowski ta có hai hướng bổ sung đầy đủ trường số hữu tỷ Q: + Bổ sung đầy đủ theo giá trị tuyệt đối thông thường ta thu trường số thực R + Bổ sung đầy đủ theo chuẩn p−adic ta thu trường số p−adic 1.2 Hàm phân hình trường định chuẩn khơng Acsimet Từ trở sau kí hiệu F trường đóng đại số, đặc số đầy đủ với chuẩn không Acsimet |.| Nội dung kiến thức liên quan trình bày dựa theo [11] 1.2.1 Bổ đề Cho {xn } dãy F Dãy {xn } dãy Cauchy lim |xn+1 − xn | = n→∞ ∞ an , an ∈ F hội tụ lim an = 1.2.2 Mệnh đề Chuỗi n→∞ n=0 Khi ta có bất đẳng thức ∞ an ≤ max |an | n=0 n ∞ Chuỗi lũy thừa f (z) = an z n , an ∈ F hội tụ z n=0 n lim |an z | = n→∞ ∞ 1.2.3 Mệnh đề Cho chuỗi lũy thừa f (z) = an z n , an ∈ F Đặt δ = n=0 1√ , lim sup n |an | (i) Nếu δ = f (z) hội tụ z = (ii) Nếu δ = ∞ f (z) hội tụ với z ∈ F (iii) Nếu < δ < ∞ |an | rn → n → ∞ f (z) hội tụ |z| ≤ r (iv) Nếu < δ < ∞ |an | δ n → n → ∞ f (z) hội tụ |z| < δ Khi đó, δ gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa f (z) ∞ 1.2.4 Định nghĩa Tập chuỗi lũy thừa f (z) = an z n , an ∈ F có bán n=0 kính hội tụ r ≤ δ với hai phép toán cộng nhân lập thành vành, kí hiệu Aδ (F) ∞ Chuỗi lũy thừa f (z) = an z n , an ∈ F hội tụ với z gọi n=0 hàm nguyên Kí hiệu A (F) = A∞ (F) tập tất hàm nguyên F ∞ 1.2.5 Định nghĩa Với f (z) = an z n ∈ Aδ (F) < r ≤ δ, định nghĩa n=0 số hạng lớn f µ (r, f ) = max |an |rn , n≥0 hàm xấp xỉ f m (r, f ) = log+ (µ (r, f )) = max {0, µ (r, f )} 19 hay log µ r, W f0 fn ≤− n (n + 1) log r 2.2.3 Định nghĩa Cho V không gian vectơ trường E tuỳ ý v0 , , n + vectơ phụ thuộc tuyến tính V Ta nói tập số I ⊂ {0, , n} cực tiểu hệ vectơ {vi }i∈I phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ {vj }j∈J độc lập tuyến tính với J tập thực I 2.2.4 Bổ đề Cho v0 , , n + vectơ không gian vectơ V n trường E cho vi = i=0 vi = với tập thực I i∈I {0, , n} Khi đó, tồn số tự nhiên k với phân hoạch {0, , n} = I0 ∪ ∪ Ik tập khác rỗng Jl ⊂ I0 ∪ ∪ Il , l = 0, , k − cho tập I0 , Jl ∪ Il+1 , l = 0, , k − tập cực tiểu Chứng minh Với {0, · · · , n} tập cực tiểu ta có điều phải chứng minh Giả sử {0, · · · , n} tập cực tiểu Trong chứng minh ta sử dụng khái niệm dạng tuyến tính Dạng tuyến tính đa thức bậc n + tùy ý với hệ số E, L (X) = c0 x0 + · · · + cn xn , X = (c0 , · · · , cn ) c0 , · · · , cn ∈ E Gọi L tập tất dạng tuyến tính L (X) thỏa mãn c0 v0 + · · · + cn = n vi = nên L = ∅ Ta chứng minh hai toán phụ Theo giả thiết i=0 sau 20 (a) Mọi dạng tuyến tính L L biểu diễn dạng sau L= cJ LJ , LJ ∈ L, J tập cực tiểu biết, LJ tổ hợp tuyến tính {xj , j ∈ J} cJ số Độ dài dạng tuyến tính số hệ số khác Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo t độ dài L Trường hợp t = tầm thường Giả sử t > L (X) = c0 x0 + · · · + ct−1 xt−1 , ci = 0, ∀0 ≤ i ≤ t − Nếu {0, , t − 1} tập cực tiểu ta có điều phải chứng minh Nếu {0, , t − 1} là tập cực tiểu ta gọi L dạng tuyến tính có độ dài nhỏ Giả sử L = c0 x0 + · · · + ck xk , ci = 0, ∀0 ≤ i ≤ k, với ≤ k ≤ t − Thế c0 = Đặt L = c0 L − c0 L Khi đó, L L có độ dài nhỏ t Mặt khác, L= c0 L + L, c0 c0 nên áp dụng giả thiết quy nạp cho hai dạng tuyến tính ta có điều phải chứng minh n vi = (b) Giả sử i=0 vi = với I tập thực i∈I {0, , n} Khi tồn tập cực tiểu J cho LJ ∈ L cho L ∩ I = ∅ L ∩ I c = ∅, I c phần bù I {0, , n} n xi thuộc L Theo (a) ta có Nhận thấy, L = i=0 L= cJ LJ , LJ ∈ L, 21 với J tập cực tiểu Giả sử phát biểu (b) sai Khi đó, J chứa I I c với tập cực tiểu J Do n xi = L = i=0 cJ LJ cJ LJ + J⊂I c J⊂I Từ ta có xi = i∈I cJ LJ J⊂I Vì LJ ∈ L nên L (v0 , · · · , ) = Suy cJ LJ (v0 , · · · , ) = vi = i∈I J⊂I Điều mâu thuẫn với giả thiết (b) Trở lại với Bổ đề 2.2.4, ta gọi I0 tập cực tiểu Khi đó, I0 = {0, · · · , n} Theo giả thiết ta có vi = i∈I0 Theo (b) tồn tập cực tiểu I1 cho I1 ∩ I0 = ∅, I1 ∩ I0c = ∅, LI1 ∈ L Đặt I1 = I1 ∩ I0c J0 = I1 ∩ I0 Nếu {0, · · · , n} = I0 ∪ I1 ta có điều phải chứng minh Nếu {0, · · · , n} = I0 ∪ I1 ta đặt I = I0 ∪ I1 Áp dụng (b) I, tồn tập cực tiểu I2 cho I2 ∩ I = ∅ I2 ∩ I c = ∅, với LI2 thuộc L Đặt I2 = I2 ∩I c J1 = I2 ∩I Nếu {0, · · · , n} = I0 ∪I1 ∪I2 ta có điều phải chứng minh Nếu {0, · · · , n} = I0 ∪ I1 ∪ I2 , lặp lại trình ta có điều phải chứng minh 22 2.2.5 Định lý Cho f0 , , fn+1 hàm ngun khơng có khơng điểm chung F g0 , , gn+1 hàm nguyên F cho n+1 fi gi = 0, (a) i=0 fi gi = 0, ∀I ⊂ {0, , n + 1} , I = {0, , n + 1} (b) i∈I Khi đó, tồn số thực b thoả mãn n ≤ b ≤ n+1 max T (r, fj gj ) ≤ 0≤j≤n+1 i=0 N r, gi n(n+1) cho N r, fi n+1 +n i=0 − b log r + O (1) Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.4, tồn số tự nhiên k với phân hoạch {0, , n + 1} = I0 ∪ ∪ Ik tập khác rỗng Jl ⊂ I0 ∪ ∪ Il , l = 0, , k − cho tập I0 , Jl ∪ Il+1 , l = 0, , k − tập cực tiểu Bằng cách xếp lại số giả sử I0 = {0, , n0 } , I1 = {n0 + 1, , n0 + n1 } , Ik = {n0 + + nk−1 + 1, , n + 1} Chú ý n0 ≤ d + 1, , nl ≤ d, d số chiều không gian vectơ sinh {f0 g0 , , fn+1 gn+1 } Từ {f1 g1 , , fn0 gn0 } {fi gi }i∈Il (l = 1, , k) hệ độc lập tuyến tính Đặt W0 = W (f1 g1 , , fn0 gn0 ) , Wl = W (fi gi )i∈Il (l = 1, , k) 23 Khi Wi = 0, i = 0, , k Vì tập I0 , J0 ∪ I1 , , Jk−1 ∪ Ik cực tiểu nên tồn k + hệ thức tuyến tính sau a0,i fi gi = 0, a0,i = 0, i∈I0 al,i fi gi = 0, al,i = i∈Jl ∪Il+1 Đặt aj,i = với j ∈ / Jl ∪ Il+1 Thế n+1 al,i fi gi = 0, i=0 n+1 al,i (fi gi )(j) = i=0 Ta nhận ma trận cỡ (n + 1) × (n + 2) sau   a0,0 f0 g0 a0,n+1 fn+1 gn+1     (n0 −1)   a (f g )(n0 −1) · · · a 0,n+1 (fn+1 gn+1 )  0,0 0    a f g · · · a f g 1,0 0 1,n+1 n+1 n+1   ∆=     (n1 −1) (n1 −1)  · · · a1,n+1 (fn+1 gn+1 )  a1,0 (f0 g0 )      ak,0 (f0 g0 )(nk −1) · · · ak,n+1 (fn+1 gn+1 )(nk −1) Gọi ∆j định thức ma trận nhận từ ∆ cách xoá cột thứ j Chú ý tổng hàng ma trận ∆ Khi ∆j = (−1)j ∆0 , j = 1, , n + Theo định thức ma trận khối ta có ∆0 = αW0 Wk , α = a0,0 k al,i = l=0 i∈Il 24 Do ∆0 = Đặt F = f0 fn+1 , F0 = f1 fn0 , Fl = fi , i∈Il G = g0 gn+1 , G0 = f1 fn0 , Gl = gi i∈Il Theo Bổ đề 2.2.2 n0 (n0 − 1) W0 ≤− log r, F0 G0 Wl nl (nl − 1) log µ r, log r, l = 1, , k ≤− Fl Gl log µ r, Khi đó, f0 g0 ∆0 W0 Wl =α , FG F0 G0 Fl Gl nên f0 g0 = α Wl F W0 G F0 G0 Fl Gl ∆0 Từ log µ (r, f0 g0 ) W0 = log µ r, F0 G0 + · · · + log µ r, Wl Fl Gl + log µ (r, G) + log µ r, F ∆0 + (1) Do k log µ (r, f0 g0 ) ≤ l=0 n+1 nl (nl − 1) F log r+ +0 (1) log µ (r, gi )+log µ r, ∆ i=0 (1) Theo Định lý 2.1.6, log µ (r, f0 g0 ) = T (r, f0 g0 ) + (1) , n+1 n+1 N r, log µ (r, gi ) = i=0 i=0 gi + (1) (2) (3) 25 Bây ta chứng minh n+1 F log µ r, ∆0 ≤n N r, i=0 Thật vậy, gọi a không điểm F ∆0 fi + (1) (4) Vì f0 , , fn+1 khơng có khơng điểm chung nên tồn số i0 cho fi0 (a) = Nếu i0 ∈ I0 thay W0 W0∗ = W (f0 g0 , f1 g1 , , fi0 −1 gi0 −1 , fi0 +1 gi0 +1 , , fn0 gn0 ) , nhận n0 a a µafj − µaW0∗ µ f0 fn+1 = µ f0 fi0 −1 fi0 +1 fn0 = W0∗ W0 j=0 Wronskian W0∗ tổng số hạng có dạng ± (fα1 gα1 ) (fα2 gα2 ) fαn0 gαn0 (n0 −1) , αj ∈ I0 αj = i0 Áp dụng Bổ đề 2.1.2 µa (n −1) (fα1 gα1 )(fα2 gα2 ) (fαn0 gαn0 ) µafα ≥ g j αj   − (n0 − 1)  1 1≤j≤n0 ,fαj (a)=0 1≤j≤n0 ,fαj (a)=0 ≥   µafα − (n0 − 1)  1 j 1≤j≤n0 ,fαj (a)=0 1≤j≤n0 ,fαj (a)=0 ≥   µafα − n  1 j 1≤j≤n0 ,fαj (a)=0 n0 1≤j≤n0 ,fαj (a)=0  µafj − n  = j=1 1≤j≤n0 ,fj (a)=0  1 , 26 µaW0 ≥   n0 µafα − n  1 j j=1 0≤j≤n0 ,fαj (a)=0 Do   µaf0 fn0 ≤ n  W0 Ta có 1 0≤j≤n0 ,fj (a)=0   N r, f0 fn0 W0 n0 ≤n N r, i=0 fj Tương tự ta có N r, Fl Wl ≤n N r, j∈Il , l = 1, , k fj Theo Định lý 2.1.6 F log µ r, ∆0 k ≤ N l=0 r, Fl Wl n+1 + (1) ≤ n N r, i=0 fi + (1) Nếu i0 ∈ I1 J0 = ∅ nên lấy số j0 ∈ J0 thay W0 W0∗ = W (f0 g0 , f1 g1 , , fj0 −1 gj0 −1 , fj0 +1 gj0 +1 , , fn0 gn0 ) ; W1 W1∗ = W (fj0 gj0 , fn0 +1 gn0 +1 , , fi0 −1 gi0 −1 , fi0 +1 gi0 +1 , , fn0 +n1 gn0 +n1 ) Ta biến đổi sau µaf0 F0 F1 = µaf0 fj0 −1 fj0 +1 fn0 + µafj0 fn0 +1 fi0 −1 fi0 +1 fn0 +n1 W0 W1 W0∗ W1∗    ≤ n 1 + n  0≤j≤n0 ,fj (a)=0  = n 0≤j≤n0 +n1 ,fj (a)=0 1 n0 +1≤j≤n0 +n1 ,fj (a)=0  1  27 Từ suy (4) Lập luận tương tự trường hợp i0 ∈ Il , ≤ l ≤ k có (4) Từ (1), (2), (3) (4) nhận n+1 T (r, f0 g0 ) ≤ i=0 n+1 N r, gi +n i=0 N r, fi k − l=0 nl (nl − 1) log r + (1) Với j ∈ I0 log µ r, f j gj W f0 g0 F0 ≤ n0 (n0 − 1) log r Mặt khác, fj gj W0 W1 Wn+1 fj gj ∆0 =α F f0 g0 F0 Go F1 G1 Fn+1 Gn+1 nên fj gj = α fj gj W0 W1 Wn+1 F f0 g0 F0 Go F1 G1 Fn+1 Gn+1 ∆0 Từ log µ (r, fj gj ) fj gj W0 W1 = log µ r, + log µ r, f0 g0 F0 Go F1 G1 F + log µ r, + (1) ∆0 n+1 ≤ i=0 N r, gi n+1 +n i=0 N r, fi k − l=0 + · · · + log µ r, Wn+1 Fn+1 Gn+1 nl (nl − 1) log r + (1) Do n+1 T (r, fj gj ) ≤ i=0 N r, gi n+1 +n i=0 N r, fi k − l=0 nl (nl − 1) log r + (1) Với j ∈ I1 lấy số i ∈ J0 biến đổi sau fj gj ∆0 fi gi W0 fj gj W1 Wn+1 =α F f0 g0 F0 Go fi gi F1 G1 Fn+1 Gn+1 28 Tương tự với log µ r, f i gi W f g0 F ≤ n0 (n0 − 1) log r log µ r, f j gj W fi gi F1 ≤ n1 (n1 − 1) log r, ta có n+1 T (r, fj gj ) ≤ i=0 N r, gi n+1 N r, fi +n i=0 k − l=0 nl (nl − 1) log r + (1) Tiếp tục với j ∈ Il ; l = 2, , k cuối nhận n+1 max T (r, fj gj ) ≤ 0≤j≤n+1 i=0 N r, gi n+1 +n i=0 N r, fi k − l=0 nl (nl − 1) log r + (1) Định lý 2.2.5 chứng minh Nguyễn Thành Quang Phan Đức Tuấn [9] đưa mở rộng Giả thuyết ABC n+2 đa thức f0 , , fn+1 thỏa mãn gcd (fi , fj , fk ) = 1, với i, j, k phân biệt thuộc {0, , n + 1} f0 + + fn+1 = William Cherry Toropu [10] tổng quát kết nói n + hàm nguyên khác không không đồng thời số trường có đặc số thỏa mãn (i) f0 + + fn = 0, (ii) gcd (fi1 , , fik ) = 1, với ≤ k ≤ n, fi = 0, với tập thực I {0, , n} (iii) i∈I Định lý 2.2.5 mà đưa mở rộng khác Giả thuyết ABC trường hàm 2.2.6 Hệ Cho f0 , , fn+1 hàm ngun khơng có khơng điểm chung F thoả mãn điều kiện 29 n+1 fi = 0, (a) i=0 fi = 0, ∀I ⊂ {0, , n + 1} , I = {0, , n + 1} (b) i∈I Khi đó, tồn số thực b thoả mãn n ≤ b ≤ n+1 max T (r, fj ) ≤ n 0≤j≤n+1 N r, i=0 n(n+1) fi cho − b log r + (1) 2.2.7 Hệ (Định lý Davenport) Cho f, g đa thức khác số, khơng có nghiệm chung F cho f − g = Khi đó, ta có bất đẳng thức deg (g) ≤ deg f − g − Chứng minh Vì f, g đa thức khơng có nghiệm chung nên đa thức −f , g , f − g khơng có nghiệm chung Áp dụng Hệ 2.2.6 hàm sau f0 = −f , f1 = g , f2 = f − g , ta có 1 + N r, + N r, − log r, −f g f − g3 1 ≤ N r, + N r, + N r, − log r −f g3 f − g3 T r, −f ≤ N r, T r, g Cho r → ∞, ta deg −f ≤ n0 −f + n0 g + n0 f − g − 1, deg g ≤ n0 −f + n0 g + n0 f − g − 30 hay deg f ≤ n0 (f ) + n0 (g) + n0 f − g − ≤ deg f + deg g + deg f − g − 1, deg f ≤ n0 (f ) + n0 (g) + n0 f − g − ≤ deg f + deg g + deg f − g − Từ hai bất đẳng thức ta có deg f + deg g ≤ deg f + deg g + deg f − g − Do deg (g) ≤ deg f − g − 31 KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành vấn đề sau: Trình bày số kiến thức Lý thuyết Nevanlinna trường không Acsimet Bằng kỹ thuật Wronskian, diễn đạt chứng minh tương tự Giả thuyết abc trường hàm (Định lý 2.2.5) Nội dung luận văn giới thiệu [4] 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, Trường Đại học Vinh [3] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Thành Quang Đào Thị Bích Hồi, Một ý Giả thuyết ABC trường hàm, Tạp chí Khoa học Đại học Vinh, Tập 41, số 2A.2012, 100 - 108 Tiếng Anh [5] J Brokin and J Brzezinski (1994), Some remarks on the abc conjecture, Mathematics of Computation, 62, 931-939 [6] P.C Hu and C.C Yang (2000), The abc conjecture over function fields, Proc Japan Acad Ser A Math Sci., 76, 118-12 [7] S Lang (1990), Old and new conjecture Diophantine inequalities, Bull Amer Math Soc , 23, 37-75 [8] S Lang (1987), Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, Springer - Verlag 33 [9] Nguyen Thanh Quang and Phan Duc Tuan, A Generalization of the abc - conjecture over Function Fields, Journal of Analysis and Applications, Vol 6, 2008, No.2, pp.69-76 [10] William Cherry and Cristina Toropu, Generalized ABC theorems for non - Archimedean entire functions of several variables in arbitrary characteristic, Acta Arith 136 (2009), 351-384 [11] Pei - Chu Hu and Chung - Chun Yang (2000), Meromorphic functions over non - Archimedean fields, Kluwer ... thuyết ABC trường hàm Trong chương này, diễn đạt chứng minh tương tự Giả thuyết abc trường hàm Nội dung luận văn giới thiệu báo: Một ý Giả thuyết abc trường hàm, nhận đăng Tạp chí Khoa học Trường. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO THỊ BÍCH HỒI MỘT TƯƠNG TỰ CỦA GIẢ THUYẾT ABC TRÊN TRƯỜNG HÀM Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC... đưa tương tự Giả thuyết ABC trường hàm Nội dung luận văn sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số kiến thức hàm phân hình trường khơng Acsimet Chương Giả thuyết